04一元一次方程应用专题
一元一次方程的应用(题型归纳)
将进出数值表示为未知数设x，列出方程解x。
工作效率
将某项工作的效率与时间表示为未知数设x，列 出方程解x。
混合物含量
将每种物质的量表示为未知数设x，列出方程解x。
简单的平移和旋转问题
横坐标加减常数 纵坐标加减常数 关于坐标轴翻转 关于x轴翻转 关于y轴翻转
x±a y±b (x,y)→(y,x) (x,y)→(x,-y) (x,y)→(-x,y)
展开思路
举一反三，尝试从其他角度思考 问题的解决方法。
多种解法对比
尝试多种不同的解题方法进行校 验和验证，选择最优解。
关于人口增长、下降和变化的问题
1
人口增长问题
根据增长率设定未知数，并根据相关数
人口下降问题
2
据列出方程求解。
根据下降率设定未知数，并根据相关数 据列出方程求解。
运动员试训问题的解题思路
代数式/代数式组中的一元一次方程
系数为未知数
将系数表示为未知数x，列出方程求解。
系数为常数
将常数表示为未知数x，列出方程解未知数。
单价和总价问题的解题思路
单价计算 总价计算
总价除以数量 单价乘以数量
根据题目条件将总价或单价设为未知数x，列出方程求解。
单利和复利问题的解题思路
单利
根据单利的计算公式将未知数设为x，列出方程求 解。
3
消元系数
将未知数系数化为1，得到类似x=d的解。
文字题型解题思路
阅读题干
认真读题，理解题意，将问题转 化为一元一次方程。
设定未知数
设定符合题意的未知数，表示题 目中的未知量。
列出方程
根据题意列出方程，运用前几步 解方程求解。
数字应用题型解题思路
一元一次方程常见应用题型及解法
一元一次方程常见应用题：
一、行程问题：路程=速度×时间
1：相遇问题：甲路程+乙路程=总路程
2：追及问题：a、不同时同地出发：快者（追者）走的路程=慢者（前者）走的路程
b、同时不同地出发：慢者走的路程+两者距离=快者走的路程
3、水流问题：顺水行的路程=逆水行的路程
提前写出：顺水速度=静水速度+水流速度
逆水速度=静水速度-水流速度
二、工程问题：工作总量=工作效率×工作时间工作效率与单独工作的时间互为倒数
各部分工作量之和=1
三、利润率、销售问题：
商品利润=商品售价-商品进价=商品进价×商品利润率
商品利润率=商品利润/商品进价×100%
售价=进价×（1+利润率）
注：进价
售价=实际销售价格
标价=定价=原价=预计售价=原销售价
四、数字问题：
设一个两位数的十位上的数字和个位上的数字分别为a、b,则这个两位数表示为10a+b 五、按比例分配问题：
甲：乙：丙=a:b:c 全部数量=各种成分的数量之和（设一份为χ）
六、配套问题
“加工的两种物品成比例”
七、分配问题
“总量不变”
八、积分问题
比赛总场数=胜场总数+平场总数+负场总数
比赛总积分=胜场总积分+平场总积分+负场总积分九、规律问题
●3个规律数字：设中间的数为χ
●月历中的问题
月历中每一行上相邻的两数，右边的数比左边的数大1；
月历中的每一列上相邻的两数，下边的数比上边的数大7 十、方案决策问题
选择最优的方案就要把每种方案的结果算出来，进行比较。
一元一次方程组的应用
一元一次方程组的应用一元一次方程组是指由一元一次方程构成的方程组，其中每个方程都只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为1。
在实际生活中，一元一次方程组的应用非常广泛，例如用于解决线性问题、经济学中的供求关系等。
本文将讨论一元一次方程组在实际问题中的应用。
一、商品购买问题假设小明去超市购买苹果和香蕉，已知苹果和香蕉的价格分别为x元/斤和y元/斤。
小明购买了a斤苹果和b斤香蕉，总共支付了m元。
根据此情况可以建立一个一元一次方程组，求解出苹果和香蕉的价格。
设方程组如下：方程一：a*x + b*y = m方程二：x = 2y其中方程一表示购买苹果和香蕉总花费为m元，方程二表示苹果的价格是香蕉价格的两倍。
通过求解这个一元一次方程组，可以得到苹果和香蕉的具体价格，从而可以帮助小明合理购买商品。
二、投资问题假设小王要进行投资，已知他现在手中有a万元的资金。
小王将资金分为x万元用于购买货币基金，y万元用于购买股票基金，并且规定货币基金的年收益率为2%，股票基金的年收益率为5%。
小王希望将投资一年后的总资金增加到m万元。
根据此情况可以建立一个一元一次方程组，求解出小王应该分别投入多少资金到货币基金和股票基金。
设方程组如下：方程一：2%x + 5%y = m - a方程二：x + y = a其中方程一表示投资一年后总资金增加到m万元，方程二表示小王手中资金的总额为a万元。
通过求解这个一元一次方程组，可以得到小王应该分别投入多少资金到货币基金和股票基金，从而帮助他做出明智的投资决策。
三、消费者满意度调查问题假设一家公司进行了一次消费者满意度调查，调查的问题是对该公司的产品进行评价，用评分1-5分来表示，分数越高表示满意度越高。
假设共有n位消费者参与调查，调查结果列成一个n行1列的向量y，其中y(i)表示第i位消费者给出的评分。
另外，公司还针对每一位消费者进行了星级评价，用星号表示，星号的数量代表了消费者的评分等级。
专题04 一元一次方程、二元一次方程(组)、分式方程及其应用(解析版)
专题04一元一次方程、二元一次方程（组）、分式方程及其应用目录热点题型归纳..................................................................................................................................................错误！未定义书签。
题型01一元一次方程的解法 (1)题型02二元一次方程（组）的解法 (4)题型03一次方程（组）的实际应用 (8)题型04分式方程及其解法 (16)题型05分式方程的实际应用 (21)中考练场 (25)题型01一元一次方程的解法【典例分析】例1.（2023·湖南）关于的一元一次方程2+=5的解为=1，则的值为()A.3B.−3C.7D.−7【答案】A【解析】解：∵=1是关于的一元一次方程2+=5的解，∴2×1+=5，∴=3，故选：．根据方程的解的定义把=1代入方程即可求出的值．本题主要考查了一元一次方程的解的定义，熟知：使方程左右两边相等的未知数的值是方程的解．例2.（2023·浙江）小红在解方程73=4K16+1时，第一步出现了错误：解：2×7=(4−1)+1，…(1)请在相应的方框内用横线划出小红的错误处．(2)写出你的解答过程．【答案】解：(1)如图：(2)去分母：2×7=(4−1)+6，去括号：14=4−1+6，移项：14−4=−1+6，合并同类项：10=5，系数化1：=12．【解析】(1)根据等式的性质，解一元一次方程的步骤即可判断；(2)首先去分母、然后去括号、移项、合并同类项、次数化成1即可求解．此题考查了解一元一次方程，其步骤为：去分母，去括号，移项合并，把未知数系数化为1，求出解．【变式演练】1.（2024·广西模拟）关于的一元一次方程2+=5的解为=1，则的值为()A.3B.−3C.7D.−7【答案】A【解析】解：∵=1是关于的一元一次方程2+=5的解，∴2×1+=5，∴=3，故选：．根据方程的解的定义把=1代入方程即可求出的值．本题主要考查了一元一次方程的解的定义，熟知：使方程左右两边相等的未知数的值是方程的解．2.（2024·河北模拟）米老鼠在解方程2K13=r2−1的过程中，去分母时方程右边的−1忘记乘6，因而求得的解为=2．(1)请你帮助米老鼠求出的值；(2)正确地解这个方程．【答案】解：(1)把=2代入方程2(2−1)=3(+)−1得：2×(2×2−1)=3(2+)−1，解得：=13；(2)方程为2K13=r132−1，2(2−1)=3(+13)−6，4−2=3+1−6，4−3=1−6+2，=−3．【解析】(1)把=2代入方程2(2−1)=3(+)−1得出2×(2×2−1)=3(2+)−1，再求出方程的解即可；(2)去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化成1即可．本题考查了一元一次方程的解和解一元一次方程，注意：使方程左右两边相等的未知数的值，叫方程的解．3.（2024·陕西模拟）解方程：8r45=1+11r17．【答案】解：8r45=1+11r17，7(8+4)=35+5(11+1)，56+28=35+55+5，56−55=35+5−28，=12．【解析】按照解一元一次方程的步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，进行计算即可解答．本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键．题型02二元一次方程（组）的解法【解题策略】【典例分析】例1．（2023·浙江）（二元一次方程的解）下列各组数满足方程2+3=8的是()A.=1,=2B.=2,=1C.=−1,=2D.=2,=4【答案】A 【解析】略例2.（2023·广东）（二元一次方程组的概念）下列方程组中，是二元一次方程组的是．()A.2=4−5=3B.+=42−=1C.+2=02−2=2D.4−=3+=2【答案】D【解析】【分析】本题主要考查二元一次方程组的概念有关知识，根据二元一次方程组的概念对选项逐一判断即可．【解答】解：.第一个方程不是整式方程，不符合二元一次方程组的概念，故不是二元一次方程组，故该选项错误；B.该方程组中含有3个未知数，不符合二元一次方程组的概念，故不是二元一次方程组，故该选项错误；C.方程组中第二个方程最高次数为2次，不符合二元一次方程组的概念，故不是二元一次方程组，故该选项错误．D.符合二元一次方程组的概念，故是二元一次方程组，故该选项正确．例3.（2023·四川）（二元一次方程组的解）已知关于，的二元一次方程组3−=4+1+=2−5的解满足−=4，则的值为()A.0B.1C.2D.3【答案】B【解析】解：∵关于、的二元一次方程组为3−=4+1①+=2−5②，①−②，得：∴2−2=2+6，∴−=+3，∵−=4，∴+3=4，∴=1．故选：．把方程组的两个方程相减得到2−2=2+6，结合−=4，得到的值．本题主要考查了二元一次方程组的解，解题的关键是把方程组的两个方程相加得到的方程，此题难度不大．例4.（2023·天津）（代入消元法）方程组=23+=15的解是()A.=2=3B.=4=3C.=4=8D.=3=6【答案】D【解析】【分析】本题考查的是二元一次方程组的解法，方程组中未知数的系数较小时可用代入消元法，当未知数的系数相等或互为相反数时用加减消元法较简单．此题利用代入消元法求解即可．【解答】解：=2①3+=15②,①代入②得，3+2=15，解得=3，将=3代入①得，=2×3=6，所以方程组的解是=3=6．故选D．例5.（2023·四川）（加减消元法）已知关于、的二元一次方程组3−=4+1,+=2−5的解满足−=4，则的值为()A.0B.1C.2D.3【答案】B【解析】略【变式演练】1.（2023·广东）若二元一次方程3−=7，2+3=1，=B−9有公共解，则的取值为()A.3B.−3C.−4D.4【答案】D【解析】【分析】本题先通过解二元一次方程组，求得后再代入关于的方程而求解的．由题意建立关于，的方程组，求得，的值，再代入=B−9中，求得的值．【解答】解：解3−=72+3=1得：=2=−1，代入=B−9得：−1=2−9，解得：=4．故选：．2.（2023·四川）关于，的方程组3+=2−1,−=的解满足+=1，则4÷2的值是() A.1 B.2 C.4 D.8【答案】D【解析】解：∵方程组3+=2−1①−=②，∴①−②得，2+2=2−−1，∴+=2KK12，∵+=1，∴2KK12=1，∴2−=3，∴4÷2=22÷2=22K=23=8．故选：．根据方程组①−②得，2+2=2−−1，即+=2KK12，再根据+=1，得2−=3，所以4÷2=22÷2=22K=23=8．本题考查了二元一次方程组的解，幂的乘方与积的乘方，同底数幂的除法法则，能熟练掌握运算法则是解此题的关键．3.（2023·广东）用加减法消元解方程组+3=8①−=1②的过程中，正确的是()A.①+②，得4=9B.①+②，得2=9C.①−②，得4=7D.①−②，得2=7【答案】C【解析】【分析】此题考查了解二元一次方程组，解方程组时利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．根据解二元一次方程组的步骤解方程组即可．【解答】解：用加减法消元解方程组+3=8①−=1②的过程中，正确的是①−②，得4=7，故选：．题型03一次方程（组）的实际应用【解题策略】2【典例分析】例1．（2023·河北）某磁性飞镖游戏的靶盘如图所示.珍珍玩了两局，每局投10次飞镖，若投到边界则不计入次数，需重新投.计分规则如下：常见运用题型解应用题的步骤：①审清题意;②找等量关系;③设未知数;④列方程;⑤解方程;⑥验根;⑦作答.工作(或工程)问题：工作量=工作效率×工作时间利息问题：利息=本金×利率×期数;本息和=本金+利息行程问题：路程=速度×时间;其中,相遇问题:s 甲+s 乙=s 总;追及问题：(同地异时)前者走的路程=追者走的路程;(异地同时)前者走的路程+两地间的距离=追者走的路程利润问题：利润=卖价-进价；利润率=进价利润×100%.数字问题：两位数=10×十位数字+个位数字；三位数=100×百位数字+10×十位数字+个位数字分配问题等投中位置区区脱靶一次计分(分)31−2在第一局中，珍珍投中区4次，区2次.脱靶4次．(1)求珍珍第一局的得分;(2)第二局，珍珍投中区次，区3次，其余全部脱靶.若本局得分比第一局提高了13分，求的值．【答案】(1)由题意得4×3+2×1+4×(−2)=6(分)，答：珍珍第一局的得分为6分;(2)由题意得3+3×1+(10−−3)×(−2)=6+13，解得：=6，则的值为6．【解析】(1)根据题意列式计算即可求解;(2)根据题意列一元一次方程即可求解．本题考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．例2.（2023·辽宁）某礼品店经销，两种礼品盒，第一次购进种礼品盒10盒，种礼品盒15盒，共花费2800元；第二次购进种礼品盒6盒，种礼品盒5盒，共花费1200元．(1)求购进，两种礼品盒的单价分别是多少元；(2)若该礼品店准备再次购进两种礼品盒共40盒，总费用不超过4500元，那么至少购进种礼品盒多少盒？【答案】解：(1)设购买每盒种礼品盒要元，每盒种礼品盒要元，由题意得，10+15=28006+5=1200，解得：=100=120，答：购买每盒种礼品盒要100元，每盒种礼品盒要120元；(2)设需要购买个种礼品盒，则购买(40−)个种礼品盒，由题意得，100+120(40−)≤4500，解得：≥15，答：最少需要购买15个种礼品盒．【解析】(1)设购买每盒种礼品盒要元，每盒种礼品盒要元，由题意即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；(2)设该公司需要购买个种礼品盒，则购买(40−)个种礼品盒，由题意即可得出关于的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论．此题考查了二元一次方程组和一元一次不等式的应用，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的数量关系，列出方程组和不等式．例3（2023·江苏）某商场销售、两种商品，每件进价均为20元.调查发现，如果售出种20件，种10件，销售总额为840元；如果售出种10件，种15件，销售总额为660元．(1)求、两种商品的销售单价；(2)经市场调研，种商品按原售价销售，可售出40件，原售价每降价1元，销售量可增加10件；种商品的售价不变，种商品售价不低于种商品售价.设种商品降价元，如果、两种商品销售量相同，求取何值时，商场销售、两种商品可获得总利润最大？最大利润是多少？【答案】解：(1)设种商品的销售单价为元，种商品的销售单价为元，由题意可得：20+10=840 10+15=660，解得=30=24，答：种商品的销售单价为30元，种商品的销售单价为24元；(2)设利润为元，由题意可得：=(30−−20)(40+10)+(24−20)(40+10)=−10(−5)2+810，∵种商品售价不低于种商品售价，∴30−≥24，解得≤6，∴当=5时，取得最大值，此时=810，答：取5时，商场销售、两种商品可获得总利润最大，最大利润是810元．【解析】(1)根据售出种20件，种10件，销售总额为840元；如果售出种10件，种15件，销售总额为660元，可以列出相应的二元一次方程组，然后求解即可；(2)根据题意和(1)中的结果，可以写出利润与的函数关系式，然后根据种商品售价不低于种商品售价，可以得到的取值范围，最后根据二次函数的性质求最值．本题考查二次函数的应用、二元一次方程组的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组、写出相应的函数关系式，利用二次函数的性质求最值．例4.（2023·四川）习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然正气.”某校为提高学生的阅读品味，现决定购买获得茅盾文学奖的甲，乙两种书共100本，已知购买2本甲种书和1本乙种书共需100元；购买3本甲种书和2本乙种书共需165元．(1)求甲，乙两种书的单价分别为多少元；(2)若学校决定购买以上两种书的总费用不超过3200元，那么该校最多可以购买甲种书多少本？【答案】解：(1)设甲种书的单价是元，乙种书的单价是元，根据题意得：2+=1003+2=165，解得：=35=30．答：甲种书的单价是35元，乙种书的单价是30元；(2)设该校购买甲种书本，则购买乙种书(100−)本，根据题意得：35+30(100−)≤3200，解得：≤40，∴的最大值为40．答：该校最多可以购买甲种书40本．【解析】(1)设甲种书的单价是元，乙种书的单价是元，根据“购买2本甲种书和1本乙种书共需100元；购买3本甲种书和2本乙种书共需165元”，可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；(2)设该校购买甲种书本，则购买乙种书(100−)本，利用总价=单价×数量，结合总价不超过3200元，可得出关于的一元一次不等式，解之取其中的最大值，即可得出结论．本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出二元一次方程组；(2)根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．【变式演练】1.（2023·辽宁）为了增强学生身体素质，学校要求男女同学练习跑步.开始时男生跑了50，女生跑了80，然后男生女生都开始匀速跑步.已知男生的跑步速度为4.5/，当到达终点时男、女均停止跑步，女生从开始匀速跑步到停止跑步共用时120.已知轴表示从开始匀速跑步到停止跑步的时间，轴代表跑过的路程，则：(1)男女跑步的总路程为______；(2)当男、女相遇时，求此时男、女同学距离终点的距离．【答案】1000【解析】解：(1)男生匀速跑步的路程为4.5×100=450()，450+50=500()，则男女跑步的总路程为500×2=1000()，故答案为：1000；(2)设从开始匀速跑步到男、女相遇时的时间为 ，女生跑步的速度为(500−80)÷120=3.5(/)，根据题意得：80+3.5=50+4.5，解得=30，∴此时男、女同学距离终点的距离为4.5×(100−30)=315()，答：此时男、女同学距离终点的距离为315．(1)根据男女同学跑步的路程相等，即可求解；(2)求出女生跑步的速度，列方程求解即可．此题主要考查了一元一次方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，然后设出未知数列出方程．2.（2023·广东模拟）五月初，某地遭遇了持续强降雨的恶劣天气，造成部分地区出现严重洪涝灾害，某爱心组织紧急筹集了部分资金，计划购买甲、乙两种救灾物品共4 000件送往灾区，已知每件甲种物品的价格比每件乙种物品的价格贵10元，用450元购买甲种物品的件数恰好与用400元购买乙种物品的件数相同．(1)求甲、乙两种救灾物品每件的价格分别是多少元？(2)经调查，灾区对乙种物品件数需求量是甲种物品件数的3倍，若该爱心组织按照此需求的比例购买这4000件物品，需筹集资金多少元？【答案】解：(1)设甲种救灾物品每件的价格为元/件，则乙种救灾物品每件的价格为(−10)元/件，可得：450=400K10，解得：=90，经检验，=90是原方程的解，答：甲种救灾物品每件的价格为90元/件，乙种救灾物品每件的价格为80元/件．(2)设甲种物品件数件，可得：+3=4000，解得：=1000，所以筹集资金=90×1000+80×3000=330000元，答：筹集资金330000元．【解析】本题考查了列分式方程解实际问题的运用，列一元一次方程解决实际问题，正确列出方程是解题关键．(1)设甲种救灾物品每件的价格为元/件，则乙种救灾物品每件的价格为(−10)元/件，根据已知每件甲种物品的价格比每件乙种物品的价格贵10元，用450元购买甲种物品的件数恰好与用400元购买乙种物品的件数相同，可列方程求解．(2)设甲种物品件数为件，根据灾区对乙种物品件数需求量是甲种物品件数的3倍，可列出方程求解．3.（2023·重庆）某公司不定期为员工购买某预制食品厂生产的杂酱面、牛肉面两种食品．(1)该公司花费3000元一次性购买了杂酱面、牛肉面共170份，此时杂酱面、牛肉面的价格分别为15元、20元，求购买两种食品各多少份？(2)由于公司员工人数和食品价格有所调整，现该公司分别花费1260元、1200元一次性购买杂酱面、牛肉面两种食品，已知购买杂酱面的份数比牛肉面的份数多50%，每份杂酱面比每份牛肉面的价格少6元，求购买牛肉面多少份？【答案】解：(1)设购买炸酱面份，牛肉面份，根据题意得：+=17015+20=3000，解得：=80=90．答：购买炸酱面80份，牛肉面90份；(2)设购买牛肉面份，则购买炸酱面(1+50%)份，根据题意得：1200−1260(1+50%)=6，解得：=60，经检验，=60是所列方程的解，且符合题意．答：购买牛肉面60份．【解析】(1)设购买炸酱面份，牛肉面份，利用总价=单价×数量，结合该公司花费3000元一次性购买了杂酱面、牛肉面共170份，可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；(2)设购买牛肉面份，则购买炸酱面(1+50%)份，利用单价=总价÷数量，结合每份杂酱面比每份牛肉面的价格少6元，可得出关于的分式方程，解之经检验后，即可得出结论．本题考查了二元一次方程组的应用以及分式方程的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出二元一次方程组；(2)找准等量关系，正确列出分式方程．4.（2023·广东）某商场在世博会上购置，两种玩具，其中玩具的单价比玩具的单价贵25元，且购置2个玩具与1个玩具共花费200元．(1)求，玩具的单价；(2)若该商场要求购置玩具的数量是玩具数量的2倍，且购置玩具的总额不高于40000元，则该商场最多可以购置多少个玩具？【答案】解：(1)设每件玩具的进价为元，则每件玩具的进价为(+25)元，根据题意得：2(+25)+=200，解得：=50，可得+25=50+25=75，则每件玩具的进价为50元，每件玩具的进价为75元；(2)设商场可以购置玩具个，根据题意得：50+75×2≤40000，解得：≤200，则该商场最多可以购置200个玩具．【解析】(1)设每件玩具的进价为元，则每件玩具的进价为(+25)元，根据购置2个玩具与1个玩具共花费200元元列出方程，求出方程的解即可得到结果；(2)设商场最多可以购置玩具个，根据玩具的数量是玩具数量的2倍，且购置玩具的总额不高于40000元列出不等式，求出不等式的解即可得到结果．此题考查了一元一次方程的应用，一元一次不等式的应用，弄清题中的等量关系和不等关系是解本题的关键．5.（2023·江苏）某校举行“二十大知识学习竞赛”活动，老师让班长小华到商店购买笔记本作为奖品.甲、乙两家商店每本硬面笔记本比软面笔记本都贵3元(单价均为整数)．(1)若班长小华在甲商店购买，他发现用240元购买硬面笔记本与用195元购买软面笔记本的数量相同，求甲商店硬面笔记本的单价．(2)若班长小华在乙商店购买硬面笔记本，乙商店给出了硬面笔记本的优惠条件(软面笔记本单价不变)：一次购买的数量少于30本，按原价售出；不少于30本按软面笔记本的单价售出.班长小华打算购买本硬面笔记本(为正整数)，他发现再多购买5本的费用恰好与按原价购买的费用相同，求乙商店硬面笔记本的原价．【答案】解：(1)设甲商店硬面笔记本的单价为元，则甲商店软面笔记本的单价为(−3)元，根据题意得：240=195K3，解得：=16，经检验，=16是所列方程的解，且符合题意．答：甲商店硬面笔记本的单价为16元；(2)设乙商店硬面笔记本的原价为元，则乙商店软面笔记本的原价为(−3)元，根据题意得：B=(+5)(−3)，整理得：5−3=15，∴=35+3．∵<30+5≥30，且，均为正整数，∴=25=18．答：乙商店硬面笔记本的原价为18元．【解析】(1)设甲商店硬面笔记本的单价为元，则甲商店软面笔记本的单价为(−3)元，利用数量=总价÷单价，结合用240元购买硬面笔记本与用195元购买软面笔记本的数量相同，可列出关于的分式方程，解之经检验后，即可得出结论；(2)设乙商店硬面笔记本的原价为元，则乙商店软面笔记本的原价为(−3)元，利用总价=单价×数量，结合再多购买5本的费用恰好与按原价购买的费用相同，可列出关于，的二元一次方程，结合<30+5≥30且，均为正整数，即可求出结论．本题考查了分式方程的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出分式方程；(2)找准等量关系，正确列出二元一次方程．题型04分式方程及其解法【解题策略】一、分式方程1．分母里含有未知数的有理方程叫分式方程．2．使分式方程分母为零的未知数的值即为增根；分式方程的增根有两个特征：(1)增根使最简公分母为零；(2)增根是分式方程化成的整式方程的根．二、分式方程的基本解法解分式方程的一般步骤：(1)去分母，把分式方程转化为整式方程；(2)解这个整式方程，求得方程的根；(3)检验，把解得整式方程的根代入最简公分母，如果最简公分母为零，则它不是原方程的根，而是方程的增根，必须舍去；如果使最简公分母不为零，则它是原分式方程的根．☆：分式方程会无解的几种情况①解出的x的值是增根，须舍去，无解②解出的x的表达式中含参数，而表达式无意义，无解③同时满足①和②，无解☆：求有增根分式方程中参数字母的值的一般步骤：①让最简公分母为0确定增根；②去分母，将分式方程转化为整式方程；③将增根带入（当有多个增根时，注意分类，不要漏解）；④解含参数字母的方程的解。
一元一次方程的专题
一元一次方程的专题一元一次方程是初中数学中的基础内容，也是解决实际问题的常用工具。
本专题将介绍一元一次方程的基本概念、解法及其在实际问题中的应用。
一、基本概念1. 一元一次方程一元一次方程是指只有一个未知数的一次方程，它的一般形式为ax+b=0，其中a和b是已知数，x是未知数。
例如，2x+3=7就是一个一元一次方程。
2. 方程的解方程的解就是能够使方程成立的x值。
对于一元一次方程ax+b=0，它的解为x=-b/a。
例如，2x+3=7的解为x=2。
3. 方程的等价变形将一个方程两边同时加上（或减去）同一个数，或将一个方程两边同时乘以（或除以）同一个非零数，得到的方程与原方程意义相同，称为方程的等价变形。
例如，将2x+3=7两边同时减去3，得到2x=4，这就是一个等价变形。
二、解法1. 移项法移项法是解一元一次方程最常用的方法。
它的基本思路是将已知数和未知数分别移到方程的两边，使得未知数单独出现在一边，已知数单独出现在另一边，从而求出未知数的值。
例如，对于方程2x+3=7，我们可以将3移到方程的另一边，得到2x=4，然后将2x除以2，得到x=2，这就是方程的解。
2. 代入法代入法是另一种解一元一次方程的方法。
它的基本思路是将方程的一个解代入方程中，验证方程是否成立，从而确定这个解是否正确。
例如，对于方程2x+3=7，我们已经求出它的解为x=2，现在可以将x=2代入方程中，得到2*2+3=7，这是一个正确的等式，说明x=2是方程的解。
三、应用举例一元一次方程在实际问题中的应用非常广泛。
下面举几个例子说明。
1. 线性函数线性函数是一种常见的函数形式，它的表达式为y=kx+b，其中k 和b是已知数，x和y是未知数。
将x看作自变量，y看作因变量，线性函数描述了自变量和因变量之间的线性关系。
例如，假设一家饭店每卖出一份饭菜就能获得3元的收入，那么它的收入与卖出的份数之间就具有线性关系。
设卖出x份饭菜，收入为y元，则有y=3x，这就是一个一元一次方程，它描述了饭店收入与饭菜数量之间的关系。
专题4_一元一次方程及其应用
专题4_一元一次方程及其应用一元一次方程及其应用是初中数学的基础知识之一，它无论在学习上还是实际生活中都具有重要的应用价值。
本文将围绕一元一次方程的概念、解法、应用以及一些实际问题展开讨论。
一、一元一次方程的概念一元一次方程是指其中只包含一个未知数，并且未知数的最高次数为一的方程。
一般形式为ax+b=0，其中a和b是已知数，a≠0。
二、一元一次方程的解法1.移项法：通过变换方程式，将未知数移到等号的一侧，已知数移到等号的另一侧。
例如，对于方程2x+5=13，可以通过移项法得到2x=13-5=8，再除以2得到x=4，从而求得方程的解x=42.消元法：联立两个或多个方程，通过消去一些系数，得到一个只含一个未知数的一元一次方程。
例如，联立方程组{x+2y=5，2x+3y=10}，可以通过消元法得到-x+y=-5，再乘以2得到2x-2y=10，联立原方程组得到3y=0，进而求得y=0，再代入方程得到x=5/2，从而求得方程组的解x=5/2，y=0。
三、一元一次方程的应用一元一次方程在实际生活中的应用十分广泛，以下是一些常见的应用领域：1.商品质量问题：如果已知一种商品的质量为x千克，每件商品的质量比前一件多1/4千克，总共有10件商品，那么可以通过建立方程10x=总质量来求得总质量。
2.速度与时间问题：速度等于路程除以时间，如果已知辆车以30km/h的速度行驶2小时，求其行驶的总路程，可以通过建立方程30*2=总路程来求得总路程。
3.比例问题：比例可以用一元一次方程来表示，例如已知甲乙两个数的比例为4:3，而甲的值为12，可以通过建立方程4x=12来求得乙的值x，进而求得甲乙两个数的具体值。
四、一元一次方程的实际问题1.甲乙两个数的比例为4:3，但甲的值比乙大3，求甲、乙的具体数值。
解：设乙的值为x，则甲的值为x+3、根据比例关系，可以建立方程4/(x+3)=3/x，通过变换方程解得x=6/5，从而可以求得甲的值为9/5，乙的值为6/52.辆车从A点和B点之间的距离是90千米，其中从A点到B点的距离是从B点到A点距离的3倍加上3千米，求A点到B点的距离。
一元一次方程与实际应用专题
例2.敌军在早晨5时从距离我军7千米的驻地开 始逃跑，我军发现后立即追击，速度是敌军的 1.5倍，结果在7时30分追上，我军追击速度是 多少？
2.5X
7千米
2.5(1.5X)
分析
敌军
速度（千米/时） x
时间（时） 2.5
路程（千米） 2.5x
我军 1.5x
2.5
进价 折扣率 x元 8折
标价
（1+40%）x元
优惠价
（1+40%） 80% x元
利润 15元
解：设进价为x元，80%x（1+40%）—x=15，
x=125 答：略
巩固训练
1、春节前某商场搞促销活动， 降价销售，把原定价为3860的彩电 以9折优惠出售，但仍可获利25% 的利润，那么这种彩电的进价是多 少元？
（2）有关关系式： 商品利润=商品售价—商品进价=商品标价×折扣
率—商品进价 商品利润率=商品利润/商品进价 商品售价=商品标价×折扣率
商品标价×折扣率—商品进价=进价×利润率
例1. 一家商店将某种服装按进价提高40%后 标价，又以8折优惠卖出，结果每件仍获利15 元，这种服装每件的进价是多少？
分析：探究题目中隐含的条件是关键，可直接设出 成本为x元
1
12
x
1x
12
解：设剩下的部分需要x小时完成，根据题
意，得
4 20
1 20
x
1 12
x
1
解这个方程，得
x=6
答：剩下的部分需要6小时完成。
巩固训练
1、一项工程，甲队单独施工15天完成，乙队 单独施工9天完成，现在由甲队先工作3天， 剩下的由甲乙两队合作，还需几天完成？
专题04一元一次方程的应用(专题测试)(解析版)
专题04 一元一次方程的应用（专题测试）一、单选题1.商店将某种商品按进货价提高100%后，又以八折售出，售价为80元，则这种商品的进价是（）A. 100元B. 80元C. 60元D. 50元【答案】D【考点】一元一次方程的实际应用-销售问题【解答】设进货价为x元，由题意得：80% (1+100%)x=80，解得：x=50，故答案为：D.【分析】由题意可得相等关系：（1+提高的百分数）×折数=实际的售价，根据相等关系列方程即可求解。
2.小明爷爷今年的年龄是小明的5倍，4年后，爷爷的年龄是小明的4倍，求小明今年的年龄？设小明今年的年龄为岁，根据题意，列出方程正确的是（）A. B. C. D.【答案】B【考点】一元一次方程的其他应用【解答】设小明今年x岁，根据题意得：5x+4=4(x+4)故答案为：B.【分析】由题意可得，4年后，爷爷的年龄为(5x+4)，小明的年龄为（x+4），其中相等关系是：4年后，爷爷的年龄=4×小明的年龄，由相等关系即可列出方程。
3.某班分两组志愿者去社区服务，第一组20人，第二组26人．现第一组发现人手不够，需第二组支援．问从第二组调多少人去第一组才能使第一组的人数是第二组的2倍？设抽调x人，则可列方程（）A. 20=2（26﹣x）B. 20+x=2×26C. 2（20+x）=26﹣xD. 20+x=2（26﹣x）【答案】D【考点】一元一次方程的其他应用【解答】解：设抽调x人，由题意得：20+x=2（26-x），故答案为：D【分析】根据调去后“第一组才能使第一组的人数是第二组的2倍”进行列方程.4.下图是“沃尔玛”超市中“飘柔”洗发水的价格标签，一服务员不小心将墨水滴在标签上，使得原价看不清楚，请你帮忙算一算，该洗发水的原价为( )A. 22元B. 23元C. 24元D. 26元【答案】C【考点】一元一次方程的实际应用-销售问题【解答】设洗发水的原价为x元，根据题意，得0.8x=19.2，解得x=24故答案为：C.【分析】设原价为x元，根据原价×折扣数=实际售价列出方程，解得x的值即可。
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一元一次方程应用专题
3、甲、乙两个仓库共有20吨货物,从甲仓库调出
101到乙仓库后,甲仓库中的货物比乙仓库中的货物多16吨.问甲、乙两仓库中原来各有多少吨货物?
4、学校买来一批练习本,分给三个班.甲班分得的为全部练习本的42%,乙班分到的是甲班的7
5,丙班分到的比乙班少20本,问共有多少练习本?
5、将一批白杨树苗栽在一条马路的两旁,若每隔3米栽一棵,将剩下3棵树苗;若每隔2.5米栽一棵,则还缺77棵树苗.求这条马路的长及这批树苗的棵数.
三、分配问题：
1.学校分配学生住宿，如果每室住8人，还少12个床位，如果每室住9人，则空出两个房间。
求房间的个数和学生的人数。
2.学校春游，如果每辆汽车坐45人，则有28人没有上车；如果每辆坐50人，则空出一辆汽车，并且有一辆车还可以坐12人，问共有多少学生，多少汽车？。