找规律程序运算定义新运算
【精品】第03讲定义新运算与找规律(学生版)A4
f (a3) ，…
则 a3 ______， a1 a2 a3
a2014 ______________
题模二：图形类
例 2.2.1 如图，图①是一块边长为 1，周长记为 P1 的正三角形纸板，沿图①的底边剪去一块边长为
1 的正三角形纸板后得到图②，然后沿同一底边依次剪去一块更小的正三角形纸板（即其边长为前 2
a、 b，都有 a
A． 25
B． m2 1
C． 5
b
2
b
1 ，例如 7
D． 26
2
2
2
1
5，
随练 1.3 定义一种新运算：观察下列式：
1⊙ 3=1× 4+3=7 3 ⊙（﹣ 1） =3× 4﹣1=11 5 ⊙ 4=5× 4+4=24 4 ⊙（﹣ 3） =4× 4﹣
3=13
（ 1）请你想一想： a⊙ b=
n 果为 2k （其中
k 是使得
n 2k 为奇数的正整数），并且运算重复进行．例如，取
n 6 ，则：
6
F② 第 1次
3
F① 第 2次
10
F② 第 3次
5，若 n 1 ，则第 2 次“ F 运算”的结果是 _______ ；若 n 13 ，则
；
（ 2）若 a≠ b，那么 a⊙ b
b⊙ a（填入“ =”或“≠”）
（ 3）若 a⊙（﹣ 2b） =4，请计算 （ a﹣ b）⊙（ 2a+b）的值．
随练 1.4 符号 f 表示一种新运算，它对一些数的运算结果如下： （1） f 1 0， f 2 1 ， f 3 2 ， f 4 3 ，
（2） f 1 2 ， f 1 3 ， f 1 4 ， f 1 5，
1-3-1_定义新运算
【例 9】 一般我们都认为手枪指向谁，谁好像是有危险的，下面的规则同学们能看懂吗 规定：警察 小偷 = 警察，警察 小偷 = 小偷． 那么： （猎人 小兔） （山羊 白菜） = ．
模块二、反解未知数型
【例 10】 如果 a△b 表示 (a − 2) × b ,例如 3 △ 4 = ( 3 − 2) × 4 = 4 ,那么,当 a△5=30 时, a= .
【例 14】 规定： A○B 表示 A、 B 中较大的数， A△B 表示 A、 B 中较小的数． 若 （A○5＋B△3） × （B○5+ A△3） ＝96， 且 A、 B 均为大于 0 的自然数， A×B 的所有取值为 ． （8 级）
模块三、观察规律型
【例 15】 如果 1 2 3 （3 ※1 ＝ 2＋11 ＝2 ※ 3＋22＋222 ※3 ＝ 4＋33＋333＋333＋3333 ※×5 ） 2 。
【例 12】 定 义 a ∗ b 为 a 与 b 之 间 （ 包 含 a 、 b ） 所 有 与 a 奇 偶 性 相 同 的 自 然 数 的 平 均 数 ， 例 如 ：
7 ∗ 14=(7+9+11+13) ÷ 4=10 ， 18 ∗ 10=(18+16+14+12+10) ÷ 5=14 ．在算术 中填入恰当的自然数后可使等式成立，那么所填的数是多少？
，
请
计
算
1 1 f , f ; { f (1)} , f (1) 的值。 3 3
【巩固】 M ∗ N 表示 ( M + N ) ÷ 2, (2008 ∗ 2010) ∗ 2009 = ____
【巩固】 规定运算“☆”为：若 a>b，则 a☆b=a＋b；若 a=b，则 a☆b=a－b＋1；若 a<b，则 a☆b=a×b。那 么， （2 ☆3 ）＋（ 4 ☆4 ）＋（ 7 ☆= ） 5 。
第09讲_定义新运算与找规律(一)_例题
定义新运算与找规律（一）整式的加减66.7％课程预览定义新运算与找规律（一）定义新运算找规律趣味课堂第九讲 定义新运算与找规律（一）定义新运算：是指用一个符号和已知运算表达式表示一种新的运算． 需要注意的是，除了新定义的运算，其余的运算仍需按照原来的运算律进行． 注意：①新的运算不一定符合运算规律，特别注意运算顺序． ②每个新定义的运算符号只能在本题中使用．程序运算：程序运算是定义新运算中的一种特殊类型，解题的关键是要准确理解新程序的数学意义，进而转化为数学问题．例1． （1）若A B *表示3A B +，则57=*________．（2）定义一种运算：ab b a =，则23=________，()5-3=________．（3）定义新运算为()1a b a b ∆=+÷，则()634∆∆=_______．（4）定义运算“△”，对于两个有理数a 、b ，有()a b ab a b ∆=-+，例如：()323232615-∆=-⨯--+=-+=-，则()()11m -∆-=________． （5）已知a ，b 是任意有理数，我们规定：1a b a b ⊕=+-，2a b ab ⊗=-， 那么()()6835⊕⊕⊗=__________．例2． （1）如果()2a b a b ∆=-⨯，例如()34=3244∆-⨯=，那么，当530a ∆=时，a =_____．（2）规定新运算※：32a b a b =-※，若()417x =※※，则x =_________， 当5x ※比5x ※大5时，x =_________．（3）定义新运算为1a ab bφ+=，①求()234φφ的值；②若4 1.35x φ=，则x 的值为多少？课堂笔记点点精讲 定义符号定义符号 定义程序定义新运算板块一 定义新运算例3． （1）如图是一个运算程序，当输入2-时，输出的数值为___________；（2）根据如图所示的运算程序计算，当输出为8.1时，输入的数值为___________．例4． 有一种数据转换器规定了如图运算：（1）若输入1x =-，则输出y =_______； （2）若输出2y =，则输入x =________．例5． 按下列程序来计算：（1）如果2x =，应该运算______次才停止；（2）若果输入一个数后该程序永不停止，则称“程序遇到bug ”，若x 为使程序遇到bug 的最大数，则x =______________．1. 对于任意有理数a ，b ，定义运算“*”：a b a b a b *=⨯--．求124*的值．2. 对于任意有理数a ，b ，规定2a bab +=． （1）24235⎛⎫= ⎪⎝⎭_________； （2）311462x =，求此时x 的值．点点精练 定义程序 输入x 22x -23x +输出yx 为奇数x 为偶数开始输入x乘4减3是否>260输出x结束是否输入x 乘负9个位十位交换小数点左移一位输出输入x()212-()2÷-输出第九讲 定义新运算与找规律（一） 3. 下图是一个简单的运算程序，若输入x 的值为2-，则输出的数值为_______．常见数列： 1 3 5 7 9 …… 21n -（n 为正整数）2 4 6 8 10 …… 2 4 8 16 32 …… 2 5 10 17 26 …… 03 8 15 24 …… 2 6 12 20 30 …… 1 3 6 10 15 ……11 23 5…… （斐波那契数列）x -x +x -x +x -…… x + x -x + x -x +……例6． 找规律填数或代数式：（1）1，2，3，4，______（2）1，11，______，1111，11111 （3）______，16，112，120，130（4）1x +，21x +，______，81x + （5）x -，2x ，3x -，4x ，______（6）x ，42x ，73x ，104x ，______课堂笔记 点点精讲找规律数字规律表格规律板块二 找规律数字字母规律 输入x229x -0>输出结果是否图形规律例7． （1）2，4，6，8，10，12，……，则第n 项为____________；（2）12，17，22，27，32，37，42，47，……，则第n 项为_____________； （3）1，1-，1，1-，1，1-，……，则第n 项为_____________； （4）1，2-，3，4-，5，6-，……，则第n 项为____________； （5）a ，2a ，3a ，4a ，5a ，……，则第n 项为____________；（6）212a ，4232a -，6352a ，8472a -，……，则第n 项为____________；（7）2a b -，542a b ，893a b -，11164a b，……，则第n 项为_____________；（8）观察等式：222211⨯=+，333322⨯=+，444433⨯=+，……，则第n 个等式为__________．例8． （1）已知数列如下：2，a ，b ，c ，3-，1……，其中任意三个相邻的数之和相等，则第2015个数为_________．（2）定义数列如下：()()211,2,1n a n n ==+，如()1211411a ==+，()2211921a ==+， 再定义数列如下：()()()122111n n b a a a =---，如()113212b a =-=， ()()21242113b a a =--=，则n b =__________．例9． 有一长条型链子，其外型由边长为1公分的正六边形排列而成．图表示此链之任一段花纹，其中每个黑色六边形与6个白色六边形相邻．若链子上有35个黑色六边形，则此链 子共有几个白色六边形？（ ） A ．140B ．142C ．210D ．212例10． 观察下列图形：它们是按一定的规律排列的，依照此规律，第2015图形共有____________个笑脸.图形规律第1个第2个第3个第4个第九讲 定义新运算与找规律（一）例11． 根据如图中箭头的指向规律，从2013到2014再到2015，箭头的方向是以下图示中的（ ） A ．B ．C ．D ．例12． 下列图形按照一定规律组成，第一图形中共有2个三角形，第二个图形中共有8个三角形，第三个图形中共有14个三角形……，依此规律第5个图形中三角形的个数是（ ）． A ．22B ．24C ．26D ．28例13． 四个电子宠物排座位，一开始，小鼠、小猴、小兔、小猫分别坐在1、2、3、4号座位上（如图所示），以后它们不停地变换位置，第一次上下两排交换，第二次是在第一次交换位置后，再左右两列交换位置，第三次再上下两排交换，第四次再左右两列交换……这样一直下去，则第2016次交换位置后，小兔所在的位号是（ ）……A ．1B ． 2C ．3D ．4例14． 现有33 的方格，每个小方格内均有数目不同的点图，要求方格内每一行，每一列以及每一条对角线上的三个点图的点数之和均相等．图中给出了部分点图．则P 处所对应的点图是（ ） A ．B ．C ．D ．第3个第2个第1个表格规律123 4鼠猴兔 猫 兔猫 鼠 猴 猫兔猴 鼠例15． 下面每个表格中的四个数都是按相同规律填写的：……根据此规律，可确定x 的值为（ ） A ．135B ．170C ．209D ．2521. （1）1，4，7，10，13，……，则第n 项为____________；（2）1-，1，1-，1，1-，1，……，则第n 项为_____________； （3）a ，3a ，5a ，7a ……，则第n 项为____________；（4）2ab -，23ab ，34ab -，45ab ，则第n 项为____________．2. （1）假设有足够多的黑白围棋子，按照一定的规律排成一行，如图：请问第2015个棋子是黑色的还是白色的？（2）假设仍有足够多的黑白围棋子，按照一定的规律排成一行，如图：请问第2015个棋子是黑色的还是白色的？3. 在下面格正方形中的四个数都有一定的规律，按此规律得出a b c ++=____________．点点精练 2 6 3204105 54 第1个 第2个第3个第4个1 42 93 84 35a 20 bx0 3 4132 5 6314 7 8576 a bc第九讲 定义新运算与找规律（一）1. 定义对x 的运算()233f x x x =-+，计算：（1）()1f =__________，()()12f f f +=⎡⎤⎣⎦__________；（2）记()()1f x f x =，()()()2f x f f x =，()()()()3f x f f f x =，依次类推， 则()21f =__________，()20150f = __________．2. （1）2，4，2，4，2，4，2，4，……，则第n 项为_____________．（2）1，23，13，427，……，则第n 项为_____________． （3）222a b ，546a b -，10612a b ，17820a b -，……，则第n 项为_____________．3. 如图，根据规律，问号格内的图形应该是（ ）A ．B ．C ．D ．横扫学霸。
找规律、程序运算和定义新运算.
谢老师工作室思路导航找规律解题思维过程：从简单、局部或特殊情况入手，经过提炼、归纳和猜想，探索规律，获得结论.有时候还需要通过类比联想才能找到隐含条件.一般有下列几个类型：⑴一列数的规律：把握常见几类数的排列规律及每个数与排列序号n 之间的关系.⑵一列等式的规律：用含有字母的代数式总结规律，注意此代数式与序号n 之间的关系.⑶图形（图表）规律：观察前几个图形，确定每个图形中图形的个数或图形总数与序号n 之间的关系.⑷图形变换的规律：找准循环周期内图形变换的特点，然后用图形变换总次数除以一个循环变换周期，进而观察商和余数.⑸数形结合的规律：观察前n 项（一般前3项）及利用题中的已知条件，归纳猜想一般性结论.常见的数列规律：⑴1，3，5，7，9，…，21n -（n 为正整数）．⑵2，4，6，8，10，…，2n （n 为正整数）．⑶2，4，8，16，32， (2)（n 为正整数）．⑷2，5，10，17，26，…，21n +（n 为正整数）．⑸0,3,8,15，24，…，21n -（n 为正整数）．⑹2，6，12，20，…，(1)n n +（n 为正整数）．⑺x -，x +，x -，x +，x -，x +，…，(1)n x -（n 为正整数）．⑻x +，x -，x +，x -，x +，x -，…，1(1)n x +-（n 为正整数）．⑼特殊数列：①斐波那契数列：1，1，2，3，5，8，13，…，从第三个数开始每一个数等于与它相邻的前两个数的和.②三角形数：1,3,6,10,15,21，…，(1)2n n +.数列的规律数列的规律【例1】⑴观察下列一组数：12，34，56，78，…，它们是按一定规律排列的．那么这一组数的第k 个数是．（k 为正整数）2找规律、程序运算和定义新运算⑵瑞士中学教师巴尔末成功地从光谱数据95，1612，2521，3632，…中得到巴尔末公式，从而打开了光谱奥妙的大门．请你按这种规律写出第八个数据是．⑶找规律，并按规律填上第五个数:357924816--，，，，，第n 个数为：.（n 为正整数）⑷有一列数12-，25，310-，417，…，那么第7个数是．第n 个数为（n 为正整数）（5）一组按规律排列的式子：2b a -，52b a ，83b a -，114b a，…（0ab ≠），其中第7个式子是，第n 个式子是.（n 为正整数）数表的规律数列的规律【例2】⑴将杨辉三角中的每一个数都换成分数，得到一个如图所示的分数三角形，称为莱布尼茨三角形，若用有序数对(),m n 表示第m 行，从左到右第n 个数，如()4,3表示分数112.那么()9,2表示的分数是.1112211136311114121241111152030205谢老师工作室（2）正整数按图的规律排列.请写出第20行第21列的数字:．第一行第二行第三行第四行第五行第一列第二列第三列第四列第五列1251017…4361118…9871219…1615141320…2524232221………⑶按一定的规律排列成的数表如图所示.①当“X”型框中间数字为15时，框中五个数的和为.当“X”型框中间数字为-57时，框中五个数的和为.②如果设“X”型框中间的数为a，请用含a的代数式表示“X”型框中五个数的和；③若将“X”型框上下左右移动，所框住的五个数之和能等于－285吗？若能，请求出这图形的规律数列的规律【例3】⑴下图是一组有规律的图案，第1个图案由4个基础图形组成，第2个图案由7个基础图形组成，第3个图案由个基础图形组成，……，第n （n 是正整数）个图案由个基础图形组成．⑵观察下列图形：它们是按照一定规律排列的，依照此规律，第9个图形中共有个★，第n 个图形有个★.⑶图1是一个三角形，分别连接这个三角形三边的中点得到图2，再分别连接图2中间小三角形三边的中点，得到图3．图3图2图1①图2有个三角形；图3有个三角形；②按上面的方法继续下去，第n 个图形中有多少个三角形？谢老师工作室⑷如图所示，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，按照这样的规律摆下去，则第n 个图形需要黑色棋子的个数是．第1个图形第2个图形第3个图形第4个图形算式的规律数列的规律【例4】观察下列等式：①23aa+=；②65aa+=；③127aa+=；④209aa+=…；则根据此规律第6个等式为，第n个等式为．思路导航一般的以计算机程序为背景的新型求值题，解这类题的关键是弄清计算机程序与数学表达式之间的关系．程序运算数列的规律【例5】⑴如下图，输入23x=-，则输出值y是．⑵如下图所示是计算机程序计算，若开始输入1x =-，则最后输出的结果是.⑶如图所示的运算程序中，若开始输入的x 值为48，我们发现第1次输出的结果为24，第2次输出的结果为12，……，第2013次输出的结果为．⑷按下面的程序计算，若开始输入的值x 为正整数，最后输出的结果为853，试求出满足条件的x 的所有值.输出结果谢老师工作室【例6】阅读下面的框图并回答下列问题：（1）若A为785，则E=_____________；（2）按框图流程，取不同的三位数A，所得E的值都相同吗？如果相同，请说明理由；如果不同，请求出E的所有可能的值；（3）将框图中的第一步变为“任意写一个个位数字不为0的三位数A，它的百位数字减去个位数2．”，其余的步骤不变，请猜想E的值是否为定值？并对你猜想的结论加以证明．字所得的差大于．．思路导航定义新运算⑴基本思路：严格按照新定义的运算规则，把已知的数代入，转化为加减乘除的运算，然后按照基本运算过程、运算律进行运算.⑵注意事项：①新的运算不一定符合运算律，特别注意运算顺序.②每个新定义的运算符号只能在本题中使用.定义新运算数列的规律【例7】⑴现定义两种新运算∆∇、，对于任意两个整数a、b ，都有：1a b a b ∆=+-，1b a b a ∇=-.试求：(∆∆∇(34)21)的值.⑵用“×”定义新运算：对于任意a b ，，都有a ×b 2a b =-．例如，4×27479=-=，那么5×3=；当m 为有理数时，m ×（1-×2）=．⑶对于正整数a ，b ，c ，d ，规定a b ad bc cd=-，若1134b d<<，则b d +=．谢老师工作室⑷定义：a 是不为1的有理数，我们把11a-称为a 的差倒数．．．．如：2的差倒数是1112=--，1-的差倒数是()11112=--．已知113a =-，①2a 是1a 的差倒数，则2a =；②3a 是2a 的差倒数，则3a =；③4a 是3a 的差倒数，则4a =，…，依此类推，则2009a =．【选讲题】【例8】（1）右图为手的示意图，在各个手指间标记字母A B C D ，，，．请你按图中箭头所指方向（即A B C D C B A B →→→→→→→C →→…的方式）从A 开始数连续的正整数1234，，，，…，当数到12时，对应的字母是_______；当字母C 第201次出现时，恰好数到的数是；当字母C 第21n +次出现时（n 为正整数），恰好数到的数是（用含n 的代数式表示）．（2）数1234,,,,a a a a 满足下列条件：10a =，211a a =-+,322a a =-+,433a a =-+, 则2013a 的值为.(3)如图，将一张正方形纸片，剪成四个大小形状一样的小正方形，然后将其中的一个小正方形再按同样的方法剪成四个小正方形，再将其中的一个小正方形剪成四个小正方形，如此循环进行下去：⑴填表：⑵如果剪了100次，共剪出多少个小正方形？⑶如果剪n 次，共剪出多少个小正方形？训练1.下面是一组按规律排列的数：1，2，4，8，16，……，第2002个数应该是（）A ．20022B ．200221-C ．20012D ．以上答案均不对训练2.根据右图所示的程序计算变量y 的值，若输入自变量x的值为32，则输出的结果是．训练3.读一读：式子“12345100++++++ ”表示1开始的100个连续自然数的和．由于上述式子比较长，书写也不方便，为了简便起见，我们可以将“12345100++++++ ”表示为1001n n =∑，这里“∑”是求和符号．例如：1357999++++++ ，即从1开始的100以内的连续奇数的和，可表示为50121n n =-∑（）；又如333333333312345678910+++++++++可表示为1031n n =∑．通过对以上材料的阅读，请解答下列问题．剪的次数12345正方形个数47谢老师工作室⑴246810100++++++ （即从2开始的100以内的连续偶数的和）用求和符号可表示为．⑵计算5211n n =-=∑（）．（填写最后的计算结果）训练4.在某种特制的计算器有一个按键★★★，它代表运算2a b a b++-．例如：输入顺序1，★★★，2-，ENTER=屏幕显示()1***2-2上述操作即是求()()12122+-+--的值，运算结果为2．回答下面的问题：⑴小明的输入顺序为5-，★★★，7，ENTER=，运算结果是．⑵小杰的输入顺序为100101，★★★，165-，ENTER=，★★★，1101-，ENTER=，★★★，6665-，ENTER=，★★★，101100，ENTER=，运算结果是．⑶若在20112012-，20102011-，20092010-，……，12-，0，12，……，20092010，20102011这些数中，任意选取两个作为a 、b 的值，进行★★★运算，则所有的运算结果中最大的值是．复习巩固数列的规律【练习1】⑴观察一列有规律的数：4，8，16，32，…，它的第2007个数是（）A ．20072B ．200721-C ．20082D ．20062⑵观察下列单项式，2x ，25x -，341017x x -，，……根据你发现的规律写出第5个式子是，第8个式子是，第n 个式子是．（n为正整数）数表的规律【练习2】下面是由自然数排成的数表，分为A ，B ，C 三列，按这个规律，1999在第列。
第八讲 定义新运算与找规律(二)
2,4,8,16,，....，（32； ）
1,3,9,27,，....，（81； ）
（3）符号规律： 第5项 第 项
1,-1,1,-1,，....，（1； ）
- , ,- , ,，....，（- ； ）
（4）平方规律： 第5项 第 项
1,4,9,16,，....，（25； ）
练习1-1.定义一种新运算“☆”，规定： ，则 得值_________.
练习1-2.定义新运算如下， ，请按照从左往右的顺序计算下式： （ ）
A.2009 B.2005 C.2008 D.1005
例2.（1）按图示的程序计算，若开始输入的 为正整数，最后输出的结果为40，则满足条件的 的不同值最多有 （ ）
第八讲定义新运算与找规律（二）
【知识点一】定义新运算
定义新运算：是指用一个符号和已知运算表达式表示一种新的运算.
常见的有定义符号运算和定义程序运算.
练习：定义新运算符号“＃”： ＃ = （3 -5），则2＃（2＃1）=.
分析：2＃1= ，则2＃（2＃1）=2＃（-4）= .
练习：如图是一个运算程序，当输入 时，输出为.
注意：找图形规律：转化为数字规律或按图形变化解题.
例3.（1）观察下列关于 的单项式，探究其规律：，…按照上述规律，第2017个单项式是__________．
（2）下面是一组按规律排列的数：6，12，24，48，…，则第 个数是（）
A. B. C. D.
（3）观察下列有规律的数： …根据规律可知：第7个数是__________，第 个数是__________( 为正整数)．
你是否发现苹果的排列规律？猜猜看，第十行有___个苹果；
第3节 找规律、定义新运算和程序运算
第三节找规律、定义新运算和程序运算1．找规律解题思维过程：从简单、局部或特殊情况入手，经过提炼、归纳和猜想，探索规律，获得结论．有时还需要通过类比联想才能找到隐含条件．一般有下列几个类型：(1)一列数的规律：把握常见几类数的排列规律及每个数与排列序号n之间的关系．(2)一列等式的规律：用含有字母的代数式总结规律，注意此代数式与序号n之间的关系．(3)图形（图表）规律：观察前几个图形，确定每个图形中图形的个数或图形总数与序号n之间的关系．(4)图形变换的规律：找准循环周期内图形变换的特点，然后用图形变换总次数除以一个循环变换周期，进而观察商和余数．(5)数形结合的规律：观察前n项（一般前3项）及利用题中的已知条件，归纳猜想一般性结论，常见的数列规律：(1)1，3，5，7，9，…，2n－1（n为正整数）．(2)2，4，6，8，10，…，2n（n为正整数）．(3)2，4，8，16，32，…，2n（n为正整数）．(4)2，5，10，17，26，…，n2＋1（n为正整数）．(5)0，3，8，15，24，…，n2－1（n为正整数）．(6)2，6，12，20，…，n(n＋1)（n为正整数）．(7)－x，＋x，x，＋x，－x，＋x，…，(－1)n x（n为正整数）．(8)＋x，－x，＋x，－x，＋x，－x，…，(－1)n＋1x（n为正整数）．(9)特殊数列：①斐波那契数列：1，1，2，3，5，8，13，…，从第三个数开始每一个数等于与它相邻的前两个数的和．②三角形数：1，3，6，10，15，21，…，[]12n n+．2．定义新运算(1)基本思路：严格按照新定义的运算规则，把已知的数代入，转化为加、减、乘、除的运算，然后按照基本运算过程、运算律进行运算，(2)注意事项：①新的运算不一定符合运算律，特别注意运算顺序．②每个新定义的运算符号只能在本题中使用．3．程序计算解题的关键是要准确理解新程序的数学意义，进而转化为数学问题．4．数学能力：探究、归纳总结和知识迁移的能力．本节重点讲解：两大能力，三种题型（找规律、定义新运算和程序计算）．三、全能突破 基础演练1. 根据图2－3－1中数字的规律，在图形中填空．2． 观察下面一列整式：12x 2y ,－16x 4y 4, 112x 8y 9，－12x 16 y 16，…，照此规律第6个整式是 ， 第n 个(n ≥1且为整数)整式是 ．3． 正整数按图2－3－2中的规律排列．请写出第45行，第46列的数字 ．4． 图2－3－3所示是某广场用地板铺设的部分图案，中央是一块正六边形的地板 砖，周围是正三角形和正方形的地板砖，从里向外的第1层包括6个正方形和 6个正三角形，第2层包括6个正方形和18个正三角形，以此递推，第10层 中含有正三角形个数是 个． 5． 如图2－3－4所示，给正五边形的顶点依次编号为1，2，3，4，5，若从 某一顶点开始，沿正五边形的边顺时针行走，顶点编号的数字是几，就走 几个边长，则称这种走法为一次“移位”，如：小宇在编号为3的顶点时， 那么他应走3 个边长，即从3→4→5→1为第一次”移位”，这时他到达 编号为1的顶点； 然后从1→2为第二次“移位”，若小宇从编号为 2的顶点开始，第10次“移 位”后，则他所处顶点的编号是 ； 笫2012次“移位”后，则他所处顶 点的编号是 ． 6．观察下列等式：① 42－12＝3×5； ② 52－22＝3×7； ③ 62－32＝3×9； ④ 72－42＝3×11 ……则第n （n 是正整数）个等式为 ．7．我们规定一种运算：a bc d＝ad－bc，若421x x＝0，则x＝．8．魔术师为大家表演魔术，他请观众想一个数，然后将这个数按图2－3－5所示的步骤操作: 乘以3 减去6 除以3 加上7 告诉魔术师结果图2-3-5魔术师立刻说出观众想的那个数．(1) 如果小明想的数是－1，那么他告诉魔术师的结果应该是；(2) 如果小聪想了一个数并告诉魔术师结果为93，那么魔术师立刻说出小聪想的那个数是；(3) 观众又进行了几次尝试，魔术师都能立刻说出他们想的那个数，请你说出其中的奥妙．能力提升9．已知：41＝4，42＝16，43＝64，44＝256，45＝1024，…，以上算式结果的个位数字分别为4，6，4，6，…，按照上面的研究方法确定20062007＋20072006的个位数字为( )A．3B．4C．5D．610．如图2－3－6所示，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，按照这样的规律摆下去，则第n个图形需要黑色棋子的个数是．11．古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，例如：他们研究过图2－3－7(a)中的1，3，6，10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图2－3－7(b)中的1，4，9，16，…，这样的数为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是( )A．15B．25C．55D．122512．(1) 探究数字“黑洞”：“黑洞”原指非常奇怪的天体，它的体积小，密度大，吸引力强，任何物体到它那里都别想再“爬出来”，无独有偶，数字中也有类似的“黑洞”，满足某种条件的所有数，通过一种运算，都能被它“吸”进去，无一能逃脱它的魔掌，譬如：任意找一个3的倍数，先把这个数每个数位上的数字都立方，再相加，得到一个新的数，然后把这个新数每个数位上的数字立方再求和，重复运算下去，就能得到一个固定的数T，我们称它为数字“黑洞”，T为何具有如此魔力，通过认真的观察、分析，你一定能发现它的奥秘！此短文中的T是．(2) 任取一个自然数串，数出这个数中的偶数字个数、奇数字个数及所有数字的个数，用这3个数组成下一个数字串，重复上述程序，就能得到一个固定的数，我们称它为数字“黑洞”，则这个固定的数为．13．在下表中，我们把第i行第j列的数记为a i,j（其中i，j都是不大于5的正整数），对于表中的每个数a i,j规定如下：当i≥j时，a i,j＝1；当i＜j时，a i,j＝0．例如：当i＝2，j＝1时，a i,j＝a2,1 ＝1．按此规定，a1,3＝；表中的25个数中，共有个1；计算a1,1·a i,1＋a1,2·a i,2＋a1,3·a i,3＋a1,4·a i,4＋a1,5·a i,5的值为．14．为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文→密文（加密），接收方由密文→明文（解密），已知加密规则如图2－3－8所示，例如，明文1，2，3，4对应密文5，7，18，16．当接收方收到密文14，9，23，28时，则解密得到的明文为．15．已知，m≥2，n≥2，且m，n均为正整数，如果将m n进行如图2－3－9所示方式的“分解”，那么下列三个叙述：①在25的“分解”中最大的数是11．②在43的“分解”中最小的数是13．③若m3的“分解”中最小的数是23，则m等于5．其中正确的是．11a，12a，13a，14a，15a，21a，22a，23a，24a，25a，31a，32a，33a，3,4a3,5a4,1a4,2a4,3a4,4a4,5a5,1a5,2a5,3a5,4a5,5a16．有一个运算程序，当aΘb＝n（n为常数）时，则(a＋1)b＝n＋1，a(b＋1)＝n－2，若1Θ1＝2则2012Θ2012＝．17．按图2－3－10所示的程序计算：是x+的值>500 输出结果输入x计算51否图2-3-10若输入x＝100，输出结果是501，若输入x＝25，输出结果是631，若开始输入的x值为正整数，最后输出的结果为556，则开始输入的x的可能值为．18. 如图2－3－11所示，从左到右，在每个小格子中都填人一个整数，使得其中任意三个相邻格子中所填整数之和都相等．9 ＆＃x6- 2 ……图2-3-11(1) 可求得x＝，第2012个格子中的数为．(2) 判断：前m个格子中所填整数之和是否可能为2012？若能，求出m的值；若不能，请说明理由．19．阅读图2－3－12并回答下列问题：(1)若A为785，则E＝；(2)按框图流程，取不同的三位数A，所得E的值都相同吗？如果相同，请说明理由；如果不同，请求出E的所有可能的值；(3)将框图中的第一步变为“任意写一个个位数字不为0的三位数A，它的百位数字减去个位数字所得的差大于．．2”，其余的步骤不变，请猜想E的值是否为定值？并对你猜想的结论加以证明．中考链接20．（2010．北京）图2－3－13所示为手的示意图，在各个手指间标记字母A，B，C，D．请你按图中箭头所指方向（即A→B→C→D→C→B→A→B→C→…的方式）从A开始数连续的正整数1，2，3，4，…，当数到12时，对应的字母是；当字母C第201次出现时，恰好数到的数是；当字母C第2n＋1次出现时（n为正整数），恰好数到的数是（用含n的代数式表示）．21．（贵阳市中考题改编）符号“f ”表示一种运算，它对一些数的运算结果如下： ①f (1)＝0，f (2)＝1，f (3)＝2，f (4)＝3，… ②12f ⎛⎫=⎪⎝⎭2，13f ⎛⎫= ⎪⎝⎭3，14f ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 4，15f ⎛⎫= ⎪⎝⎭5，… 利用以上规律计算：12012f ⎛⎫⎪⎝⎭－f (2012)＝ ．22．(1)（2009年．咸宁）如图2－3－14所示的运算程序中，若开始输入的x 值为96，我们发现第 1次输出的结果为48，第2次输出的结果为24，…，第2009次输出的结果为 ．(2)(山东临沂中考)计算机中常用十六进制是逢16进1的计数制，采用数字0～9和字母A ～F共16个计数符号，这些符号与十进制的数的对应关系如下表所示例如，用十六进制表示：5＋A ＝F ，3＋F ＝12，E ＋D ＝1B ，则A ×C ＝ ．巅峰突破23．图2－3－15所示是一个流程图，图中“结束”处的计算结果 是 ．24．对于两数a 和b ，给定一种运算“#”：a #b ＝a ＋b －ab ，则在下列等 式中：①a #b ＝b #a ； ②a #0＝a ； ③(a #b )#c ＝a #(b #c )． 正确的是 (填序号)．25．正整数n 小于100，并满足等式236n n n ⎡⎤⎡⎤⎡⎤++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦＝n ，其中[x ]表示不超过x 的最大整数，这样的正整数n 有多少个？十六进制 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ABCDEF十进制 012345678910 11 12 13 14 15。
找规律、程序运算和新定义-学生版
|
A． 2 6n
B． 8 6n
C． 4 4n
D． 8n
【变式练习】如图（1）所示的是一个三角形，分别连接这个三角形三边的中点得到图（2），再分别连
接图（2）中间的小三角形三边的中点，得到图（3），按此方法继续连接，请你根据每个图
中三角形的个数的规律完成下列问题.
（1）将下表填写完整； 图形编 号 三角形
10
又如13 23 33 43 53 63 73 83 93 103 可表示为 n3 ． n1
通过对以上材料的阅读，请解答下列问题．
⑴ 2 4 6 8 10 100 (即从 2 开始的 100 以内的连续偶数的和)用求和符合可表示 为．
5
⑵计算 （n2 1） n1
．(填写最后的计算结果)
PP 0 A4 A3 A2
P A1
模块二：程序运算与新定义
【例20】 ' 【例21】定义一种新运算： a b 1 a b ，那么 4*（-1）= _______
2
P
x A
【例22】现定义一种新运算：★，对于任意整数 a、b，有 a★b=a+b-1，求 4★[（6★8）★（3★5）] 的值
/
【例23】用“ ”、“ ”定义新运算：对于任意实数 a，b，都有 a b=a 和 a b=b，例如 3 2=3，
【例27】定义：a
是不为1
的有理数，我们把
1 1
a
称为
a
的差倒数．如：2
的差倒数是
1
1
2
1ห้องสมุดไป่ตู้
，1
的
差倒数是
1
1 (1)
1 2
．已知
a1
1 3
第三讲找规律,程序运算与定义新运算
， ．
【例 7】⑴【★★☆】（08内江）根据图中数字的规律，在最后一个图形中填空．
⑵【★★☆】填在下列三个田字格中的数具有相同的规律，根据此规律填空白田字格．
⑶【★★★☆】（2009年广西南宁）正整数按图的规律排列．请写出第 行，第 列的数
字．
9【解析】⑴如图．⑵如图．⑶ ．
【例 8】⑴（2012恩施市）观察数表
，所以 ．
④由③的例子可知“ ”也没有结合律．
⑤因为 ，解出 ．
点评：解定义新运算这类题的关键是抓住定义的本质，本题规定的运算的本质是：用运算符号前面的数的 倍减去符号后面的数的 倍．在定义新运算的问题中，关键的一条是：抓住定义这一点不放，在计算时，严格遵照规定的法则代入数值．还有一个值得注意的问题是：定义一个新运算，这个新运算常常不满足加法、乘法所满足的运算律，因此在没有确定新运算是否具有这些性质之前，不能运用这些运算律来解题．
， 所以由密文字母 得到明文字母 的公式为：
③根据②中求得的公式，密文 对应的明文单词是 ．
※※※※定义新运算※※※※
前面学过有理数的五种运算：加、减、乘、除、乘方．如： ， 都是 和 的运算，可结果不同，主要是运算方式不同，实际是对应法则不同．可见一种运算实际就是一个数与一个数的一种对应方法，对应法则不同就是不同的运算．当然，这个对应法则应该是对任意两个数，通过这个法则都有一个唯一确定的数与它们对应．只要符合这个要求，不同的法则就是不同的运算．下面来了解和熟悉“定义新运算”．
现给出一个公式：
将明文字母对应的数字 按以上公式计算得到密文字母对应的数字 ，比如明文字母为 ， ，所以明文字母 对应的密文字母为 ．
①按照上述规定，将明文 译成的密文是什么?写出你的计算过程；
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找规律程序运算定义新运
算
Modified by JEEP on December 26th, 2020.
第五讲
找规律、程序运算、定义新运算
板块一 数列、数表找规律
一般规律发现需要“观察、归纳、验证”有时要通过类比联想才能找到隐含条件。
数列规律：
【例1】观察下列一组数：12
，34
，56
，78
，…，它们是按一定规律排列的。
那么这一组数
的第k 个数是_______。
（k 为正整数）
【例2】找规律，并按规律填上第五个数：35792
4
816
--，，，， ，第n 个数为： 。
（n 为正整数）
【例3】有一列数12-，25，310-
，4
17
，…，那么第7个数是 。
第n 个数为
（n 为正整数）。
【例4】 若一组按规律排成的数的第n 项为()1n n + （n 为正
整数），则这组数的第10项为 ；若一组按规律组成的数为：2，6，12-，20，30，42-，56，72，90-，…，则这组数的第3n （n 为正整数）项是 。
【例5】一组按规律排列的式子：2b a -，52b a ，83b a -，11
4b a
，…（0ab ≠），其中第7个式子
是 ，第n 个式子是 （n 为正整数）。
【例6】有一列数1，1，2，3，5，8，13，21…，那么第9个数是 。
【例7】瑞士中学教师巴尔末成功地从光谱数据95
，
1612，2521，36
32
，…中得到巴尔末公式，从而大开光谱奥妙的大门。
请你按这种规律写出第7个数据是 .第n 个分数
为 。
【例8】按一定规律排列的一列数：11234691319，，，，，，，，，…按此规律排列下去，19
后面的数应为 。
【例9】探索规律：
观察下面算式，解答问题：
21342+==；213593++==；21357164+++==；213579255++++== ①请猜想1357919++++++=_________；
②请猜想13579(21)(21)(23)n n n ++++++-++++=____________；
③请你用上述规律计算：10310510720032005+++
++
数列规律：
【例10】如下图是与杨辉三角形有类似性质的三角形数垒，a b ，是某行的前两个数，当
7a =时，b = 。
【例11】观察表一，寻找规律．表二、表三分别是从表一中选取的一部分，则a = ， 2
a b
+= 。
例题精讲
1 2 2 3 4 3
4 7 7 4
5 11 14 11 5 · · · · · · · ·
××表一 表二 表三
【例12】如下图，圆圈内分别标有0，1，2，3，4，…，11这12个数字。
电子跳蚤每跳一次，可以从一
个圆圈跳到相邻的圆圈，现在，一只电子跳蚤从标有数字“0”的圆圈开始，按逆时针方向跳了2010次后，落在一个圆圈中，该圆圈所标的数字是 。
【例13】将正整数依次按下表规律排成四列，则根据表中的排列规律，数2009应排的位置
是第 行第 列。
板块二 程序运算
【例14】下图是一个简单的运算程序。
若输入x 的值为2-，则输出的
数值
为 。
【例15】如右图是一个流程图，图中“结束”处
的计算结果是 。
【例16】下图所示是计算机程序计算，若开始
输入1x =-，则最后输出的结果是__ _。
【例17】如图所示的运
算程序中，若开始输入的x 值为48，我们发现第1次输出的结果为24，第2次输出的结果为12，…，第2009次输出的结果为____ _____。
板块三 定义新运算
定义新运算:将新的运算法则转化为旧的运算法则进行计算
【例18】现规定一种运算：a *b ＝ab ＋a －b ，其中a ，b 为有理数，则3*5的值为( )
A ．11
B ．12
C ．13
D ．14 【例19】用“
×
”定义新运算：对于任a ，b ，都有a
×
2b a b =-。
例如，4×
27479=-=，那么5
×
3= ；
当m 为有理数时，m （1- 2）= 。
【例20】①定义()5f x x =+，((2))f f = 。
【例21】若规定一种新运算为()()111a b ab a b A ⊗=
+
-+，如果1
212
⊗=-，那么 20012002⊗=_______。
【例22】有一个运算程序，可以使a b n ⊕=(n 为常数)时，得()11a b n +⊕=+，()12a b n ⊕+=-。
现在
已知112⊕=，那么20092009⊕=_______。
【例23】有一列数，按一定规律排成1，-2，4，-8，16，-32，…，其中某三个相邻数的和是3072，则这
三个数中最小的数是________。
测
试 题
1．在数列1，
12，22，13，23，3
3
，…，中，第100个数是___ 。
2．正整数按图的规律排列．请写出第20行，第21列的数字 。
3．按下面的程序计算，若开始输入的值x 为正数，最后输出的结果为656，则满足条件的不同的值分别是： 。
4．定义：a 是不为1的有理数，我们把11a -称为a 的差倒数．．．．如：2的差倒数是1
112
=--，1-的差倒数是
()11112=--。
已知11
3
a =-，
① 2a 是1a 的差倒数，则2a = ； ② 3a 是2a 的差倒数，则3a = 。
5．我国宋朝数学家杨辉在他的着作《详解九章算法》中提出“杨辉三角”（如图），此图揭示了()n a b + （n 为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律。
例如：
0()1a b +=，它只有一项，系数为1；
1()a b a b +=+，它有两项，系数分别为1，1系数和为2；
222()2a b a ab b +=++，它有三项，系数分别为1，2，1，系数和为
4；
33223()33a b a a b ab b +=+++，它有四项，系数分别为1，3，3，1，
系数和为8； ……
根据以上规律，解答下列问题：
⑴4()a b +展开式共有 项，系数分别为 ； ⑵()n a b +展开式共有 项，系数和为 。
答 案
1．
914 2．420
3．4
5
，5，26，131
第一行 第二行 第三行 第四行 第五行 第一列
第二列 第三列 第四列 第五列 1 2 5 10 17 ... 4 3 11 ... 9 8 12 19 ... 16 15 14 13 20 (25)
24
23
22
21
…
……
..............................
1
332
1
11111
4．①3
4
；② 4
5．⑴5；1，4，6，4，1；⑵1
n ，2n。