2017高考数学文二轮复习讲义：第二编 专题整合突破 专题八系列4选讲 第二讲 (选修4-5)不等式选讲

第二讲(选修4－5)不等式选讲重要定理]1．绝对值不等式定理1：如果a，b是实数，则|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立．定理2：如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立．2．绝对值不等式的解法(1)|ax＋b|≤c(c>0)和|ax＋b|≥c(c>0)型不等式的解法①|ax＋b|≤c(c>0)⇔－c≤ax＋b≤c.②|ax＋b|≥c(c>0)⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c.(2)|x－a|＋|x－b|≥c(c>0)和|x－a|＋|x－b|≤c(c>0)型不等式的解法①利用绝对值不等式几何意义求解，体现数形结合思想．②利用“零点分段法”求解，体现分类讨论思想．③通过构建函数，利用函数图象求解，体现函数与方程思想．3．证明不等式的基本方法(1)比较法；(2)综合法；(3)分析法；(4)反证法；(5)放缩法．4．二维形式的柯西不等式若a，b，c，d∈R，则(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，当且仅当ad ＝bc时，等号成立．失分警示]1．应用绝对值不等式性质求函数的最值时，一定要注意等号成立的条件．特别是多次使用不等式时，必须使等号同时成立．2．利用基本不等式证明要注意“一正、二定、三相等”三个条件同时成立，缺一不可．3．在去掉绝对值符号进行分类时要做到不重不漏．考点绝对值不等式典例示法 题型1 绝对值不等式的解法典例1 2015·沈阳模拟]设函数f (x )＝|2x ＋1|－|x －4|.(1)解不等式f (x )＞2；(2)求函数y ＝f (x )的最小值．解] (1)解法一：令2x ＋1＝0，x －4＝0分别得x ＝－12，x ＝4.原不等式可化为：⎩⎨⎧ x ＜－12，－x －5＞2或⎩⎨⎧ －12≤x ＜4，3x －3＞2或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥4，x ＋5＞2， 所以原不等式的解集为⎩⎨⎧ x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ＜－7或x ＞53.解法二：f (x )＝|2x ＋1|－|x －4|＝⎩⎪⎨⎪⎧ －x －5，x ＜－12，3x －3，－12≤x ＜4，x ＋5，x ≥4.画出f (x )的图象y ＝2与f (x )图象的交点为(－7,2)，⎝ ⎛⎭⎪⎫53，2. 由图象知f (x )＞2的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x <－7或x ＞53. (2)由(1)的解法二中的图象知：f (x )mi n ＝－92.题型2 含绝对值不等式的恒成立问题典例2 2016·长春质检]设函数f (x )＝|x ＋2|＋|x －a |(a ∈R )．(1)若不等式f (x )＋a ≥0恒成立，求实数a 的取值范围；(2)若不等式f (x )≥32x 恒成立，求实数a 的取值范围．解] (1)当a ≥0时，f (x )＋a ≥0恒成立，当a <0时，要保证f (x )≥－a 恒成立，即f (x )的最小值|a ＋2|≥－a ，解得－1≤a <0，故a ≥－1.(2)由题意可知，函数y ＝f (x )的图象恒在直线y ＝32x 的上方，画出两个函数图象可知，当a ≤－2时，符合题意，当a >－2时，只需满足点(a ，a ＋2)不在点⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，32a 的下方即可，所以a ＋2≥32a ，即－2<a ≤4. 综上，实数a 的取值范围是(－∞，4]．1．解绝对值不等式的步骤和方法(1)用零点分段法解绝对值不等式的步骤①求零点．②划区间、去绝对值号．③分别解去掉绝对值的不等式．④取每个结果的并集，注意在分段时不要遗漏区间的端点值．(2)用图象法求解不等式用图象法，数形结合可以求解含有绝对值的不等式，使得代数问题几何化，既通俗易懂，又简洁直观，是一种较好的方法．2．解决含参数的绝对值不等式问题的两种常用方法(1)将参数分类讨论，将其转化为分段函数解决；(2)借助于绝对值的几何意义，先求出f (x )的最值或值域，然后再根据题目要求，求解参数的取值范围．3．解答含参数的绝对值不等式应熟记的几个转化f (x )>a 恒成立⇔f (x )mi n >a ；f (x )<a 恒成立⇔f (x )m ax <a ；f (x )>a 有解⇔f (x )m ax >a ；f (x )<a 有解⇔f (x )mi n <a ；f (x )>a 无解⇔f (x )m ax ≤a ；f (x )<a 无解⇔f (x )mi n ≥a.考点不等式的证明典例示法典例3 2016·湖北二联]已知f (x )＝|x ＋1|＋|x －1|，不等式f (x )<4的解集为M .(1)求M ；(2)当a ，b ∈M 时，证明：2|a ＋b |<|4＋ab |.解] (1)f (x )＝|x ＋1|＋|x －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧ －2x ，x <－1，2，－1≤x ≤1，2x ，x >1.当x <－1时，由－2x <4得－2<x <－1；当－1≤x ≤1时，f (x )＝2<4；当x >1时，由2x <4得1<x <2.所以M ＝(－2,2)．(2)证明：当a ，b ∈M ，即－2<a ，b <2时，∵4(a ＋b )2－(4＋ab )2＝4(a 2＋2ab ＋b 2)－(16＋8ab ＋a 2b 2)＝(a 2－4)(4－b 2)<0，∴4(a ＋b )2<(4＋ab )2，∴2|a ＋b |<|4＋ab|.不等式证明的常用方法(1)不等式的证明常利用综合法、分析法、基本不等式和柯西不等式等，要根据题目特点灵活选用方法；(2)证明含绝对值的不等式主要有以下三种方法：①利用绝对值的定义去掉绝对值符号，转化为普通不等式再证明；②利用三角不等式||a |－|b ||≤|a ±b |≤|a |＋|b |进行证明；③转化为函数问题，利用数形结合进行证明．针对训练2015·陕西质检]已知函数f (x )＝|x －1|.(1)解不等式f (2x )＋f (x ＋4)≥8；(2)若|a |＜1，|b |＜1，a ≠0，求证：f (ab )|a |＞f ⎝ ⎛⎭⎪⎫b a . 解 (1)f (2x )＋f (x ＋4)＝|2x －1|＋|x ＋3|＝⎩⎪⎨⎪⎧ －3x －2，x ＜－3，－x ＋4，－3≤x ＜12，3x ＋2，x ≥12，当x ＜－3时，由－3x －2≥8，解得x ≤－103；当－3≤x ＜12时，－x ＋4≥8无解；当x ≥12时，由3x ＋2≥8，解得x ≥2.所以不等式f (2x )＋f (x ＋4)≥8的解集为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ≤－103或x ≥2. (2)证明：f (ab )|a |＞f ⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 等价于f (ab )＞|a |f ⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ， 即|ab －1|＞|a －b |.因为|a |＜1，|b |＜1，所以|ab －1|2－|a －b |2＝(a 2b 2－2ab ＋1)－(a 2－2ab ＋b 2)＝(a 2－1)(b 2－1)＞0，所以|ab －1|＞|a －b |.故所证不等式成立．考点柯西不等式典例示法典例4 2015·福建高考]已知a >0，b >0，c >0，函数f (x )＝|x ＋a |＋|x －b |＋c 的最小值为4.(1)求a ＋b ＋c 的值；(2)求14a 2＋19b 2＋c 2的最小值．解] (1)因为f (x )＝|x ＋a |＋|x －b |＋c ≥|(x ＋a )－(x －b )|＋c ＝|a ＋b |＋c ，当且仅当－a ≤x ≤b 时，等号成立．又a >0，b >0，所以|a ＋b |＝a ＋b ，所以f (x )的最小值为a ＋b ＋c.又已知f (x )的最小值为4，所以a ＋b ＋c ＝4.(2)由(1)知a ＋b ＋c ＝4，由柯西不等式得⎝ ⎛⎭⎪⎫14a 2＋19b 2＋c 2(4＋9＋1)≥⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2×2＋b 3×3＋c ×12＝(a ＋b ＋c )2＝16，即14a 2＋19b 2＋c 2≥87.当且仅当12a 2＝13b 3＝c 1，即a ＝87，b ＝187，c ＝27时等号成立．故14a 2＋19b 2＋c 2的最小值为87.柯西不等式的求解方法柯西不等式在解决多变量代数式的最值问题中有着重要的应用，运用柯西不等式求最值时，关键是进行巧妙的拼凑，构造出柯西不等式的形式．针对训练2015·陕西高考]已知关于x 的不等式|x ＋a |<b 的解集为{x |2<x <4}．(1)求实数a ，b 的值；(2)求at ＋12＋bt 的最大值．解 (1)由|x ＋a |<b ，得－b －a <x <b －a ，则⎩⎪⎨⎪⎧－b －a ＝2，b －a ＝4，解得a ＝－3，b ＝1. (2)－3t ＋12＋t ＝34－t ＋t ≤[(3)2＋12][(4－t )2＋(t )2]＝24－t ＋t ＝4， 当且仅当4－t 3＝t 1，即t ＝1时等号成立， 故(－3t ＋12＋t )m ax ＝4.全国卷高考真题调研]1．2016·全国卷Ⅰ]已知函数f (x )＝|x ＋1|－|2x －3|.(1)画出y ＝f (x )的图象；(2)求不等式|f (x )|>1的解集．解 (1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x －4，x ≤－1，3x －2，－1<x ≤32，－x ＋4，x >32，y ＝f (x )的图象如图所示．(2)由f (x )的表达式及图象知，当f (x )＝1时，可得x ＝1或x ＝3；当f (x )＝－1时，可得x ＝13或x ＝5.故f (x )>1的解集为{x |1<x <3}；f (x )<－1的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪ x <13或x >5. 所以|f (x )|>1的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x <13或1<x <3或x >5. 2．2015·全国卷Ⅰ]已知函数f (x )＝|x ＋1|－2|x －a |，a >0.(1)当a ＝1时，求不等式f (x )>1的解集；(2)若f (x )的图象与x 轴围成的三角形面积大于6，求a 的取值范围．解 (1)当a ＝1时，f (x )>1化为|x ＋1|－2|x －1|－1>0.当x ≤－1时，不等式化为x －4>0，即x >4，无解；当－1<x <1时，不等式化为3x －2>0，解得23<x <1；当x ≥1时，不等式化为－x ＋2>0，解得1≤x <2.综上，f (x )>1的解集为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫23<x <2. (2)由题设可得，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x －1－2a ，x <－1，3x ＋1－2a ，－1≤x ≤a ，－x ＋1＋2a ，x >a.所以函数f (x )的图象与x 轴围成的三角形的三个顶点分别为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a －13，0，B (2a ＋1,0)，C (a ，a ＋1)，△ABC 的面积为23(a ＋1)2.由题设得23(a ＋1)2>6，故a >2.所以a 的取值范围为(2，＋∞)．3．2015·全国卷Ⅱ]设a ，b ，c ，d 均为正数，且a ＋b ＝c ＋d ，证明：(1)若ab >cd ，则a ＋b >c ＋d ；(2)a ＋b >c ＋d 是|a －b |<|c －d |的充要条件．证明 (1)因为(a ＋b )2＝a ＋b ＋2ab ，(c ＋d )2＝c ＋d ＋2cd ，由题设a ＋b ＝c ＋d ，ab >cd 得(a ＋b )2>(c ＋d )2. 因此a ＋b >c ＋d .(2)①若|a －b |<|c －d |，则(a －b )2<(c －d )2，即(a ＋b )2－4ab <(c ＋d )2－4c d.因为a ＋b ＝c ＋d ，所以ab >c d.由(1)得a ＋b >c ＋d . ②若a ＋b >c ＋d ，则(a ＋b )2>(c ＋d )2，即a ＋b ＋2ab >c ＋d ＋2cd .因为a ＋b ＝c ＋d ，所以ab >c d.于是(a －b )2＝(a ＋b )2－4ab <(c ＋d )2－4cd ＝(c －d )2.因此|a －b |<|c －d |. 综上，a ＋b >c ＋d 是|a －b |<|c －d |的充要条件．其它省市高考题借鉴]4．2016·江苏高考]设a >0，|x －1|<a 3，|y －2|<a 3，求证：|2x ＋y －4|<a.证明 因为|x －1|<a 3，|y －2|<a 3，所以|2x ＋y －4|＝|2(x －1)＋(y －2)|≤2|x －1|＋|y －2|<2×a 3＋a 3＝a.5．2015·湖南高考]设a >0，b >0，且a ＋b ＝1a ＋1b .证明：(1)a ＋b ≥2；(2)a 2＋a <2与b 2＋b <2不可能同时成立．证明 由a ＋b ＝1a ＋1b ＝a ＋b ab ，a >0，b >0，得ab ＝1.(1)由基本不等式及ab ＝1，有a ＋b ≥2ab ＝2，即a ＋b ≥2，当且仅当a ＝b ＝1时等号成立．(2)假设a 2＋a <2与b 2＋b <2同时成立，则由a 2＋a <2及a >0得0<a <1；同理，0<b <1，从而ab <1，这与ab ＝1矛盾．故a 2＋a <2与b 2＋b <2不可能同时成立．6．2014·福建高考]已知定义在R 上的函数f (x )＝|x ＋1|＋|x －2|的最小值为a.(1)求a 的值；(2)若p ，q ，r 是正实数，且满足p ＋q ＋r ＝a ，求证：p 2＋q 2＋r 2≥3. 解 (1)因为|x ＋1|＋|x －2|≥|(x ＋1)－(x －2)|＝3，当且仅当－1≤x ≤2时，等号成立，所以f (x )的最小值等于3，即a ＝3.(2)证明：由(1)知p ＋q ＋r ＝3，又因为p ，q ，r 是正实数， 所以(p 2＋q 2＋r 2)(12＋12＋12)≥(p ×1＋q ×1＋r ×1)2＝(p ＋q ＋r )2＝9，即p 2＋q 2＋r 2≥3.1．2016·湖北八校联考]已知函数f (x )＝|x －10|＋|x －20|，且满足f (x )<10a ＋10(a ∈R )的解集不是空集．(1)求实数a 的取值集合A ；(2)若b ∈A ，a ≠b ，求证：a a b b >a b b a .解 (1)|x －10|＋|x －20|<10a ＋10的解集不是空集，则(|x －10|＋|x －20|)mi n <10a ＋10，∴10<10a ＋10，∴a >0，A ＝(0，＋∞)．(2)证明：不妨设a >b ，则a a b b a b b a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a b a －b ， ∵a >b >0，∴a b >1，a －b >0，⎝ ⎛⎭⎪⎫a b a －b >1， ∴a a b b >a b b a .2．2016·河南测试]已知函数f (x )＝|x －2|.(1)解不等式f (x )＋f (x ＋5)≥9；(2)若|a |<1，|b |<1，求证：f (ab ＋3)>f (a ＋b ＋2)．解 (1)f (x )＋f (x ＋5)＝|x －2|＋|x ＋3|＝⎩⎪⎨⎪⎧ －2x －1，x <－3，5，－3≤x ≤2，2x ＋1，x >2.当x <－3时，由－2x －1≥9，解得x ≤－5；当－3≤x ≤2时，f (x )≥9，不成立；当x >2时，由2x ＋1≥9，解得x ≥4.所以不等式f (x )＋f (x ＋5)≥9的解集为{x |x ≤－5或x ≥4}．(2)证明：f (ab ＋3)>f (a ＋b ＋2)，即|ab ＋1|>|a ＋b |.因为|a |<1，|b |<1，所以|ab ＋1|2－|a ＋b |2＝(a 2b 2＋2ab ＋1)－(a 2＋2ab ＋b 2)＝(a 2－1)(b 2－1)>0，所以|ab ＋1|>|a ＋b |，故所证不等式成立．3．已知函数f (x )＝|x －2|－|x ＋1|.(1)解不等式f (x )>1；(2)当x >0时，函数g (x )＝ax 2－x ＋1x(a >0)的最小值总大于函数f (x )，试求实数a 的取值范围．解 (1)当x >2时，原不等式可化为x －2－x －1>1，此时不成立； 当－1≤x ≤2时，原不等式可化为2－x －x －1>1，即－1≤x <0； 当x <－1时，原不等式可化为2－x ＋x ＋1>1，即x <－1， 综上，原不等式的解集是{x |x <0}．(2)因为g (x )＝ax ＋1x －1≥2a －1，当且仅当ax ＝1x ，即x ＝a a 时“＝”成立，所以g (x )mi n ＝2a －1，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－2x ，0<x ≤2，－3，x >2，所以f (x )∈－3,1)，所以2a －1≥1，即a ≥1为所求．4．2016·全国卷Ⅲ]已知函数f (x )＝|2x －a |＋a.(1)当a ＝2时，求不等式f (x )≤6的解集；(2)设函数g (x )＝|2x －1|.当x ∈R 时，f (x )＋g (x )≥3，求a 的取值范围．解 (1)当a ＝2时，f (x )＝|2x －2|＋2.解不等式|2x －2|＋2≤6得－1≤x ≤3.因此f (x )≤6的解集为{x |－1≤x ≤3}．(2)当x ∈R 时，f (x )＋g (x )＝|2x －a |＋a ＋|1－2x |≥|2x －a ＋1－2x |＋a ＝|1－a |＋a. 所以当x ∈R 时，f (x )＋g (x )≥3等价于|1－a |＋a ≥3.① 当a ≤1时，①等价于1－a ＋a ≥3，无解．当a >1时，①等价于a －1＋a ≥3，解得a ≥2.所以a 的取值范围是2，＋∞)．5．2016·湖北七市联考]设函数f (x )＝|x －a |，a ∈R .(1)若a ＝1，解不等式f (x )≥12(x ＋1)；(2)记函数g (x )＝f (x )－|x －2|的值域为A ，若A ⊆－1,3]，求a 的取值范围．解 (1)由于a ＝1，故f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－x ，x <1，x －1，x ≥1. 当x <1时，由f (x )≥12(x ＋1)，得1－x ≥12(x ＋1)，解得x ≤13.当x ≥1时，由f (x )≥12(x ＋1)，得x －1≥12(x ＋1)，解得x ≥3.综上，不等式f (x )≥12(x ＋1)的解集为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，13∪3，＋∞)． (2)当a <2时，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ a －2，x ≤a ，2x －2－a ，a <x <2，2－a ，x ≥2，g (x )的值域A ＝a －2,2－a ]，由A ⊆－1,3]，得⎩⎪⎨⎪⎧a －2≥－1，2－a ≤3，解得a ≥1，又a <2，故1≤a <2； 当a ≥2时，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ a －2，x ≤2，－2x ＋2＋a ，2<x <a ，2－a ，x ≥a ，g (x )的值域A ＝2－a ，a －2]， 由A ⊆－1,3]，得⎩⎪⎨⎪⎧2－a ≥－1，a －2≤3，解得a ≤3，又a ≥2， 故2≤a ≤3.综上，a 的取值范围为1,3]．6．2016·西安交大附中六诊]设函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －52＋|x －a |. (1)求证：当a ＝－12时， 不等式l n f (x )>1成立；(2)关于x 的不等式f (x )≥a 在R 上恒成立，求实数a 的最大值．解 (1)证明：由f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －52＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋12 ＝⎩⎪⎨⎪⎧ －2x ＋2，x <－12，3，－12≤x ≤52，2x －2，x >52得函数f (x )的最小值为3，从而f (x )≥3>e.所以l n f (x )>1成立．(2)由绝对值的性质得f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －52＋|x －a |≥⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫x －52－(x －a )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －52， 所以f (x )最小值为⎪⎪⎪⎪⎪⎪52－a ，从而⎪⎪⎪⎪⎪⎪52－a ≥a ，解得a ≤54，因此a 的最大值为54.7.2016·太原测评]对于任意的实数a (a ≠0)和b ，不等式|a ＋b |＋|a －b |≥M ·|a |恒成立，记实数M 的最大值是m .(1)求m 的值；(2)解不等式|x －1|＋|x －2|≤m .解 (1)不等式|a ＋b |＋|a －b |≥M ·|a |恒成立，即M ≤|a ＋b |＋|a －b ||a |对于任意的实数a (a ≠0)和b 恒成立， 所以M 的最大值m 是|a ＋b |＋|a －b ||a |的最小值． 因为|a ＋b |＋|a －b |≥|(a ＋b )＋(a －b )|＝2|a |，当且仅当(a －b )(a ＋b )≥0时等号成立，即|a |≥|b |时， |a ＋b |＋|a －b ||a |≥2成立，所以m ＝2. (2)|x －1|＋|x －2|≤2.解法一：利用绝对值的意义得12≤x ≤52.解法二：当x <1时，原不等式化为－(x －1)－(x －2)≤2，解得x ≥12，所以x 的取值范围是12≤x <1；当1≤x ≤2时，原不等式化为(x －1)－(x －2)≤2，得x 的取值范围是1≤x ≤2；当x >2时，原不等式化为(x －1)＋(x －2)≤2，解得x ≤52.所以x 的取值范围是2<x ≤52.综上所述，x 的取值范围是12≤x ≤52.解法三：构造函数y ＝|x －1|＋|x －2|－2，作出y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ －2x ＋1(x <1)，－1(1≤x ≤2)，的图象如图所示，2x －5(x >2)利用图象有当y ≤0，得12≤x ≤52.8．2016·洛阳统考]已知a ，b ∈(0，＋∞)，a ＋b ＝1，x 1，x 2∈(0，＋∞)．(1)求x 1a ＋x 2b ＋2x 1x 2的最小值； (2)求证：(ax 1＋bx 2)(ax 2＋bx 1)≥x 1x 2.解 (1)因为a ，b ∈(0，＋∞)，a ＋b ＝1，x 1，x 2∈(0，＋∞)，所以x 1a ＋x 2b ＋2x 1x 2≥3·3x 1a ·x 2b ·2x 1x 2＝3·32ab ≥3·32⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝3×38＝6，当且仅当x 1a ＝x 2b ＝2x 1x 2，a ＝b ，即a ＝b ＝12且x 1＝x 2＝1时，x 1a ＋x 2b ＋2x 1x 2有最小值6. (2)证法一：由a ，b ∈(0，＋∞)，a ＋b ＝1，x 1，x 2∈(0，＋∞)， 及柯西不等式可得：(ax 1＋bx 2)(ax 2＋bx 1)＝(ax 1)2＋(bx 2)2]·(ax 2)2＋(bx 1)2]≥(ax 1·ax 2＋bx 2·bx 1)2＝(a x 1x 2＋b x 1x 2)2＝x 1x 2， 当且仅当ax 1ax 2＝bx 2bx 1，即x 1＝x 2时取得等号．证法二：因为a，b∈(0，＋∞)，a＋b＝1，x1，x2∈(0，＋∞)，所以(ax1＋bx2)(ax2＋bx1)＝a2x1x2＋abx22＋abx21＋b2x1x2＝x1x2(a2＋b2)＋ab(x22＋x21)≥x1x2(a2＋b2)＋ab(2x1x2)＝x1x2(a2＋b2＋2ab)＝x1x2(a＋b)2＝x1x2，当且仅当x1＝x2时，取得等号．。