福建省福州市八县(市)一中2018-2019学年高一下学期期中联考数学试题(含答案)

福建省福州市2018—2019学年度第二学期八县(市)一中期中联考高中一年数学科试卷完卷时间：120分钟 满 分：150分参考公式：若球的半径为r ,球的表面积公式：24S r π=，球的体积公式：343rV π=一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 1．若R c b a ∈,,，且b a >，则下列不等式恒成立的是( ) A ．22b a > B.1>baC ． bc ac >D ．c b c a ->- 2. o 600sin 的值是（ ） A. 23-B. 21-C. 21D. 233.在ABC ∆中，4=a ，34=b ，o 30=A ，则B 等于( )A ．60°B ．60°或120°C ．30°D ．30°或150°4.如图所示，梯形D C B A ''''是平面图形ABCD 用斜二测画法画出的图形，22=''=''C B D A ，1=''B A ，则平面图形ABCD 的面积为（ ）A ．2B ．22C ．3D ．235.《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等比数列，上面3节的容积之积3升，下面3节的容积之积为9升，则第5节的容积为( ) A ．2升 B ．6766升 C ．3升 D ．3升 6.在ABC ∆中，cc b A 22cos2+=，则ABC ∆为（ ） A ．等腰直角三角形 B ．等边三角形 C ．直角三角形 D ．等腰三角形或直角三角形7．已知数列}{n a 的首项为1，第二项为2，当整数2≥n 时，都有21=-+n n a a ，则7S 等于（ ） A ．42 B ．43 C ．45.5 D ． 498.在等差数列{}n a 中，,9,4523=+=a a a 设)(11*2N n a b n n ∈-=，数列}{n b 的前n 项和n S ， 则2019S 为（ ） A.202111-B.2021120201211--+C.）（20211121-D.）（202112020121121--+9．设数列{}n a 为等差数列，其前n 项和为n S ，已知54a a 和是方程099202=+-x x 的两个根， 若对任意*N n ∈都有k n S S ≤成立，则k 的值为（ ）A.8B.9C.10D.1110. 四棱锥P ABCD -的顶点均在一个半径为3的球面上，若正方形ABCD 的边长为4， 则四棱锥P ABCD -的体积最大值为( ) A ．43B ．83C ．163D ．64311. 将函数()2sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图像向左平移12π个单位，再向上平移1个单位，得到()g x 的图像．若()()129g x g x = ，且[]12,2,2x x ππ∈- ，则122x x -的最大值为（ ）A.356π B. 4912π C. 256π D. 174π12.已知在ABC ∆中，11cos ,cos 27B C ==，AB 21ABC ∆的面积为（ ）A ． 314 B.4335 C. 310 D. 21 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13. 已知向量a r ，b r 满足1a =r ， 2b =r ， 22a b +=r r ，则b a ρρ与的夹角余弦值为 .14．设数列{}n a 为等比数列，其公比为q ，已知,48,387654321=+++=+++a a a a a a a a 则=-qa 11.15. 在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别,,a b c ，已知3c =,，则ABC ∆的周长最大值为 .16. 已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，2)1(4+=n n a S ，若027)1(2≥++-n t a n对于*N n ∈恒成立，则实数t 的取值范围为 .Bb a A C a sin )()sin )(sin 3(+=-+三、解答题（本大题6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分10分）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别是c b a ,,，且ca ba B A C -+=-sin sin sin（1）求角B 的大小；（2）若2=b ，ABC ∆的面积为3，求ABC ∆的周长.18．（本小题满分12分）在锐角ABC ∆中，角C B A ,,成等差数列． （1）求A 的取值范围；（2）若))12cos(,(sin )),12sin(2,sin 2(ππ+=+=A A n A A m ρρ，求n m ρρ⋅的取值范围.19.（本小题满分12分） 已知关于x 的不等式0)1()]2([>+⋅--x a ax 的解集为集合P . （1）当0>a 时，求集合P ；（2）若P x x ⊆-<<-}13{，求实数a 的取值范围.20．（本小题满分12分）在等差数列{}n a 中，101=a ，公差d 为整数，且054<a a .在数列{}n b 中，n n n b b b 2,211+==+.（1）求数列{}n a 与{}n b 的通项公式； （2）若n n n b a c =，求数列{}n c 的前n 项和n S .21.（本小题满分12分）如图所示，C B A ,,为山脚两侧共线的三点，在山顶P 处测得三点的俯角分别为γβα，，.计划沿直线AC 开通穿山隧道，请根据表格中的数据，计算隧道DE 的长度.αβ γcosAD EBBC22.（本小题满分12分）（1）已知0,0>>>m b a ，求证：ma mb a b ++<. （2）定义：nnP P P P 1321)(⋅⋅⋅为n 个正数n P P P P ,,,,321⋅⋅⋅（2≥n 且N n ∈）的“几何平均数”. （i ）若数列}{n a 的前n 项的“几何平均数”为213-n 且11=a ，求数列}{n a 的通项公式；（ii ）若1)1(-+=n n a n b ，试比较n b n b b b +⋅⋅⋅+++321321与23的大小，并说明理由.2018-2019学年下学期高一数学半期考参考答案题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案DABCDCBDBDBCo 45 o 6054 235 23 3312-13、21- 14、51- 15、32+ 16、(]12,∞-17、解：（1）在ABC ∆中，由正弦定理c a b a B A C -+=-sin sin sin Θca ba b a c -+=-∴ (2)222b a c ac -=-∴ 222b c a ac -+=∴………………………………………………3 212cos 222=-+=∴ac b c a B (4)),0(π∈B Θ (5)3π=∴B (6)（2）126104212cos 8432321sin 21222⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯∆∴⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯=+∴=-+=⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯=∴=⋅==∆周长为ABC c a ac b c a B ac ac B ac S ABC ΘΘ 18、解：（1）6..........................................) (2),6(3 (3)2.....................................................2,,ππππ∈∴∆=∴=+++=∴A ABC B C B A C A B C B A 为锐角三角形成等差数列ΘΘΘ（2）)12cos()12sin(2sin 22ππ+++=⋅A A A212cos 232sin 1)62sin(2cos 1⋅-⋅+=++-=A A A A π)62sin(1π-+=A ........................................................................ (9)65626πππ<-<A Θ则1)62sin(21≤-<πA 即2)62sin(123≤-+<πA ....................................................11 nm ⋅∴的取值范围为⎥⎦⎤⎝⎛223， (12)19、解：（1）当0>a 时，关于x 的一元二次方程0)1()]2([=+⋅--x a ax 的根为aa x 21-=，12-=x ..........1 当12->-a a 即1>a 时，解得a a x x 21->-<或 当12-=-aa 即1=a 时，解得1-≠x 当12-<-aa 即10<<a 时，解得12->-<x aa x 或 (4)所以，当1>a 时，⎭⎬⎫⎩⎨⎧->-<=a a x x x P 21或 当1=a 时，{}1-≠=x x P 当10<<a 时，⎭⎬⎫⎩⎨⎧->-<=12x a a x x P 或 (6)（2）方法一：当0=a 时，原不等式可化为0)1(2>+x ，解得1->x ，即{}1->=x x P (7)当0<a 时，解得a a x 21-<<-，即⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<<-=a a x x P 21 (9)P x x ⊆-<<-}13{Θ则1≥a ...............................................................................................................11 ∴实数a的取值范围为[)∞+，1 (12)方法二： P x x ⊆-<<-}13{Θ则当}13{-<<-∈x x x 时，原不等式可化为0)2(<--a ax 恒成立 (8)即⎩⎨⎧≤---⨯≤---⨯0)2()1(0)2()3(a a a a ，解得1≥a (11)∴实数a的取值范围为[)∞+，1 (12)20、解：（1）{}{}6...................................22,24..............................................................................3133.....................................................................................32...............................................................,253101..............................0)410)(310(1001121111154n n n n n nn n n nn b b b b b b b b b b b n a d Z d d d d a a a a =+-+⋯⋯++-=∴+==-=∴-=∴∈-<<-∴<++∴=<--+ΘΘ中在数列，中在等差数列（2）12..........................................................322)316(2)313(21)21(23262)313(232320②-①...9....................②..............2)313(272102S ①......2)313(272107................................2)313(1112132n 21--=∴----⨯-=--⨯⋯⋯-⨯-=--+⋯⋯+⨯+⨯=-+⋯⋯+⨯+⨯=∴-==++++n n n n n nn n n n n n n n n S n n S n n S n b a c 得由Θ21、解：由54cos =γ，γ为锐角可得，53sin =γ 则10334sin 60cos cos 60sin )60sin(000-=⋅-⋅=-γγγ (2)在PBC ∆中，3312,,600-==∠-=∠BC PCB BPC γγ 由正弦定理可得，)60sin sin 0γγ-⋅=（BC PB .........................................................................4103345333-12-⨯=）（10334533-343-⨯=）（36=...............................6在PAB ∆中，36,75,4500==∠=∠PB APB PAB由正弦定理可得，45sin 75sin ⋅=PB AB .........................................................................8 2242636+⨯=339)13(33222633+=+=⨯+⨯=.......................................10 即9=--=EB AD AB DE ....................................................................... (11)所以，隧道DE的长度为9 (12)22、（1）证明：)()()()()(m a a a b m m a a m b a m a b m a m b a b +-=++-+=++-Θ (2)由0,0>>>m b a 可得0)(,0)(>+<-m a a a b mma mb a b ++<∴ (3)（2）解：（i ）依题意，当2≥n 且N n ∈时，()2113213-=⋅⋅⋅n n na a a a 且11=a 满足上式则当*N n ∈时，2)1(3213-=⋅⋅⋅n n n a a a a (4)当2≥n 时，⎪⎩⎪⎨⎧=⋅⋅⋅=⋅⋅⋅----2)2)(1(13212)1(32133n n n n n n a a a a a a a a ）（）（21 由）（）（21÷可得，13-=n n a (6)当1=n 时，11=a 满足上式13-=∴n n a ................................................................... (7)（ii ）依题意，13)1(1-+=-n n n b ，13)1(1-+=-n n n n b n 当1=n 时，23111<=b ,猜想23321321<+⋅⋅⋅+++n b n b b b ................................8 由（1）可得，1111313)1(1113)1(113)1(----=++=+-++<-+=n n n n n n n n n n n b n则)31123311313113131313132111210321n n n n b n b b b -=-⨯-=+⋅⋅⋅+++<+⋅⋅⋅+++--（即23)31123<-n （ (11)23321321<+⋅⋅⋅+++∴n b n b b b (12)。