数论

奇数与偶数数的整除.约数与倍数完全平方数质数合数分解质因数数问题置原理与数的进制字迷与算式迷综合奇数与偶数.【例 1】1231993……的和是奇数还是偶数？++++在1至1993中，共有1993个连续自然数，其中997个奇数，996个偶数，即共有奇数个奇数，那么原式的计算结果为奇数.【例 2】能否在下式的“□”内填入加号或减号，使等式成立，若能请填入符号，不能请说明理由（1）1 □ 2 □ 3 □ 4 □ 5 □ 6 □ 7 □ 8 □ 9＝10（2）1 □ 2 □ 3 □ 4 □ 5 □ 6 □ 7 □ 8 □ 9＝27不能。

很多学生拿到这个题就开始试数，试了半天也试不出来因为，这时给他讲解，原式有5个奇数，无论经加、减运算后结果一定是奇数。

本小题是一个典型的奇偶性质“先定性分析后定量计算的题目”（2）可以。

---+++++=+++++++-=或1234567892712345678927【例 3】能否从四个3，三个5，两个7中选出5个数，使这5个数的和等于22.不能。

因为不论如何选，选出的5个数均为奇数，5个奇数的和还是奇数，不可能等于22。

【例 4】一个自然数数分别与另外两个相邻奇数相乘，所得的两个积相差150，那么这个数是多少？由定义知道，相邻两个奇数相差2，那么说明150是这个未知自然数的两倍，所以原自然数为75.【例 5】多米诺骨牌是由塑料制成的1×2长方形，共28张，每张牌上的两个1×1正方形中刻有“点”，点的个数分别为0，1，2， (6)不等，其中7张牌两端的点数一样，即两个0，两个1，…，两个6；其余21张牌两端的点数不一样，所谓连牌规则是指：每相邻两张牌必须有一端的点数相同，且以点数相同的端相连，例如：…………现将一付多米诺骨牌按连牌规则连成一条链，如果在链的一端为6点，那么在链的另一端为多少点?并简述你的理由．由连牌规则可知，在链的内部各种点数均成对相连，即所有点都有偶数个，而6点的个数为8，所以在链的两端一定有偶数个点，所以链的另一端也应为6．数的整除【例 1】已知道六位数20□279是13的倍数，求□中的数字是几？本题为基础题型，利用13的整除判定特征即可知道方格中填1。

【例 2】173□是个四位数字。

数学老师说：“我在这个□中先后填人3个数字，所得到的3个四位数，依次可被9、11、6整除。

”问：数学老师先后填入的3个数字的和是多少？用1730试除，1730÷9=192……2，1730÷1l=157……3，1730÷6=288……2．所以依次添上(9-2=)7、(11-3=)8、(6-2=)4后得到的1737、1738、1734依次能被9、11、6整除．所以，这三种情况下填入口内的数字的和为7+8+4=19．【例 3】 在六位数11□□11中的两个方框内各填入一个数字，使此数能被17和19整除，那么方框中的两位数是多少?采用试除法.设六位数为1111,11111110000001111001100ab ab ab ab =⨯++=+如果一个数能同时被17和19整除，那么一定能被323整除．110011323340191÷= ，余191也可以看成不足323191132-=．所以当00ab =132323n +时，即00ab 是100的倍数时，六位数才是323的倍数．所以有323n 的末位只能是1028-=，所以n 只能是6，16，26， 验证有16n =时，132323165300+⨯=，所以原题的方框中填入5，3得到的115311满足题意．【例 4】 在方框中填上两个数字，可以相同也可以不同，使4□32□是9的倍数. ⑴请随便填出一种，并检查自己填的是否正确； ⑵一共有多少种满足条件的填法？一个数是9的倍数，那么它的数字和就应该是9的倍数，即4+□+3+2+□是9的倍数，而4+3+2=9, 所以只需要两个方框中的数的和是9的倍数．⑴依次填入3、6，因为4+3+3+2+6=18是9的倍数，所以43326是9的倍数；⑵经过分析容易得到两个方框内的数的和是9的倍数，如果和是9,那么可以是（9,0）；（8,1）；（7,2）；（6,3）；（5,4）；（4,5）；（3,6）；（2,7）；（1,8）；（0,9），共10种情况，还有（0,0）和（9,9），所以一共有12种不同的填法．【例 5】 已知九位数2007122□□既是9的倍数，又是11的倍数；那么，这个九位数是多少？ 设原数2007122a b =，∵9|2007122a b ⇒ 4a b +=或者13a b +=，∵11| 2007122a b ⇒20a +++ 22+- (071b +++)0=或者(071b +++)(2202)a -++++11=⇒2a b -=或者9b a -=根据两数和差同奇偶，得：42a b a b +=⎧⎨-=⎩ ⇒ 31a b =⎧⎨=⎩或者139a b b a +=⎧⎨-=⎩⇒ 211a b =⎧⎨=⎩不成立.所以，2007122a b200731212=.约数与倍数【例 6】把一张长1米3分米5厘米、宽1米5厘米的纸裁成同样大小的正方形纸块，而没有剩余，问：能裁成最大的正方形纸块的边长是多少？共可裁成几块？要把一张长方形的纸裁成同样大小的正方形纸块，还不能有剩余，这个正方形纸块的边长应该是长方形的长和宽的公约数．由于题目要求的是最大的正方形纸块，所以正方形纸块的边长是长方形的长和宽的最大公约数．1米3分米5厘米＝135厘米，1米5厘米＝105厘米，(135,105)15=，长方形纸块的面积为135********⨯= (平方厘米)，正方形纸块的面积为1515225⨯= (平方厘米)，共可裁成正方形纸块1417522563÷= (张)．【例 7】有336个苹果，252个桔子，210个梨，用这些水果最多可以分成多少份同样的礼物？在每份礼物中，三样水果各多少？此题本质上也是要求出这三种水果的最大公约数，有(336,252,210)42=, 即可以分42份，每份中有苹果8 个，桔子6个，梨5个．【例 8】现有三个自然数，它们的和是1111，这样的三个自然数的公约数中，最大的可以是多少？只知道三个自然数的和，不知道三个自然数具体是几，似乎无法求最大公约数．只能从唯一的条件“它们的和是1111”入手分析．三个数的和是1111，它们的公约数一定是1111的约数．因为111111101=⨯，它的约数只能是1，11，101和1111，由于三个自然数的和是1111，所以三个自然数都小于1111，1111不可能是三个自然数的公约数，而101是可能的，比如取三个数为101，101和909．所以所求数是101．【例 9】两个自然数的和是50，它们的最大公约数是5，试求这两个数的差．设这两个自然数为：5a b、5，其中a与b互质，5550a b+=，10a b+=，经检验，容易得到两组符合条件的数：9与1或者7与3．于是，所要求的两个自然数也有两组：45与5，35与15．它们的差分别是：45－5＝40，35－15＝20．所以，所求这两个数的差是40或者20．【例 10】(西城区13中入学试题)一次考试，参加的学生中有17得优，13得良，12得中，其余的得差，已知参加考试的学生不满50人，那么得差的学生有多少人？由题意“参加的学生中有17得优，13得良，12得中”，可知参加考试的学生人数是7，3，2的倍数，因为7，2，3的最小公倍数为42，4228450⨯=>，所以参加的学生总数为42人．那么得差的学生有：11142(1)1732⨯---=人．完全平方数【例 1】0(2000年“祖冲之杯”小学数学邀赛) 1234567654321(1234567654321)⨯++++++++++++是的平方．212345676543211111111=，212345676543217++++++++++++=，原式22(11111117)7777777=⨯=．【例 2】写出从360到630的自然数中有奇数个约数的数．一个合数的约数的个数是在严格分解质因数之后,将每个质因数的指数(次数)加1后所得的乘积.如:1400严格分解质因数后为23×52×7,所以它的约数有(3+1)×(2+1)×(1+1)=4×3×2=24个.(包括1和它自身) 如果某个自然数有奇数个约数,那么这个数的所有质因子的个数均为偶数个.这样它们加1后均是奇数,所得的乘积才能是奇数.而所有质因数的个数均是偶数个的数为完全平方数.即完全平方数(除0外)有奇数个约数,反过来,有奇数个约数的数一定是完全平方数．由以上分析知,我们所求的为360～630之间有多少个完全平方数?18×18=324,19×19=361,25×25=625,26×26=676,所以在360～630之间的完全平方数为192,202,212,222,232,242,252．即360到630的自然数中有奇数个约数的数为361,400,441,484,529,576,625．【例 3】从1到2008的所有自然数中，乘以72后是完全平方数的数共有多少个？完全平方数，其所有质因数必定成对出现．而327223266=⨯=⨯⨯，所以满足条件的数必为某个完全平方数的2倍， 由于2313119222008232322048⨯⨯=<<⨯⨯=，所以221⨯、222⨯、……、2231⨯都满足题意，即所求的满足条件的数共有31个．【例 4】 已知自然数n 满足：12!除以n 得到一个完全平方数，则n 的最小值是 。

先将12!分解质因数：105212!235711=⨯⨯⨯⨯，由于12!除以n 得到一个完全平方数，那么这个完全平方数是12!的约数，那么最大可以为1042235⨯⨯，所以n 最小为()104212!2353711231÷⨯⨯=⨯⨯=．本题也可以这样想，既然12!除以n 得到一个完全平方数，12!的质因数分解式中3，7，11的幂次是奇数，所以n 的最小值是3711231⨯⨯=．【例 5】 一个数减去100是一个平方数，减去63也是一个平方数，问这个数是多少？设这个数减去63为2A ，减去100为2B ，则()()221006337371A B A B A B -=+-=-==⨯，可知37A B +=，且1A B -=，所以19A =，18B =，这样这个数为218100424+=． 质数合数分解质因数【例 6】 下面是主试委员会为第六届“华杯赛”写的一首诗：美少年华朋会友，幼长相亲同切磋；杯赛联谊欢声响，念一笑慰来者多；九天九霄志凌云，九七共庆手相握；聚起华夏中兴力，同唱移山壮丽歌．请你将诗中56个字第1行左边第一字起逐行逐字编为1—56号，再将号码中的质数由小到大找出来，将它们对应的字依次排成一行，组成一句话，请写出这句话． 按要求编号排序，并画出质数号码：美 少 年 华 朋 会 友，幼 长 相 亲 同 切 磋； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14杯 赛 联 谊 欢 声 响，念 一 笑 慰 来 者 多； 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28九 天 九 霄 志 凌 云，九 七 共 庆 手 相 握； 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 聚 起 华 夏 中 兴 力，同 唱 移 山 壮 丽 歌．43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56将质数对应的汉字依次写出就是：少年朋友亲切联欢；一九九七相聚中山．【例 7】两个质数之和为39，求这两个质数的乘积是多少.因为和为奇数，所以这两个数必为一奇一偶，所以其中一个是2，另一个是37，乘积为74.我们要善于抓住此类题的突破口。