2020高考数学大一轮复习板块命题点专练十文

板块命题点专练（十）
1
猜想一般凸多面体中解析：三棱柱中5＋6－9＝2；五棱锥中6＋6－10＝2；立方体中6＋8－12＝2，由此归纳可得F ＋V －E ＝2． 答案：F ＋V －E ＝2
2．(2014·全国卷Ⅰ)甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A ，B ，C 三个城市时， 甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B 城市； 乙说：我没去过C 城市； 丙说：我们三人去过同一城市． 由此可判断乙去过的城市为________．
解析：由甲、丙的回答易知甲去过A 城市和C 城市，乙去过A 城市或C 城市，结合乙的回答可得乙去过A 城市．
答案：A
3．(2015·陕西高考)观察下列等式： 1－12＝12
， 1－12＋13－14＝13＋14
， 1－12＋13－14＋15－16＝14＋15＋16， …
据此规律，第n 个等式可为_________________________________________． 解析：等式的左边的通项为12n －1－12n ，前n 项和为1－12＋13－14＋…＋12n －1－1
2n
；右边的每个式子的第一项为
1n ＋1，共有n 项，故为1n ＋1＋1n ＋2＋…＋1
n ＋n
． 答案：1－12＋13－14＋...＋12n －1－12n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋ (12)
1．(2014·江西高考)已知数列{a n } 的前 n 项和 S n ＝2，n ∈N *
．
(1)求数列{a n } 的通项公式；
(2)证明：对任意的n >1，都存在m ∈N *
，使得 a 1，a n ，a m 成等比数列． 解：(1)由S n ＝3n 2
－n
2
，得a 1＝S 1＝1，
当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝3n －2，当n ＝1时也适合． 所以数列{a n }的通项公式为：a n ＝3n －2． (2)证明：要使得a 1，a n ，a m 成等比数列， 只需要a 2
n ＝a 1·a m ，即(3n －2)2
＝1·(3m －2)， 即m ＝3n 2
－4n ＋2，而此时m ∈N *
，且m >n ．
所以对任意的n >1，都存在m ∈N *
，使得a 1，a n ，a m 成等比数列．
2．(2015·北京高考节选)已知数列{a n }满足：a 1∈N *
，a 1≤36，且a n ＋1＝⎩
⎪⎨
⎪⎧
2a n ，a n ≤18，
2a n －36，a n ＞18(n ＝1,2，…)．记
集合M ＝{a n |n ∈N *
}．
(1)若a 1＝6，写出集合M 的所有元素；
(2)若集合M 存在一个元素是3 的倍数，证明：M 的所有元素都是3的倍数． 解：(1)6,12,24．
(2)证明：因为集合M 存在一个元素是3的倍数，所以不妨设a k 是3的倍数．
由a n ＋1＝⎩⎪⎨
⎪⎧
2a n ，a n ≤18，
2a n －36，a n >18
可归纳证明对任意n ≥k ，a n 是3的倍数．
如果k ＝1，则M 的所有元素都是3的倍数．
如果k >1，因为a k ＝2a k －1或a k ＝2a k －1－36，所以2a k －1是3的倍数，于是a k －1是3的倍数．类似可得，a k －2，…，
a 1都是3的倍数．
从而对任意n ≥1，a n 是3的倍数，因此M 的所有元素都是3的倍数． 综上，若集合M 存在一个元素是3的倍数，则M 的所有元素都是3的倍数．
n (1)证明：函数F n (x )＝f n (x )－2在⎝ ⎛⎭
⎪⎫12，1内有且仅有一个零点(记为x n )，且x n ＝12＋12x n ＋1n ；
(2)设有一个与上述等比数列的首项、末项、项数分别相同的等差数列，其各项和为g n (x )，比较f n (x )和 g n (x )的大小，并加以证明．
解：(1)证明：F n (x )＝f n (x )－2＝1＋x ＋x 2
＋…＋x n
－2，
则F n (1)＝n －1＞0，
F n ⎝ ⎛⎭⎪⎫
12＝1＋1
2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋…＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫
12n －2
＝1－⎝ ⎛⎭
⎪
⎫12n ＋1
1－12
－2＝－12n ＜0，
所以F n (x )在⎝ ⎛⎭
⎪⎫12，1内至少存在一个零点． 又F n ′(x )＝1＋2x ＋…＋nx
n －1
＞0，
故F n (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1内单调递增，所以F n (x )在⎝ ⎛⎭
⎪⎫12，1内有且仅有一个零点x n ． 因为x n 是F n (x )的零点，所以F n (x n )＝0， 即1－x n ＋1
n 1－x n －2＝0，故x n ＝12＋12x n ＋1
n ． (2)由题设，f n (x )＝1＋x ＋x 2
＋…＋x n
，
g n (x )＝
n ＋
x n ＋
2
，x ＞0．
当x ＝1时，f n (x )＝g n (x )．
当x ≠1时，用数学归纳法可以证明f n (x )＜g n (x )． ①当n ＝2时，f 2(x )－g 2(x )＝－12(1－x )2
＜0，
所以f 2(x )＜g 2(x )成立．
②假设n ＝k (k ≥2)时，不等式成立，即f k (x )＜g k (x )． 那么，当n ＝k ＋1时，
f k ＋1(x )＝f k (x )＋x k ＋1＜
g k (x )＋x k ＋1
＝
k ＋
＋x
k
2
＋x
k ＋1
＝
2x k ＋1
＋k ＋
x k ＋k ＋1
2
．
又g k ＋1(x )－2x
k ＋1
＋k ＋
x k ＋k ＋1
2
＝
kx k ＋1－k ＋
x k ＋1
2
，
令h k (x )＝kx k ＋1
－(k ＋1)x k
＋1(x ＞0)，
则h k ′(x )＝k (k ＋1)x k
－k (k ＋1)x k －1
＝k (k ＋1)x
k －1
·(x －1)．
所以当0＜x ＜1时，h k ′(x )＜0，h k (x )在(0,1)上递减； 当x ＞1时，h k ′(x )＞0，h k (x )在(1，＋∞)上递增． 所以h k (x )＞h k (1)＝0， 从而g k ＋1(x )＞
2x
k ＋1
＋k ＋
x k ＋k ＋1
2
．
故f k＋1(x)＜g k＋1(x)，即n＝k＋1时不等式也成立．
由①和②知，对一切n≥2的整数，都有f n(x)＜g n(x)．。