福建省福州市八县一中2017-2018学年高一上学期期中学考试试数学含问题详解

2017--2018学年度第一学期八县（市）一中期中联考高中一年数学科试卷命题学校： 命题教师： 审核教师：考试日期: 2017年11月16日 完卷时间：120分钟 满分：150分第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题意要求的）（1）设全集{}0,1,2,3,4U =，集合{}1,2,3A =， {}2,4B =，则()U A C B =（ ）（A ）{}01,3， （B ）{}13， （C ）{}12,3， （D ）{}0,1,2,3 （2）函数()ln(1)f x x x =+-的定义域是（ ）（A ）)10(， （B ）]1,0（ （C ）)1,0[ （D ）]1,0[ （3）已知幂函数()y f x =的图象过（4，2）点，则()2f =（ ）（A ）2 （B ）2 （C ）4 （D ）22（4）设函数⎩⎨⎧>≤⋅=2log 22)(2x x x a x f x ，， )(R a ∈，若()1)4(=f f ，则a 的值为（ ）（A ）2 （B ）1 （C ）21 （D ）41（5）下列函数中，既是偶函数，又在)(0,+∞上单调递增的是（ ）（A ）x y =（B ）3x y = （C ）21x y -= （D ）x y ln =（6）已知函数2)1(log ++=x y a )10(≠>a a 且的图象恒过定点A ，若点A 也在函数b x f x +=2)(的图象上，则b =（ ）（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 （7）利用二分法求方程3log 3x x =-的近似解，可以取的一个区间是（ ）（A ）()0,1（B ）()1,2（C ）()2,3（D ）()3,4（8）已知 1.20.8612,(),2log 22a b c -===，则,,a b c 的大小关系为（ ）（A ） c b a << （B ）c a b << （C ）b c a << （D ）b a c << （9）已知函数)(x f 是定义在R 上的偶函数，且在]0,(-∞上是减函数，若()()211f x f -<-，则实数x 的取值围是（ ）（A ）),0(+∞ （B ）)1,0( （C ）)1,(-∞ （D ）),1()0,(+∞-∞ （10）若函数xay =)10(≠>a a 且的反函数在定义域单调递增，则函数()log (1)a f x x =-的图象大致是( )（A ） （B ） （C ） （D ） （11）已知1log >b a )10(≠>a a 且，则下列各式一定．．正确的是（ ） （A ）b a 22< （B ）b a 22log log > （C ）b a a a < （D ）ba b b >（12）已知函数⎪⎩⎪⎨⎧>-≤<=3,log 130,log )(33x x x x x f ，若)()()(c f b f a f ==且c b a <<，则ca bc ab ++的取值围为（ ） （A ）)4,1( （B ）)5,1( （C ）)7,4( （D ）)7,5(二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在答题卡的相应位置上）（13）已知集合{}1log 2≤∈=x N x A ，则集合A 子集的个数为_______________（14）计算：1lg 55)12(15log 3log )278(----＋３２　=_________________（15）已知)(x f 是定义在R 上的奇函数, 当0x ≥时,()22x f x x m =++,则21(log )4f 的值为________________（16）如果存在函数b ax x g +=)(（b a 、为常数），使得对函数()f x 定义域任意x 都有()()f x g x ≤成立，那么称()g x 为函数()f x 的一个“线性覆盖函数”．给出如下四个结论：①函数xx f 2)(=存在“线性覆盖函数”；②对于给定的函数()f x ，其“线性覆盖函数”可能不存在，也可能有无数个； ③2121)(+=x x g 为函数()f x x =的一个“线性覆盖函数”； ④若b x x g +=2)(为函数2()f x x =-的一个“线性覆盖函数”，则1b > 其中所有正确结论的序号是___________三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.（17）(本题满分10分)已知全集R U =，集合{}42A ≤=x x ,}{41B ≤<=x x (1)求)C (A U B ；(2)若集合}4|{a x a x C <<-=，且B C ⊆，数a 的取值围．（18）（本题满分12分）已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x ≤时，2()2f x x x =--；（1）求函数)(x f 在R 上的解析式并画出函数()f x 的图象（不要求列表描点，只要求画出草图）（2）（ⅰ）写出函数()f x 的单调递增．．．．区间； （ⅱ）若方程()=0f x m +在),0[+∞上有两个．．不同的实数根，数m 的取值围。

（19）（本题满分12分）已知函数()()1+21xaf x a R =∈+. （1）当0<a 时，判断并证明函数)(x f 在R 上单调性。

（2）当2-=a 时，若关于x 的方程0)1()2(=-+m f f x 在R 上有解，数m 的取值围。

（20）（本题满分12分）近年来，“共享单车”的出现为市民“绿色出行”提供了极大的方便，某共享单车公司“Mobike ”计划在甲、乙两座城市共投资120万元，根据行业规定，每个城市至少要投资40万元，由前期市场调研可知：甲城市收益P 与投入a （单位：万元）满足623-=a P ，乙城市收益Q 与投入a （单位：万元）满足241Q +=a ，设甲城市的投入为x （单位：万元），两个城市的总收益为)(x f （单位：万元）。

（1）当甲城市投资50万元时，求此时公司总收益；（2）试问如何安排甲、乙两个城市的投资，才能使总收益最大？（21）（本题满分12分）已知函数)10()2(log )(≠>+=a a ax x f a 且，　（1）设)22(log )()(2x x f x g --=，当2=a 时，求函数)(x g 的定义域，判断并证明函数)(x g 的奇偶性；（2）是否存在实数a ，使得函数)(x f 在]2,4[--递减，并且最小值为1，若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由.（22）（本题满分12分）已知函数)2(log )(2k x f x+= )(R k ∈的图象过点)1,0(P 。

（1）求k 的值并求函数)(x f 的值域；（2）若关于x 的方程m x x f +=)(有实根，数m 的取值围；（3）若函数)12()(22)(+⋅-=xx f a x h ，]4,0[∈x ，则是否存在实数a ，使得函数)(x h 的最大值为0？若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由。

2017-2018学年度第一学期八县（市）一中期中联考高中一年数学科试卷参考答案一、选择题:（每题 5 分，共 60 分）13． 4 14．4115． -7 16． ②③三、解答题（本大题共6小题，共70分）（17）（本小题共10分）解： (1){}{2}42A ≤=≤=x x x x ……………………………………………2分}{41C U >≤=x x x B 或）（……………………………………………………3分 {} 1)(≤=x x B C A U ………………………………………………………5分（2）①当φ=C 时，即a a 4≥-，所以2a ≤，此时B C ⊆满足题意 2≤∴a ………………………………………………………………7分 ②当φ≠C 时，a a 4<-，即2a >时，所以⎪⎩⎪⎨⎧≤≥->4142a a a ，解得：32≤<a ……………………………………………9分综上，实数a 的取值围是}{3≤a a …………………………………………………10分（18）（本小题共12分） 解：（1）设0>x 则0<-x 所以x x x f 2)(2+-=-又因为)(x f 为奇函数，所以)()(x f x f -=-所以x x x f 2)(2+-=- 即x x x f 2)(2-= )0(>x …………………………2分所以⎪⎩⎪⎨⎧≤-->-=0,202)(22x x x x x x x f ，　……………………………………………………3分图象略…………………………………………………………………………………6分 （2）由图象得函数)(x f 的单调递增区间为]1,(--∞和),1[+∞……………………8分方程()=0f x m +在),0[+∞上有两个不同的实数根，所以函数)(x f y =与m y -=在),0[+∞上有两个不同的交点，……………10分 由图象得01≤-<-m ，所以10<≤m所以实数m 的取值围为)1,0[……………………………………………………12分 评分细则说明：1.若单调增区间写成),1()1,(+∞--∞ 扣1分。

（19）（本题满分12分）解：（1）当0<a 时，函数)(x f 在R 上单调递增，证明如下：…………………1分 设2121,,x x R x x <∈且，则)121()121()()(2121++-++=-x x aa x f x f ……………………………………2分 )12)(12()22(1212211221++-=+-+=x x x x x x a a a ……………………………3分 因为21x x <，所以02212>-x x ，0)12)(12(21>++xx ，又0<a所以0)()(21<-x f x f 即)()(21x f x f <………………………………………5分 所以，函数)(x f 在R 上单调递增………………………………………………6分（2）当2-=a 时，12121221)(+-=+-+=x x x x f ，定义域为R )(121221211212)(x f x f x x x x x x -=+--=+-=+-=---所以，函数)(x f 为奇函数……………………………………………………8分 因为0)1()2(=-+m f f x所以)1()1()2(-=--=m f m f f x ……………………………………9分 由（1）知，2-=a 时，函数)(x f 在R 上单调递增所以12-=m x 在R 上有解，……………………………………………10分 所以函数x y 2=与函数1-=m y 有交点 所以11≥-m ，即2≥m所以实数m 的取值围为),2[+∞…………………………………………………12分（20）（本题满分12分）解：（1）当50=x 时，此时甲城市投资50万元，乙城市投资70万元…………………1分所以总收益 2704165023)50(+⨯+-⨯=f =43.5（万元）…………………4分 （2）由题知，甲城市投资x 万元，乙城市投资)120(x -万元所以2)120(41623)(+-+-=x x x f 262341++-=x x …………………………7分依题意得⎩⎨⎧≥-≥4012040x x ，解得8040≤≤x故262341)(++-=x x x f )8040(≤≤x …………………………………………8分令x t =，则]54,102[∈t所以4426(4126234122+--=++-=）t t t y当26=t ，即72=x 万元时，y 的最大值为44万元…………………………………11分所以当甲城市投资72万元，乙城市投资48万元时，总收益最大，且最大收益为44万元 ………………………………………………………………………………………………12分 评分细则说明：1.函数)(x f 定义域没写扣1分（21）（本题满分12分）（1）当2=a 时，)22(log )(2x x f += 所以)22(log )22(log )(22x x x g --+=由⎩⎨⎧>->+022022x x 得，11<<-x ，所以函数)(x g 的定义域为)1,1(-， ………………3分所以定义域关于原点对称又因为)()22(log )22(log )(22x g x x x g -=+--=-所以函数)(x g 为奇函数……………………………………………………………………6分 （2）假设存在实数a令ax u +=2， 10≠>a a 且 ，所以ax u +=2在]2,4[--上单调递增，又∵函数)(x f 在]2,4[--递减， 由复合函数的单调性可知10<<a ，………………8分 又 函数)(x f 在]2,4[--的最小值为1，所以⎪⎩⎪⎨⎧=-=->-<<1)22(log )2(04210a f a a a 所以⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-<<<a a a a 222110， 所以⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=<<<322110a a a 所以a 无解所以不存在实数a 满足题意。