小学奥数专题30 方程与方程组
30道奥数题
30道奥数题1. 题目：两个数的和是9，差是3，求这两个数分别是多少？解析：设两个数分别为x和y，则根据题意可以得到以下方程组： x + y = 9 x - y = 3将第二个方程改写为x = y + 3，代入第一个方程得到： (y + 3) + y = 9 2y + 3 = 9 2y = 6 y = 3将y的值代入第一个方程得到： x + 3 = 9 x = 6所以，这两个数分别是6和3。
2. 题目：一个正整数加上100后变成一个完全平方数，再加上168又变成一个完全平方数，求该正整数。
解析：设该正整数为x，则根据题意可以得到以下方程组： x + 100 = a^2 x + 268 = b^2其中a和b分别为完全平方数的开方值。
将第一个方程改写为x = a^2 -100，并代入第二个方程得到： a^2 -100 +268 = b^2 a^2 - b^2 = -168 (a+b)(a-b)=-168由于168是正整数，而且a和b都是正整数，所以(a+b)和(a-b)的差值只能是1、2、4、8、14、28、56或168。
观察可知，满足条件的差值只有14和8，即(a+b)为14，(a-b)为8。
解方程组： a + b = 14 a - b = 8将第二个方程改写为a = b + 8，并代入第一个方程得到： (b+8) + b = 14 2b + 8 = 14 2b = 6 b = 3将b的值代入第一个方程得到： a + 3 = 14 a = 11所以，该正整数为11。
3. 题目：一个三位数的个位数是奇数，十位数比个位数大3，百位数比十位数小4，求这个三位数。
解析：设这个三位数为abc，则根据题意可以得到以下方程组： c是奇数（1、3、5、7或9） b = c + 3 a = b - 4根据以上方程组可以推出以下关系： a - c = (c +3) - (c -4) a - c = c +3 - c +4 a - c = 7由于7是正整数，所以满足条件的三位数存在。
小学奥数模块教程不定方程与不定方程组的解法(ABC级)
不定方程与不定方程组巧求周长知识框架一、知识点说明历史概述不定方程是数论中最古老的分支之一．古希腊的丢番图早在公元3世纪就开始研究不定方程，因此常称不定方程为丢番图方程．中国是研究不定方程最早的国家，公元初的五家共井问题就是一个不定方程组问题，公元5世纪的《张丘建算经》中的百鸡问题标志着中国对不定方程理论有了系统研究．宋代数学家秦九韶的大衍求一术将不定方程与同余理论联系起来．考点说明在各类竞赛考试中，不定方程经常以应用题的形式出现，除此以外，不定方程还经常作为解题的重要方法贯穿在行程问题、数论问题等压轴大题之中．在以后初高中数学的进一步学习中，不定方程也同样有着重要的地位，所以本讲的着重目的是让学生学会利用不定方程这个工具，并能够在以后的学习中使用这个工具解题。
二、不定方程基本定义（1）定义：不定方程（组）是指未知数的个数多于方程个数的方程（组）。
（2）不定方程的解：使不定方程等号两端相等的未知数的值叫不定方程的解，不定方程的解不唯一。
（3）研究不定方程要解决三个问题：①判断何时有解；②有解时确定解的个数；③求出所有的解三、不定方程的试值技巧（1）奇偶性（2）整除的特点（能被2、3、5等数字整除的特性）（3）余数性质的应用（和、差、积的性质及同余的性质）重难点（1）利用整除及奇偶性解不定方程（2）不定方程的试值技巧（3）学会解不定方程的经典例题例题精讲一、利用整除性质解不定方程【例 1】求方程2x－3y＝8的整数解【巩固】求方程2x＋6y＝9的整数解【例 2】求方程4x＋10y＝34的正整数解【巩固】求方程3x＋5y＝12的整数解【例 3】求719213x y+=的所有正整数解．【巩固】求62290x y+=的自然数解二、利用余数性质解不定方程【例 4】求方程3x＋5y＝31的整数解【巩固】解方程7489x y+=，（其中x、y均为正整数）【例 5】求方程5322x y+=的所有正整数解．三、解不定方程组【例 6】解方程180012008001600015a b ca b c++=⎧⎨++=⎩（其中a、b、c均为正整数）【例 7】解不定方程1531003100x y zx y z⎧++=⎪⎨⎪++=⎩(其中x、y、z均为正整数)【随练1】 解不定方程：2940x y +=（其中x,y 均为正整数）【随练2】 求不定方程7111288x y +=的正整数解有多少组？【作业1】 求23734x y z ++=的正整数解．【作业2】 求x+2y+5z=18的自然数解家庭作业课堂检测。
奥数之解线性方程组
奥数之解线性方程组解奥数线性方程组奥数是小学生学习的一门课程，其中包括解线性方程组。
线性方程组是由一系列线性方程组成的方程组。
解决线性方程组的问题是找到一个或一组变量的值来使得方程组成立。
解决线性方程组的方法有很多，其中包括矩阵法、高斯消元法、克莱姆法等多种方法。
矩阵法矩阵法是解决线性方程组的一种方法。
矩阵法是将所有方程的系数和常数写成一个矩阵，然后通过对矩阵进行一些变换，最终得到方程组的解。
当方程的个数和未知数的个数相等时，利用矩阵法解决线性方程组是最常用的方法。
例如，有线性方程组：2x - 3y = -54x + y = 29将系数和常数写成矩阵的形式，得到：| 2 -3 | |x| |-5|| 4 1 | x |y| = |29|通过高斯消元法或其他方法对矩阵进行变换后，得到解x=7，y=3。
高斯消元法高斯消元法是解决线性方程组的另一种方法。
高斯消元法先将线性方程组进行初等变换，将其转化为一个上三角矩阵，然后再通过回代，求出方程组的解。
例如，有线性方程组：2x - 3y = -54x + y = 29通过初等变换，将方程组转化为上三角矩阵的形式：| 2 -3 | |x| |-5|| 0 13 | x |y| = |39|通过回代，求出解x=7，y=3。
克莱姆法克莱姆法是解决线性方程组的一种方法。
克莱姆法利用向量的概念，通过求出方程组系数矩阵的行列式和各个未知数的系数矩阵的行列式，最终求出方程组的解。
例如，有线性方程组：2x - 3y = -54x + y = 29通过克莱姆法，求出方程组的解：x = | -5 -3 | | 29 -3 || 29 1 | / | 2 4 | = 7y = | 2 -5 | | 2 29 || 4 1 | / | -5 1 | = 3需要注意的是，克莱姆法只适用于未知数个数等于方程个数的线性方程组。
综上所述，解决线性方程组的方法有很多种，包括矩阵法、高斯消元法、克莱姆法等。
六年级奥数第30讲-解不定方程(教)
学科教师辅导讲义学员编号：年级：六年级课时数：3学员姓名：辅导科目：奥数学科教师：授课主题第30讲——解不定方程授课类型T同步课堂P实战演练S归纳总结教学目标①熟练掌握不定方程的解题技巧；②能够根据题意找到等量关系设未知数解方程；③学会解不定方程的经典例题。
授课日期及时段T（Textbook-Based）——同步课堂历史概述不定方程是数论中最古老的分支之一．古希腊的丢番图早在公元3世纪就开始研究不定方程，因此常称不定方程为丢番图方程．中国是研究不定方程最早的国家，公元初的五家共井问题就是一个不定方程组问题，公元5世纪的《张丘建算经》中的百鸡问题标志着中国对不定方程理论有了系统研究．宋代数学家秦九韶的大衍求一术将不定方程与同余理论联系起来．考点说明在各类竞赛考试中，不定方程经常以应用题的形式出现，除此以外，不定方程还经常作为解题的重要方法贯穿在行程问题、数论问题等压轴大题之中．在以后初高中数学的进一步学习中，不定方程也同样有着重要的地位，所以本讲的着重目的是让学生学会利用不定方程这个工具，并能够在以后的学习中使用这个工具解题。
运用不定方程解应用题步骤1、根据题目叙述找到等量关系列出方程2、根据解不定方程方法解方程3、找到符合条件的解典例分析知识梳理例4、某男孩在2003年2月16日说：“我活过的月数以及我活过的年数之差，到今天为止正好就是111．”请问：他是在哪一天出生的？【解析】设男孩的年龄为x 个年和y 个月，即12x y +个月，由此有方程式：12111x y x +-=，也就是1111101x y +=⨯+，得到11011y x -=+，由于012y <≤而且111y -是整数，所以，1y =，10x =，从2003年2月16日那天退回10年又1个月就是他的生日，为1993年1月16日．P (Practice-Oriented)——实战演练➢ 课堂狙击1、甲、乙二人搬砖，甲搬的砖数是18的倍数，乙搬的砖数是23的倍数，两人共搬了300块砖．问：甲、乙二人谁搬的砖多？多几块？【解析】设甲搬的是18x 块，乙搬的是23y 块．那么1823300x y +=．观察发现18x 和300都是6的倍数，所以y 也是6的倍数．由于3002313y <÷≈，所以y 只能为6或12．6y =时18162x =，得到9x =；12y =时1824x =，此时x 不是整数，矛盾．所以甲搬了162块，乙搬了138块，甲比乙搬得多，多24块．2、单位的职工到郊外植树，其中有男职工，也有女职工，并且有13的职工各带一个孩子参加．男职工每人种13棵树，女职工每人种10棵树，每个孩子都种6棵树，他们一共种了216棵树，那么其中有多少名男职工？【解析】因为有13的职工各带一个孩子参加，则职工总人数是3的倍数．设男职工有x 人，女职工有y 人．则职工总人数是()x y +人，孩子是3x y +人．得到方程：()131036216x y x y +++÷⨯=，化简得：5472x y +=．因为男职工与女职工的人数都是整数，所以当3y =时，12x =；当8y =时，8x =；当13y =，4x =．其中只有31215+=是3的倍数，符合题意，所以其中有12名男职工．3、14个大、中、小号钢珠共重100克，大号钢珠每个重12克，中号钢珠每个重8克，小号钢珠每个重5克．问：大、中、小号钢珠各有多少个？实战演练【解析】设甲、乙原有糖分别为x 粒、y 粒，甲给乙的数量为z 粒，则依题意有：2()3()x z y z x z y z -=+⎧⎨+=-⎩，且2020x y ≤⎧⎨≤⎩．整理得230(1)340(2)x y z x y z --=⎧⎨-+=⎩L L L L 由⑴得23x y z =+，代入⑵得70z y -=，即7y z =．因20y ≤，故1z =或2z =．若2z =，则14y =，214323420x =⨯+⨯=>，不合题意．因而1z =，对应方程组有唯一解17x =，7y =，1z =．则甲、乙共有糖17724+=粒．1、（资优博雅杯）用十进制表示的某些自然数，恰等于它的各位数字之和的16倍，则满足条件的所有自然数之和为___________________.【解析】若是四位数abcd ，则()161636<1000a b c d ⨯+++⨯≤，矛盾，四位以上的自然数也不可能。
四年级数学下册认识方程奥数题
四年级数学下册认识方程奥数题四年级数学下册认识方程奥数题一、认识方程1. 方程是什么？方程是一个数学式子，其中包含需要找的未知数和已知数，求解方程就是找到未知数的值，使方程式子成立。
2. 什么是未知数？未知数是方程中需要求解的数，通常用字母表示，如x，y等。
3. 方程的组成部分有哪些？一个方程一般由等号连接的左右两部分组成：左边是表达式，右边是常数或表达式。
4. 方程的解求解方程就是找到未知数的值，使方程式子成立，这个未知数的值就是方程的解。
方程可以有一个或多个解。
二、解方程1. 解一元一次方程一元一次方程是指方程中只有一个未知数，并且该未知数的最高次数2. 解二元一次方程二元一次方程是指方程中有两个未知数，并且这两个未知数的最高次数都是一次。
解二元一次方程通常使用联立方程求解法。
3. 解一元二次方程一元二次方程是指方程中只有一个未知数，并且该未知数的最高次数是二次。
当一元二次方程的系数已知时，可以使用求根公式解决。
三、应用方程1. 应用方程解决实际问题方程是解决实际问题的有效方法之一。
例如，一个题目给出了一段距离和车的速度，可以通过方程来求解车的行驶时间。
2. 应用方程解决面积和周长问题方程可以应用到许多几何问题中，包括解决面积和周长的问题，例如：找到一个矩形的长和宽，已知其面积和周长。
3. 应用方程解决时间和速度问题方程也可以应用到时间和速度问题中，例如：已知两个车从不同的地方出发，速度不同，时间不同，通过方程来求解它们相遇的位置。
方程是一个用于求解未知数的数学式子，我们可以通过解一元一次方程、解二元一次方程和解一元二次方程等不同的方法来求解方程。
在实际问题中，我们也可以应用方程来解决许多问题，例如面积和周长问题、时间和速度问题等等。
奥数题练习题解方程
奥数题练习题解方程解方程是奥数题的重要部分，也是奥数训练中需要重点掌握的内容之一。
在奥数练习中，我们常常会遇到一些涉及到方程的问题，这就需要我们运用一些解方程的方法和技巧来解决。
本文将为大家提供一些奥数题的练习题，并结合具体的例子来解析其中的方程解题方法。
希望通过本文的阐述能够帮助大家更好地理解和运用方程解题的方法。
1. 题目一：已知如下方程：3x + 4 = 10，求出x的值。
解析：这是一个一元一次方程，我们可以通过移项和化简的方法来解题。
首先，将方程中的常数项移到等式的右边，得到：3x = 10 - 4。
然后，化简等式，得到：3x = 6。
最后，将方程两边同时除以3，得到：x = 2。
所以，方程的解为x = 2。
2. 题目二：求方程2x - 5 = 3x + 1的解。
解析：这是一个一元一次方程，我们需要将x的系数放在一起，将常数项放在另一侧，从而进行化简和解题。
首先，将方程中的x项移到等式左边，常数项移到等式的右边，得到：2x - 3x = 1 + 5。
接下来，化简等式，得到：-x = 6。
最后，将方程两边乘以-1，得到：x = -6。
所以，方程的解为x = -6。
3. 题目三：解方程4(2x + 3) = 8x - 12。
解析：这是一个含有括号的方程，我们需要先将括号内的表达式进行展开然后再进行化简和解题。
首先，将方程中的括号内的表达式展开，得到：8x + 12 = 8x - 12。
接下来，移项，化简等式，得到：0 = -24。
最后，根据等式得出结论，此方程无解。
所以，方程无解。
通过以上三个例子，我们可以看到解方程的过程中，移项、化简和运算是非常重要的。
掌握好这些基本方法，我们就能够解决绝大部分的奥数方程题。
在实际的奥数训练中，我们还需要不断地进行练习，熟练掌握各种类型的方程解题方法，提高我们的解题能力。
希望大家通过不断的练习和积累，能够在奥数竞赛中取得好成绩。
奥数之解指数方程组
奥数之解指数方程组令人头疼的数学问题，指数方程组有时候令人无从下手。
但是，如果你掌握了妙招，解决指数方程组的方法可谓是轻而易举。
在本文中，我将会介绍如何用奥数技巧来解指数方程组，让你在数学考试中得到更好的成绩。
一、基础知识在深入探讨指数方程组之前，我们需要掌握一些基础知识。
首先，我们需要知道什么是指数。
指数就是用来表示数的幂次的数字，如$2^3$ 中的 $3$ 就是指数。
其次，我们需要知道指数的一些规则，如乘法规则和除法规则。
二、方法解决指数方程组的方法就是利用对数来解决。
对数是一种测量指数幂次的数学方法，它有时可以帮助我们解决指数方程组。
以下是解指数方程组的步骤：步骤一：将指数方程组转化为指数方程。
假设我们有两个方程，$2^{x+y}=32$ 和 $2^{x-y}=8$，我们要将它们转换为普通的方程。
我们可以将它们转化为$$\begin{cases}x+y=5 \\\end{cases}$$步骤二：解决方程组。
解决这个方程组的方法很简单。
我们只需要将两个方程相加，得到$2x=8$，从而 $x=4$。
将 $x=4$ 带回到其中一个方程中，如 $x+y=5$，可以得到 $y=1$。
因此，$x=4$，$y=1$。
步骤三：检查答案。
我们可以验证我们的答案是否正确。
将 $x$ 和 $y$ 分别带入原方程组中，如果两个方程的左右两边的值相等，那么我们的答案就是正确的。
在这个例子中，$2^{4+1}=2^5=32$ 且 $2^{4-1}=2^3=8$，因此我们的答案是正确的。
三、例子让我们来看一个例子，以更深入地理解这个方法。
假设我们有以下指数方程组：$$\begin{cases}2^{x+y}=16 \\2^x\cdot2^y=16\end{cases}$$首先，我们将它们转化为普通方程：$$\begin{cases}x+y=2\end{cases}$$然后，我们通过加法得到 $2(x+y)=6$，从而 $x+y=3$。
小学奥数 认识方程精选全文完整版
可编辑修改精选全文完整版知识要点屋1．方程：含有未知数的等式叫方程。
比如：7x ＋5＝122．未知数：通常设x 为未知数。
3．方程的解：指使等式成立的未知数的值。
一般表示为“x ＝数字”。
【课前】 请判断下面算式是否为方程。
⑴5＋5x ＝10x⑵x ＋y ＝13⑶2x ＋50＝25×(2＋x )解下列方程⑴7x ＋6＝12x －4 ⑵12(x －2)＝5x ＋4【铺垫】(★★)请用相关字母填空：①三年级⑵班有学生46人，其中男生有x 人，那么班里女生有_______人。
②停车场里有三轮车和四轮车，轮子总共有120个，其中三轮车有x 辆，那么四轮车的车轮总数是_____个。
一只鸡有1个头2条腿，一只兔子有1个头4条腿。
如果笼子里的鸡和兔子共有10个头和26条腿，请问鸡有___只，兔子有____只。
解下列方程⑴20－4x ＝6x ＋10⑵72－6x ＝84－7x⑶168－6x ＝4(30－x ) ⑷56－2(24－x )＝3x认识方程(★★★) (★★★) (★★★) (★★)小明的存钱罐里有5角和1元的硬币共25枚，总钱数为19元。
请问：5角硬币有____枚。
张老师给幼儿园两个班的孩子分水果。
大班每人分得2个苹果和5个桔子，小班每人分得2个苹果和3个桔子，张老师一共分出了80个苹果和158个桔子。
请问：小班有____个孩子。
【超常大挑战】三堆糖果共有105颗，其中第一堆糖果的数量是第二堆的3倍，而第三堆糖果的数量又比第二堆的2倍少3颗。
第三堆糖果有____颗。
【知识大总结】认识方程1．方程：含有未知数的等式叫方程。
2．方程的解：x ＝数字3．三步法解方程：①有括号先去括号；②移项要变号；③合并同类项。
4．列方程解应用题设，列，解，答 (验算）【今日讲题】例2，例3，例4【讲题心得】_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
专题15 方程与方程组
内容概述
一般的，把含有未知数的等式称为方程1
将含有未知数的个数称为“元”，如：x +y=2就是一个二元方程，而两个含有2个未知数的方程合在一起，就组成了二元方程组，{
2
34 6.5x y x y +=+=就是一个二元一次方程组．
把未知数的最高次数称为“次”，如2225x y +=就是一个二元二次方程．
如果方程组的个数等于未知数的个数，我们就称这个方程为适定方程；
如果方程组的个数少于未知数的个数，我们就称这个方程为不定方程；一般的不定方程没有确定解．
方程的基本性质：
1．方程两边同时加上或减去某个数，等号仍然成立；
2．方程两边同时乘以或除以某个非零数，等号仍然成立．
在解方程中最常用的一种技巧是移项，将方程中的某些项改变符号后，从方程的一边移到另一边的变形叫移项．如3x +12=18，可以将12移项为3x=18-12．
通过“代人”消去一个未知数，将方程组减少一元来解的方法叫做代入消元
法，简称代人法；
通过将两个方程相加(或相减)消去一个未知数，将方程组减少一元来解的方
法叫做加减消元法，简称加减法
典型问题
1．若石是自然数，且满足105641
x x =--，试求x 的值．
【分析与解】4x -1必须是105的约数，105=3×5×7，当4x -1=7时，x =2：当4x-1=15时，x =4；当4x-1=3时，x =1；当4x -1=35时，x =9．
所以只能是105÷(4×9-1)=9-6，即x =9．
2．小吴和小林两人解方程组， ()()
{221712ax y x by -=-= 由手小吴看错了方程①中的a 而得到方程组的解为{4
9x y ==,小林看错了方程②中的b 而得到的解为{38x y ==,如果按正确的a 、b 计算，试求出原方程组的
【分析与解】 因为小吴同学没有看错②，所以
{
4
9x y ==是符合②的解，有4×7-b×9=1，解得b=3；因
为小林同学没有看错①，所以{38x y ==是符合①的解，有a ×3-2×8=2，解得a =6；
即原方程组为{622
731x y x y -=-=解得
{12x y ==
3．解方程组： {123234200320042005200412342002200320042005x x x x x x x x x x 1x x x x x +x x x 2005-=-=-=-=-=-+-+--+=
【分析与解】这是一个高达2005元的一次方程组，必须从中发现规律才求出来未知数的值． 由 1232x x x x -=-所以31x x =; 3234x x x x -=-所以 24x x = 34x x -=54x x -,所以35x x ;=54x x -=56x x -,所以46x =x
2003x 2004x -=2005x 2004x - 所以2003
x =2005x 于是有31x x ==5x =2005x =, 24x x =6x == = 2004x 令1x A = 2x B = , 那么有 {1100310022005A B A B -=-= 所以{1003
1002A B ==
即{135720052=4682004x x x =x x 1003x x x =x x 1002=======
4．一只小虫从A 爬到B 处．如果它的速度每分钟增加1米，可提前15分钟到达．如果它的速度每分钟再增加2米，则又可提前15分钟到达．那么A 处到B 处之间的路程是多少米?
【分析与解】设小虫的速度为名x 米／分钟，从A 到B 所需时间为Y 分钟，那么有：
{(1)(15)(3)(30),x y xy x y xy +-=+-=化简为{15151030,y x y x -=-=解得3,60x y ==所以A 、B 地相距3×60=180米．
5．若干学生搬一堆砖，若每人搬五块，则剩下20块未搬走；若每人搬9则最后一名学生只搬6块，那么学生共有多少人?
【分析与解】设有n 个学生．根据砖的数量可得到方程
209(96)nk n +=--即n (96)-=23因为23是质数，所以n 与(9-K 中一个是23，另一个是1．所以只能是n=23
评注：在这道题中，K 仅是一个过渡变量，借用9-K ≤9，求得n=23．。