推理与证明测试题
经典行测75道逻辑推理题附加详细答案
经典行测75道逻辑推理题附加详细答案【1】假设有一个池塘，里面有无穷多的水。
现有2个空水壶，容积分别为5升和6升。
问题是如何只用这2个水壶从池塘里取得3升的水。
【2】周雯的妈妈是豫林水泥厂的化验员。
一天，周雯来到化验室做作业。
做完后想出去玩。
"等等，妈妈还要考你一个题目，"她接着说，"你看这6只做化验用的玻璃杯，前面3只盛满了水，后面3只是空的。
你能只移动1只玻璃杯，就便盛满水的杯子和空杯子间隔起来吗?" 爱动脑筋的周雯，是学校里有名的"小机灵"，她只想了一会儿就做到了。
请你想想看，"小机灵"是怎样做的?【3】三个小伙子同时爱上了一个姑娘，为了决定他们谁能娶这个姑娘，他们决定用手枪进行一次决斗。
小李的命中率是30％，小黄比他好些，命中率是50％，最出色的枪手是小林，他从不失误，命中率是100％。
由于这个显而易见的事实，为公平起见，他们决定按这样的顺序：小李先开枪，小黄第二，小林最后。
然后这样循环，直到他们只剩下一个人。
那么这三个人中谁活下来的机会最大呢？他们都应该采取什么样的策略？【4】一间囚房里关押着两个犯人。
每天监狱都会为这间囚房提供一罐汤，让这两个犯人自己来分。
起初，这两个人经常会发生争执，因为他们总是有人认为对方的汤比自己的多。
后来他们找到了一个两全其美的办法：一个人分汤，让另一个人先选。
于是争端就这么解决了。
可是，现在这间囚房里又加进来一个新犯人，现在是三个人来分汤。
必须寻找一个新的方法来维持他们之间的和平。
该怎么办呢？按：心理问题，不是逻辑问题【5】在一张长方形的桌面上放了n个一样大小的圆形硬币。
这些硬币中可能有一些不完全在桌面内，也可能有一些彼此重叠；当再多放一个硬币而它的圆心在桌面内时，新放的硬币便必定与原先某些硬币重叠。
请证明整个桌面可以用4n个硬币完全覆盖【6】一个球、一把长度大约是球的直径2/3长度的直尺.你怎样测出球的半径？方法很多，看看谁的比较巧妙【7】五个大小相同的一元人民币硬币。
无锡市民办辅仁高中数学选修2-2第一章《推理与证明》测试题(含答案解析)
一、选择题1．在数学归纳法的递推性证明中，由假设n k =时成立推导1n k =+时成立时，()f n =1+1112321n ++⋅⋅⋅+-增加的项数是( ) A ．1B ．21k +C ．2kD ．21k -2．某个命题与正整数n 有关，如果当()n k k N +=∈时命题成立，那么可推得当1n k =+时命题也成立. 现已知当8n =时该命题不成立，那么可推得 （ ） A ．当7n =时该命题不成立 B ．当7n =时该命题成立 C ．当9n =时该命题不成立D ．当9n =时该命题成立3．某单位实行职工值夜班制度，已知,,,,5A B C D E 共名职工每星期一到星期五都要值一次夜班，且没有两人同时值夜班，星期六和星期日不值夜班，若A 昨天值夜班，从今天起,B C 至少连续4天不值夜班，D 星期四值夜班，则今天是星期几（ ）A ．五B ．四C ．三D ．二4．设函数()nf x '是()n f x 的导函数，0()(cos sin )xf x e x x =+，1()f x '=，2()f x '=，*1())n f x n N '+=∈，则2018()f x =（ ） A ．(cos sin )x e x x + B ．(cos sin )x e x x - C ．(cos sin )x e x x -+ D ．(cos sin )x e x x --5．给出下面四个推理：①由“若a b 、是实数，则+≤+a b a b ”推广到复数中，则有“若12z z 、是复数，则1212z z z z +≤+”；②由“在半径为R 的圆内接矩形中，正方形的面积最大”类比推出“在半径为R 的球内接长方体中，正方体的体积最大”；③以半径R 为自变量，由“圆面积函数的导函数是圆的周长函数”类比推出“球体积函数的导函数是球的表面积函数”；④由“直角坐标系中两点11(,)A x y 、22(,)B x y 的中点坐标为1212(,)22x x y y ++”类比推出“极坐标系中两点11(,)C ρθ、22(,)D ρθ的中点坐标为1212(,)22ρρθθ++”．其中，推理得到的结论是正确的个数有（ ）个 A ．1B ．2C ．3D ．46．德国数学家科拉茨1937年提出了一个著名的猜想：任给一个正整数n ，如果n 是偶数，就将它减半（即2n）；如果n 是奇数，则将它乘3加1（即3n+1），不断重复这样的运算，经过有限步后，一定可以得到1. 对于科拉茨猜想，目前谁也不能证明，也不能否定，现在请你研究：如果对正整数n （首项）按照上述规则施行变换后的第8项为1（注：l 可以多次出现），则n 的所有不同值的个数为 A ．4B ．6C ．8D ．327．在等差数列{}n a 中，如果,,,m n p r N *∈，且3m n p r ++=，那么必有3m n p r a a a a ++=，类比该结论，在等比数列{}n b 中, 如果,,,m n p r N *∈，且3m n p r ++=，那么必有（ ）A ．3++=m n p r b b b bB ．3++=m n p r b b b b C ．3=m n p r b b b bD ．3m n p r b b b b =8．袋子里有编号为2,3,4,5,6的五个球，某位教师从袋中任取两个不同的球. 教师把所取两球编号的和只告诉甲，其乘积只告诉乙，让甲、乙分别推断这两个球的编号. 甲说：“我无法确定.” 乙说：“我也无法确定.”甲听完乙的回答以后，甲又说：“我可以确定了.” 根据以上信息, 你可以推断出抽取的两球中 A ．一定有3号球B ．一定没有3号球C ．可能有5号球D ．可能有6号球9．有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说：“是乙或丙获奖．”乙说：“甲、丙都未获奖．”丙说：“我获奖了．”丁说：“是乙获奖．”四位歌手的话只有两句是对的，则获奖的歌手是（ ） A ．甲 B ．乙C ．丙D ．丁10．用反证法证明“平面四边形中至少有一个内角不超过90︒”，下列假设中正确的是（ ）A ．假设有两个内角超过90︒B ．假设有三个内角超过90︒C ．假设至多有两个内角超过90︒D ．假设四个内角均超过90︒11．在一次连环交通事故中，只有一个人需要负主要责任，但在警察询问时，甲说：“主要责任在乙”；乙说：“丙应负主要责任”；丙说“甲说的对”；丁说：“反正我没有责任”，四人中只有一个人说的是真话，则该事故中需要负主要责任的人是（ ） A ．丁B ．乙C ．丙D ．甲12．一名法官在审理一起珍宝盗窃案时，四名嫌疑人甲、乙、丙、丁的供词如下，甲说：“罪犯在乙、丙、丁三人之中”；乙说：“我没有作案，是丙偷的”；丙说：“甲、乙两人中有一人是小偷”；丁说：“乙说的是事实”．经过调查核实，四人中有两人说的是真话，另外两人说的是假话，且这四人中只有一人是罪犯，由此可判断罪犯是( ) A ．乙B ．甲C ．丁D ．丙二、填空题13．已知f (x )＝21xx +（x ＞0），若f 1(x )＝f (x )，f n +1＝f （f n (x )），n ∈N *，则猜想f 2020(x )＝_____.14．数表的第1行只有两个数字3，7，从第2行开始，先按序照搬上一行的数再在相邻两数之间插入这两个数的和，如下图所示，那么第10行的各个数之和等于__________．15．“开心辞典”中有这样一个问题：给出一组数，要你根据规律填出后面的第几个数．现给出一组数：11315,,,,228432---，…，则第8个数可以是__________．16．刘老师带甲、乙、丙、丁四名学生去西安参加自主招生考试，考试结束后刘老师向四名学生了解考试情况．四名学生回答如下： 甲说：“我们四人都没考好．” 乙说：“我们四人中有人考的好．” 丙说：“乙和丁至少有一人没考好．” 丁说：“我没考好．”结果，四名学生中有两人说对了，则这四名学生中的______________两人说对了． 17．研究cos n α的公式，可以得到以下结论：2cos )22cos )32cos )42cos )22cos )52cos )32cos )62cos )42cos )22cos )72cos )52cos )32cos 2(2,2cos3(3(2cos ),2cos 4(4(2,2cos5(5(5(2cos ),2cos 6(6(9(2,2cos 7(7(14(7(2cos ααααααααααααααααααααα=-=-=-+=-+=-+-=-+-),以此类推：422cos8(2cos )(2cos )(2cos )16(2cos )m p n q r ααααα=++-+，则m n p q r ++++=__________．18．如图所示，在三棱锥S ﹣ABC 中，SA ⊥SB ，SB ⊥SC ，SC ⊥SA ，且SA ，SB ，SC 和底面ABC 所成的角分别为α1，α2，α3，△SBC ，△SAC ，△SAB 的面积分别为S 1，S 2，S 3，类比三角形中的正弦定理，给出空间图形的一个猜想是________．19．观察下列等式：……据此规律，第个等式可为____________________________________．20．用反证法证明“,a b N ∈，ab 可被5整除，那么a ，b 中至少有一个能被5整除”时，应假设_______.三、解答题21．设数列{}n x 各项均为正数，且满足()22221222,n x x x n n n N ++++=+∈，（1）求数列{}n x 的通项公式n x ； （2）已知122311113n n x x x x x x ++++=+++，求n ；（3）试用数学归纳法证明：2122312(1)1n n x x x x x x n +⎡⎤+++<+-⎣⎦．22．用数学归纳法证明：111111111234212122n n n n n-+-+⋯+-=++⋯+-++． 23．已知{}n a 是等差数列,{}n b 是等比数列,11331542,,a b a b a a b ===+=．设,n n n n c a b S =是数列{}n c 的前n 项和．(1)求,n n a b ；(2)试用数学归纳法证明：18(34)2n n S n +=+-⋅．24．已知数列{}n a 满足1a a =，112n na a +=-（*n N ∈）； （1）求2a 、3a 、4a ； （2）猜想数列{}n a 的通项公式； （3）用数学归纳法证明你的猜想； 25．在数列{}n a 中，111,21nn n a a a a +==+，其中1,2,3,n =.（Ⅰ）计算234,,a a a 的值；（Ⅱ）猜想数列{}n a 的通项公式，并用数学归纳法加以证明.26．在数列{}n a 中，112a =，133n n n a a a +=+，求2a 、3a 、4a 的值，由此猜想数列{}n a 的通项公式，并用数学归纳法证明你的猜想．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【解析】分析：分别计算当n k =时，()1?f k = + 1112321k ++⋅⋅⋅+-，当1n k =+成立时， ()1?f k = + 1111123212221k k k k ++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+-+-，观察计算即可得到答案 详解：假设n k =时成立，即()1?f k = + 1112321k ++⋅⋅⋅+- 当1n k =+成立时，()1?f k = + 1111123212221k k k k ++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+-+- ∴增加的项数是()()221212k k k k +---=故选C点睛：本题主要考查的是数学归纳法。
智商测试测试题题目(3篇)
第一章：逻辑推理篇一、判断题（每题5分，共20分）1. 一个人每天都要吃三顿饭，但每天都要少吃一顿，请问这个人每天需要吃几顿饭？答案：这个人每天需要吃三顿饭。
2. 一个人从山顶往下看，发现有两个孩子在山脚下玩，一个孩子手里拿着一个苹果，另一个孩子手里拿着一个橘子。
请问这两个孩子手里分别拿着什么？答案：一个孩子手里拿着一个苹果，另一个孩子手里拿着一个橘子。
3. 一个房间里有5个开关，外面有5盏灯，每个开关对应一盏灯。
现在你只能进房间一次，怎样才能确定哪个开关对应哪盏灯？答案：首先，打开第一个开关，等待一段时间，然后关闭。
接着，打开第二个开关，进入房间，观察灯的状态。
根据灯的状态，可以确定第二个开关对应的灯。
然后，重复这个过程，依次确定每个开关对应的灯。
4. 一个人站在一座桥上，桥的两侧各有一盏灯。
如果桥的两侧灯同时亮起，这个人会如何？答案：这个人会感到桥的两侧灯同时亮起，但实际上他只能看到一侧的灯亮起。
5. 一个人在森林里迷路了，他需要找到一个方向才能走出森林。
他站在一棵树旁边，发现树上有三个鸟巢，一个巢里有三个鸟蛋，另一个巢里有两个鸟蛋，最后一个巢里有一个鸟蛋。
请问这个人应该向哪个方向走？答案：这个人应该向有四个鸟蛋的方向走。
二、选择题（每题5分，共20分）1. 下列哪个数字是质数？A. 15B. 17C. 18答案：B2. 下列哪个图形可以通过旋转90度后与原图形重合？A. 正方形B. 矩形C. 三角形D. 五边形答案：A3. 下列哪个词与其他词不同？A. 鸟B. 鱼C. 蜜蜂D. 狗答案：C4. 下列哪个数字不是3的倍数？A. 9B. 12C. 15D. 18答案：C5. 下列哪个选项是正确的？A. 猫比狗聪明B. 狗比猫聪明C. 猫和狗一样聪明D. 无法确定答案：D三、案例分析题（每题10分，共30分）1. 案例一：一个工厂需要生产一批产品，共有5个工人，每个工人每天可以完成相同数量的产品。
面试逻辑测试题
面试逻辑测试题1. 逻辑推理题题目：一个岛上住着两种人，一种人总是说真话，另一种人总是说谎。
你只能问一个问题来区分这两种人。
请问你会问什么？2. 分类题题目：以下哪些是逻辑谬误的例子？A. 因为所有的狗都是哺乳动物，所以所有的哺乳动物都是狗。
B. 我昨天吃了一个苹果，今天也吃了一个苹果，所以明天我还会吃一个苹果。
C. 因为A是B，B是C，所以A是C。
D. 他总是迟到，所以他不是一个可靠的人。
3. 条件逻辑题题目：如果今天是星期五，那么小明会去打篮球。
今天是星期五，但是小明没有去打篮球。
根据这些信息，以下哪个结论是正确的？A. 小明可能生病了。
B. 小明不喜欢打篮球了。
C. 小明今天有其他事情要做。
4. 分析题题目：一个逻辑学家在前往会议的路上遇到了一个岔路口，每个路口都有一个指示牌，一个指示牌总是说真话，另一个总是说谎。
指示牌A说：“如果你问我哪条路通向会议，我会指向左边。
”指示牌B 说：“不要相信指示牌A，它总是说谎。
”请问哪条路通向会议？5. 数学逻辑题题目：一个数字序列是1, 2, 4, 7, 11... 这个序列的下一个数字是什么？6. 假设题题目：如果所有的鸟都会飞，并且企鹅是一种鸟，那么企鹅会飞吗？7. 逻辑游戏题题目：有五个房子排成一排，每个房子的颜色都不同，并且住在不同颜色房子里的人有不同的国籍。
你能根据以下线索找出谁喝什么饮料，养什么宠物吗？- 英国人住在红色房子里。
- 瑞典人养狗作为宠物。
- 丹麦人喝茶。
- 绿色房子在白色房子的左边。
- 喝咖啡的人住在黄色房子里。
- 住在中间房子里的人喝牛奶。
- 挪威人住在第一间房子。
- 养马的人住在旁边喝咖啡的人的房子里。
8. 悖论题题目：一个著名的悖论是“这句话是假的。
”如果这句话是真的，那么它就是假的；如果这句话是假的，那么它就是真的。
这个悖论说明了什么？9. 决策题题目：你面前有两个按钮，按下第一个按钮你将得到100美元，按下第二个按钮你有50%的机会得到200美元，50%的机会什么也得不到。
推理与证明测试题
推理与证明测试题Newly compiled on November 23, 2020推理与证明测试题一、选择题（本题共20道小题，每小题0分，共0分）1.下列表述正确的是（ ）①归纳推理是由部分到整体的推理；②归纳推理是由一般到一般的推理； ③演绎推理是由一般到特殊的推理；④类比推理是由特殊到一般的推理； ⑤类比推理是由特殊到特殊的推理．A ．②③④B ．①③⑤C ．②④⑤D ．①⑤2.“所有金属都能导电，铁是金属，所以铁能导电，”此推理类型属于（ ） A ．演绎推理 B ．类比推理 C ．合情推理 D ．归纳推理3.证明不等式（a≥2）所用的最适合的方法是（ ）A ．综合法B ．分析法C ．间接证法D ．合情推理法4.用反证法证明“三角形中最多只有一个内角是钝角”的结论的否定是（ ） A ．有两个内角是钝角 B ．有三个内角是钝角 C ．至少有两个内角是钝角D ．没有一个内角是钝角5.已知21×1=2，22×1×3=3×4，23×1×3×5=4×5×6，…，以此类推，第5个等式为（ ） A ．24×1×3×5×7=5×6×7×8B ．25×1×3×5×7×9=5×6×7×8×9C ．24×1×3×5×7×9=6×7×8×9×10D ．25×1×3×5×7×9=6×7×8×9×106.下列三句话按“三段论”模式排列顺序正确的是( ) ①y=cosx（x ∈R ）是三角函数； ②三角函数是周期函数； ③y=cosx（x ∈R ）是周期函数． A ．①②③B ．②①③C ．②③①D ．③②①7.演绎推理“因为0'()0f x =时,x 是f(x)的极值点.而对于函数3(),'(0)0f x x f ==.所以0是函数3()f x x =的极值点. ”所得结论错误的原因是A.大前提错误B.小前提错误C.推理形式错误D.大前提和小前提都错误 8.下面几种推理过程是演绎推理的是（ ）A ．在数列{}n a 中111111,()(2)2n n n a a a n a --==+≥，由此归纳数列{}n a 的通项公式；B ．由平面三角形的性质，推测空间四面体性质；C ．两条直线平行，同旁内角互补，如果A ∠和B ∠是两条平行直线的同旁内角，则180A B ∠+∠=D ．某校高二共10个班，1班51人，2班53人，3班52人，由此推测各班都超过50人。
推理测试题及答案
推理测试题及答案推理测试题1：题目：一个侦探正在调查一起谋杀案。
受害者被发现死在自家的书房里，书房的门是锁着的，窗户也是关闭的，但窗户上的锁是坏的。
侦探发现受害者身上有刀伤，旁边有一把带血的刀。
受害者的宠物猫在房间里，但并没有受伤。
侦探询问了三个人，他们都有不在场证明：- A说：“我整个晚上都在电影院。
”- B说：“我整个晚上都在图书馆。
”- C说：“我整个晚上都在健身房。
”问题：谁可能是凶手？答案：C可能是凶手。
因为猫通常对暴力行为有反应，但房间里的猫没有受伤，说明凶手在猫熟悉的环境中。
健身房是唯一一个可能让猫感到熟悉的地方，因为C经常去那里，猫可能习惯了C的气味。
推理测试题2：题目：在一个小镇上，有五个朋友：Alice, Bob, Charlie, David和Eve。
他们每个人都有不同的职业：医生、律师、教师、工程师和画家。
已知以下信息：- Alice不是医生。
- Bob和David不是同职业。
- Charlie不是工程师。
- 教师和律师住在相邻的房子里。
- Eve不是教师。
问题：每个人的职业是什么？答案：- Alice是律师，因为她不能是医生，且Eve不是教师，所以Alice只能是律师。
- Bob是工程师，因为Charlie不是工程师，且Bob和David不是同职业，所以Bob只能是工程师。
- Charlie是医生，因为Alice不是医生，且Bob是工程师，所以Charlie只能是医生。
- David是教师，因为Bob是工程师，且教师和律师住相邻的房子，Alice是律师，所以David是教师。
- Eve是画家，因为其他职业都已经被确定。
推理测试题3：题目：在一个晚宴上，有四位女士和四位男士坐在一起。
他们分别坐在桌子的两边，每边各四位。
女士们坐在一侧，男士们坐在另一侧。
已知以下信息：- 每位男士旁边都坐着一位女士。
- 穿红色衣服的女士坐在穿蓝色衣服的女士旁边。
- 穿绿色衣服的女士坐在穿黄色衣服的女士对面。
上海华东政法大学附属中学高中数学选修2-2第一章《推理与证明》测试题(答案解析)
一、选择题1．我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的表，即杨辉三角，这是数学史上的一个伟大成就.在“杨辉三角”中，第n 行的所有数字之和为12n -，若去除所有为1的项，依次构成数列2,3,3,4,6,4,5,10,10,5,，则此数列的前55项和为( )A ．4072B ．2026C ．4096D ．20482．观察2'()2x x =，4'3()4x x =，'(cos )sin x x =-，由归纳推理可得：若定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x -=，记()g x 为()f x 的导函数，则()g x -= A ．()f xB ．()f x -C ．()g xD ．()g x -3．甲、乙、丙、丁四个孩子踢球打碎了玻璃．甲说：“是丙或丁打碎的．”乙说：“是丁打碎的．”丙说：“我没有打碎玻璃．”丁说：“不是我打碎的．”他们中只有一人说了谎，请问是（ ）打碎了玻璃． A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁4．2018年暑假期间哈六中在第5届全国模拟联合国大会中获得最佳组织奖，其中甲、乙、丙、丁中有一人获个人杰出代表奖，记者采访时，甲说：我不是杰出个人；乙说：丁是杰出个人；丙说：乙获得了杰出个人；丁说：我不是杰出个人，若他们中只有一人说了假话，则获得杰出个人称号的是( ) A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁5．某个命题与正整数n 有关，如果当()*,n k k N =∈ 时命题成立，那么可推得当1n k =+时命题也成立. 现已知当n=8时该命题不成立，那么可推得 （ ）A ．当n=7时该命题不成立B ．当n=7时该命题成立C ．当n=9时该命题不成立D ．当n=9时该命题成立6．用反证法证明命题①：“已知332p q +=，求证：2p q +≤”时，可假设“2p q +>”；命题②：“若24x =，则2x =-或2x =”时，可假设“2x ≠-或2x ≠”.以下结论正确的是（ ） A ．①与②的假设都错误 B ．①与②的假设都正确 C ．①的假设正确，②的假设错误D ．①的假设错误，②的假设正确7．演绎推理“因为0'()0f x =时，0x 是()f x 的极值点，而对于函数3()f x x =，'(0)0f =，所以0是函数3()f x x =的极值点.”所得结论错误的原因是（ ）A ．大前提错误B ．小前提错误C ．推理形式错误D ．全不正确8．设实数a,b,c满足a+b+c=1,则a,b,c中至少有一个数不小于()A．0 B．13C．12D．19．“干支纪年法”是中国历法上自古以来使用的纪年方法，甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸被称为“十天干”，子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥叫做“十二地支”．“天干”以“甲”字开始，“地支”以“子”字开始，两者按干支顺序相配，组成了干支纪年法，其相配顺序为：甲子、乙丑、丙寅，…，癸酉，甲戌，乙亥，丙子，…，癸未，甲申、乙酉、丙戌，…，癸巳，…，共得到60个组成，周而复始，循环记录，2014年是“干支纪年法”中的甲午年，那么2020年是“干支纪年法”中的（）A．乙亥年B．戊戌年C．庚子年D．辛丑年10．已知甲、乙、丙三人中，一人是数学老师、一人是英语老师、一人是语文老师.若丙的年龄比语文老师大；甲的年龄和英语老师不同；英语老师的年龄比乙小.根据以上情况，下列判断正确的是( )A．甲是数学老师、乙是语文老师、丙是英语老师B．甲是英语老师、乙是语文老师、丙是数学老师C．甲是语文老师、乙是数学老师、丙是英语老师D．甲是语文老师、乙是英语老师、丙是数学老师11．用反证法证明“平面四边形中至少有一个内角不超过90︒”，下列假设中正确的是（）A．假设有两个内角超过90︒B．假设有三个内角超过90︒C．假设至多有两个内角超过90︒D．假设四个内角均超过90︒12．请观察这些数的排列规律，数字1位置在第一行第一列表示为（1,1），数字14位置在第四行第三列表示为（4,3），根据特点推算出数字2019的位置A．（45,44）B．（45,43）C．（45,42）D．该数不会出现二、填空题13．有甲、乙、丙、丁四位学生参加数学竞赛，其中只有一名学生获奖，有其他学生问这四个学生的获奖情况，甲说：“是乙或丙获奖”，乙说：“甲、丙都没有获奖”，丙说：“我获奖了”，丁说：“是乙获奖了”，四位学生的话有且只有两个人的话是对的，则获奖的学生是__________．14．在圆中：半径为r的圆的内接矩形中，以正方形的面积最大，最大值为22r.类比到球中：半径为R的球的内接长方体中，以正方体的体积最大，最大值为__________．15．把一数列依次按第一个括号内一个数，第二个括号内两个数，第三个括号内三个数，第四个括号内一个数，……循环分为(1)，(3，5)，(7，9，11)，(13)，(15，17)，(19，21，23)，(25)，…，则第100个括号内的数为_________．16．古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数，如三角形数1,3,6,10，…，第n个三角形数为22n n+，记第n 个k 边形数为(,)(3)N n k k ≥，以下列出了部分k 边形数中第n 个数的表达式：三角形数：211(,3)22N n n n =+；正方形数：2(,4)N n n =；五边形数：231(,5)22N n n n =-；六边形数：2(,6)2N n n n =-，…，由此推测(8,8)N =__________．17．黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案：则第个图案中有白色地面砖 块. 18．在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝31nn a a + (n ∈N *)，可以猜测数列通项a n 的表达式为________.19．面积为S 的平面凸四边形的第i 条边的边长记为(1,2,3,4)i a i =，此四边形内任一点P 到第i 条边的距离记为，若31241234a a a a k ====，则12342234Sh h h h k+++=．类比以上性质，体积为V 的三棱锥的第i 个面的面积记为(1,2,3,4)i S i =，此三棱锥内任一点Q 到第i 个面的距离记为(1,2,3,4)i H i =，若31241234S S S S K ====，则1234234H H H H +++等于_____________． 20．用数学归纳法证明某命题时，左式为（n 为正偶数），从“n=2k”到“n=2k+2”左边需增加的代数式为________.三、解答题21．已知数列{}n a 满足：12a =，1(1)(1)n n na n a n n +=+++，*n N ∈. （1）求证：数列{}na n为等差数列，并求出数列{}n a 的通项公式； （2）记2(1)n nb n a =+（*n N ∈），用数学归纳法证明：12211(1)n b b b n +++<-+，*n N ∈22．已知数列{}n a 满足关系式()10a a a =>，()1122,1n n n a a n n N a --=≥∈+. （1）用a 表示2a ，3a ，4a ；（2）根据上面的结果猜想用a 和n 表示n a 的表达式，并用数学归纳法证之. 23．（1）已知数列{}n a 通项公式为()12n n n a +=，写出数列前5项. （2）记数列3333331,2,3,4,5,,,n 的前n 项和为n S ，写出n S 的前5项并归纳出nS 的计算公式.（3）选择适当的方法对（2）中归纳出的公式进行证明. 24．正项数列{}n a 的前n 项和n S满足1n a n =-. （Ⅰ）求1a ，2a ，3a ；（Ⅱ）猜想{}n a 的通项公式，并用数学归纳法证明. 25．设数列{}n a 满足关系式：12a p ，212nn p a p a （p 是常数）．(1)求234,,a a a ；(2)猜想{}n a 的通项公式，并证明． 26．已知数列{}11,2n a a =，133n n na a a +=+. （1）求2345,,,a a a a 的值；（2）猜想数列{n a }的通项公式，并用数学归纳法证明.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【分析】利用n 次二项式系数对应杨辉三角形的第n +1行，然后令x ＝1得到对应项的系数和，结合等比数列和等差数列的公式进行转化求解即可． 【详解】解：由题意可知：每一行数字和为首项为1，公比为2的等比数列，则杨辉三角形的前n 项和为S n 1212n-==-2n ﹣1，若去除所有的为1的项，则剩下的每一行的个数为1，2，3，4，……，可以看成构成一个首项为1，公差为1的等差数列， 则T n ()12n n +=，可得当n ＝10，所有项的个数和为55， 则杨辉三角形的前12项的和为S 12＝212﹣1， 则此数列前55项的和为S 12﹣23＝4072， 故选A ． 【点睛】本题主要考查归纳推理的应用，结合杨辉三角形的系数与二项式系数的关系以及等比数列等差数列的求和公式是解决本题的关键，综合性较强，难度较大．2．D解析：D 【解析】由归纳推理可知偶函数的导数是奇函数，因为()f x 是偶函数，则()()g x f x '=是奇函数，所以()()g x g x -=-，应选答案D ．3．D解析：D 【分析】假设其中一个人说了谎，针对其他的回答逐个判断对错即可，正确答案为丁． 【详解】假设甲打碎玻璃，甲、乙说了谎，矛盾， 假设乙打碎了玻璃，甲、乙说了谎，矛盾， 假设丙打碎了玻璃，丙、乙说了谎，矛盾， 假设丁打碎了玻璃，只有丁说了谎，符合题意， 所以是丁打碎了玻璃； 故选：D 【点睛】本题考查了进行简单的合情推理，采用逐一检验的方法解题，属基础题．4．B解析：B 【分析】分别假设甲、乙、丙、丁获得冠军，看是否满足“只有一人说了假话，”，即可得出结果. 【详解】若甲获个人杰出代表奖，则甲、乙、丙三人同时回答错误，丁回答正确，不满足题意； 若乙获个人杰出代表奖，则甲、丙，丁回答正确，只有乙回答错误，满足题意； 若丙获个人杰出代表奖，则乙、丙回答错误，甲、丁回答正确，不满足题意； 若丁获个人杰出代表奖，则甲、乙回答正确，丙、丁回答错误，不满足题意， 综上，获得杰出代表奖的是乙，故选B.【点睛】本题主要考查推理案例，属于难题.推理案例的题型是高考命题的热点，由于条件较多，做题时往往感到不知从哪里找到突破点，解答这类问题，一定要仔细阅读题文，逐条分析所给条件，并将其引伸，找到各条件的融汇之处和矛盾之处，多次应用假设、排除、验证，清理出有用“线索”，找准突破点，从而使问题得以解决.5．A解析：A 【解析】分析：本题考查的知识点是数学归纳法，由归纳法的性质，我们由P （n ）对n=k 成立，则它对n=k+1也成立，由此类推，对n ＞k 的任意整数均成立，结合逆否命题同真同假的原理，当P （n ）对n=k 不成立时，则它对n=k-1也不成立，由此类推，对n ＜k 的任意正整数均不成立，由此不难得到答案．详解：由题意可知，原命题成立则逆否命题成立， P （n ）对n=8不成立，P （n ）对n=7也不成立， 否则n=7时成立，由已知推得n=8也成立． 与当n=7时该命题不成立矛盾 故选：A ．点睛：当P （n ）对n=k 成立，则它对n=k+1也成立，由此类推，对n ＞k 的任意整数均成立；结合逆否命题同真同假的原理，当P （n ）对n=k 不成立时，则它对n=k-1也不成立，由此类推，对n ＜k 的任意正整数均不成立．6．C解析：C 【解析】分析：利用命题的否定的定义判断即可.详解：①2p q +≤的命题否定为2p q +>，故①的假设正确.2x =-或2x =”的否定应是“2x ≠-且2x ≠”② 的假设错误，所以①的假设正确，②的假设错误，故选C.点睛：本题主要考查反证法，命题的否定，属于简单题. 用反证法证明时，假设命题为假，应为原命题的全面否定.7．A解析：A 【解析】分析：要分析一个演绎推理是否正确，主要观察所给的大前提，小前提和结论及推理形式是否都正确，根据这几个方面都正确，才能得到这个演绎推理正确．根据三段论进行判断即可得到结论.详解：演绎推理““因为()0'0f x =时，0x 是()f x 的极值点，而对于函数()3f x x =，()'00f =，所以0是函数()3f x x =的极值点.”中，大前提：()0'0f x =时，f x '（）在0x 两侧的符号如果不相反，则0x 不是()f x 的极值点，故错误，故导致错误的原因是：大前提错误， 故选：A ．点睛：本题考查演绎推理，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题8．B解析：B 【解析】∵三个数a ，b ，c 的和为1，其平均数为13∴三个数中至少有一个大于或等于13假设a ，b ，c 都小于13，则1a b c ++< ∴a ，b ，c 中至少有一个数不小于13故选B.9．C解析：C 【解析】2015年是“干支纪年法”中的乙未年，2016年是“干支纪年法”中的丙申年，那么2017年是“干支纪年法”中的丁酉年，2018是戊戌年，2019年是己亥年，以此类推记得到2020年是庚子年． 故答案为C ．10．C解析：C 【解析】丙的年龄比语文老师大，则丙是数学老师或英语老师，不是语文老师；甲的年龄和英语老师不同，则甲是数学老师或语文老师，不是英语老师；选项B 错误； 英语老师的年龄比乙小，则乙是数学老师或语文老师，不是英语老师；选项D 错误； 选项A 中，英语老师的年龄比乙大，选项A 错误； 据此可得：甲是语文老师、乙是数学老师、丙是英语老师. 本题选择C 选项.11．D解析：D 【解析】“至少有一个内角不超过90︒”的反面含义为“四个内角没有一个不超过90︒”,即四个内角均超过90︒,选D.12．C解析：C 【分析】由所给数的排列规律得到第n 行的最后一个数为2n ，然后根据2452025=可推测2019所在的位置． 【详解】由所给数表可得，每一行最后一个数为2221,2,3,，由于22441936,452025==，2244201945<<， 所以故2019是第45行的倒数第4个数， 所以数字2019的位置为（45,42）． 故选C ． 【点睛】（1）数的归纳包括数字归纳和式子归纳，解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识． （2）解决归纳推理问题的基本步骤①发现共性，通过观察特例发现某些相似性(特例的共性或一般规律)； ②归纳推理，把这种相似性推广为一个明确表述的一般命题(猜想)．二、填空题13．丙【解析】分析：分别假设甲乙丙丁的一个人获奖分析四个人的话能求出获奖的同学详解：若甲获奖则都说了假话不符合题意若乙获奖则甲乙丁说了真话丙说了假话不符合题意若丁获奖则甲丙丁说假话乙说真话不符合题意故丙解析：丙【解析】分析：分别假设甲，乙，丙，丁的一个人获奖，分析四个人的话，能求出获奖的同学详解：若甲获奖，则都说了假话，不符合题意若乙获奖，则甲，乙，丁说了真话，丙说了假话，不符合题意 若丁获奖，则甲，丙，丁说假话，乙说真话，不符合题意 故丙获奖点睛：本题是一个简单的合情推理题，主要考查了合情推理的含义和作用。
(必考题)高中数学高中数学选修2-2第一章《推理与证明》测试题(包含答案解析)(3)
一、选择题1．数学归纳法证明*1111(1,)n 1n 2n 2n n N n +++>>∈+++，过程中由n k =到1n k =+时，左边增加的代数式为（ ）A ．122k +B ．121k + C ．11+2122++k k D ．112k 12k 2++－ 2．正四面体ABCD 的棱AD 与平面α所成角为θ，其中02πθ<<，点D 在平面α内，则当四面体ABCD 转动时（ ）A ．存在某个位置使得BC α，也存在某个位置使得BC α⊥B ．存在某个位置使得BC α，但不存在某个位置使得BC α⊥ C ．不存在某个位置使得BC α，但存在某个位置使得BC α⊥D ．既不存在某个位置使得BC α，也不存在某个位置使得BC α⊥ 3．用反证法证明某命题时，对其结论“a ，b 都是正实数”的假设应为（ ） A ．a ，b 都是负实数B ．a ，b 都不是正实数C ．a ，b 中至少有一个不是正实数D ．a ，b 中至多有一个不是正实数4．给出下面四个推理：①由“若a b 、是实数，则+≤+a b a b ”推广到复数中，则有“若12z z 、是复数，则1212z z z z +≤+”；②由“在半径为R 的圆内接矩形中，正方形的面积最大”类比推出“在半径为R 的球内接长方体中，正方体的体积最大”；③以半径R 为自变量，由“圆面积函数的导函数是圆的周长函数”类比推出“球体积函数的导函数是球的表面积函数”；④由“直角坐标系中两点11(,)A x y 、22(,)B x y 的中点坐标为1212(,)22x x y y ++”类比推出“极坐标系中两点11(,)C ρθ、22(,)D ρθ的中点坐标为1212(,)22ρρθθ++”．其中，推理得到的结论是正确的个数有（ ）个 A ．1B ．2C ．3D ．45．“杨辉三角形”是古代重要的数学成就，它比西方的“帕斯卡三角形”早了300多年，如图是三角形数阵，记n a 为图中第n 行各个数之和，则411a a +的值为A ．528B ．1032C ．1040D ．20646．有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说：“是乙或丙获奖．”乙说：“甲、丙都未获奖．”丙说：“我获奖了．”丁说：“是乙获奖．”四位歌手的话只有两句是对的，则获奖的歌手是（ ） A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁7．圆有6条弦，两两相交，这6条弦将圆最多分割成( )个部分 A ．16 B ．21 C ．22 D ．238．数学老师给同学们出了一道证明题，以下四人中只有一人说了真话，只有一人会证明此题，甲：我不会证明；乙：丙会证明；丙：丁会证明；丁：我不会证明.根据以上条件，可以判定会证明此题的人是( ) A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁9．定义*A B ，*B C ，*C D ，*D A 的运算分别对应下面图中的⑴，⑵，⑶，⑷，则图中⑸，⑹对应的运算是( )A ．*B D ，*A D B ．*B D ，*AC C ．*B C ，*AD D ．*C D ，*A D10．由圆心与弦（非直径）中点的连线垂直于弦，想到球心与截面圆（不经过球心的小截面圆）圆心的连线垂直于截面，用的是（ ）A ．类比推理B ．三段论推理C ．归纳推理D ．传递性推理 11．根据给出的数塔猜测12345697⨯+（ ）19211⨯+=1293111⨯+= 123941111⨯+= 12349511111⨯+= 1234596111111⨯+=…A ．1111111B ．1111110C ．1111112D ．111111312．设十人各拿一只水桶，同到水龙头前打水，设水龙头注满第i (i ＝1，2，…，10)个人的水桶需T i 分钟，假设T i 各不相同，当水龙头只有一个可用时，应如何安排他(她)们的接水次序，使他(她)们的总的花费时间(包括等待时间和自己接水所花费的时间)最少( ) A ．从T i 中最大的开始，按由大到小的顺序排队B ．从T i 中最小的开始，按由小到大的顺序排队C ．从靠近T i 平均数的一个开始，依次按取一个小的取一个大的的摆动顺序排队D ．任意顺序排队接水的总时间都不变二、填空题13．观察如图等式，照此规律，第n 个等式为______.11234934567254567891049=++=++++=++++++=14．在圆中：半径为r 的圆的内接矩形中，以正方形的面积最大，最大值为22r .类比到球中：半径为R 的球的内接长方体中，以正方体的体积最大，最大值为__________． 15．某次高三英语听力考试中有5道选择题，每题1分，每道题在三个选项中只有一个是正确的.下表是甲、乙、丙三名同学每道题填涂的答案和这5道题的得分：1 2 3 4 5 得分甲 4 乙 3 丙2则甲同学答错的题目的题号是__________．16．黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案：则第个图案中有白色地面砖 块.17．在探究实系数一元二次方程的根与系数的关系时，可按下述方法进行： 设实系数一元二次方程22100a x a x a ++=……①在复数集C 内的根为1x ，2x ，则方程①可变形为()()2120a x x x x --=， 展开得()222122120a x a x x x a x x -++=.……②比较①②可以得到：11220122a x x a a x x a ⎧+=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩类比上述方法，设实系数一元n 次方程11100nn n n a x a xa x a --++++=（2n ≥且*N n ∈）在复数集C 内的根为1x ，2x ，…，n x ，则这n 个根的积1ni i x ==∏ __________．18．观察下列等式： （1）24sin sin 033ππ+= （2）2468sin sin sin sin 05555ππππ+++= （3）2468sinsin sin sin 7777ππππ+++1012sin sin 077ππ++= …… …… …… …… …… ……由以上规律推测，第n 个等式为：__________．19．小明在做一道数学题目时发现：若复数111cos i?sin ?,z αα=+222 cos i?sin ,z αα=+，333cos i?sin z αα=+(其中123,,R ααα∈), 则121212cos()i?sin(+)z z αααα⋅=++，232323cos()i?sin(+)z z αααα⋅=++ ，根据上面的结论，可以提出猜想: z 1·z 2·z 3=__________________． 20．观察下列各式：0014C =011334C C +=01225554;C C C ++=0123377774C C C C +++=……照此规律，当n ∈N 时，012121212121n n n n n C C C C -----++++=______________.三、解答题21．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，对任意*n ∈N 都有2132n n S n a =+． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记*4()n n b a n N =+∈*1)nn N b ++<∈ 22．已知数列{}n a 满足11a =,1(5)5n n n a a a ++=. （1）计算234,,a a a 的值,猜想数列{}n a 的通项公式; （2）用数学归纳法证明（1）中的猜想. 23．已知数列1111,,,,,112123123n+++++++，其前n 项和为n S ；（1）计算1234,,,S S S S ；（2）猜想n S 的表达式，并用数学归纳法进行证明.24．（1）当1x >时，求2()1x f x x =-的最小值.（2）用数学归纳法证明：11111222n n n +++≥++*()n N ∈. 25．在数列{}n a 中，111,21nn n a a a a +==+，其中1,2,3,n =.（Ⅰ）计算234,,a a a 的值；（Ⅱ）猜想数列{}n a 的通项公式，并用数学归纳法加以证明. 26．已知()()()()20121111nnn x a a x a x a x +=+-+-++-（2,*n n N ≥∈），（1）当5n =时，求12345a a a a a ++++的值； （2）设2233,2n n n n a b T b b b -==+++，试用数学归纳法证明：当2n ≥时，()()113n n n n T +-=。
(常考题)北师大版高中数学高中数学选修2-2第一章《推理与证明》测试(有答案解析)(4)
一、选择题1．某快递公司的四个快递点,,,A B C D 呈环形分布（如图所示），每个快递点均已配备快递车辆10辆．因业务发展需要，需将,,,A B C D 四个快递点的快递车辆分别调整为5,7,14,14辆，要求调整只能在相邻的两个快递点间进行，且每次只能调整1辆快递车辆，则A ．最少需要8次调整，相应的可行方案有1种B ．最少需要8次调整，相应的可行方案有2种C ．最少需要9次调整，相应的可行方案有1种D ．最少需要9次调整，相应的可行方案有2种2．如图，第(1)个图案由1个点组成，第(2)个图案由3个点组成，第(3)个图案由7个点组成，第(4)个图案由13个点组成，第(5)个图案由21个点组成，……，依此类推，根据图案中点的排列规律,第50个图形由多少个点组成（ ）A ．2450B ．2451C ．2452D ．2453 3．观察下列各式：a+b=1.a 2+b 2=3，a 3+b 3=4 ，a 4+b 4=7,a 5+b 5=11,…，则a 10+b 10=（ ）A ．28B ．76C ．123D ．1994．设,,(0,1)a b c ∈，则1a b +，1b c +，1c a+（ ） A ．都不大于2 B ．都不小于2 C ．至少有一个不大于2D ．至少有一个大于25．下面几种推理过程是演绎推理的是 （ ）．A ．某校高三有8个班，1班有51人，2班有53人，3班有52人，由此推测各班人数都超过50人B ．由三角形的性质，推测空间四面体的性质C ．平行四边形的对角线互相平分,菱形是平行四边形,所以菱形的对角线互相平分D ．在数列{a n }中，a 1＝1,23a =,36a =,410a =，由此归纳出{a n }的通项公式 6．期末考试结束后，甲、乙、丙、丁四位同学预测数学成绩甲：我不能及格. 乙：丁肯定能及格. 丙：我们四人都能及格.丁：要是我能及格，大家都能及格.成绩公布后，四人中恰有一人的预测是错误的，则预测错误的同学是（ ） A ．甲 B ．乙 C ．丙 D ．丁7．设函数()nf x '是()n f x 的导函数，0()(cos sin )xf x e x x =+，01()()2f x f x '=，12()(),2f x f x '=，*1()()()2n n f x f x n N '+=∈，则2018()f x =（ ） A ．(cos sin )x e x x + B ．(cos sin )x e x x - C ．(cos sin )x e x x -+D ．(cos sin )x e x x --8．演绎推理“因为0'()0f x =时，0x 是()f x 的极值点，而对于函数3()f x x =，'(0)0f =，所以0是函数3()f x x =的极值点.”所得结论错误的原因是（ ）A ．大前提错误B ．小前提错误C ．推理形式错误D ．全不正确9．若实数,,a b c 满足1a b c ++=，给出以下说法：①,,a b c 中至少有一个大于13；②,,a b c 中至少有一个小于13；③,,a b c 中至少有一个不大于1；④,,a b c 中至少有一个不小于14.其中正确说法的个数是（ ） A ．3B ．2C ．1D ．010．圆周率是指圆的周长与圆的直径的比值，我国南北朝时期的数学家祖充之用“割圆术”将圆周率算到了小数后面第七位，成为当时世界上最先进的成就，“割圆术”是指用圆的内接正多边形的周长来近似替代圆的周长，从正六边形起算，并依次倍增，使误差逐渐减小，如图所示，当圆的内接正多边形的边数为720时，由“割圆术”可得圆周率的近似值可用代数式表示为（ ）A ．0720sin1B ．0720sin 0.5C ．0720sin 0.25D ．0720sin 0.12511．有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说：“是乙或丙获奖．”乙说：“甲、丙都未获奖．”丙说：“我获奖了．”丁说：“是乙获奖．”四位歌手的话只有两句是对的，则获奖的歌手是（ ）A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁12．“杨辉三角”又称“贾宪三角”，是因为贾宪约在公元1050年首先使用“贾宪三角”进行高次开方运算，而杨辉在公元1261年所著的《详解九章算法》一书中，记录了贾宪三角形数表，并称之为“开方作法本源”图．下列数表的构造思路就源于“杨辉三角”．该表由若干行数字组成，从第二行起，每一行中的数字均等于其“肩上”两数之和，表中最后一行仅有一个数，则这个数是 （ ）2017 2016 2015 2014……6 5 4 3 2 1 4033 4031 4029…………11 9 7 5 3 8064 8060………………20 16 12 8 16124……………………36 28 20 ……………………… A ．201620172⨯ B ．201501822⨯ C ．201520172⨯D ．201601822⨯二、填空题13．点()00,x y 到直线0Ax By c ++=的距离公式为0022Ax By c d A B++=+,通过类比的方法，可求得：在空间中，点()1,1,2到平面230x y z +++=的距离为___.14．如图所示为计算机科学中的蛇形模型，则第20行从左到右第4个数字为__________．15．把一数列依次按第一个括号内一个数，第二个括号内两个数，第三个括号内三个数，第四个括号内一个数，……循环分为(1)，(3，5)，(7，9，11)，(13)，(15，17)，(19，21，23)，(25)，…，则第100个括号内的数为_________．16．某成品的组装工序流程图如图所示，箭头上的数字表示组装过程中所需要的时间（小时），不同车间可同时工作，同一车间不能同时做两种或两种以上的工作，则组装该产品所需要的最短时间是__________小时．17．黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案：则第个图案中有白色地面砖 块.18．研究问题：“已知关于x 的不等式20ax bx c -+>的解集为(1,2)，解关于x 的不等式20cx bx a -+>”，有如下解法：由22110()()0ax bx c a b c x x-+>⇒-+>，令1y x=，则1(,1)2y ∈，所以不等式20cx bx a -+>的解集为1(,1)2，类比上述解法，已知关于x 的不等式0k x b x a x c ++<++的解集为(2,1)(2,3)--⋃，则关于x 的不等式1011kx bx ax cx -+<--的解集为__________.19．有三张卡片，分别写有1和2,1和3,2和3.甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是________．20．有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说“是乙或丙获奖.”乙说：“甲、丙都未获奖.”丙说：“我获奖了”.丁说：“是乙获奖.”四位歌手的话只有两句是对的，则获奖的歌手是__________．三、解答题21．在数列{}n a 中，11a =，()*121n n n a a n N n++=+∈. （1）求2a 、3a 、4a 的值；（2）猜想{}n a 的通项公式，并用数学归纳法证明. 22．将下列问题的解答过程补充完整．依次计算数列1，121++，12321++++，1234321++++++，…的前四项的值，由此猜测123(1)(1)321n a n n n =++++-++-++++的有限项的表达式，并用数学归纳法加以证明． 解：计算 11=，1214++=，12321++++= ① ，1234321++++++= ② ，由此猜想123(1)(1)321n a n n n =++++-++-++++= ③ ．（*）下面用数学归纳法证明这一猜想．（i ）当1n =时，左边1=，右边1=，所以等式成立． （ⅱ）假设当(,1)n k k k *=∈N ≥时，等式成立，即 123(1)(1)321k a k k k =++++-++-++++= ④ ．那么，当1n k =+时，1k a += ⑤k a =+ ⑥= ⑦ ．等式也成立．根据（i ）和（ⅱ）可以断定，（*）式对任何n *∈N 都成立． 23．用数学归纳法证明11111112324n n n n n +++⋅⋅⋅+>++++*()n N ∈. 24．某少数民族的刺绣有着悠久的历史，图（1）、（2）、（3）、（4）为她们刺绣最简单的四个图案，这些图案都由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮，现按同样的规律刺绣（小正方形的摆放规律相同），设第n 个图形包含()f n 个小正方形.（Ⅰ）求出()5f ；（Ⅱ）利用合情推理的“归纳推理思想”归纳出()1f n +与()f n 的关系式，并根据你得到的关系式求()f n 的表达式.25．已知,a b ∈R ，且1a b +=求证：()()2225222a b +++≥. 26．已知数列{}11,2n a a =，133n n n a a a +=+. （1）求2345,,,a a a a 的值；（2）猜想数列{n a }的通项公式，并用数学归纳法证明.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】先阅读题意，再结合简单的合情推理即可得解． 【详解】（1）A→D 调5辆，D→C 调1辆，B→C 调3辆，共调整：5＋1＋3＝9次， （2）A→D 调4辆，A→B 调1辆，B→C 调4辆，共调整：4＋1＋4＝9次， 故选D【点睛】本题考查了阅读能力及简单的合情推理，属中档题．2．B解析：B 【解析】 【分析】设第n 个图案的点的个数为n a ，由图归纳可得()121,1n n a a n n --=--个式子相加,由等差数列的求和公式可得结果. 【详解】设第n 个图案的点的个数为n a ，由题意可得123451,3,7,13,21a a a a a =====， 故213243542,4,6,8,...a a a a a a a a -=-=-=-=， 由此可推得()121n n a a n --=-，以上1n -个式子相加可得：()()()()()2132431...246...21n n a a a a a a a a n --+-+-++-=++++-,化简可得()()()1222112n n n a n n -+--==-，故()11n a n n =-+， 故50504912451a =⨯+=，即第50个图形由2451个点组成，故选B . 【点睛】本题主要考查归纳推理以及等差数列的求和公式，属于中档题.归纳推理的一般步骤: 一、通过观察个别情况发现某些相同的性质. 二、从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想）. 常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类：(1) 数的归纳包括数的归纳和式子的归纳，解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列、等比数列等；(2) 形的归纳主要包括图形数目的归纳和图形变化规律的归纳.3．C解析：C 【详解】由题观察可发现，347,4711,71118+=+=+=， 111829,182947+=+=，294776,4776123+=+=，即1010123a b +=, 故选C.考点：观察和归纳推理能力.4．D解析：D 【解析】分析:利用举反例和反证法证明每一个命题，即得正确答案. 详解:因为1116a b c b c a+++++>与都不大于2矛盾,所以A 错误. 若1315,,2,343a b a b ==+=<所以B 错误. 若111,,,222a b c <<<则a>2,b>2,c>2,所以C 错误. 故答案为D 点睛：（1）本题主要考查推理证明和反证法，意在考查学生对这些基础知识的掌握水平和分析推理能力.(2)对于含有“至少”“至多”等概念的命题常用反证法.5．C解析：C 【解析】分析：根据归纳推理、类比推理、演绎推理得概念判断选择.详解：某校高三有8个班，1班有51人，2班有53人，3班有52人，由此推测各班人数都超过50人,这个是归纳推理；由三角形的性质，推测空间四面体的性质，是类比推理；平行四边形的对角线互相平分,菱形是平行四边形,所以菱形的对角线互相平分，是演绎推理；在数列{a n }中，a 1＝1,23a =,36a =,410a =，由此归纳出{a n }的通项公式，是归纳推理，因此选C.点睛：本题考查归纳推理、类比推理、演绎推理，考查识别能力.6．A解析：A【解析】分析：若甲预测正确，显然导出矛盾．详解：若甲预测正确，则乙，丙 ， 丁都正确，乙：丁肯定能及格.丙：我们四人都能及格.丁：要是我能及格，大家都能及格.，即四人都及格显然矛盾， 故甲预测错误. 故选A.点睛：本题考查推理与论证，根据已知分别假设得出矛盾进而得出是解题关键．7．B解析：B 【解析】分析：易得到f n （x ）表达式以8为周期，呈周期性变化，由于2018÷8余2，故f 2008（x ）= f 2（x ），进而得到答案详解：∵f 0（x ）=e x （cosx+sinx ），∴f 0′（x ）=e x （cosx+sinx ）+e x （﹣sinx+cosx ）=2e x cosx ， ∴f1（x ）'f x x cosx ，∴f1′（x ）x （cosx ﹣sinx ）， ∴f 2（x ）'f x =e x （cosx ﹣sinx ），∴f 2′（x ）=e x （cosx ﹣sinx ）+e x （﹣sinx ﹣cosx ）=﹣2e x sinx ， ∴f3（x ）=x sinx ， ∴f3′（x ）=x （sinx+cosx ）， ∴f 4（x ）=﹣e x （cosx+sinx ）， ∴f 4′（x ）=﹣2e x cosx ， ∴f5（x ）=x cosx ， ∴f 6（x ）=﹣e x （cosx ﹣sinx ）， ∴f7（x ）x sinx ， ∴f 8（x ）=e x （cosx+sinx ）， …，∴()2018f x == f 2（x ）=()cos sin xe x x -，故选：B ．点睛：本题通过观察几个函数解析式，归纳出一般规律来考查归纳推理，属于中档题.归纳推理的一般步骤: 一、通过观察个别情况发现某些相同的性质. 二、从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想）. 常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类：(1) 数的归纳包括数的归纳和式子的归纳，解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列、等比数列等；(2) 形的归纳主要包括图形数目的归纳和图形变化规律的归纳.8．A解析：A 【解析】分析：要分析一个演绎推理是否正确，主要观察所给的大前提，小前提和结论及推理形式是否都正确，根据这几个方面都正确，才能得到这个演绎推理正确．根据三段论进行判断即可得到结论.详解：演绎推理““因为()0'0f x =时，0x 是()f x 的极值点，而对于函数()3f x x =，()'00f =，所以0是函数()3f x x =的极值点.”中，大前提：()0'0f x =时，f x '（）在0x 两侧的符号如果不相反，则0x 不是()f x 的极值点，故错误，故导致错误的原因是：大前提错误， 故选：A ．点睛：本题考查演绎推理，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题9．B解析：B 【解析】分析：根据反证法思想方法，可判定③④是正确的，通过举例子，可判定①②是错误的. 详解：由题意,,a b c 满足1a b c ++=， 则在①、②中，当13a b c ===时，满足1a b c ++=，所以命题不正确； 对于③中，假设,,a b c 三个数列都大于1，则1a b c ++>，这与已知条件是矛盾的，所以假设不成立，则,,a b c 中失少有一个不大于1，所以是正确的； 对于④中，假设,,a b c 三个数列都小于14，则1a b c ++<，这与已知条件是矛盾的，所以假设不成立，则,,a b c 中失少有一个不小于14，所以是正确的； 综上可知，正确的命题由两个，故选B.点睛：本题主要考查了 命题个数的真假判定，其中解答中涉及反证法的思想的应用，着重考查了分析问题和解答问题的能力.10．C解析：C 【解析】 设圆的半径为1，正多边形的圆心角为3600.5720︒︒=，边长为2sin0.25︒==，所以7202sin0.252π︒⨯=，即0π720sin0.25=故选：C11．C解析：C 【详解】若甲是获奖的歌手，则四句全是假话，不合题意；若乙是获奖的歌手，则甲、乙、丁都说真话，丙说假话，与题意不符； 若丁是获奖的歌手，则甲、丁、丙都说假话，丙说真话，与题意不符； 当丙是获奖的歌手，甲、丙说了真话，乙、丁说了假话，与题意相符. 故选C.点睛：本题主要考查的是简单的合情推理题，解决本题的关键是假设甲、乙、丙、丁分别是获奖歌手时的，甲乙丙丁说法的正确性即可.12．B解析：B 【分析】数表的每一行都是等差数列，从右到左，第一行公差为1，第二行公差为2，第三行公差为4，…，第2015行公差为22014，第2016行只有M ，由此可得结论． 【详解】由题意，数表的每一行都是等差数列，从右到左，且第一行公差为1，第二行公差为2，第三行公差为4，…，第2015行公差为22014， 故从右到左第1行的第一个数为：2×2﹣1， 从右到左第2行的第一个数为：3×20， 从右到左第3行的第一个数为：4×21， …从右到左第n 行的第一个数为：（n+1）×2n ﹣2，第2017行只有M ，则M=（1+2017）•22015=2018×22015 故答案为：B ． 【点睛】本题主要考查归纳与推理，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.二、填空题13．【解析】分析：根据平面内点到直线的距离公式类比得到空间中点到平面的距离公式即可详解：类比点到直线的距离可知在空间中点到平面的距离故答案是点睛：该题考查的是类比推理利用平面内点到直线的距离公式类比着得【解析】分析：根据平面内点到直线的距离公式类比得到空间中点到平面的距离公式即可. 详解：类比点00(,)P x y 到直线0Ax By C ++=的距离d =，可知在空间中点(0,1,1)-到平面230x y z +++=的距离2d ==，故答案是2.点睛：该题考查的是类比推理，利用平面内点到直线的距离公式类比着得出空间中点到平面的距离公式，代入求得结果，属于简单题目.14．194【解析】由题意得前行共有个数第行最左端的数为第行从左到右第个数字为点睛：本题非常巧妙的将数表的排列问题和数列融合在一起首先需要读懂题目所表达的具体含义以及观察所给定数列的特征进而判断出该数列的解析：194 【解析】由题意得，前19行共有19(119)1902+=个数，第19行最左端的数为190，第20行从左到右第4个数字为194.点睛：本题非常巧妙的将数表的排列问题和数列融合在一起，首先需要读懂题目所表达的具体含义，以及观察所给定数列的特征，进而判断出该数列的通项和求和，另外，本题的难点在于根据数表中的数据归纳数列的知识，利用等差数列的通项公式及前n 项和公式求解，体现了用方程的思想解决问题.15．392【解析】由题意可得将三个括号作为一组则由第50个括号应为第17组的第二个括号即50个括号中应有两个数因为每组中有6个数所以第48个括号的最后一个数为数列的第项第50个括号的第一个数为数列的第项解析：392 【解析】由题意可得，将三个括号作为一组，则由501632=⨯+，第50个括号应为第17组的第二个括号，即50个括号中应有两个数，因为每组中有6个数，所以第48个括号的最后一个数为数列{}21n -的第16696⨯=项，第50个括号的第一个数为数列{}21n -的第166298⨯+=项，即2981195⨯-=，第二个数是2991197⨯-=，所以第50个括号内各数之和为195197392+=16．11【解析】A 到E 的时间为2+4=6小时或5小时A 经C 到D 的时间为3+4=7小时故A 到F 的最短时间就为9小时则A 经F 到G 的时间为9+2=11小时即组装该产品所需要的最短时间是11小时解析：11 【解析】A 到E 的时间，为2+4=6小时，或5小时， A 经C 到D 的时间为3+4=7小时， 故A 到F 的最短时间就为9小时， 则A 经F 到G 的时间为9+2=11小时， 即组装该产品所需要的最短时间是11小时17．4n+2【解析】解：观察分析图案得到规律第1个第2个第3个…个图案有白色地板砖分别是61014…个组成一个公差是4首项为6的等差数列因此第n 个图案中有白色地面砖有6+（n-1）×4=6+4n-4=4【解析】解：观察、分析图案，得到规律，第1个、第2个，第3个…个图案有白色地板砖分别是6，10，14…个，组成一个公差是4，首项为6的等差数列．因此第n个图案中有白色地面砖有6+（n-1）×4=6+4n-4=4n+2．故答案为：4n+2．18．【解析】解析：111,,1232⎛⎫⎛⎫--⋃⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【解析】关于x的不等式111kx bxax cx-+<--可化为111bk xa cx x-+<--，则由题设中提供的解法可得：1111(2,1)(2,3)(,)(,1)232xx-∈--⋃⇒∈--⋃，则关于x的不等式111kx bx ax cx -+< --的解集为111(,)(,1)232--，应填答案111(,)(,1)232--．19．1和3【详解】根据丙的说法知丙的卡片上写着和或和；（1）若丙的卡片上写着和根据乙的说法知乙的卡片上写着和；所以甲的说法知甲的卡片上写着和；（2）若丙的卡片上写着和根据乙的说法知乙的卡片上写着和；又加解析：1和3.【详解】根据丙的说法知，丙的卡片上写着1和2，或1和3；（1）若丙的卡片上写着1和2，根据乙的说法知，乙的卡片上写着2和3；所以甲的说法知，甲的卡片上写着1和3；（2）若丙的卡片上写着1和3，根据乙的说法知，乙的卡片上写着2和3；又加说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”；所以甲的卡片上写的数字不是1和2，这与已知矛盾；所以甲的卡片上的数字是1和3.20．丙【详解】若甲获奖则甲乙丙丁说的都是错的同理可推知乙丙丁获奖的情况可知获奖的歌手是丙考点：反证法在推理中的应用解析：丙【详解】若甲获奖，则甲、乙、丙、丁说的都是错的，同理可推知乙、丙、丁获奖的情况，可知获奖的歌手是丙．考点：反证法在推理中的应用.21．（1）24a =，39a =，416a =；（2）2n a n =，证明见解析.【分析】（1）根据数列递推关系，把1n =、2、3分别代入，求出2a 、3a 、4a 的值；（2）先假设n k =时，2k a k =成立，再证明1n k =+时，猜想也成立.【详解】 （1）11a =，1n a +21n n a n+=+，22314a a ∴=+=，32219a a =+=，4351163a a =+=；（2）由（1）猜想2n a n =，用数学归纳法证明如下： ①当1n =时，11a =，猜想显然成立； ②设n k =时，猜想成立，即2k a k =， 则当1n k =+时，()22121211k k k a a k k k k++=+=++=+， 即当1n k =+时猜想也成立， 由①②可知，猜想成立，即2n a n =. 【点睛】运用数学归纳法证明命题时，要求严格按照从特殊到一般的思想证明，特别是归纳假设一定要用到，否则算是没有完成证明.22．①：9；②：16；③：2n ；④：2k ；⑤：123(1)(1)(1)321k k k k k ++++-+++++-++++；⑥：21k +；⑦：2(1)k + 【分析】根据数学归纳法的定义依次填空得到答案. 【详解】123219++++=，123432116++++++=，由此猜想2123(1)(1)321n a n n n n =++++-++-++++=，下面用数学归纳法证明这一猜想．（i ）当1n =时，左边1=，右边1=，所以等式成立． （ⅱ）假设当(,1)n k k k *=∈N ≥时，等式成立， 即2123(1)(1)321k a k k k k =++++-++-++++=．当1n k =+时，1123(1)(1)(1)321k a k k k k k +=++++-+++++-++++()2211k k a k +=+=+，等式也成立．根据（i ）和（ⅱ）可以断定，（*）式对任何n *∈N 都成立. 故答案为：①：9；②：16；③：2n ；④：2k ； ⑤：123(1)(1)(1)321k k k k k ++++-+++++-++++；⑥：21k +；⑦：2(1)k + 【点睛】本题考查了数学归纳法，意在考查学生对于数列归纳法的理解和应用能力. 23．见解析. 【解析】分析：直接利用数学归纳法的证明步骤证明不等式，（1）验证1n =时不等式成立；（2）假设当()*,1n k k N k =∈≥时成立，利用放缩法证明1n k =+时，不等式也成立．详解：证明：①当1n =时，左边111224=>，不等式成立. ②假设当()*,1n k k N k =∈≥时，不等式成立，即11111112324k k k k k +++⋅⋅⋅+>++++， 则当1n k =+时，111112322122k k k k k ++⋅⋅⋅+++++++ 11111232k k k k =+++⋅⋅⋅++++ 11121221k k k ++-+++ 111112421221k k k >++-+++， ∵11121221k k k +-+++ ()()()()()21212212121k k k k k +++-+=++()()102121k k =>++，∴11111232k k k k +++⋅⋅⋅++++ 11121221k k k ++-+++ 1111111242122124k k k >++->+++， ∴当1n k =+时，不等式成立.由①②知对于任意正整数n ，不等式成立.点睛：本题是中档题，考查数学归纳法的证明步骤，注意不等式的证明方法，放缩法的应用，考查逻辑推理能力．24．（I ）()541f =；（II ）()2221f n n n =-+.【解析】试题分析：（I ）先用前几项找出规律()()21441f f -==⨯，()()32842f f -==⨯，()()431243f f -==⨯，()()541644f f -==⨯,可知()5254441f =+⨯=；（II ）由（I ）知()()14f n f n n +-=,然后利用累加法求出()2221f n n n =-+.试题 解：（I ）()11f =，()25f =，()313f =，()425f =，∴()()21441f f -==⨯，()()32842f f -==⨯，()()431243f f -==⨯，()()541644f f -==⨯∴()5254441f =+⨯=．（II ）由上式规律得出()()14f n f n n +-=．∴()()2141f f -=⨯，()()3242f f -=⨯，()()4343f f -=⨯，⋅⋅⋅，()()()1242f n f n n ---=⋅-，()()()141f n f n n --=⋅-∴()()()()()14122121f n f n n n n ⎡⎤-=++⋅⋅⋅+-+-=-⋅⎣⎦， ∴()2221f n n n =-+．考点：1.合情推理与演绎推理；2.数列累加法求通项公式. 25．见解析. 【分析】将代数式()()2222a b +++展开，利用基本不等式()2222a b a b ++≥可证出所证的不等式. 【详解】222a b ab +≥，()()2222222a babab a b ∴+≥++=+，则()222122a b a b ++≥=，()()()222212522484822a b a b a b ∴+++=++++≥++=， 当且仅当12a b ==时，等号成立，因此，()()2225222a b +++≥. 【点睛】本题考查利用基本不等式证明不等式，解题的关键就是对基本不等式进行变形，再对所证不等式进行配凑得到，考查计算能力，属于中等题． 26．（1）237a =，338a =，439a =，5310a =.（2）证明见解析. 【分析】利用递推式直接求2a 、3a 、4a 、5a ，猜想数列{}n a 的通项公式为35n a n =+()*n N ∈用数学归纳法证明即可. 【详解】（1）由112a =，133n n n a a a +=+，得121333213732a a a ===++，232933733837a a a ===++，444933833938a a a ===++， 5559339331039a a a ===++. （2）由（1）猜想35n a n =+，下面用数学归纳法证明：①当n ＝1时，131152a ==+猜想成立． ②假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时猜想成立，即35k a k =+. 则当n ＝k ＋1时，133335331535k k k a k a a k k +⨯+===+++++，所以当n ＝k ＋1时猜想也成立，由①②知，对n ∈N *，35n a n =+都成立． 【点睛】本题考查了数列中的归纳法思想，及证明基本步骤，属于基础题；用数学归纳法证明恒等式的步骤及注意事项：①明确初始值0n 并验证真假；②“假设n k =时命题正确”并写出命题形式；③分析“1n k =+时”命题是什么，并找出与“n k =”时命题形式的差别，弄清左端应增加的项；④明确等式左端变形目标，掌握恒等式变形常用的方法：乘法公式、因式分解、添拆项、配方等，并用上假设.。
算法、框图、复数、推理与证明测试题及详解
算法、框图、复数、推理与证明第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符号题目要求的。
)1．(2011·辽宁沈阳二中阶段测试)已知复数z ＝1＋2i i 5，则它的共轭复数z －等于( )A ．2－iB ．2＋iC ．－2＋iD ．－2－i[答案] B[解析] z ＝1＋2i i 5＝1＋2ii＝2－i ，故其共轭复数是2＋i .2．(文)(2011·辽宁沈阳二中阶段测试)下面框图表示的程序所输出的结果是( )A ．1320B ．132C ．11880D ．121[答案] A[解析] 运行过程依次为：i ＝12，x ＝1→x ＝12，i ＝11→x ＝132，i ＝10→x ＝1320，i ＝9，此时不满足i ≥10，输出x 的值1320.(理)(2011·江西南昌调研)若下面框图所给的程序运行结果为S ＝20，那么判断框中应填入的关于k 的条件是( )A ．k ＝9B ．k ≤8C ．k <8D ．k >8[答案] D[解析] 运行过程依次为k ＝10，S ＝1→S ＝11，k ＝9→S ＝20，k ＝8→输出S ＝20，此时判断框中的条件不满足，因此应是k >8.3．(文)(2011·黄冈市期末)若复数a ＋3i1＋2i (a ∈R ，i 是虚数单位)是纯虚数，则实数a 的值为( )A ．－2B ．4C ．－6D ．6[答案] C[解析] ∵a ＋3i 1＋2i ＝(a ＋3i )(1－2i )(1＋2i )(1－2i )＝a ＋6＋(3－2a )i5是纯虚数，a ∈R ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋6＝03－2a ≠0，∴a ＝－6，故选C. (理)(2011·温州八校期末)若i 为虚数单位，已知a ＋bi ＝2＋i1－i(a ，b ∈R )，则点(a ，b )与圆x 2＋y 2＝2的关系为( )A ．在圆外B ．在圆上C ．在圆内D ．不能确定[答案] A[解析] ∵a ＋bi ＝2＋i 1－i＝(2＋i )(1＋i )2＝12＋32i (a ，b ∈R )，∴⎩⎨⎧a ＝12b ＝32，∵⎝⎛⎭⎫122＋⎝⎛⎭⎫322＝52>2，∴点P ⎝⎛⎭⎫12，32在圆x 2＋y 2＝2外，故选A. 4．(文)(2011·合肥市质检)如图所示，输出的n 为( )A ．10B ．11C ．12D ．13[答案] D[解析] 程序依次运行过程为：n ＝0，S ＝0→n ＝1，S ＝12×1－13＝－111→n ＝2，S ＝12×2－13＝－19，……∴S ＝－111－19－17－15－13－1＋1＋13＋15＋17＋19＋111＋113>0，此时输出n 的值13.(理)(2011·丰台区期末)已知程序框图如图所示，将输出的a 的值依次记为a 1，a 2，…，a n ，其中n ∈N *且n ≤2010.那么数列{a n }的通项公式为( )A ．a n ＝2·3n －1B ．a n ＝3n －1C ．a n ＝3n －1D ．a n ＝12(3n 2＋n )[答案] A[解析] 程序运行过程依次为a ＝2，n ＝1，输出a ＝2，即a 1＝2，n ＝2，a ＝3×2＝6，不满足n >2010→输出a ＝6，即a 2＝2×3，n ＝3，a ＝3×6＝18，仍不满足n >2010→输出a ＝18，即a 3＝2×32……因此可知数列{a n }的通项公式为a n ＝2×3n －1(n ≤2010)．5．(2011·蚌埠二中质检)下列命题错误的是( )A ．对于等比数列{a n }而言，若m ＋n ＝k ＋S ，m 、n 、k 、S ∈N *，则有a m ·a n ＝a k ·a SB ．点⎝⎛⎭⎫－π8，0为函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4的一个对称中心 C ．若|a |＝1，|b |＝2，向量a 与向量b 的夹角为120°，则b 在向量a 上的投影为1 D ．“sin α＝sin β”的充要条件是“α＋β＝(2k ＋1)π或α－β＝2k π (k ∈Z )” [答案] C[解析] 由等比数列通项公式知，a m ·a n ＝a 21qm＋n －2＝a 21qk＋S －2＝a 1q k －1·a 1q S －1＝a k a S ，故A正确；令2x ＋π4＝k π(k ∈Z )得，x ＝k π2－π8，令k ＝0得x ＝－π8，∴⎝⎛⎭⎫－π8，0是函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4的一个对称中心，故B 正确； b 在a 方向上的投影为|b |·cos 〈a ，b 〉＝2×cos120°＝－1，故C 错；由sin α＝sin β得α＝2k π＋β或α＝2k π＋π－β，∴α＋β＝(2k ＋1)π或α－β＝2k π(k ∈Z )，故D 正确．6．(2011·安徽百校联考)已知正项等比数列{a n }满足：a 7＝a 6＋2a 5，若存在两项a m 、a n ，使得a m a n ＝4a 1，则1m ＋4n的最小值为( )A.32B.53 C.256 D ．不存在[答案] A[解析] ∵{a n }为等比数列，a n >0，a 7＝a 6＋2a 5，∴a 1q 6＝a 1q 5＋2a 1q 4，∴q 2－q －2＝0，∴q ＝－1或2，∵a n >0，∴q ＝2，∵a m ·a n ＝4a 1，∴a 1q m －1·a 1q n －1＝16a 21，∴q m＋n －2＝16，即2m＋n －2＝24，∴m ＋n ＝6，∴1m ＋4n ＝16(m ＋n )⎝⎛⎭⎫1m ＋4n ＝16⎝⎛⎭⎫5＋n m ＋4m n ≥32，等号在n m ＝4mn，即m ＝2，n ＝4时成立，故选A.7．(2011·山东日照调研)二次方程ax 2＋2x ＋1＝0(a ≠0)有一个正根和一个负根的充分不必要条件是( )A ．a >0B ．a <0C ．a >1D ．a <－1[答案] D[解析] ∵方程ax 2＋2x ＋1＝0(a ≠0)有一个正根和一个负根，∴⎩⎨⎧ a >0f (0)<0或⎩⎨⎧a <0f (0)>0，∴a <0，因此，当a <－1时，方程有一个正根和一个负根，仅当方程有一个正根和一个负根时，不一定有a <－1，故选D.8．观察等式：sin 230°＋cos 260°＋sin30°cos60°＝34，sin 220°＋cos 250°＋sin20°cos50°＝34和sin 215°＋cos 245°＋sin15°cos45°＝34，…，由此得出以下推广命题，则推广不正确的是( )A ．sin 2α＋cos 2β＋sin αcos β＝34B ．sin 2(α－30°)＋cos 2α＋sin(α－30°)cos α＝34C ．sin 2(α－15°)＋cos 2(α＋15°)＋sin(α－15°)cos(α＋15°)＝34D ．sin 2α＋cos 2(α＋30°)＋sin αcos(α＋30°)＝34[答案] A[解析] 观察已知等式不难发现，60°－30°＝50°－20°＝45°－15°＝30°，推广后的命题应具备此关系，但A 中α与β无联系，从而推断错误的命题为A.选A.9．(2011·山东潍坊一中期末)一次研究性课堂上，老师给出函数f (x )＝x1＋|x |(x ∈R )，甲、乙、丙三位同学在研究此函数时分别给出命题：甲：函数f (x )的值域为(－1,1)； 乙：若x 1≠x 2，则一定有f (x 1)≠f (x 2)；丙：若规定f 1(x )＝f (x )，f n (x )＝f (f n －1(x ))，则f n (x )＝x1＋n |x |对任意n ∈N *恒成立 你认为上述三个命题中正确的个数有( ) A ．3个 B ．2个 C ．1个 D ．0个[答案] A[解析] 当x >0时，f (x )＝x 1＋x ∈(0,1)，当x ＝0时，f (0)＝0，当x <0时，f (x )＝x1－x ∈(－1,0)，∴f (x )的值域为(－1,1)，且f (x )在(－∞，＋∞)上为增函数，因此，x 1≠x 2时，一定有f (x 1)≠f (x 2)．∵f (x )＝x 1＋|x |，f 1(x )＝f (x )，∴f 1(x )＝x1＋|x |，又f n (x )＝f (f n －1(x ))，∴f 2(x )＝f (f 1(x ))＝f ⎝⎛⎭⎫x 1＋|x |＝x1＋|x |1＋|x |1＋|x |＝x1＋2|x |，f 3(x )＝f (f 2(x ))＝f ⎝⎛⎭⎫x 1＋2|x |＝x 1＋2|x |1＋|x |1＋2|x |＝x1＋3|x |……可知对任意n ∈N *，f n (x )＝x1＋n |x |恒成立，故选A. 10．(2011·陕西宝鸡质检)如果函数f (x )对任意的实数x ，存在常数M ，使得不等式|f (x )|≤M (x )恒成立，那么就称函数f (x )为有界泛函数，下面四个函数：①f (x )＝1; ②f (x )＝x 2； ③f (x )＝(sin x ＋cos x )x; ④f (x )＝xx 2＋x ＋1.其中属于有界泛函数的是( ) A ．①② B ．①③ C ．②④ D ．③④[答案] D[解析] 对任意实数x .∵sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4≤2，∴存在常数M ≥2，有|sin x ＋cos x |≤M 成立，∴|x (sin x ＋cos x )|≤M |x |，即|f (x )|≤M |x |成立，∴③是有界泛函数； 又∵x 2＋x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x ＋122＋34≥34， ∴⎪⎪⎪⎪1x 2＋x ＋1≤43，∴存在常数M ≥43，使|x ||x 2＋x ＋1|≤M (x )，即|f (x )|≤M |x |成立，故④是有界泛函数，因此选D.11．(2011·北京学普教育中心联考版)观察下列算式： 21＝2,22＝4,23＝8,24＝16,25＝32,26＝64,27＝128,28＝256，… 用你所发现的规律得出22011的末位数字是( ) A ．2 B ．4 C ．6 D ．8[答案] D[解析] 观察发现，2n 的末位数字以4为周期出现，依次为2,4,8,6,2011被4除的余数为3，故22011的末位数字与23的末位数字相同，故选D.12．(2011·河北冀州中学期末)如图所示的三角形数阵叫“莱布尼兹调和三角形”，它们是由整数的倒数组成的，第n 行有n 个数且两端的数均为1n (n ≥2)，每个数是它下一行左右相邻两数的和，如11＝12＋12，12＝13＋16，13＝14＋112，…，则第10行第4个数(从左往右数)为( )11 12 12 13 16 13 14 112 112 14 15 120 130 120 15A.11260B.1840 C.1504 D.1360 [答案] B[解析] 第10行第1个数为110，第2个数为19－110＝190，第9行第1个数为19，第2个数为18－19＝172，∴第10行第3个数为172－190＝1360，第8行第1个数为18，第2个数为17－18＝156，故第9行第3个数为156－172＝1252，∴第10行第4个数为1252－1360＝1840.第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上)13．(文)(2011·江西吉安期末)请阅读下列材料：若两个正实数a 1，a 2满足a 21＋a 22＝1，那么a 1＋a 2≤ 2.证明：构造函数f (x )＝(x －a 1)2＋(x －a 2)2＝2x 2－2(a 1＋a 2)x ＋1.因为对一切实数x ，恒有f (x )≥0，所以Δ≤0，从而得4(a 1＋a 2)2－8≤0，所以a 1＋a 2≤ 2.类比上述结论，若n 个正实数满足a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝1，你能得到的结论为________．[答案] a 1＋a 2＋…＋a n ≤n (n ∈N *)[解析] 构造函数f (x )＝(x －a 1)2＋(x －a 2)2＋…＋(x －a n )2＝nx 2－2(a 1＋a 2＋…＋a n )x ＋1， ∵f (x )≥0对任意实数x 都成立， ∴Δ＝4(a 1＋a 2＋…＋a n )2－4n ≤0，∵a 1，a 2，…，a n 都是正数，∴a 1＋a 2＋…＋a n ≤n .(理)(2011·北京学普教育中心)我们知道，在边长为a 的正三角形内任一点到三边的距离之和为定值3a2，类比上述结论，在棱长为a 的正四面体内任一点到其四个面的距离之和为定值________．[答案]6a 3[解析] 在正三角形内到三边的距离之和等于正三角形的高；正三角形的边类比空间正四面体的面，正四面体内任一点到其四个面的距离之和等于正四面体的高6a 3. 14．(2011·湖北荆门市调研)如果一个复数的实部、虚部对应一个向量的横坐标、纵坐标，已知z 1＝(1－2i )i 对应向量为a ，z 2＝1－3i 1－i对应向量为b ，那么a 与b 的数量积等于________．[答案] 3[解析] z 1＝2＋i 对应向量a ＝(2,1)，z 2＝1－3i 1－i ＝(1－3i )(1＋i )2＝2－i 对应向量b ＝(2，－1)，∴a ·b ＝3.15．(2011·辽宁沈阳二中检测)直角坐标系中横坐标、纵坐标均为整数的点称为格点，如果函数f (x )的图象恰好通过k (k ∈N *)个格点，则称函数f (x )为k 阶格点函数，下列函数：①f (x )＝sin x ；②f (x )＝3π(x －1)2＋2；③f (x )＝⎝⎛⎭⎫14x；④f (x )＝log 0.5x ，其中是一阶格点函数的有________．[答案] ①②[解析] f (x )＝sin x 通过的格点只有(0,0)；f (x )＝3π(x －1)2＋2经过的格点只有(1,2)；f (x )＝log 0.5x 经过的格点有(2n ，－n )，n ＝0,1,2…；f (x )＝⎝⎛⎭⎫14x经过的格点至少有(0,1)，(－1,4)，故填①②.16．(2011·杭州市质检)设n 为正整数，f (n )＝1＋12＋13＋…＋1n ，计算得f (2)＝32，f (4)>2，f (8)>52，f (16)>3，观察上述结果，可推测一般的结论为________．[答案] f (2n )≥n2＋1[解析] f (2)＝32＝12＋1，f (4)＝f (22)>2＝22＋1，f (8)＝f (23)>52＝32＋1，f (16)＝f (24)>3＝42＋1，观察可见自变量取值为2n 时，函数值大于或等于n 2＋1，即f (2n )≥n2＋1.三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分12分)(2011·华安、连城、永安、漳平、龙海、泉港六校联考)设命题p ：命题f (x )＝x 3－ax －1在区间[－1,1]上单调递减；命题q ：函数y ＝ln(x 2＋ax ＋1)的值域是R ，如果命题p 或q 为真命题，p 且q 为假命题，求a 的取值范围．[解析] p 为真命题⇔f ′(x )＝3x 2－a ≤0在[－1,1]上恒成立⇔a ≥3x 2在[－1,1]上恒成立⇔a ≥3，q 为真命题⇔Δ＝a 2－4≥0恒成立⇔a ≤－2或a ≥2. 由题意p 和q 有且只有一个是真命题，p 真q 假⇔⎩⎪⎨⎪⎧a ≥3－2<a <2⇔a ∈∅，p 假q 真⇔⎩⎪⎨⎪⎧a <3a ≤－2或a ≥2⇔a ≤－2或2≤a <3，综上所述：a ∈(－∞，－2]∪[2,3)．18．(本小题满分12分)(2011·广东高州市长坡中学期末)复数z ＝⎝⎛⎭⎫12－32i 2是一元二次方程ax 2＋bx ＋1＝0(a ，b ∈R )的根．(1)求a 和b 的值；(2)若(a ＋bi )u －＋u ＝z (u ∈C )，求u . [解析] (1)由题得z ＝－12－32i ，因为方程ax 2＋bx ＋1＝0(a 、b ∈R )是实系数一元二次方程，所以它的另一个根为－12＋32i .由韦达定理知：⎩⎨⎧⎝⎛⎭⎫－12－32i ＋⎝⎛⎭⎫－12＋32i ＝－b a⎝⎛⎭⎫－12－32i ⎝⎛⎭⎫－12＋32i ＝1a⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1b ＝1. (2)由(1)知(1＋i )u －＋u ＝－12－32i ，设u ＝x ＋yi (x ，y ∈R )，则(1＋i )(x －yi )＋(x ＋yi )＝－12－32i ， 得(2x ＋y )＋xi ＝－12－32i ，∴⎩⎨⎧2x ＋y ＝－12x ＝－32，∴⎩⎨⎧x ＝－32y ＝3－12，∴u ＝－32＋23－12i . 19．(本小题满分12分)(2011·山东省实验中学)已知a >0，命题p ：函数y ＝a x 在R 上单调递减，q ：设函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －2a ，(x ≥2a )2a ，(x <2a )，函数y >1恒成立，若p ∧q 为假，p ∨q 为真，求a 的取值范围．[解析] 若p 为真命题，则0<a <1，若q 为真命题，即y min >1， 又y min ＝2a ，∴2a >1，∴q 为真命题时a >12，又∵p ∨q 为真，p ∧q 为假，∴p 与q 一真一假． 若p 真q 假，则0<a ≤12；若p 假q 真，则a ≥1.故a 的取值范围为0<a ≤12或a ≥1.20．(本小题满分12分)(2011·北京学普教育中心)已知复数z 1＝sin2x ＋λi ，z 2＝m ＋(m －3cos2x )i ，λ、m 、x ∈R ，且z 1＝z 2.(1)若λ＝0且0<x <π，求x 的值；(2)设λ＝f (x )，已知当x ＝α时，λ＝12，试求cos ⎝⎛⎭⎫4α＋π3的值． [解析] (1)∵z 1＝z 2，∴⎩⎨⎧sin2x ＝m λ＝m －3cos2x， ∴λ＝sin2x －3cos2x ，若λ＝0则sin2x －3cos2x ＝0得tan2x ＝3， ∵0<x <π，∴0<2x <2π， ∴2x ＝π3或2x ＝4π3，∴x ＝π6或2π3.(2)∵λ＝f (x )＝sin2x －3cos2x ＝2⎝⎛⎭⎫12sin2x －32cos2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3， ∵当x ＝α时，λ＝12，∴2sin ⎝⎛⎭⎫2α－π3＝12，∴sin ⎝⎛⎫2α－π3＝14， sin ⎝⎛⎭⎫π3－2α＝－14， ∵cos ⎝⎛⎭⎫4α＋π3＝cos2⎝⎛⎭⎫2α＋π6－1 ＝2cos 2⎝⎛⎭⎫2α＋π6－1＝2sin 2⎝⎛⎭⎫π3－2α－1， ∴cos ⎝⎛⎭⎫4α＋π3＝2×⎝⎛⎭⎫－142－1＝－78. 21．(本小题满分12分)(2011·山东临沂质检)如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝BB 1，AC 1⊥平面A 1BD ，D 为AC 中点．(1)求证：B 1C ∥平面A 1BD ； (2)求证：B 1C 1⊥平面ABB 1A 1.[解析] (1)证明：如图，连结AB 1，设AB 1∩A 1B ＝O ，则O 为AB 1中点，连结OD ， ∵D 为AC 中点，在△ACB 1中，有OD ∥B 1C .又∵OD ⊂平面A 1BD ，B 1C ⊄平面A 1BD ，∴B 1C ∥平面A 1BD .(2)证明：∵AB ＝B 1B ，ABC －A 1B 1C 1为直三棱柱，∴ABB 1A 1为正方形，∴A 1B ⊥AB 1， 又∵AC 1⊥平面A 1BD ，A 1B ⊂平面A 1BD ，∵AC 1⊥A 1B ，又∵AC 1⊂平面AB 1C 1，AB 1⊂平面AB 1C 1，AC 1∩AB 1＝A ，∴A 1B ⊥平面AB 1C 1，又∵B 1C 1⊂平面AB 1C 1，∴A 1B ⊥B 1C 1.又∵A 1A ⊥平面A 1B 1C 1，B 1C 1⊂平面A 1B 1C 1，∴A 1A ⊥B 1C 1，∵A 1A ⊂平面ABB 1A 1，A 1B ⊂平面ABB 1A 1，A 1A ∩A 1B ＝A 1，∴B 1C 1⊥平面ABB 1A 1.22．(本小题满分12分)(文)(2011·山东省实验中学)函数f (x )＝ln x ＋1ax －1a(a 为常数，a >0)． (1)若函数f (x )在区间[1，＋∞)内单调递增，求a 的取值范围；(2)求函数f (x )在区间[1,2]上的最小值．[解析] f ′(x )＝ax －1ax 2(x >0)． (1)由已知得f ′(x )≥0在[1，＋∞)上恒成立，即a ≥1x在[1，＋∞)上恒成立， 又∵当x ∈[1，＋∞)时，1x≤1， ∴a ≥1，即a 的取值范围为[1，＋∞)．(2)当a ≥1时，∵f ′(x )>0在(1,2)上恒成立，f (x )在[1,2]上为增函数，∴f (x )min ＝f (1)＝0，当0<a ≤12时，∵f ′(x )<0在(1,2)上恒成立，这时f (x )在[1,2]上为减函数， ∴f (x )min ＝f (2)＝ln2－12a.当12<a <1时，∵x ∈[1，1a )时，f ′(x )<0；x ∈(1a，2]时，f ′(x )>0， ∴f (x )min ＝f ⎝⎛⎭⎫1a ＝－ln a ＋1－1a. 综上，f (x )在[1,2]上的最小值为①当0<a ≤12时，f (x )min ＝ln2－12a； ②当12<a <1时，f (x )min ＝－ln a ＋1－1a. ③当a ≥1时，f (x )min ＝0.(理)(2011·丹东四校协作体联考)设数列{a n }满足：a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋1a n(n ∈N *)． (1)证明：a n >2n ＋1对n ∈N *恒成立；(2)令b n ＝a n n(n ∈N *)，判断b n 与b n ＋1的大小，并说明理由 . [解析] (1)证法1：当n ＝1时，a 1＝2>2×1＋1，不等式成立， 假设n ＝k 时，a k >2k ＋1成立，当n ＝k ＋1时，a 2k ＋1＝a 2k ＋1a 2k ＋2>2k ＋3＋1a 2k>2(k ＋1)＋1. ∴n ＝k ＋1时，a k ＋1>2(k ＋1)＋1时成立，综上由数学归纳法可知，a n >2n ＋1对一切正整数成立． 证法2：当n ＝1时，a 1＝2>3＝2×1＋1，结论成立； 假设n ＝k 时结论成立，即a k >2k ＋1，当n ＝k ＋1时，由函数f (x )＝x ＋1x (x >1)的单增性和归纳假设有a k ＋1＝a k ＋1a k>2k ＋1＋12k ＋1， 因此只需证：2k ＋1＋12k ＋1≥2k ＋3， 而这等价于(2k ＋1＋12k ＋1)2≥2k ＋3⇔12k ＋1≥0， 显然成立，所以当n ＝k ＋1是，结论成立；综上由数学归纳法可知，a n >2n ＋1对一切正整数成立．证法3：由递推公式得a 2n ＝a 2n －1＋2＋1a 2n －1， a 2n －1＝a 2n －2＋2＋1a 2n －2，a 22＝a 21＋2＋1a 21， 上述各式相加并化简得a 2n ＝a 21＋2(n －1)＋1a 21＋…＋1a 2n －1>22＋2(n －1)＝2n ＋2>2n ＋1(n ≥2)，又n ＝1时，a n >2n ＋1显然成立，故a n >2n ＋1(n ∈N *)．(2)解法1：b n ＋1b n ＝a n ＋1na n n ＋1＝⎝⎛⎭⎫1＋1a 2n n n ＋1<⎝⎛⎭⎫1＋12n ＋1n n ＋1＝2(n ＋1)n (2n ＋1)n ＋1 ＝2n (n ＋1)2n ＋1＝⎝⎛⎭⎫n ＋122－14n ＋12<1，又显然b n >0(n ∈N *)，故b n ＋1<b n 成立． 解法2：b n ＋1－b n ＝a n ＋1n ＋1－a n n＝1n ＋1⎝⎛⎭⎫a n ＋1a n －a nn＝1a nn (n ＋1)[n －(n ＋1－n )a 2n ] ≤1a nn (n ＋1)[n －(n ＋1－n )(2n ＋1)](由(1)的结论) ＝1n (n ＋1)(n ＋1＋n )a n[n (n ＋1＋n )－(2n ＋1)] ＝1n (n ＋1)(n ＋1＋n )a n[n (n ＋1)－(n ＋1)]＝1n (n ＋1＋n )a n(n －n ＋1)<0，所以b n ＋1<b n .解法3：b 2n ＋1－b 2n ＝a 2n ＋1n ＋1－a 2nn＝1n ＋1⎝⎛⎭⎫a 2n ＋1a 2n ＋2－a 2nn ＝1n ＋1⎝⎛⎭⎫2＋1a 2n －a 2n n <1n ＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋12n ＋1－2n ＋1n＝1n ＋1⎝⎛⎭⎫12n ＋1－1n <0， 故b 2n ＋1<b 2n ，因此b n ＋1<b n .。
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推理与证明测试题一、选择题（本题共20道小题，每小题0分，共0 分）1•下列表述正确的是（）① 归纳推理是由部分到整体的推理；②归纳推理是由一般到一般的推理； ③演绎推理是由一般到特殊的推理；④类比推理是由特殊到一般的推理； ⑤类比推理是由特殊到特殊的推理.A. ②③④ B .①③⑤ C .②④⑤ D .①⑤2•“所有金属都能导电，铁是金属，所以铁能导电，”此推理类型属于（ ）A.演绎推理B .类比推理 C.合情推理 D.归纳推理3•证明不等式丄 二 ■ ■- - - " L （ a > 2）所用的最适合的方法是（ ）A .综合法B.分析法C.间接证法D.合情推理法4.用反证法证明“三角形中最多只有一个内角是钝角”的结论的否定是（ ）A .有两个内角是钝角B .有三个内角是钝角C.至少有两个内角是钝角D.没有一个内角是钝角5•已知2、仁2, 22X 1X 3=3X 4, 2、1 X 3X 5=4X 5X 6，…，以此类推，第 5个等式为( ) 45A . 2 X 1 X 3X 5 X 7=5X 6 X 7X 8B . 2 X 1 X 3 X 5 X 7X 9=5X 6X 7 X 8X 94 5C. 24X 1 X 3X 5X 7X 9=6X 7X 8X 9X 10 D. 25X 1 X 3X 5X 7X 9=6X 7X 8X 9X 106.下列三句话按“三段论”模式排列顺序正确的是（）① y=cosx （ x € R ）是三角函数； ② 三角函数是周期函数；③ y=cosx （ x € R ）是周期函数.A .①②③B .②①③ C.②③① D.③②①37.演绎推理“因为f '（X o ） 0时，X 。
是f （x ）的极值点.而对于函数f （x ） X,f'（0） 0.所以0是函数f （x ） X’的极值点.”所得结论错误的原因是A.大前提错误B.小前提错误C.推理形式错误 D.大前提和小前提都错误8.下面几种推理过程是演绎推理的是（）B. 由平面三角形的性质，推测空间四面体性质；C.两条直线平行，同旁内角互补，如果 A 和 B 是两条平行直线的同旁内角，则31 1,3nA .在数列3n 中-)(nan 12），由此归纳数列3n的通项公式;A B 180oD.某校高二共10个班，1班51人，2班53人，3班52人，由此推测各班都超过50人。
29•用反证法证明命题“设a ,b 为实数，则方程 x+ax+b=0至少有一个实根”时，要做的假设是( )A. 方程x 2+ax+b=0没有实根B. 方程x 2+ax+b=0至多有一个实根C. 方程x +ax+b=0至多有两个实根D. 方程x +ax+b=0恰好有两个实根 10.下列说法正确的有()(1) 用反证法证明：“三角形的内角中至少有一个不大于60 ”时的假设是“假设三角形的三个内角都不大于60;(2 )分析法是从要证明的结论出发，逐步寻求使结论成立的充要条件；(3) 用数学归纳法证明(n 1)(n 2)L (n n) 2n ・1 3・L ・(2n 1)，从k 到k 1，左边需要增乘的代数 式为 2 (2k+1); (4) 演绎推理是从特殊到一般的推理，其一般模式是三段论；A.0 个B.1个C.2个D.3个1 1 ,1 13 / c 、L2n(n 2)11.用数学归纳法证明不等式n 1 n 224时的过程中，由 n k 到n k 1时，不等式的左边( )1A .增加了一项一B.增加了两项112(k 1) 2k 1 2(k 1) 1 1C .增加了两项一，又减少了一项12k 12(k 1)k 11 1D .增加了一项，又减少了一项2(k 1)k 1V375!12.已知数列 「、 •、 俱 [3Va+b肓、a-b、1 i、…根据前三项给出的规律，则实数对(2a , 2b )可能是( )A .宀，-亠)B .( 19,- 3) C.(仝，二)D. ( 19, 3)13•两旅客坐火车外出旅游，希望座位连在一起，且有一个靠窗，已知火车上的座位的排法如图所示，则下列座位号码符合要求的应当是()A . 48, 49B . 62, 63 C. 75, 76 D. 84, 8514.把3、6、10、15、21、…这些数叫做三角形数，这是因为这些数目的点子可以排成一个正三角形(如下图)，试求第六个三角形数是()A . 27B . 28C . 29D . 30 15. 某单位安排甲、乙、丙三人在某月1日至12日值班，每人4天 甲说：我在1日和3日都有值班； 乙说：我在8日和9日都有值班; 丙说：我们三人各自值班的日期之和相等.据此可判断丙必定值班的日期是A 、2日和5日??B 、5日和6日?C 、6日和11日?D 、2日和11日 16.下面使用类比推理正确的是(18.已知结论：“在正三角形 ABC 中,若D 是边BC 的中点，G 是三角形ABC 的重心，则”，若把该结论推广到空间，则有结论：“在棱长都相等的四面体中心为M 四面体内部一点 0到四面体各面的距离都相等，则21. 观察下列等式照此规律，第n 个等式可为 _____________________________ .22.有一段“三段论”推理是这样的：“对于可导函数 f (x )，如果f '( x o ) =0,那么x=x o 是函数f (x )的极值点；因为函数 f (x ) =x 3在x=0处的导数值f '( 0) =0,所以x=0是函数f (x ) =x 3的 极值点.”以上推理中A . 直线a // b , b // c ,贝U a // c ,类推出：向量B . 同一平面内，直线 a , b , c ,若a 丄c , b 丄c ,贝U a // L |- ?<!，则-Ib .类推出：空间中，直线 a , b ,c ,若a 丄b 丄c ,贝U a / b实数a , b ，若方程x 2+ax+b=0有实数根，则 数根，则a 2>4bC. 类推出：复数 a , b ,若方程x 2+ax+b=0有实D.以点(0, 0)为圆心，r 为半径的圆的方程为 x 2+y 2=r 2 .类推出：以点(0, 0, 0)为球心，r 为\已知f 〔X+ == !■€7(x)=4左忙+二B. fG)=r *x-hlABCD 中，若△ BCD 的AO 丽=(A . 1B . 2 C. 3D.19. 将正奇数按照如卞规律排列，则 20. 已知整数的数对列如下：( (1 , 4),( 2, 3),( 3, A .( 3, 8) B .( 4, 7)1, 2), C. 2 015所在的列数为 1),( 1, 2),( 2, (4, 1),( 1 , 5),(4, 8) D.( 5, 7)1),( 1, 3),( 2, 2),( 3, 1), (2, 4),…则第60个数对是()二、填空题(本题共10道小题，每小题0分，共0分)A.，猜想产W 的表达式半径的球的方程为 x 2+y 2+z 2=r 2（1）大前提错误（2）小前提错误（3）推理形式正确（4 ）结论正确 你认为正确的序号为 _ _ .23. 给出下列三个类比结论：① 若a , b , c , d € R,复数a+bi=c+di ,贝U a=c , b=d ，类比推理出：若 a+b =c+d ! ”贝U a=c , b=d ;② 已知直线a , b , c ,若a // b , b // c ,贝U a // c ,类比推理出，已知向量则；③同一平面内，a , b , c 是三条互不相同的直线，若a //b , b //c ,则a,3,Y 是三个互补相同的平面，若a/3,3 / Y,贝U a/丫.其中正确结论的个数是24. 甲、乙、丙、丁四人商量去看电影.甲说：乙去我才去； 乙说：丙去我才去； 丙说：甲不去我就不去; 丁说：乙不去我就不去. 最后有人去看电影，有人没去看电影，去的人是 _______________________25. 甲、乙、丙、丁四位同学被问到是否游览过西岳华山时，回答如下：甲说：我没有去过；乙说: 丙游览过；丙说：丁游览过；丁说：我没游览过.在以上的回答中只有一人回答正确且只有一人游览过华山.根据以上条件，可以判断游览过华山的人是 _________________________ .1I ■I --- ■ I ---- ・26.在厶ABC 中, D 为BC 的中点，^小匚丁（丄+'『）将命题类比到空间：在三棱锥A- BCD 中，G 为△ BCD 的重心，则门=? ? ???.27.在平面几何里，有勾股定理 “设△ ABC 的两边AB, AC 互相垂直，则A B+A C=BC'，拓展到空间,类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系，可以得出正确的结论是: “设三棱锥 A - BCD 的三个侧面 ABC ACD ADB 两两互相垂直，则推广到空间可以得到类似结论；已知正四面体P -ABC 的内切球体积为 V 1,外接球体积为 V 2,则-= 30. 一同学在电脑中打出如下若干个圆（图中•表示实圆，O 表示空心圆）若将此若干个圆依次复制得到一系列圆，那么在前2003个圆中，有 ___________ 个空心圆.a ,b ,c ,d € Qa // c ,类比推理出：空间中, 28. 二维空间中圆的一维测度（周长）2（表面积）S=4nr ，三维测度（体积） 其四维测度W=—.29. 在平面几何中有如下结论：正三角形 2 ..1=2 n r ，二维测度（面积）S=n 三维空间中球的二维测度V=3 nr 3；四维空间中“超球”的三维测度V=8—3，则猜想ABC 的内切圆面积为 S ，外接圆面积为 9,则hlN 丨左一 ■■三、解答题(本题共2道小题，第1题0分，第2题0分，共0分)1 1 1 131. 已知数列1 3 3 55 7(2n 1)(2n 1)，，计算SjS2，'，根据计算结果，猜想达式，并用数学归纳法给出证明•32. 一种十字绣作品由相同的小正方形构成，图①，②，③，④分别是制作该作品前四步时对应的图案，按照如此规律，第n步完成时对应图案中所包含小正方形的个数记为 f (n) •①② ③ ④(1)求出f (2) , f (3), f(4) , f(5)的值；(2)利用归纳推理，归纳出f(n+1)与f(n)的关系式；(3)猜想f(n)的表达式，并写出推导过程.Sn的表试卷答案1. B考点：归纳推理；演绎推理的意义2. A【考点】演绎推理的基本方法.【分析】本题考查的是演绎推理的定义，判断一个推理过程是否是演绎推理关键是看他是否符合演绎推理的定义，能否从推理过程中找出“三段论”的三个组成部分.【解答】解：在推理过程“所有金属都能导电，铁是金属，所以铁能导电”中所有金属都能导电，是大前提铁是金属，是小前提所以铁能导电，是结论故此推理为演绎推理故选A【点评】演绎推理的主要形式就是由大前提、小前提推出结论的三段论推理•三段论推理的依据用集合论的观点来讲就是：若集合M的所有元素都具有性质P, S是M的子集，那么S中所有元素都具有性质P.三段论的公式中包含三个判断：第一个判断称为大前提，它提供了一个一般的原理；第二个判断叫小前提，它指出了一个特殊情况；这两个判断联合起来，揭示了一般原理和特殊情况的内在联系，从而产生了第三个判断结论.3. B【分析】欲比较…-一」的大小，只须比较』-匚「心二•一 -'丄」，先分别求出左右两式的平方，再比较出两平方式的大小•从结果来找原因，或从原因推导结果，证明不等式所用的最适合的方法是分析法.【解答】解：欲比较 '' - 2 的大小，只须比较川1丄（]，_ ] ）2=2a- 1+2 川—’」【（亠- J ）2=2a- 1+ - - 」,只须比较n J.、，，、的大小，以上证明不等式所用的最适合的方法是分析法.故选B.【点评】本题考查的是分析法和综合法，解答此题的关键是熟知比较大小的方法．从求证的不等式出发，“由果索因”，逆向逐步找这个不等式成立需要具备的充分条件，分析法——通过对事物原因或结果的周密分析，从而证明论点的正确性、合理性的论证方法．也称为因果分析4. C【考点】反证法与放缩法．【分析】写出命题“三角形中最多只有一个内角是钝角”的结论的否定即可【解答】解：命题“三角形中最多只有一个内角是钝角”的结论的否定是“至少有两个内角是钝角”故选C．5. D【考点】类比推理．【分析】根据已知可以得出规律，即可得出结论．【解答】解：••• 21X 1=2, 22X 1 X 3=3X4, 23X 1X 3X 5=4X 5X 6,…，5•••第5 个等式为2 X 1X 3X 5X 7X 9=6X 7X 8X 9X 10故选：D6. B【考点】演绎推理的基本方法．【专题】规律型；推理和证明．【分析】根据三段论”的排列模式：“大前提”7“小前提”？“结论”，分析即可得到正确的次序．解：根据“三段论”：“大前提”7“小前提” ?“结论”可知：①y=cosx (( x € R )是三角函数是“小前提”；②三角函数是周期函数是“大前提”；③y=cosx (( x € R )是周期函数是“结论”；故“三段论”模式排列顺序为②①③故选B【点评】本题考查的知识点是演绎推理的基本方法：大前提一定是一个一般性的结论,小前提表示从属关系,结论是特殊性结论．7. A8. C9. A【考点】反证法与放缩法．【分析】直接利用命题的否定写出假设即可．【解答】解：反证法证明问题时,反设实际是命题的否定,•••用反证法证明命题“设a, b为实数，则方程x2+ax+b=0至少有一个实根”时，要做的假设是方程x2+ax+b=0没有实根. 故选：A.10. B11. C12. D【考点】归纳推理.【分析】由已知中数列，可得数列各项的分母是2n,分子是- ，进而得到答案.【解答】解：由已知中数列-> 、- 、^—、…根据前三项② 4 6 a-b 10给出的规律，可得：a- b=8, a+b=11,解得：2a=19, 2b=3,故实数对（2a, 2b）可能是（19, 3）,故选：D13. D【考点】进行简单的合情推理.【分析】本题考查的知识点是归纳推理，分析已知图形中座位的排列顺序，我们不难发现座位排列的规律，即被5除余1的数，和能被5整除的座位号临窗，由于两旅客希望座位连在一起，且有一个靠窗，分析答案中的4组座位号，不难判断正确的答案.【解答】解：由已知图形中座位的排列顺序，可得：被5除余1的数，和能被5整除的座位号临窗，由于两旅客希望座位连在一起，且有一个靠窗，分析答案中的4组座位号，只有D符合条件.故选D14. B试题分析：原来三角形数是从3开始的连续自然数的和.3是第一个三角形数，6是第二个三角形数，10是第三个三角形数，15是第四个三角形数，21是第五个三角形数，28是第六个三角形数，15. C提示：1~12日期之和为78，三人各自值班的日期之和相等，故每人值班四天的日期之和是 26，甲在1日和3日都有值班，故甲余下的两天只能是10号和12号；而乙在8日和9日都有值班， 8+9=17，所以11号只能是丙去值班了。