推理与证明测试题82471.docx

第四十一中学高二数学选修2-2《推理与证明测试题》
试卷满分100分，考试时间105分钟
一、 选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.
1、 下列表述正确的是（ ）.
①归纳推理是由部分到整体的推理；②归纳推理是由一般到一般的推理；③演绛推理是由一 般到特殊的推理；④类比推理是由特殊到一般的推理；⑤类比推理是由特殊到特殊的推理. A. ①②③；B.②③④；C.②④⑤；D.①③⑤. 2、 下面使用类比推理正确的是 （ ）•
A. “若a ・3 = b ・3,则a 二b”类推出“若a ・0 = b ・0,则。

=/?”
B. “若（a + b ）c = ac + bc "类推出 “（a • b）c = ac • be ”
C. “若（d + b ）c = ac + bc” 类推出“（
^- = - + -
（cHO ）”
c c c
D. “（b ） n
= a n b n v 类推出 n =a n +b ,lff
3、 有--段演绎推理是这样的：“直线平行于平而，则平行于平而内所有直线；已知直线
b 尘平而&,立线a 〒平面a,直线b 〃平面Q ,则直线b//n 线a”的结论显然是错误 的，这是因为
（'）
A ・人前提错误 B.小前提错误 C.推理形式错误 D.非以上错误 4、 用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不人于60度”时，反设正确的是（）o （A ）假设三内角都不大于60度；
（B ）假设三内角都大于60度；
（O 假设三内角至多有一个大于60度；
（D ）假设三内角至多有两个大于60度。

5、 在I •进制中2004 = 4x10°+0x10'+0X 101 2+2X 103,那么在5进制中数码2004折合 成十进制为 （ ） A. 29 B. 254 C. 602 D. 2004
8、用数学归纳法证明 “5 + 1)07 + 2)…(兀 + 〃)= 2“ -1-2•(2n -1) " ( n G )时,
9、已知料为止偶数，用数学归纳法证明
1 一严2
6、 利用数学归纳法证明a l+a+a 2+- + a n41= -------------------- , （aHl, nGN ）”时，在验证n=l
\-a
成立吋，左边应该是
（
）
（A ）l （B ）l+a
（C ）l+a+a 2 （D ）l+a+a 2+a 3
7、 某个命题与正整数料有关，如果当n = k 伙wN+）时命题成立，那么可推得当n = k + \
时命题也成立.现（2知当n = l 时该命题不成立，那么可推得
A.当n=6时该命题不成立
B. 当n=6时该命题成立
C. 当时该命题不成立
D. 当n=8时该命题成立
从“ /1 = £到n = k + \^时，左边应增添的式子是
A. 2k +1
B. 2(2£ + 1)
2k + l
( )
D. 222
1冷+卜”・・+占=2（占+占+ ••• + £时,若已假设归（心为偶
数）时命题为真，则还需要用归纳假设再证
( )
A. n = k + 1时等式成立
B. n = k + 2时等式成立
C. n = 2k + 2时等式成立
D. n = 2(k + 2)时等式成立
10^数列血｝中，ci\=\, Sn 表力Mjn 项和，且S”
S n+1, 2S ］成等差数列，通过计算S 2,
S3,猜想当心1时,S n =
（ ）
二、 填空题：本大题共4小题，每小题3分，共12分.
11> 一同学在电脑中打出如下若干个圈：0・00・00 0・000 0・000 00・・・・若
将此若干个圈依此规律继续下去，得到一系列的圈，那么在前120个圈中的•的个数 是 _________________ 。

12、类比平面几何中的勾股定理：若直角三角形ABC 中的两边AB 、AC 互相垂直，则三角形
三边长Z 间满足关系：AB 2 + AC 2 = BC 4 5。

若三棱锥A-BCD 的三个侧面ABC 、ACD 、ADB 两 两互相垂直，则三棱锥的侧而积与底而积之间满足的关系为 ________________________ ,
13、从 1=1, 1-4二-（1+2）, 1-4+9二 1+2+3, 1-4+9-16二-（1+2+3+4）,…，推广到第斤个等式为
14、设平面内育n 条直线（n > 3）,其中有且仅有两条ft 线互相平行，任意三条立线不过同
一点.若用/⑺）表示这n 条直线交点的个数，则/（4）二 _________________ ； 当n > 4时，/（"）= ________________________ （川含n 的数学表达式表示）。

三、解答题：本大题共6题，共58分。

15、
（8 分）求证：⑴ a 2 +h 2
+3>ab + ^（a + b ）; （2）拆+ 0>2血 + 石。

16、
设 a, b, x, yWR,且a 2 + b 2 = 1, x 2+y 2 = 1,试证|ax+ by| < !□ （8 分）
17、若 a,b,c 均为实数，.Ha = x £ - 2y + |,b = y 2 - 2z + 7,c = z 2 - 2x +
求证：a, b, c 中至少有一个大于0。

（8分）
18、用数学归纳法证明:
52
22
n 1
n(n +1) ---- H ------- ---- ----------------------- = -------------- 1-3 3-5 (2n-l)(2n + l) 2(2n +1)
A.
2" +1
B.
T -\
n-\
n{n +1)
"T 7
;（7 分）
D. 1-
（II ） 1 + — + 丄 +丄+ ・・・ + 一-一 < n ； （7 分）
2 3 4 2"-1
19、数学归纳法证明:屮十】+© + 1严7能被a 2 + a +1整除,nwN+. （8分）
20、已知数列｛/｝满足$+臼”=2/?+1, (1)写出$1,臼2, ©，并推测禺的表达式;
(2)用数学归纳法证明所得的结论。

(12分)
第四十一中学高二数学选修2-2《推理与证明测试题》答案
一、
选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.
DCABB CABBB
二、 填空题：本大题共4小题，每小题3分，共12分. 11、更 12、 S ：BCD = S ］貞孔 + S ；1ACD + S 13、
1 — 4 + 9 — 16 +…+ ( - 1) n+1 - n
2 = ( - 1)
- (1 + 2 + 3 +…+
14、 5 ； z (】】一2) - (114
三、解答题：本大题共6题，共58分。

15、证明:(1) V a 2+b 2
>2ab f
a 2 +3>2y/3a t
b 2
+3>2y/3b ;
将此三式相加得
2 (a 2
+/?2+3)> 2ab + 2 屈 + 2®, ci~
+ b~ + 3 2 ab + \/3(6Z + b).
(2)要证原不等式成立， 只需证(拆+ J7 ) 2> (2^2+75 ) 2 即证 2A /42 > 2A /40 O
・・•上式显然成立，
.••原不等式成立.
16、 可以用综合法与分析法-一略 17、 可以用反证法-一略 18、 (1)可以用数学归纳法-一略
(2)当〃二R+1 时，左边=(1 + 丄 + ・..+ ^!—) + (亠+ •••+ —)<)t +
2 2A
-1 2k 2如 一1
2人项
19、对以用数学归纳法一-略 20、解：
小 _3 _7 _15 (1) 曰 1 ----- ,曰 2 -------- ,日3 --------------- ,
1 1 1、 尹+尹+…+尹） ___ _____ y
= k + 2k ・R+1二右边，命题正确
2 4 8
猜测禺=2—丄
2“
(2)①由(1)已得当刀=1时，命题成立；
②假设n=k R'J",命题成立，即越=2—」^,
2k
当n=k~\~ 1 时，创 + 金+ .. + 禺+日人+1 + 弘+1 = 2 (&+1) +1, 且51 + <32 + .. + 日& = 2«+ 1 —cik
2 A +1 —处+2日*+1 = 2 (&+1)+1 =2斤+3,
即当77= £+1时，命题成立.
根据①②得心，心詁都成立。