高中数学-推理与证明单元测试卷
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2019年高中数学单元测试试题 推理与证明专题（含答案）学校：__________第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明 一、选择题1．观察下列事实|x|+|y|=1的不同整数解(x,y)的个数为 4 , |x|+|y|=2的不同整数解(x,y)的个数为8, |x|+|y|=3的不同整数解(x,y)的个数为12 .则|x|+|y|=20的不同整数解(x,y)的个数为 （ ）A ．76B ．80C ．86D ．92（2012江西文）2．下列推理正确的是----------------------------------------------------------（ ）(A) 把()a b c + 与 log ()a x y + 类比，则有：log ()log log a a a x y x y +=+ ． (B) 把()a b c + 与 sin()x y + 类比，则有：sin()sin sin x y x y +=+．(C) 把()n ab 与 ()na b + 类比，则有：nnn()x y x y +=+．(D) 把()a b c ++ 与 ()xy z 类比，则有：()()xy z x yz =．第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明 二、填空题3．用数学归纳法证明: (31)(1)(2)()2n n n n n n +++++++=*()n N ∈的第二步中,当1n k =+时等式左边与n k =时的等式左边的差等于 ▲ .4．约瑟夫规则：将1，2，3，…，n 按逆时针方向依次放置在一个单位圆上，然后从1开始，按逆时针方向，隔一个删除一个数，直至剩余一个数而终止，依次删除的数为1，3，5，7，…．当65n =时，剩余的一个数为 ▲ ．25．在矩形ABCD 中，对角线AC 与相邻两边所成的角为α，β，则有221cos αcos β+=。
类比到空间中的一个正确命题是：在长方体1111ABCD A B C D -中，对角线1AC 与相邻三个面所成的角为α，β，γ，则有＿＿＿。
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2019年高中数学单元测试试题 推理与证明专题（含答案）学校：__________第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明一、选择题1．下面的四个不等式：①ca bc ab c b a ++≥++222；②()411≤-a a ；③2≥+ab b a ；④()()()22222bd acd c b a +≥+∙+.其中不成立的有 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个2．类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，可推知正四体的下列的一些性质，①各棱长相等，同一顶点上的两条棱的夹角相等；②各个面都是全等的正三角形， 相邻两个面所成的二面角相等；③各个面都是全等的正三角形，同一顶点上的任何两条棱的夹角相等．你认为比较恰当的是 ．3．把下面在平面内成立的结论类比地推广到空间，结论还正确的是-----------------------------------（ ）(A) 如果一条直线与两条平行线中的一条相交，则比与另一条相交 ．(B) 如果一条直线与两条平行线中的一条垂直，则比与另一条垂直．(C) 如果两条直线同时与第三条直线相交，则这两条直线相交．(D) 如果两条直线同时与第三条直线垂直，则这两条直线平行．第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题4．用反证法证明命题：“如果x y <，那么1155x y >”时，假设的内容应该是 ▲5．已知命题：△ABC 的顶点A(−P ，0)，C(P ，0)，顶点B 在椭圆x 2m 2 + y 2n 2 = 1(m >n >0，P =m 2−n 2)上，椭圆的离心率为e ，则sinA+sinC sinB = 1e 。
试将该命题类比到双曲线中，给出一个真命题： ▲ 。
6．已知各项为正数的等比数列}{n b ，若m b a =，n b b =，)(n m >， 则m m n b +=，类比上述性质，得出在等差数列{}n a 中的相关性质，若s a m =，t a n=，)(n m >，则 .7． 平面几何中“周长一定的所有矩形中，正方形的面积最大”类比到空间中可得到结论 ▲8． 类比平面几何中的勾股定理：若直角三角形ABC 中的两边AB 、AC 互相垂直，则三角形三边长之间满足关系：222BC AC AB =+。
推理与证明单元测试题及答案
A B C 1. 用数学归纳法证明“22111(1)1n n a a a a a a++-++++=≠-”，在验证1n =成立时，等号左边的式子是_________. 2. 由命题“存在x ∈R ，使220x x m ++≤”是假命题，求得m 的取值范围是(,)a +∞，则实数a 的值是3.空间任一点O 和不共线三点A 、B 、C ，则)1(=++++=z y x OC z OB y OA x OP 是P ,A ,B ,C 四点共面的充要条件．在平面中，类似的定理是 ．4. 设函数)12ln()(-++=x a x x f 是奇函数的充要条件a = ． 5. 如图，在每个三角形的顶点处各放置一个数，使位于ABC △的三边及平行于某边的任一直线上的数（当数的个数不少于3时）都分别成等差数列．若顶点A ,B ,C 处的三个数互不相同且和为1，则所有顶点上的数之和等于 ．6．已知a b c >>，且0a b c ++=，求证：23b ac a -<．7. 等比数列{n a }的前n 项和为n S ， 已知对任意的n N +∈ ，点(,)n n S ，均在函数(0xy b r b =+>且1,,b b r ≠均为常数)的图像上. （1）求r 的值；（11）当b=2时，记 22(log 1)()n n b a n N +=+∈证明：对任意的n N +∈ ，不等式1212111·······1n nb b b n b b b +++>+16.证明：(分析法)因为a b c >>，且0a b c ++=，所以0a >，0c <，要证明原不等式成立，只需证明23b ac a -<， 即证223b ac a -<，从而只需证明22()3a c ac a +-<， 即()(2)0a c a c -+>，因为0a c ->，20a c a c a a b +=++=->，所以()(2)0a c a c -+>成立，故原不等式成立．17.解:因为对任意的n N +∈,点(,)n n S ，均在函数(0x y b r b =+>且1,,b b r ≠均为常数的图像上.所以得n n S b r =+,当1n =时,11a S b r ==+,当2n ≥时,1111()(1)n n n n n n n n a S S b r b r b b b b ----=-=+-+=-=-,又因为{n a }为等比数列,所以1r =-,公比为b ,1(1)n n a b b -=-（2）当b=2时，11(1)2n n n a b b --=-=, 1222(log 1)2(log 21)2n n n b a n -=+=+=则1212n n b n b n ++=,所以121211135721·······2462n n b b b n b b b n++++=⋅⋅ 下面用数学归纳法证明不等式121211135721 (1246)2n n b b b n n b b b n ++++=⋅⋅>+成立. ① 当1n =时,左边=32,右边=2,因为322>,所以不等式成立. ② 假设当n k =时不等式成立,即121211135721·······12462k k b b b k k b b b k ++++=⋅⋅>+成立.则当1n k =+时,左边=11212111113572123·······246222k k k k b b b b k k b b b b k k ++++++++=⋅⋅⋅⋅⋅+ 2223(23)4(1)4(1)111(1)1(1)1224(1)4(1)4(1)k k k k k k k k k k k ++++++>+⋅===+++>++++++ 所以当1n k =+时,不等式也成立.由①、②可得不等式恒成立.。
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2019年高中数学单元测试试题 推理与证明专题（含答案）学校：__________第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明一、选择题1．下面使用类比推理正确的是 A.“若33a b ⋅=⋅,则a b =”类推出“若00a b ⋅=⋅,则a b =”B.“若()a b c ac bc +=+”类推出“()a b c ac bc ⋅=⋅”C.“若()a b c ac bc +=+” 类推出“a b a b c c c+=+ （c ≠0）” D.“n n a a b =n （b ）” 类推出“n n a a b +=+n （b ）”第II 卷（非选择题） 请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题2．类比关于正三角形的结论“边长为a 的正三角形内部任一点到3条边的距离之和为定值”，可以得到空间中“棱长为a 的正四面体内部任一点到四个面的距离之和为定值 ▲ ．” 3．观察式子232112<+，353121122<++，474131211222<+++，则可以归纳出<++⋅⋅⋅++++2222)1(14131211n ▲ ___．4．用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，反设是 ▲5．已知结论：“在等边ABC ∆中，若D 是边BC 的中点， G 是ABC ∆外接圆的圆心，则2AG GD=”。
若把该结论推广到空间，则有结论”在正四面体ABCD 中，若M 是BCD ∆三条中线的交点，O 为正四面体外接球的球心，则AO OM= ▲ . 6．如图，将全体奇数排成一个三角形数阵，根据以上排列规律，数阵中第(4)n n ≥行的从左到右的第4个数是 ▲ ．7．用火柴棒摆“金鱼”，如图所示：按照上面的规律，第n 个“金鱼”图需要火柴棒的根数为6n+2 ．（5分）8．设有三个命题：“①0＜21＜1．②函数x x f 21＝ log )(是减函数．③当0＜a ＜1时，函数x x f a log ＝ )(是减函数”．当它们构成三段论时，其“小前提”是 ▲ (填序号)．9．观察不等式：1111212⋅⋅≥，11111(1)()33224++≥， 1111111(1)(),4353246⋅++++≥，由此猜测第n 个不等式为 ▲ ．10．若点O 在三角形ABC 内,则有结论S OBC ∆·+ S OAC ∆· +S OAB∆·= ,把命题类比推广到空间,若点O 在四面体ABCD 内,则有结论: .11．从222576543,3432,11=++++=++=中，得出的一般性结论是 ．12．由图(1)有面积关系: PA B PAB S PA PB S PA PB''∆∆''⋅=⋅，则由(2) 有体积关系: .P A B C P ABC V V '''--=13．已知数列{}n a 满足11a =，11()2n n n a a -+=(2)n ≥，212222n n n S a a a =⋅+⋅++⋅，类比课本中推导等比数列前n 项和公式的方法，可求得132n n n S a +-⋅= ▲ .13 5 7 9 11 13 15 17 19………………14．在计算“1223(1)n n ⨯+⨯+⋅⋅⋅++”时，某同学学到了如下一种方法：先改写第k 项：1(1)[(1)(2)(1)(1)],3k k k k k k k k +=++--+由此得 112(123012),3⨯=⨯⨯-⨯⨯ 123(234123),3⨯=⨯⨯-⨯⨯ …1(1)[(1)(2)(1)(1)].3n n n n n n n n +=++--+ 相加，得11223(1)(1)(2).3n n n n n ⨯+⨯+⋅⋅⋅++=++ 类比上述方法，请你计算“123234(1)(2)n n n ⨯⨯+⨯⨯+⋅⋅⋅+++”，其结果为 ▲ .15．====试推测___,___a b == 16．已知下列结论：① 1x 、2x 都是正数⇔⎩⎨⎧>>+002121x x x x ，② 1x 、2x 、3x 都是正数⇔⎪⎩⎪⎨⎧>>++>++000321133221321x x x x x x x x x x x x ，则由①②猜想：1x 、2x 、3x 、4x 都是正数⇔04321>+++x x x x 0434232413121>+++++x x x x x x x x x x x x12340.x x x x > ▲三、解答题17． （本小题满分14分）⑴用综合法证明：()222,,,a b c ab bc ca a b c R ++≥++∈； ⑵用反证法证明：若c b a ,,均为实数，且222π+-=y x a ，322π+-=z y b ，622π+-=x z c ，求证c b a ,,中至少有一个大于0.18．已知数列}{n a 满足),(12121*21N n na a a n n n ∈+-=+且.31=a （1）计算432,,a a a 的值，由此猜想数列}{n a 的通项公式；（2）用数学归纳法对你的结论进行证明．（本小题满分15分）19．试用两种方法证明：（1）012()n n n n n C C C n N *+++=∈； （2）12122(2)n n n n n C C nC n n N n -*+++=∈≥且．（本题满分15分）20．设n ∈*N 且2n ≥，证明：()22221212n n a a a a a a ++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+()1232n a a a a ⎡+++⋅⋅⋅+⎣()234n a a a a +++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅]1n n a a -+． 证明：（1）当2n =时，有()2221212122a a a a a a +=++，命题成立． ………2分（2）假设当(2)n k k =≥时，命题成立，即()22221212k k a a a a a a ++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+()1232k a a a a ⎡+++⋅⋅⋅+⎣()234k a a a a +++⋅⋅⋅+ +⋅⋅⋅]1k k a a -+成立， ………4分 那么，当1n k =+时，有()2121k k a a a a +++⋅⋅⋅++()()221212112k k k k a a a a a a a a ++=++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++ 22212k a a a =++⋅⋅⋅+()1232k a a a a ⎡+++⋅⋅⋅+⎣()234k a a a a +++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅]1k k a a -+ (12a +2a ++⋅⋅⋅)211k k k a a a ++++． 2222121k k a a a a +=++⋅⋅⋅++()12312k k a a a a a +⎡+++⋅⋅⋅++⎣+(234a a a ++⋅⋅⋅k a +)1k a ++ +⋅⋅⋅ ]1k k a a ++．所以当1n k =+时，命题也成立． ………8分 根据（1）和（2），可知结论对任意的n ∈*N 且2n ≥都成立． ………10分21．已知数列{a n }满足：1*1122,1()n a n a a a a n -+=-=+∈N ．(1)若1a =-，求数列{a n }的通项公式；(2)若3a =，试证明：对*n ∀∈N ，a n 是4的倍数．22．记)()(),(n n n n y x y x y x f +-+=，其中x ，y 为正实数，+∈N n .给定正实数a ，b 满足1-=b b a .用数学归纳法证明：对于任意正整数n ，).2,2(),(n n f b a f ≥23．已知))((R x x f ∈恒不为0，对于任意R x x ∈21,等式()()⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅⎪⎭⎫⎝⎛+=+222212121x x f x x f x f x f 恒成立.求证：)(x f 是偶函数. 24．已知：空间四边形ABCD 中，E ，F 分别为BC ，CD 的中点，判断直线EF 与平面ABD 的关系，并证明你的结论.25．在△ABC 中，CB C B A cos cos sin sin sin ++=，判断△ABC 的形状.26．若a 、b 、c 是不全相等的正数，求证：27．用,,,a b c d 四个不同字母组成一个含1+n *)(N n ∈个字母的字符串，要求由a 开始，相邻两个字母不同. 例如1=n 时，排出的字符串是,,ab ac ad ；2=n 时排出的字符串是,,,,,,,,aba abc abd aca acb acd ada adb adc ，……， 如图所示.记这含1+n 个字母的所有字符串中，排在最后一个的字母仍是a 的字符串的种数为n a . （1）试用数学归纳法证明：*33(1)(,1)4N n n n a n n +-=∈≥； （2）现从,,,a b c d 四个字母组成的含*1(,2)N n n n +∈≥个字母的所有字符串中随机抽取一个字符串，字符串最后一个的字母恰好是a 的概率为P ，求证：2193P ≤≤. a b d n=1 a b c d n=2 ad abdabc28．已知数列{}n a ，0≥n a ，01=a ，)(12121∙++∈=-+N n a a a n n n ． 记n n a a a S +++= 21．)1()1)(1(1)1)(1(11121211n n a a a a a a T +++++++++=．求证：当∙∈N n 时，(Ⅰ）1+<n n a a ；(Ⅱ）2->n S n ；(Ⅲ）3<n T 。
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2019年高中数学单元测试试题推理与证明专题（含答案）学校：__________第I卷（选择题）请点击修改第I卷的文字说明一、选择题1．有一段演绎推理是这样的：“直线平行于平面,则平行于平面内所有直线；已知直线b⊆/平面α，直线a≠⊂平面α，直线b∥平面α，则直线b∥直线a”的结论显然是错误的，这是因为A.大前提错误B.小前提错误C.推理形式错误D.非以上错误2．把下面在平面内成立的结论类比地推广到空间，结论还正确的是-----------------------------------（）(A) 如果一条直线与两条平行线中的一条相交，则比与另一条相交．(B) 如果一条直线与两条平行线中的一条垂直，则比与另一条垂直．(C) 如果两条直线同时与第三条直线相交，则这两条直线相交．(D) 如果两条直线同时与第三条直线垂直，则这两条直线平行．第II卷（非选择题）请点击修改第II卷的文字说明二、填空题3．用数学归纳法证明:(31)(1)(2)()2n nn n n n+++++++=*()n N∈的第二步中,当1n k=+时等式左边与n k=时的等式左边的差等于▲.4．把1，3，6，10，15，21，这些数叫做三角形数，这是因为这些数目的点可以排成5．观察下列式子：474131211,3531211,2321122222<+++<++<+…则可归纳出第(1,)n n n N *≥∈个不等式是 ▲ ．6．观察下列等式：311=，33129+=，33312336++=，33331234100+++=，……猜想：3333123n +++⋅⋅⋅+= ▲ （n ∈*N ）.7．已知结论：“在三边长都相等的ABC ∆中，若D 是BC 的中点，G 是ABC ∆外接圆的圆心，则2AG GD=”．若把该结论推广到空间，则有结论：“在六条棱长都相等的四面体ABCD 中，若M 是BCD ∆的三边中线的交点，O 为四面体ABCD 外接球的球心，则AO OM= ▲ 8．已知 0(1,2,,)i a i n >=，考察下列式子： 111()1i a a ⋅≥； 121211()()()4ii a a a a ++≥； 123123111()()()9iii a a a a a a ++++≥. 我们可以归纳出，对12,,,n a a a 也成立的类似不等式为 ▲ ．9．若点O 在三角形ABC 内,则有结论S OBC ∆·+ S OAC ∆· +S OAB∆·= ,把命题类比推广到空间,若点O 在四面体ABCD 内,则有结论: .10．用反证法证明命题“),(*∈⋅Z b a b a 是偶数，那么a ，b 中至少有一个是偶数．”那么 反设的内容是 ；11．设面积为S 的平面四边形的第i 条边的边长记为a i （i =1，2，3，4），P 是该四边形内任意一点，P 点到第i 条边的距离记为h i ，若31241234a a a a k ====, 则412()i i S ih k ==∑.类比上述结论，体积为V 的三棱锥的第i 个面的面积记为S i （i =1，2，3，4），Q 是该三棱锥内的任意一点，Q 点到第i 个面的距离记为H i ，则相应的正确命题是：若31241234S S S S k ====,则 ．12．请阅读下列材料：若两个正实数12,a a 满足22121a a +=，那么12a a +≤．证明：构造函数2221212()()()22()1f x x a x a x a a x =-+-=-++，因为对一切实数x ，恒有()0f x ≥，所以0∆≤，从而得2124()80a a +-≤，所以12a a +≤．根据上述证明方法，若n 个正实数满足222121n a a a ++⋅⋅⋅+=时，你能得到的结论为 ▲ .（不必证明）13．观察下列各图，并阅读下面的文字，像这样，10条直线相交，交点的个数最多是____________；2条直线相交， 3条直线相交， 4条直线相交，最多有1个交点 最多有3个交点 最多6个交点14．已知各项为正数的等比数列}{n b ，若m b a =，n b b =，)(n m >， 则m n b +=，类比上述性质，得出在等差数列{}n a 中的相关性质，若s a m =，t a n =，)(n m >，则 .15．若定义在区间D 上的函数()x f 对D 上的任意n 个值1x ，2x ，…，n x ，总满足()()()[]n x f x f x f n ++211≤⎪⎭⎫ ⎝⎛++n x x x f n 21，则称()x f 为D 上的凸函数.已知函数x y sin =在区间()π,0上是“凸函数”，则在△ABC 中，C B A sin sin sin ++的最大值是三、解答题16．>本题满分14分）17．已知a i ＞0（i=1，2，…，n ），考查 ①； ②； ③．（15分）归纳出对a 1，a 2，…，a n 都成立的类似不等式，并用数学归纳法加以证明．18．已知数列}{n a 满足21=a ，)1(11+-=++n a a n n n 。
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2019年高中数学单元测试试题 推理与证明专题（含答案）学校：__________ 考号：__________一、填空题1．由“若直角三角形两直角边长分别为a 、b ，则其外接圆半径r ” 类比可得“若三棱锥三条侧棱两两垂直， 侧棱长分别为a 、b 、c ，则其外接球半径r =_____________” .2．用数学归纳法证明: (31)(1)(2)()2n n n n n n +++++++=*()n N ∈的第二步中,当1n k =+时等式左边与n k =时的等式左边的差等于 ▲ .3．用数学归纳法证明“当n 为正奇数时，nn y x +能被y x +整除”的第二步是__________.4．观察下列等式：1＝12，2＋3＋4＝32，3＋4＋5＋6＋7＝52，4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝72，…从中可归纳得出第n 个等式是 ．5． 在平面上，若两个正三角形的边长的比为1：2，则它们的面积比为1：4，类似地，在空间，若两个正四面体的棱长的比为1：2，则它们的体积比为 .1：86．观察下列等式：332333233332123,1236,123410+=++=+++=，。
根据上述规律，第5个等式为 ▲7．观察下列恒等式：∵ ααααtan 2)tan 1(2tan 1tan 22--=-，∴ ααα2tan 2tan 1tan -=-ααα4tan 22tan 12tan -=-ααα8tan 24tan 14tan -=-由此可知：128tan18tan1616tan832tan464tan2128tanππππππ-++++ = ．8．五位同学围成一圈依次循环报数，规定，第一位同学首次报出的数为2，第二位同学首次报出的数为3，之后每位同学所报出的数都是前两位同学所报出数的乘积的个位数字，则第2010个被报出的数为 ▲ ．4 (江苏省泰州中学2011年3月高三调研） 9．观察下列等式：11,358,791127,1315171964,2123252729125,=+=++=+++=++++=由此猜测第n 个等式为 ▲ ．10．观察不等式：1111212⋅⋅≥，11111(1)()33224++≥， 1111111(1)(),4353246⋅++++≥，由此猜测第n 个不等式为 ▲ ．11．一个与自然数有关的命题，若()n k k N =∈时命题成立可以推出1n k =+时命题也成立．现已知10n =时该命题不成立，那么下列结论正确的是： ▲ (填上所有正确命题的序号)①11n =时该命题一定不成立； ②11n =时该命题一定成立； ③1n =时该命题一定不成立；④至少存在一个自然数0n ,使0n n =时该命题成立； ⑤该命题可能对所有自然数都不成立．12． 已知整数的数对列如下:(1,1),(1,2),(2,1),(1,3),(2,2),(3,1),(1,4),(2,3),(3,2),(4,1),(1,5),(2,4),…则第30个数对是 .13．在平面几何里，有勾股定理：“设ABC ∆的两边AB 、AC 互相垂直，则222BC AC AB =+。
高二数学第一章推理与证明单元测试题及答案
高二数学选修2-2《推理与证明》质量检测试题参赛试卷 姓名：_________班级：________ 得分：________第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
. 2．由10>8，11>10，25>21，…若a >b >0且m >0，则a ＋m 与a 之间大小关系为( )A ．相等B ．前者大C ．后者大D ．不确定3、用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，反设正确的是（ ）。
(A)假设三内角都不大于60度； (B) 假设三内角都大于60度；(C) 假设三内角至多有一个大于60度； (D) 假设三内角至多有两个大于60度。
5、用数学归纳法证明“)12(212)()2)(1(-⋅⋅⋅⋅=+++n n n n n n”（+∈N n ）时，从 “1+==k n k n 到”时，左边应增添的式子是 （ ）A ．12+kB ．)12(2+kC ．112++k k D ．122++k k 6、某个命题与正整数n 有关，如果当)(+∈=N k k n 时命题成立，那么可推得当1+=k n 时命题也成立. 现已知当7=n 时该命题不成立，那么可推得（ ）A ．当n=6时该命题不成立B ．当n=6时该命题成立C ．当n=8时该命题不成立D ．当n=8时该命题成立7、已知n 为正偶数，用数学归纳法证明 )214121(2114131211nn n n +++++=-++-+-时，若已假设2(≥=k k n 为偶 数）时命题为真，则还需要用归纳假设再证（ ）A ．1+=k n 时等式成立B ．2+=k n 时等式成立C ．22+=k n 时等式成立D ．)2(2+=k n 时等式成立8、在十进制中01232004410010010210=⨯+⨯+⨯+⨯，那么在5进制中数码2004折合成十进制为 （ ） A.29 B. 254 C. 602 D. 20049、一同学在电脑中打出如下若干个圈:○●○○●○○○●○○○○●○○○○○●…若将此若干个圈依此规律继续下去,得到一系列的圈,那么在前120个圈中的●的个数是（ ） A ．12 B.13 C.14 D.1510、数列{}n a 中，a 1=1，S n 表示前n 项和，且S n ，S n+1，2S 1成等差数列，通过计算S 1，S 2，S 3，猜想当n ≥1时，S n =（ ） A ．1212-+n nB ．1212--n nC ．nn n 2)1(+ D ．1－121-n二、填空题（每小题5分，共4小题，满分20分）11、设等差数列{a n }的前n 项和为S n , 则S 4，S 8－S 4，S 12－S 8，S 16－S 12成等差数列．类比以上结论有：设等比数列{b n }的前n 项积为T n ，则T 4，________，________，T 16T 12成等比数列．12、设平面内有ｎ条直线(3)n ≥，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点．若用()f n 表示这ｎ条直线交点的个数，则(4)f = ；当ｎ＞４时，()f n ＝ （用含n 的数学表达式表示）。
天津市高三数学单元测试题15《推理与证明》 新人教版
（ 时间：60分钟 满分100分）一、选择题（每小题5分，共50分）1、 下列表述正确的是（ ）.①归纳推理是由部分到整体的推理；②归纳推理是由一般到一般的推理；③演绎推理是由一般到特殊的推理；④类比推理是由特殊到一般的推理；⑤类比推理是由特殊到特殊的推理.A ．①②③；B ．②③④；C ．②④⑤；D ．①③⑤.2、下面使用类比推理正确的是 （ ）.A.“若33a b ⋅=⋅,则a b =”类推出“若00a b ⋅=⋅,则a b =”B.“若()a b c ac bc +=+”类推出“()a b c ac bc ⋅=⋅”C.“若()a b c ac bc +=+” 类推出“a b a b c c c+=+ （c ≠0）” D.“n n a a b =n （b ）” 类推出“n n a a b +=+n （b ）” 3、 有一段演绎推理是这样的：“直线平行于平面,则平行于平面内所有直线；已知直线b ⊆/平面α，直线a ≠⊂平面α，直线b ∥平面α，则直线b ∥直线a ”的结论显然是错误的，这是因为 （ ）A.大前提错误B.小前提错误C.推理形式错误D.非以上错误4、用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，反设正确的是（ ）。
(A)假设三内角都不大于60度； (B) 假设三内角都大于60度；(C) 假设三内角至多有一个大于60度； (D) 假设三内角至多有两个大于60度。
5、在十进制中01232004410010010210=⨯+⨯+⨯+⨯，那么在5进制中数码2004折合成十进制为 （ ）A.29B. 254C. 602D. 20046．设S （n ）＝1n ＋1n ＋1 ＋1n ＋2 ＋1n ＋3 ＋…＋1n 2 ，则（ ） A ．S （n ）共有n 项，当n ＝2时，S （2）＝12 ＋13B ．S （n ）共有n ＋1项，当n ＝2时，S （2）＝12 ＋13 ＋14C ．S （n ）共有n 2－n 项，当n ＝2时，S （2）＝12 ＋13 ＋14D ．S （n ）共有n 2－n ＋1项，当n ＝2时，S （2）＝12 ＋13 ＋147．在R 上定义运算⊙：x ⊙y ＝x 2－y，若关于x 的不等式（x －a ）⊙（x ＋1－a ）＞0的解集是集合｛x ｜－2≤x ≤2，x ∈R ｝的子集，则实数a 的取值范围是（ ）A ．－2≤a ≤2B ．－1≤a ≤1C ．－2≤a ≤1D ．1≤a ≤28．已知f （x ）为偶函数，且f （2＋x ）＝f （2－x ），当－2≤x ≤0时，f （x ）＝2x ，若n ∈N *，a n ＝f （n ），则a 2006＝（ ）A ．2006B ．4C ．14D ．－4 9．函数f （x ）在［－1，1］上满足f （－x ）＝－f （x ）是减函数，α、β是锐角三角形的两个内角，且α≠β，则下列不等式中正确的是（ ）A ．f （sin α）＞f （sin β）B ． f （cos α）＞f （sin β）C ．f （cos α）＜f （cos β）D ．f （sin α）＜f （sin β）10．有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说：“是乙或丙获奖”，乙说：“甲、丙都未获奖”，丙说：“我获奖了”，丁说：“是乙获奖”。
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绝密★启用前高中数学-推理与证明单元测试卷一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.【题文】用反证法证明命题:“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，反设正确的是（）A.假设三个内角都不大于60度B.假设三个内角至多有一个大于60度C.假设三个内角都大于60度D.假设三个内角至多有两个大于60度2．【题文】菱形的对角线相等，正方形是菱形，所以正方形的对角线相等.在以上三段论的推理中（） A ．大前提错误B ．小前提错误 C ．推理形式错误D ．结论错误3．【题文】由“正三角形的内切圆切于三边的中点”可类比猜想:正四面体的内切球切于四个面( )A ．各正三角形内一点B ．各正三角形的某高线上的点C ．各正三角形的中心D ．各正三角形外的某点4．71115>，只需证（） A ．22)511()17(->- B ．22)511()17(+>+ C ．22)111()57(+>+ D ．22)111()57(->-5．【题文】命题“对于任意角θ，θθθ2cos sin cos 44=-”的证明:4cos θ-“4sin θ=θθθθθθθ2cos sin cos )sin )(cos sin (cos 222222=-=+-．”该过程应用了（）A ．分析法B ．综合法C ．间接证明法D ．反证法6．【题文】观察式子:232112<+，353121122<++，474131211222<+++，…，可归纳出式子为（）A ．1211 31211222-<++++n n B ．121131211222+<++++n n C ．n n n 12131211222-<++++ D ．122131211222+<++++n nn7．【题文】已知圆()x y r r 222+=>0的面积为πS r 2=⋅，由此推理椭圆()x y a b a b2222+=1>>0的面积最有可能是（） A ．πa 2⋅B ．πb 2⋅C ．πab ⋅ D ．π()ab 28．【题文】分析法又称执果索因法，若用分析法证明:“设a ＞b ＞c ，且a ＋b ＋c＝0<”索的因应是（） A ．a －b ＞0 B ．a －c ＞0C ．（a －b ）（a －c ）＞0D ．（a －b ）（a －c ）＜09．【题文】对于数25，规定第1次操作为3325133+=，第2次操作为3313+3355+=，如此反复操作，则第2017次操作后得到的数是（） A.25 B.250 C.55 D.13310.【题文】（1）已知332p q +=，求证:2≤+q p ．用反证法证明时，可假设2≥+q p ；（2）若,a b ∈R ，1<+b a ，求证:方程02=++b ax x 的两根的绝对值都小于1．用反证法证明时可假设方程有一根1x 的绝对值大于或等于1，即假设11≥x . 以下结论正确的是（） A ．（1）与（2）的假设都错误 B ．（1）的假设正确，（2）的假设错误 C ．（1）与（2）的假设都正确 D ．（1）的假设错误，（2）的假设正确11.【题文】两旅客坐火车外出旅游，希望座位连在一起，且有一个靠窗，已知火车上的座位的排法如图所示，则下列座位号码符合要求的应当是（）A.48，49B.62，63C.75，76D.84，8512.【题文】从1开始的自然数按如图所示的规则排列，现有一个三角形框架在图中上下或左右移动，使每次恰有九个数在此三角形内，则这九个数的和可以为（）A.2097B.1553C.1517D.2111二、填空题:本大题共4小题，每小题5分． 13.【题文】比较大小．14．【题文】在一项田径比赛中，甲、乙、丙三人的夺冠呼声最高．观众A B C 、、做了一项预测:A 说:“我认为冠军不会是甲，也不会是乙”．B 说:“我觉得冠军不会是甲，冠军会是丙”．C 说:“我认为冠军不会是丙，而是甲”．比赛结果出来后，发现A B C 、、三人中有一人的两个判断都对，一人的两个判断都错，还有一人的两个判断一对一错，根据以上情况可判断冠军是__________．15．【题文】已知,,a b c 是ABC ∆的三边，若满足222a b c +=，即22()()1a b c c+=，则ABC ∆为直角三角形，类比此结论:若满足(,3)n n n a b c n n +=∈≥N 时，ABC ∆的形状为________．（填“锐角三角形”“直角三角形”或“钝角三角形”）．16．【题文】观察以下等式:11= 123+= 1236++=123410+++= 1234515++++=311= 33129+= 33312336++= 33331234100+++= 3333312345225++++=可以推测3333123...n ++++=(用含有的式子表示，其中为自然数)．三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分10分）【题文】已知,a b +∈R ，求证:3322a b a b ab +≥+．18．（本小题满分12分）【题文】已知命题:平面上一矩形ABCD 的对角线AC 与边AB 、AD 所成的角分别为α、β（如图1），则1cos cos 22=+βα.用类比的方法，把它推广到空间长方体中，试写出相应的一个真命题并证明.19．（本小题满分12分）【题文】(1)求证>； (2)已知0,0a b >>，且2a b +>，求证:1b a +和1ab+中至少有一个小于2.20．（本小题满分12分）【题文】(1)已知a ,b 都是正数，求证:552332a b a b a b +≥+；(2)已知0a >，证明(12a a ⎛⎫≥+- ⎪⎝⎭．21．（本小题满分12分）【题文】设函数2()f x ax bx c =++且(1)2af =-，322.a c b >>（1）试用反证法证明:0a >； （2）证明:33.4b a -<<-22．（本小题满分12分）【题文】已知2Q =称为x ，y 的二维平方平均数，22x yA +=称为x ，y 的二维算术平均数，2G =x ，y 的二维几何平均数，2211H x y=+称为x ，y的二维调和平均数，其中x ，y 均为正数. （1）试判断2G 与2H 的大小，并证明你的猜想；（2）令22M A G =-，22N G H =-，试判断M 与N 的大小，并证明你的猜想； （3）令22M A G =-，22N G H =-，22P Q A =-，试判断M 、N 、P 三者之间的大小关系，并证明你的猜想.推理与证明单元卷答题卡注意事项:1. 答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己姓名和班级填写在答题卡上。
2. 选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案信息号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上。
3. 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
4. 考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题推理与证明单元卷参考答案与解析一、选择题【答案】1.C【解析】根据反证法的步骤，第一步应假设结论的反面成立，即三角形的三个内角都大于60度，故选C.考点:反证法.【题型】选择题【难度】较易【答案】2.A【解析】大前提，“菱形的对角线相等”，小前提，正方形是菱形，结论，所以正方形的对角线相等，大前提是错误的，因为菱形的对角线垂直平分，不一定相等．以上三段论推理中错误的是大前提，故选A．.考点:演绎推理的基本方法.【题型】选择题【难度】较易【答案】3.C【解析】四面体的面可以与三角形的边类比，因此三边的中点也就类比成各三角形的中心，故选C．考点:类比推理.【题型】选择题【难度】较易【答案】4.C【解析】由题为分析法进行证明不等式，两边平方需保证两边的数为非负数，合理的证明为22)111()57(+>+.考点:分析法证明不等式及不等式性质的运用．【题型】选择题【难度】较易【答案】5.B【解析】由证明过程可知，推理的出发点是对同角三角平方关系的运用（即从定理出发），是直接证明中的综合法.考点:综合法．【题型】选择题【难度】一般【答案】6.C【解析】观察式子:232112<+，353121122<++，474131211222<+++，…，可归纳出，分母就是求和的项数，分子就是2乘以项数减去1，则得到的表达式为 n n n 121 31211222-<++++ . 考点:归纳推理.【题型】选择题【难度】一般【答案】7.C【解析】把圆看作一种特殊的圆锥曲线，它的长半轴为r ，短半轴为r ，πS r 2=⋅，椭圆的长半轴为a ，短半轴为b ，则πS ab =⋅.考点:类比推理.【题型】选择题【难度】一般【答案】8.C2222223()32b ac a a c ac a a c ac ⇔-<⇔+-<⇔-->0，即222222()02000a c c a a bc a a bc a ab ac bc -+>⇔+>⇔++>⇔--+> ()()0a b a c ⇔-->，故选C ．考点:分析法及推证格式．【题型】选择题【难度】一般【答案】9.D【解析】第1次操作为3325133+=，第2次操作为33313355++=，第3次操作为53+53=250，第4次操作为23+53+03=133，…，∴操作结果以3为周期，循环出现.∵2017=3×672+1，∴第2017次操作后得到的数与第1次操作后得到的数相同，∴第2017次操作后得到的数是133，故选D ．考点:归纳推理.【题型】选择题【难度】一般【答案】10.D【解析】（1）的结论的否定应该是2>+q p ，故错；（2）的否定是方程的两根至少有一个大于或等于1，故（2）正确．考点:反证法.【题型】选择题【难度】一般【答案】11.D【解析】由已知图形中座位的排列顺序，可得被5除余1的数，和能被5整除的座位号临窗，由于两旅客希望座位连在一起，且有一个靠窗，分析答案中的4组座位号，只有D符合条件．故选D考点:归纳推理.【题型】选择题【难度】一般【答案】12.C【解析】根据题图所示的规则排列，设最上层的一个数为a，则第二层的三个数为a+7，a+8，a+9，第三层的五个数为a+14，a+15，a+16，a+17，a+18，这9个数之和为a+3a+24+5a+80=9a+104．由9a+104=1517，得a=157，是自然数．故选C．考点:合情推理.【题型】选择题【难度】较难二、填空题【答案】13.【解析】要比较21313=+=+要比较13+13+大小，>>考点:数或式的大小比较，分析法．【题型】填空题【难度】较易【答案】14.甲【解析】由题知，B、C的预测截然相反，必一对一错，因为只有一个对，不论B、C谁对，A必是一对一错，假设B的预测是对的，则丙是冠军，那么A说冠军也不会是乙也对，这与题目中“还有一人的两个判断一对一错”相矛盾，即假设不成立，所以B的预测是错误的，则C的预测是对的，所以甲是冠军．考点:推理的应用．【题型】填空题【难度】一般【答案】15.锐角三角形【解析】易得最大，则C该三角形为锐角三角形.考点:解三角形，类比推理.【题型】填空题【难度】一般【答案】 16.22(1)4n n + 【解析】由已知中的等式得，1=1；1+2=()212+；1+2+3=()2123++；1+2+3+4=()21234+++；1+2+3+4+5=()212345++++；…1+2+3+…+n ()212n =+++；即1+2+3+…+n 22(1)4n n +，故答案为22(1)4n n +． 考点:归纳推理【题型】填空题【难度】一般三、解答题【答案】17.详见解析【解析】证明:3322a b a b ab +-+=（）3232a a b b ab -+-（）2222)(()()a a b b b a a b a b =-+-=--（）2()()a b a b =-+.,a b +∈R ，2()0,0a b a b ∴-≥+>，2()()0a b a b ∴-+≥，3322a b a b ab ∴+≥+．考点:不等式证明.【题型】解答题【难度】较易【答案】18.见解析【解析】命题:长方体D C B A ABCD ''''-中(如图2)，对角线C A '与棱AB 、AD 、A A '所成的角分别为γβα,,，则1cos cos cos 222=++γβα. 证明:∵C A AB '=αcos ，C A AD '=βcos ，C A A A ''=γcos ， ∴1cos cos cos 222222222=''=''++=++C A C A C A A A AD AB γβα. （此题答案不唯一）考点:类比推理.【题型】解答题【难度】一般【答案】19.(1)详见解析(2)详见解析【解析】证明:(1)要证67225+>+，只需证22(67)(225)>，即证13+24213240>+，>，上式显然成立，故原不等式成立．(2)假设1122b a a b++≥≥，， 因为0,0a b >>，所以12,12b a a b +≥+≥，所以222a b a b ++≥+，故2a b +≤，这与题设条件2a b +>相矛盾，所以假设错误， 因此，1b a +和1a b+中至少有一个小于2. 考点:分析法、反证法.【题型】解答题【难度】一般【答案】20.(1)详见解析(2)详见解析【解析】证明:(1)552332a b a b a b +--523532a a b b a b =-+-233233()()a a b b a b =---2233()()a b a b =--222()()()a b a ab b a b =-+++.∵,a b 都是正数，∴220,0a b a ab b +>++>，2()0a b -≥， 233255b a b a b a +≥+∴.(2)1()(2a a +--，只要证2222111()2(2)(2a a a a a a++-++-≥，即证1022(2)(6a a -++-≥，即证12(2)8a a+-≥即证12a a+≥，因为0a >，所以12a a +=≥，1()(2a a +--． 考点:不等式证明，【题型】解答题【难度】一般【答案】21.（1）见解析；（2）见解析．【解析】证明:（1）假设0a ≤，∵322a c b >>，∴30,20,20a c b ≤<<， 将上述不等式相加得3220a c b ++<， ∵(1)2a f =-，∴3220a cb ++=， 这与3220ac b ++<矛盾，∴假设不成立，∴0a >．（2）∵(1)2a b c a f ++==-，∴32c a b =--， ∴3232a c a b >=--，∴3a b >-． ∵22c b >，∴34a b ->．∵0a >，∴334b a -<<-． 考点:反证法，综合法．【题型】解答题【难度】一般【答案】21 / 21 22.（1）22G H ≥（2）M N ≥（3）M P N ≥≥【解析】（1）22G H ≥证明:欲证22G H ≥2xy x y+，即证1≥，即证x y +≥22G H ≥. （2）M N ≥.证明:欲证M N ≥，即证22x y xy x y++≥+22x y xy x y ++≥+x y =，所以原命题成立． （2）M P N ≥≥.首先证明M P ≥:欲证M P ≥，即证x y +≥，即证222222x y x y xy xy +++≥+2()2x y +≥ 422()8()x y xy x y +≥+，即证4()0x y -≥，上式显然成立，等号成立的条件是x y =，故M P ≥．再证P N ≥:欲证P N ≥x y =时，上式显然成立，当x y ≠时，即证x y +≥M P ≥已经成功证明，所以原命题成立. 考点:用分析法证明，基本不等式．【题型】解答题【难度】较难。