推理与证明
_高中数学第二章推理与证明2
跟踪练习
(2014～2015·合肥一六八中高二期中)观察下题的解答过
程：
已知正实数 a、b 满足 a＋b＝1，求 2a＋1＋ 2b＋1的最
大值．
解：∵
2a＋1· 2≤
2a＋12＋ 2
22＝a＋32，
2b＋1· 2
≤
2b＋12＋ 2
22＝b＋32，
相 加 得 2a＋1 · 2 ＋ 2b＋1 · 2 ＝ 2 ( 2a＋1 ＋ 2b＋1)≤a＋b＋3＝4.
综合法： ∵a、b、c∈R＋，∴(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≥0， ∴2(a2＋b2＋c2)≥(ab＋bc＋ac)， ∴3(a2＋b2＋c2)≥a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ac， ∴3(a2＋b2＋c2)≥(a＋b＋c)2， ∴ a2＋b32＋c2≥a＋3b＋c.
人教版 选修2-2
第二章 推理与证明
2.2 直接证明与间接证明
2.2.1 综合法和分析法
目标导航
• 了解综合法与分析法的特点，熟练应用分析法与综合法证明 命题．
重点难点
• 重点：综合法和分析法的概念及思考过程、特点． • 难点：综合法和分析法的应用．
新知导学
1.综合法证明不等式
• 1．定义 • 利用___已__知__条__件___和某些数学__定__义____、__定__理____、
、已知的重要不等式和逻辑推理的基本理论；
• (2)适用范围：对于一些条件复杂，结构简单的不等式的证明 ，经常用综合法．而对于一些条件简单、结论复杂的不等式 的证明，常用分析法；
• (3)思路方法：分析法证明不等式的思路是从要证的不等式出 发，逐步寻求使它成立的充分条件，最后得到的充分条件是 已知(或已证)的不等式；
推理与证明课件
归纳推理 （1） 组、祖、阻、诅 ） （2） ） 地球 围绕太阳运行 绕轴自转 有大气层 有季节更替 地球上有生命 爼 火星 围绕太阳运行 绕轴自转 有大气层 有季节更替 火星上有生命 类 比 推 理
合 情 推 理
归纳推理: 归纳推理 由某些事物的部分对象具有某些特征， 由某些事物的部分对象具有某些特征，推出 该类事物的全部对象都具有这些特征 的推理。 的推理。 类比推理： 类比推理： 由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的 类对象 具有这些特征 某些已知特征， 某些已知特征，推出 的推理； 的推理； 注：合情推理的推理结果不一定正确。 合情推理的推理结果不一定正确。 如：组、祖、阻、诅 咀
通过观察上述两等式的规律，请你写出一般性的命题： 通过观察上述两等式的规律，请你写出一般性的命题： 3 2 2 o 2 o sin α + sin (α + 60 ) + sin (α + 120 ) = 并证明 2 变式训练1： 变式训练 ： tan 5° • tan10° + tan 5° • tan 75° + tan10° • tan 75° = 1
1 (3) 三角形的面积为S = (a + b + c)r,r为三角形内切圆半径 为三角形内切圆半径 2
请类比出四面体的有关性质？ 请类比出四面体的有关性质？
二、演绎推理
（1）所有的金属都能导电，铜是金属，所以铜 ）所有的金属都能导电，铜是金属， （2）太阳系的大行星都以椭圆形轨道绕太阳运行，冥王 ）太阳系的大行星都以椭圆形轨道绕太阳运行， 星是太阳系的大行星， 星是太阳系的大行星，因此 演绎推理：从一般性的原理出发， 演绎推理：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况 的结论的推理
(完整版)推理与证明知识点
第十二讲推理与证明数学推理与证明知识点总结:推理与证明：①推理是中学的主要内容，是重点考察的内容之一，题型为选择题、填空题或解答题，难度为中、低档题。
利用归纳和类比等方法进行简单的推理的选择题或填空题在近几年的中考中都有所体现。
②推理论证能力是中考考查的基本能力之一，它有机的渗透到初中课程的各个章节，对本节的学习，应先掌握其基本概念、基本原理，在此基础上通过其他章节的学习，逐步提高自己的推理论证能力。
第一讲推理与证明一、考纲解读：本部分内容主要包括：合情推理和演绎推理、直接证明与间接证明、数学归纳法等内容，其中推理中的合情推理、演绎推理几乎涉及数学的方方面面的知识，代表研究性命题的发展趋势。
新课标考试大纲将抽象概括作为一种能力提出，进一步强化了合情推理与演绎推理的要求，因此在复习中要重视合情推理与演绎推理。
高考对直接证明与间接证明的考查主要以直接证明中的综合法为主，结合不等式进行考查。
二、要点梳理：1.归纳推理的一般步骤：(1)通过观察个别事物，发现某些相同的性质;(2)从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题。
2.类比推理的一般步骤：(1)找出两类事物之间的相似性或一致性;(2)用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题(猜想)。
3.演绎推理三段论及其一般模式：①大前提——已知的一般原理;②小前提——所研究的特殊情况;③结论——根据一般原理，对特殊情况作出判断。
4.直接证明与间接证明①综合法：利用某些已经证明过的不等式和不等式的性质推导出所要证明的不等式成立，这种证明方法通常叫做综合法。
综合法的思维特点是：由因导果，即由已知条件出发，利用已知的数学定理、性质和公式，推出结论。
②分析法：证明不等式时，有时可以从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的条件，把证明不等式转化为判定这些条件是否具备的问题，如果能够肯定这些条件都已具备，那么就可以断定原不等式成立，这种方法通常叫做分析法。
_高中数学第二章推理与证明1
• 4．其他演绎推理形式 • (1)假言推理：“若p⇒q，p真，则q真”． • (2)关系推理：“若aRb，bRc，则aRc”R表示一种传递性关系
，如a∥b，b∥c⇒a∥c，a≥b，b≥c⇒a≥c等． • 注：假言推理、关系推理在新课标中未给定义，但这种推理
形式是经常见到的，为表述记忆方便，我们也一块给出，以 供学生扩展知识面．
第二章 推理与证明
2.1 合情推理与演绎推理
2.1.2 演绎推理
目标导航
• 理解演绎推理的概念，掌握演绎推理的形式，并能用它们进行 一些简单的推理，了解合情推理与演绎推理的联系与区别．
重点难点
• 重点：演绎推理的含义及演绎推理规则． • 难点：演绎推理的应用．
新知导学
1.演绎推理
• 日常生活中我们经常接触这样的推理形式：“所有金属都导 电，因为铁是金属，所以铁导电”，它是合情推理吗？这种 推理形式正确吗？
• (2)利用集合知识说明“三段论”：若集合M的所有元素都具有 性质P，S是M的一个子集，那么 __S_中__所__有__元__素__也__都__具__有__性__质__P__.
• (3)为了方便，在运用三段论推理时，常常采用省略大前提或 小前提的表述方式．对于复杂的论证，总是采用一连串的三段 论，把前一个三段论的___结__论___作为下一个三段论的前提．
互动探究
1.演绎推理的基本形式——三段论
• 例题1 用三段论的形式写出下列演绎推理． • (1)菱形的对角线相互垂直，正方形是菱形，所以正方形的对
角线相互垂直． • (2)若两角是对顶角，则此两角相等，所以若两角不相等，则
此两角不是对顶角． • [分析] 即写出推理的大前提、小前提、结论．大前提可能
环小数，所以e是无理数． • [答案] (1)a＝－8，(2)无限不循环小数都是无理数
推理与证明演绎推理
推理与证明演绎推理ppt xx年xx月xx日CATALOGUE目录•推理与证明概述•推理的类型•证明的方法•演绎推理•推理与证明的应用•推理与证明的挑战与未来发展01推理与证明概述推理是指从已知的事实或前提中推导出结论的过程。
在逻辑学中，推理通常指形式逻辑或数理逻辑，它们是研究推理的有效性和正确性的学科。
推理的定义推理在我们的日常生活中无处不在，它帮助我们理解事物、解决问题、作出决策。
在科学、数学、法律等领域中，推理也扮演着至关重要的角色。
通过推理，我们可以探索未知、发现新知、验证假设。
推理的重要性推理的定义与重要性证明的定义证明是指通过一系列合乎逻辑的步骤，从已知的事实或前提中推导出结论的过程。
在数学和形式逻辑中，证明通常指的是一种结构化的过程，其中每个步骤都有明确的依据和逻辑关系。
证明的意义证明可以帮助我们确认某个结论是正确的或错误的。
通过证明，我们可以建立对某个结论的信任和信心。
此外，证明还可以帮助我们深化对某个领域的知识和理解，因为它要求我们对概念和原理有深入的理解和掌握。
证明的概念及意义推理和证明都是思维过程，它们都涉及到从已知的事实或前提中推导出结论。
在证明中，我们通常使用演绎推理来推导结论。
演绎推理是一种形式化的推理方法，它要求前提必须是确定无疑的，并且推导出的结论必须符合前提的逻辑关系。
推理与证明的区别虽然推理和证明都是从已知推导出未知的过程，但它们的目的和方法有所不同。
推理更注重思维过程和创造性思考，而证明更注重结构的严谨性和逻辑的正确性。
此外，推理往往涉及更多的事实和信息，而证明通常涉及更少的假设和更多的推导步骤。
推理与证明的联系推理与证明的关系VS02推理的类型定义直接推理是从一个或多个前提中直接得出结论的推理方法。
例子例如，如果所有的猫都是哺乳动物，并且小猫是猫，那么可以推断出小猫是哺乳动物。
直接推理定义间接推理是通过排除其他可能性来得出结论的推理方法。
例子例如，如果所有的狗都不会飞，而小狗会飞，那么可以推断出小狗不是狗。
推理与证明
年级初一学科数学内容标题推理与证明编稿老师苏和平【本讲教育信息】一、教学目标：1.了解证明的基本步骤和书写格式．2.能从“同位角相等，两直线平行”“两直线平行，同位角相等”这个基本事实出发，证明平行线的判定定理、性质定理，三角形内角和定理以及三角形内角和定理的推论，并能简单应用这些结论．3.感受数学的严谨、结论的确定，初步养成言之有理、落笔有据的推理习惯，发展初步的演绎推理能力．感受欧几里得的演绎体系对数学发展和人类文明的价值．4.正确的理解互逆命题和逆命题的概念，会根据已知命题写出它的逆命题，会举反例证明一个命题是假命题二、教学重点：1.从“同位角相等，两直线平行”“两直线平行，同位角相等”这个基本事实出发，证明平行线的判定定理、三角形内角和定理以及三角形内角和定理的推论，并能简单应用这些结论．2.理解逆命题的意义教学难点：1.证明的基本步骤和书写格式，发展初步的演绎推理能力．2.证明一个命题是假命题三、课堂教学：（一）知识要点：知识点1：公理、证明公理：在《原本》里欧几里得创建了公理体系——在众多的数学名词和数学命题中，挑选了数学名词和真命题，其中的数学名词称为原名，真命题作为公理．本教材有如下公理：（1）同位角相等，两直线平行．（2）两直线平行，同位角相等．（3）两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等．（4）两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等．（5）三边对应相等的两个三角形全等．（6）全等三角形的对应边相等，对应角相等．（7）等式的有关性质和不等式的有关性质也都看作基本事实．可以看作公理．证明：用推理的方法证实真命题的过程叫做证明．证明与图形有关的命题的步骤：（1）根据命题，画出图形；（2）根据命题，结合图形，写出已知、求证．已知部分是已知事项（即命题的条件），求证部分是论证的事项（即命题的结论）；（3）写出证明过程．说明：证明的步骤主要适应于有文字叙述的证明题，而那些已经给出已知，求证和图形的证明题，只需要写出过程即可．知识点2：定理经过证明的真命题称为定理．本节的定理有：（1）内错角相等，两直线平行．（2）同旁内角互补，两直线平行．（3）两直线平行，内错角相等．（4）两直线平行，同旁内角互补．（5）三角形三个内角的和等于180°．三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角．已经证明的定理也可以作为以后推理的依据．知识点3：互逆命题，逆命题．两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．一个命题条件和结论互换就得到它的逆命题，所以每个命题都有它的逆命题知识点4：反例举出一个例子说明一个命题是假命题，这样的例子称为反例例：如果a2=b2，那么a=b正确吗？不正确，反例如：当a=2，b=－2时，虽然a2=b2，但是a≠b，这样的例子称为反例．在数学中，说明一个命题是假命题，通常只需要举一个反例即可．而要说明一个命题是真命题，就必须经过证明．几个正确的例子是不能说明这个命题的真实性的．证明与反例是解决数学问题的两种不可分割的重要的方法．【典型例题】例1.填空题（1）命题：“两直线平行，内错角相等．”的条件是，结论是____________________________，这个命题的逆命题的条件是，结论是．（2）命题：“等边三角形是锐角三角形”是命题；写出其逆命题，该命题是命题．解：略例2.判断下列命题：①等腰三角形是轴对称图形；②若a>1且b>1，则a+b>2③全等三角形对应角的平分线相等；④直角三角形的两锐角互余其中逆命题正确的有A.A. 1个B. 2个C. 3个D. 0个解：①，②，③的逆命题不正确④的逆命题正确例3.如图，AB∥CD，AB与DE相交于点G，∠B=∠D．问题：你由这些条件得到什么结论？如何证明这些结论？解：结论是DE∥BF所以∠EGA=∠D（两直线平行，同位角相等）又因为∠B=∠D（已知）所以∠EGA=∠B（等量代换）所以DE∥BF（同位角相等，两直线平行）上面的推理过程用符号“ ”表达为：AB ∥CD DE B EGA D B D EGA ⇒∠=∠⇒⎭⎬⎫∠=∠∠=∠⇒∥BF问题1：还有不同的方法可以证明DE ∥BF 吗？问题2：在图中，如果DE ∥BF ，∠B=∠D ，那么你得到什么结论？证明你的结论． 说明：问题2构造了原命题的逆命题，实质是在不断依据有关平行线的互逆命题进行推理的．例4. 试判断命题：“如果一个角的两边分别与另一个角的两边互相平行，那么这两个角相等．”的真假性，若为假命题，请举反例说明． 解：这是一个假命题．虽然第一个图满足条件，也满足结论 但是第二个图也满足条件却不满足结论例5. 写出下列命题的逆命题，并判断它是真命题还是假命题． （1）若ac 2＞bc 2，则a ＞b ；（2）角平分线上的点到这个角的两边距离相等； （3）若ab=0，则a=0．分析：写出一个命题的逆命题，只需将命题的条件与结论交换一下就行．判断一个命题的真假，说它真，必须有根有据；而说它假，只要举一个反例，千万不能想当然． 解答：（1）逆命题为：若a ＞b ，则ac 2＞bc 2假命题，如c=0，ac 2=bc 2（2）逆命题为：到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上，真命题． （3）逆命题为：若a=0，则ab=0，真命题．例6. 如图，△ABC 中，AB=AC ，D 在BC 上，且BD=AD ，DC=AC ，求∠B 的度数．分析：图中有三个等腰三角形，可用等边对等角的性质，再用方程的思想解题，列方程的依据是三角形内角和定理．体会在解答求解中的推理及书写格式．解：∵AB=AC（已知）∴∠B=∠C（等边对等角）同理，∠B=∠BAD，∠CAD=∠CDA．设∠B=x°，则∠C=x°，∠BAD=x°，∴∠ADC=2x°，∠CAD=2x°．在△ADC中，∵∠C+∠CAD+∠ADC=180°．∴x°+2 x°+ 2x°=180 °．∴x°=36 °．答：∠B的度数为36°．例7.给下面的证明过程注明理由已知AB=DC，∠BAD=∠CDA求证：∠ABC=∠DCB证明：连结AC、BD交点为O在△ADB与△DAC中因为∠BAD=∠ADC（已知）AD=DA（公共边）AB=DC（已知）所以△ADB≌△DAC（SAS）所以BD=CA（全等三角形对应边相等）又在△ABC与△DCB中因为BD=CA（已证）AB=DC（已知）BC=BC（公共边）所以△ABC≌△DCB（SSS）所以∠ABC=∠DCB（全等三角形对应角相等）说明：要体验在证明题中的推理及书写格式例8.如图，⊿ABC中，D、E分别是AC、AB上的点，BD与CE交于O，给出下列三个条件：①∠EBO=∠DCO；②∠BEO=∠CDO；③BE=CD；④OB=OC．（1）上述三个条件中，哪两个条件可判定⊿ABC是等腰三角形（用序号写出所有情形）；（2）选择第（1）小题中一种情形，证明⊿ABC是等腰三角形．AEDOB C分析：本题第（1）小题属于条件开放性问题，也是制造命题的问题，经过探索补全条件，然后写出证明；第（2）小题若选择情形一，即条件①③，由于条件都集中在⊿BOE和⊿COD 中，故可通过⊿BOE≌⊿COD，证得OB=OC，这样∠OBC=∠OCB，从而可证得∠ABC=∠ACB，进而得AB=AC．解：（1）可判定⊿ABC是等腰三角形的两个条件是①③或①④或②③或②④（2）选择情形一，即条件①③在⊿BOE和⊿COD中∠BOE=∠COD，∠EBO=∠DCO，BE=CD，∴⊿BOE≌⊿COD（AAS）．∴OB=OC．∴∠OBC=∠OCB．∵∠EBO=∠DCO，∴∠ABC=∠ACB．∴AB=AC．即⊿ABC是等腰三角形．说明：本题第（1）小题是开放性问题，属于条件开放型，需解题者经过探索补全条件，然后完成解答，本题还着重考查了全等三角形的识别﹑等腰三角形的识别与性质，以及数学中的分类思想．例9.已知：如图，AB∥CD，求证：∠B+∠D=∠BED．分析：可以考虑把∠BED变成两个角的和．如图，过E点引一条直线EF∥AB，则有∠B=1∠1，再设法证明∠D=∠2，需证EF∥CD，这可通过已知AB∥CD和EF∥AB得到．证明：过点E作EF∥AB，（已作图），则∠B=∠1（两直线平行，内错角相等）．∵AB∥CD（已知），又∵EF∥AB（已作），∴EF∥CD（平行于同一直线的两条直线互相平行）．∴∠D=∠2（两直线平行，内错角相等）．又∵∠BED=∠1+∠2，∴∠BED=∠B+∠D（等量代换）．例10.已知：如图，AB∥CD，求证：∠BED=360°－（∠B+∠D）．分析：此题与例9的区别在于E点的位置及结论．我们通常所说的∠BED都是指小于平角的角，如果把∠BED看成是大于平角的角，可以认为此题的结论与例9的结论是一致的．因此，我们模仿例9作辅助线，不难解决此题．证明：过点E作EF∥AB，则∠B+∠1=180°（两直线平行，同旁内角互补）．∵AB∥CD（已知），∵EF∥AB（已作），∴EF∥CD（平行于同一直线的两条直线互相平行）．∴∠D+∠2=180°（两直线平行，同旁内角互补）．∴∠B+∠1+∠D+∠2=180°+180°（等式的性质）．又∵∠BED=∠1+∠2，∴∠B+∠D+∠BED=360°（等量代换）．∴∠BED=360°－（∠B+∠D）（等式的性质）．例11.已知：如图，AB∥CD，求证：∠BED=∠D－∠B．分析：此题与例9的区别在于E点的位置不同，从而结论也不同．模仿例9作辅助线的方法，可以解决此题．证明：过点E作EF∥AB，则∠FEB=∠B（两直线平行，内错角相等）．∵AB∥CD（已知），又∵EF∥AB（已作），∴EF∥CD（平行于同一直线的两条直线互相平行）．∴∠FED=∠D（两直线平行，内错角相等）．∵∠BED=∠FED－∠FEB，∴∠BED=∠D－∠B（等量代换）．例12.已知：如图，AB∥CD，求证：∠BED=∠B－∠D．分析：此题与例9类似，只是∠B、∠D的大小发生了变化．证明：过点E作EF∥AB，则∠1+∠B=180°（两直线平行，同旁内角互补）．∵AB∥CD（已知），又∵EF∥AB（已作），∴EF∥CD（平行于同一直线的两条直线互相平行）．∴∠FED+∠D=180°（两直线平行，同旁内角互补）．∴∠1+∠2+∠D=180°．∴∠1+∠2+∠D－（∠1+∠B）=180°－180°（等式的性质）．∴∠2=∠B－∠D（等式的性质）．即∠BED=∠B－∠D．例13.已知：如图1，AB∥CD，∠ABF=∠DCE．求证：∠BFE=∠FEC．图1证法一：过F点作FG∥AB ，则∠ABF=∠1（两直线平行，内错角相等）．过E点作EH∥CD ，则∠DCE=∠4（两直线平行，内错角相等）．∵FG∥AB（已作），AB∥CD（已知），∴FG∥CD（平行于同一直线的两条直线互相平行）．又∵EH∥CD （已知），∴FG∥EH（平行于同一直线的两条直线互相平行）．∴∠2=∠3（两直线平行，内错角相等）．∴∠1+∠2=∠3+∠4（等式的性质）即∠BFE=∠FEC．证法二：如图2，延长BF、DC相交于G点．∵AB∥CD（已知），∴∠1=∠ABF（两直线平行，内错角相等）．又∵∠ABF=∠DCE（已知），∴∠1=∠DCE（等量代换）．∴BG∥EC（同位角相等，两直线平行）．∴∠BFE=∠FEC（两直线平行，内错角相等）．图2证法三：（如图3）连结BC．∵AB∥CD（已知），∴∠ABC=∠BCD（两直线平行，内错角相等）．又∵∠ABF=∠DCE（已知），∴∠ABC－∠ABF =∠BCD－∠DCE（等式的性质）．即∠FBC=∠BCE．∴BF∥EC（内错角相等，两直线平行）．∴∠BFE=∠FEC （两直线平行，内错角相等）．图3【模拟试题（答题时间：45分钟）一、填空题1. 命题：①直角都相等；②若ab>0且a+b>0，则a>0且b>0； ③一个角的补角大于这个角；④直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．其中原命题和逆命题都为真命题的有 ．2. △ABC 中，∠B=45º，∠C=72º，那么与∠A 相邻的一个外角等于 ．3. 如下图，AD 、AE 分别是△ABC 的角平分线和高，∠B=50º，∠C=70º，则∠EAD= ．ED CBA4. △ABC 中，BP 平分∠B ，CP 平分∠C ，若∠A=60º，则∠BPC= ．5. ⊿ABC 中，∠A 是∠B 的2倍，∠C 比∠A + ∠B 还大 12，那么∠A = 度6. 在方格纸上有一三角形ABC ，它的顶点位置如图所示，则这个三角形是 三角形．7. 在△ABC 中，边AB 、BC 、AC 的垂直平分线相交于P ，则PA 、PB 、PC 的大小关系是8. 如图是2002年8月在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，它是由4个相同的直角三角形拼和而成．若图中大小正方形的面积分别为52cm2和4cm2，则直角三角形的两条直角边的积是cm2．二、选择题1.下面有3个命题：①同旁内角互补；②两直线平行，内错角相等；•③垂直于同一直线的两直线互相平行．其中真命题为（）．A.①B.③C.②③D.②2.下面有3个判断：①一个三角形的3个内角中最多有1个直角；②一个三角形的3个内角中至少有两个锐角；③一个三角形的3个内角中至少有1个钝角．•其中正确的有（）．A .0个B. 1个C. 2个D. 3个3.一个三角形的一个内角等于另外两个内角的和，则这个三角形是（）．A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.何类三角形不能确定4.已知点A在点B的北偏东40°方向，则点B在点A的（）．A.北偏东50°方向B.南偏西50°方向C.南偏东40°方向D.南偏西40°方向5.如图，已知AB∥CD∥EF，∠ABC=50°，∠CEF=150°，则∠BCE的值为（）．A. 50°B. 30°C. 20°D. 60°6.如图，已知FD∥BE，则∠1+∠2－∠A=（）．A. 90°B. 135°C. 150°D. 180°7.下面有2句话：（1）真命题的逆命题一定是真命题．（2）假命题的逆命题不一定是假命题，其中，正确的（）．A.只有（1）B.只有（2）C.只有（1）和（2）D.一个也没有8.锐角三角形中，最大角α的取值范围是（）A. 0º＜α＜90ºB. 60º＜α＜90ºC. 60º＜α＜180ºD. 60º≤α＜90º9.下列命题中的真命题是（）A.锐角大于它的余角B.锐角大于它的补角C.钝角大于它的补角D.锐角与钝角之和等于平角10.已知下列命题：①相等的角是对顶角；②互补的角就是平角；③互补的两个角一定是一个锐角，另一个为钝角；④平行于同一条直线的两直线平行；⑤邻补角的平分线互相垂直．其中，正确命题的个数为（）A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个11.如图，如果AB∥CD，则角α、β、γ之间的关系式为（）A.α＋β＋γ=360ºB.α－β＋γ=180ºC.α＋β＋γ=180ºD.α＋β－γ=180º三、解答题1.如图，在△ABC和△DEF中，B、E、C、F在同一直线上，下面有四个条件，请你在其中选3个作为题设，余下的1个作为结论，写一个真命题，并加以证明．①AB=DE，②AC = DF，③∠ABC=∠DEF，④BE=CF．已知：求证：证明：2.写出下列命题的逆命题，并指出其真假（1）若ab=0，则a=0（2）角平分线上的点到这个角的两边相等（3）等腰三角形两底角相等（4）四边相等的四边形是菱形3.用符号“ ”写出下题的证明过程：已知：CE为△ABC外角∠ACD的平分线，CE交BA的延长线于E．求证：∠BAC＞∠B4.举反例说明下列命题是假命题．（1）如果a+b＞0，那么a＞0，b＞0；（2）面积相等的三角形是全等三角形．（3）4条边相等的四边形是正方形．（4）相等的角是对顶角．（5）两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等．【试题答案】一、填空题1.②，④2. 117°3. 10°4. 120°5. 566.等腰7. PA=PB=PC8. 24二、选择题1. D2. C3. A4. D5. C6. D7. B 8. D 9. C 10. C 11. D三、解答题1.已知：AB=DE，AC=DF，BE=CF求证：∠ABC=∠DEF证明：∵BE=CF∴BE+EC=CF+EC即BC=EF在△ABC和△DEF中AB=DE，AC=DF（已知）BC=EF（已证）∴△ABC≌△DEF（SSS）∴∠ABC=∠DEF（全等三角形对应角相等）2.（1）若a＝0则ab=0，真命题（2）到一个角的两边相等的点在这个角的平分线上，真命题（3）两个角相等的三角形是等腰三角形，真命题（4）菱形的四边相等，真命题3.证明：4.（1）当a=2，时，虽然a+b＞0 但是b=0（2）如图虽然S△ABD=S△ADC，但是△ABD与△ADC不全等（3）如图，菱形四条边相等但是不是正方形（4）如图，∠AOC=∠PQR，但是它们不是对顶角（5）AB=AB，AD=AC，∠B=∠B，但是△ABD与△ABC不全等。
推理与证明
推理与证明主讲：陈逸一周强化一、一周知识概述归纳推理和类比推理是合情推理的常用思维方法，前者是由部分到整体、个别到一般的推理，后者是由特殊到特殊的推理．演绎推理是由一般到特殊的推理，“三段论”是演绎推理的一般模式．数学结论的正确性必须通过逻辑推理的方式加以证明才能得到确认，本节介绍了两类基本的数学证明方法：直接证明与间接证明，要了解这些证明方法的思考过程与特点．二、重难点知识归纳1．合情推理(1)归纳推理①定义由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理（简称归纳）．②归纳推理的特点I．归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理；II．归纳推理的前提是部分的、个别的事实，因此归纳推理的结论超出了前提所界定的范围，其前提和结论之间的联系不是必然性的，而是或然性的，所以“前提真而结论假”的情况是有可能发生的；III．在进行归纳推理的时候，总是先搜集一定的事实材料，有了个别性的、特殊性的事实作为前提，然后才能进行归纳推理，因此归纳推理要在观察和实验的基础上进行．③归纳推理的步骤首先，对有限的资料进行观察、分析、归纳整理；然后，在此基础上提出带有规律性的结论，即猜想；最后，检验这个猜想．(2)类比推理①定义由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理（简称类比）．②类比推理的特点I．类比推理是从特殊到特殊的推理；II．类比推理是从人们已经掌握了的事物的特征，推测正在被研究中的事物的特征，所以类比推理的结果具有猜测性，不一定可靠．III．类比推理以旧的知识作基础，推测新的结果，具有发现的功能．IV．由于类比推理的前提是两类对象之间具有某些可以清楚定义的类似特征，所以进行类比推理的关键是明确指出两类对象在某些方面的类似特征．③类比推理的步骤首先，找出两类对象之间可以确切表述的相似特征；然后，用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征，从而得出一个猜想；最后，检验这个猜想．2．演绎推理．(1)定义从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理．(2)演绎推理的特点演绎推理是由一般到特殊的推理，这也决定了演绎推理的结论不会超出前提所界定的范围，所以其前提和结论之间的联系是必然的．因此，演绎推理只要前提和推理形式正确，结论就必然正确．3．综合法证明不等式的特点从已知条件和某些学过的定义、公理、定理等出发，通过推理得出结论．“顺推证法”或“由因导果法”，是综合法的两种形象化的说法．4．分析法证明不等式的特点要证明结论成立，逐步寻求推证过程中，使每一步结论成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止．“逆推证法”或“执果索因法”，是分析法的两种形象化的说法．5．反证法(1)特点先假设要证的命题不成立，以此为出发点，结合已知条件，经过正确的推理，得出矛盾，由此说明假设错误，从而得到原命题成立．(2)反证法主要适用于以下两种情形：①要证的结论与条件之间的联系不明显，直接由条件推出结论的线索不够清晰；②如果从正面证明，需要分成多种情形进行分类讨论，而从反面进行证明，只要研究一种或很少的几种情形．三、典型例题剖析例1．设，且，若，猜想的个位数字是多少？解析：根据条件可知此为归纳推理．当n=1时，有；当n=2时，有；当n=3时，有；当n=4时，有；据此猜想，得的个位数字是7．例2．在中，已知，求证为直角三角形．分析：条件中即有正弦余弦，又含有边长，那么可以利用正弦余弦定理进行化简．证明：根据正弦定理有，则可化简为，故有．因为，，故，所以cos(B＋C)=0.又，所以．故是直角三角形．例3．平面内的１条直线把平面分成两部分，2条相交直线把平面分成4部分，3条相交但不共点的直线把平面分成7部分，n条彼此相交而无三条共点的直线，把平面分成多少部分？解析：本题是由部分到整体的推理，先把部分的情况都写出来，然后寻找规律，概括出整体的情况．设平面被n条直线分成部分，则当n=1时，=1＋1=2；当n=2时，=1＋1＋2=4；当n=3时，=1＋1＋2＋3=7；当n=4时，=1＋1＋2＋3＋4=11．据此猜想，得．例4．已知0<a<1，0<b<1，0<c<1，求证：b(1－a)，c(1－b)，a(1－c)中不可能都大于．分析：如果直接使用综合法证明，必须要分成若干类别，有一个不大于，有二个不大于，有三个不大于分别予以证明，显然繁琐，而它的反面很简单，全部大于，故用反证法证逆否命题简单明快．证明：假设b(1－a)， c(1－b)，a(1－c)全大于，即b(1－a)＞，c(1－b)＞，a(1－c)＞，，即．①而0<a<1，1－a>0，，同理b(1－b)，c(1－c) ，三式相乘得a(1－a)b(1－b)c(1－c)．②①与②矛盾，故假设不成立．b(1－a)，c(1－b)，a(1－c)中不可能都大于．例5．已知，求证：．分析：这道题目如果直接从条件入手比较麻烦，那么可以利用分析法由结论入手，进而找出一个恒成立的等式即可．证明：要证：．只需证．．只需证．只需证．，成立，原不等式成立．。
高二数学选修2-2：第二章 推理与证明
【例 3】 一直线与△ABC 的边 AB，AC 分别相交于 E，F，则SS△△AABECF ＝AABE··AACF.将平面上的三角形与空间中的三棱锥进行类比，试 推理三棱锥的性质，并给出证明． 解 在三棱锥 S-ABC 中，平面 α 与侧棱 SA，SB，SC 分别相 交于 D，E，F. 则VVSS－－DABECF＝SSDA··SSBE··SSCF. 证明如下：
则当 n＝k＋1 时，2＋2 1·4＋4 1·…·2k2＋k 1·22kk＋＋31
＞ k＋1·22kk＋＋31＝22kk＋＋31.
要证当 n＝k＋1 时结论成立，
只需证 2
2k＋k＋3 1＞
k＋2成立，
只需证：4k2＋12k＋9＞4k2＋12k＋8 成立，显然成立，
∴当 n＝k＋1 时，2＋2 1·4＋4 1·…·2k2＋k 1·22kk＋＋31＞ k＋1＋1成立， 综合①②可知不等式b1b＋1 1·b2b＋2 1·…·bnb＋n 1＞ n＋1成立．
从而只需证 2
a2＋a12≥ 2 a＋1a，
只要证 4a2＋a12≥2a2＋2＋a12，
即 a2＋a12≥2，而上述不等式显然成立，故原不等式成立．
【例5】 如图，在四面体B-ACD中，CB＝CD，AD⊥BD，且E，F 分别是AB，BD的中点，求证： (1)直线EF∥平面ACD； (2)平面EFC⊥平面BCD.
∴AB∥EN. 又AB∥CD∥EF， ∴EN∥EF， 这与EN∩EF＝E矛盾，故假设不成立． ∴ME与BN不共面，即它们是异面直线．
专题四 数学归纳法 1．数学归纳法事实上是一种完全归纳的证明方法，它适用于与自
然数有关的问题．两个步骤、一个结论缺一不可，否则结论不 成立；在证明递推步骤时，必须使用归纳假设，必须进行恒等 变换． 2．探索性命题是近几年高考试题中经常出现的一种题型，此类问 题未给出问题的结论，需要由特殊情况入手，猜想、证明一般 结论，它的解题思路是：从给出条件出发，通过观察、试验、 归纳、猜想、探索出结论，然后再对归纳，猜想的结论进行证 明．
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第3讲推理与证明
【知识要点】
1.归纳推理：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或由个别事实概括出一般结论的推理
2．类比推理是从特殊到特殊的推理，是寻找事物之间的共同或相似性质。
类比的性质相似性越多，相似的性质与推测的性质之间的关系就越相关，从而类比得出的结论就越可靠。
3．类比推理的一般步骤：
①找出两类事物之间的相似性或者一致性。
②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）
【典型例题】
1、（2011•江西）观察下列各式：72=49，73=343，74=2401，…，则72011的末两位数字为（）
A、01
B、43
C、07
D、49
2、（2011•江西）观察下列各式：55=3125，56=15625，57=78125，…，则52011的末四位数字为（）
A、3125
B、5625
C、0625
D、8125
3、（2010•临颍县）平面内平行于同一条直线的两条直线平行，由此类比思维，我们可以得到（）
A、空间中平行于同一平面的两个平面平行
B、空间中平行于同一条直线的两条直线平行
C、空间中平行于同一条平面的两条直线平行
D、空间中平行于同一条直线的两个平面平行
4、（2007•广东）设S是至少含有两个元素的集合，在S上定义了一个二元运算“*”（即对任意的a，b∈S，对于有序元素对（a，b），在S中有唯一确定的元素与之对应）有a*（b*a）=b，则对任意的a，b∈S，下列等式中不恒成立的是（）
A、（a*b）*a=a
B、[a*（b*a）]*（a*b）=a
C、b*（b*b）=b
D、（a*b）*[b*（a*b）]=b
5、（2007•广东）如图是某汽车维修公司的维修点环形分布图．公司在年初分配给A，B，C，D四个维修
点某种配件各50件．在使用前发现需将A，B，C，D四个维修点的这批配件
分别调整为40，45，54，61件，但调整只能在相邻维修点之间进行，那么要
完成上述调整，最少的调动件次（n件配件从一个维修点调整到相邻维修点的
调动件次为n）为（）
A、15
B、16
C、17
D、18
6、（2006•陕西）为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文→密文（加密），接收方由密文→明文（解密），已知加密规则为：明文a，b，c，d对应密文a+2b，2b+c，2c+3d，4d，例如，明文1，2，3，4对应密文5，7，18，16．当接收方收到密文14，9，23，28时，则解密得到的明文为（）
A、4，6，1，7
B、7，6，1，4
C、6，4，1，7
D、1，6，4，7
7、（2006•山东）定义集合运算：A⊙B={z︳z=xy（x+y），x∈A，y∈B}，设集合A={0，1}，B={2，3}，则
集合A⊙B的所有元素之和为（）
A、0
B、6
C、12
D、18
8、（2006•辽宁）设⊕是R上的一个运算，A是V的非空子集，若对任意a，b∈A，有a⊕b∈A，则称A对
运算⊕封闭．下列数集对加法、减法、乘法和除法（除数不等于零）四则运算都封闭的是（）
A、自然数集
B、整数集
C、有理数集
D、无理数集
9、（2006•广东）对于任意的两个实数对（a，b）和（c，d），规定：（a，b）=（c，d），当且仅当a=c，b=d；
运算“⊗”为：（a，b）⊗（c，d）=（ac-bd，bc+ad）；运算“⊕”为：（a，b）⊕（c，d）=（a+c，b+d），设p，q∈R，若（1，2）⊗（p，q）=（5，0），则（1，2）⊕（p，q）=（）
A、（4，0）
B、（2，0）
C、（0，2）
D、（0，-4）
10、（2005•湖南）设f0（x）=sinx，f1（x）=f0′（x），f2（x）=f1′（x），…，f n+1（x）=f n′（x），n∈N，
则f2005（x）=（）
A、sinx
B、-sinx
C、cosx
D、-cosx
11、（2004•安徽）已知数列{an}满足a0=1，a n=a0+a1+…+a n-1 ，n≥1、，则当n≥1时，an=（）
A、2n
B、
C、2n-1
D、2n-1
12、若数列{an}满足a1=1，a2=2，an=（n≥3且n∈N*），则a17=（）
A、1
B、2
C、
D、2-987
13、如图所示的三角形数阵叫“莱布尼兹调和三角形”，有，则运用归纳推理得到第11
行第2个数（从左往右数）为（）
A、B、C、D、
14、根据给出的数塔猜测1 234 567×9+8=（）
1×9+2=11
12×9+3=111
123×9+4=1 111
1 234×9+5=11 111
12 345×9+6=111 111．
A、11111110
B、11111111
C、11111112
D、11111113
15、将n个连续自然数按规律排成右表，根据规律，从2008到2010，箭头方向依次是（）
A、B、C、D、
16、下列推理过程利用的推理方法分别是（）
（1）通过大量试验得出抛硬币出现正面的概率为0.5；
（2）函数f（x）=x2-|x|为偶函数；
（3）科学家通过研究老鹰的眼睛发明了电子鹰眼．
A、演绎推理，归纳推理，类比推理
B、类比推理，演绎推理，类比推理
C、归纳推理，合情推理，类比推理
D、归纳推理，演绎推理，类比推理
17、下列表述正确的是（）
①归纳推理是由部分到整体的推理；
②归纳推理是由一般到一般的推理；
③演绎推理是由一般到特殊的推理；
④类比推理是由特殊到一般的推理；
⑤类比推理是由特殊到特殊的推理．
A、①②③
B、②③④
C、②④⑤
D、①③⑤
18、在古希腊，毕达哥拉斯学派把1，3，6，10，15，21，28，…这些数叫做三角形数，因为这些数对应的
点可以排成一个正三角形，则第n个三角形数为（）
A、n
B、
C、n2-1
D、
1、（2011•陕西）观察下列等式
1=1
2+3+4=9
3+4+5+6+7=25
4+5+6+7+8+9+10=49
照此规律，第五个等式应为5+6+7+8+9+10+11+12+13=81．
2、（2011•陕西）观察下列等式
1=1
2+3+4=9
3+4+5+6+7=25
4+5+6+7+8+9+10=49
…
照此规律，第n个等式为n+（n+1）+（n+2）+…+（3n-2）=（2n-1）2
．
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