图象变换
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图像几何变换(旋转和缩放)
图像几何变换的重要性
图像几何变换可以帮助我们更好地理 解和分析图像内容，例如在人脸识别 、目标检测和跟踪、遥感图像处理等 领域。
通过变换可以纠正图像的畸变，提高 图像的清晰度和可读性，从而改善图 像的质量。
图像几何变换的应用场景
医学影像处理
在医学领域，通过对医学影像进行几何变换，可以更好地 观察和分析病变部位，提高诊断的准确性和可靠性。
图像旋转
图像旋转的基本概念
图像旋转是指将图像围绕一个点 进行旋转的操作。这个点被称为
旋转中心或原点。
旋转角度是旋转的度数，通常以 度（°）为单位。
旋转可以是顺时针或逆时针方向， 取决于旋转角度的正负值。
图像旋转的算法实现
图像旋转可以通过多种算法实现，其 中最常用的是矩阵变换和插值算法。
插值算法通过在旋转过程中对像素进 行插值，以获得更平滑的旋转效果。 常用的插值算法包括最近邻插值、双 线性插值和双三次插值等。
矩阵变换算法通过将图像表示为一个 矩阵，并应用旋转矩阵来计算旋转后 的像素坐标。
图像旋转的优缺点
优点
图像旋转可以用于纠正倾斜的图像、 增强图像的视觉效果、实现特定的艺 术效果等。
缺点
图像旋转可能会改变图像的比例，导 致图像失真或变形。此外，对于大尺 寸的图像，旋转操作可能需要较长时 间和较大的计算资源。
双线性插值和双三次插值等。
重采样算法
重采样算法通过重新计算每个像 素的灰度值来实现图像缩放。这 种方法通常比插值算法更精确，
但计算量较大。
多项式拟合算法
多项式拟合算法通过拟合原始图 像中的像素点，然后根据多项式 函数来计算新的像素值。这种方 法适用于对图像进行复杂变换的
情况。
图像缩放的优缺点
图象变换-概念.
时域和频域之间的变换可用数学公式表示如下：
正变换
f ( f ) A( f ),( f ) 逆变换
为能同时表示信号的振幅和相位，通常采用复数表示
法，因此可用复数表示为
数
字
图
正变换
f ( f ) F( f )
象
逆变换
处 完成这种变换，一般采用的方法是线性正交变换。
理
图象变换－通用描述
通用公式（一维）－正变换，
N 1
T (x, v) f (x, y)g2 ( y, v) y0
N 1
数
T (u, v) T (x, v)g1(x, u)
字
x0
可分离的和对称核－
图 利用矩阵的优点：得到 T AFA
象 的变换矩阵可分解成若 BTB BAFAB
处 干个具有较少非零元素 B A1 F BTB
理
的矩阵乘积，可以减少
以上一维傅立叶变换可以很容易地推广到二维，如果 二维函数f(x, y)满足狄里赫莱条件，则它的二维傅立叶变换 对为
F[ f (x, y)] F (u, v) f (x, y)e j2 (uxvy)dxdy
F 1[F (u, v)] f (x, y) F (u, v)e j2 (uxvy)dudv
（有益于处理）；正交变换的特点是在变换域中，图
像的能量集中分布在低频部分，边缘和线信息反映在
数 高频成分上。
字
变换的实例－对数变换（乘除变为加减）；拉氏变换 （微分方程的求解）；傅立叶变换（频谱分析和滤
图 波）。
象
图像变换的应用－图像增强、恢复、特征提取、压缩 和形状分析。
处 常见变换－沃尔什－哈达玛；哈尔变换；离散余弦变
第5章 图像变换-傅里叶变换
N 1
从上式可以看出，一个二维傅立叶变换 可用二次一维傅立叶变换来实现
(0,0)
f(x,y)
N-1
y
(0,0)
F(x,v)
N-1
v 列变换
(0,0)
F(u,v) u
N-1
v
N-1
x
行变换 N-1
N-1
x
二维傅立叶变换分离成两个一维变换
行变换
列变换
（2）平移性 在空域中，图像原点平移到(x0，y0)时，其对应的频 ux vy j 2π ( ) 谱F(u,v)要乘上一个负的指数项 e N
（5）分配性（线性）和比例性（缩放） 傅立叶变换的分配性表明，傅立叶变换和反变换 对于加法可以分配，而对乘法则不行，即
{ f1 ( x, y ) f 2 ( x, y )} { f1 ( x, y )} { f 2 ( x, y )} { f1 ( x, y ) f 2 ( x, y )} { f1 ( x, y )} { f 2 ( x, y )}
图像傅立叶变换
从幅度谱中我们 可以看出明亮线 和原始图像中对 应的轮廓线是垂 直的。如果原始 图像中有圆形区 域那么幅度谱中 也呈圆形分布
图像傅立叶变换
图像中的颗粒状对 应的幅度谱呈环状， 但即使只有一颗颗 粒，其幅度谱的模 式还是这样。
图像傅立叶变换
这些图像没有特定 的结构，左上角到 右下角有一条斜线， 它可能是由帽子和 头发之间的边线产 生的
例 对比
傅立叶变换的物理意义
梯度大则该点的亮度强，否则该点亮度弱。 这样通过观察傅立叶变换后的频谱图，我们 首先就可以看出，图像的能量分布，如果频 谱图中暗的点数更多，那么实际图像是比较 柔和的（因为各点与邻域差异都不大，梯度 相对较小），反之，如果 频谱图中亮的点数 多，那么实际图像一定是尖锐的，边界分明 且边界两边像素差异较大的。
函数图像的四种变换形式
函数图像的四种变换1．平移变换左加右减，上加下减)()(axfyxfy+=−→−=沿x轴左移a个单位；)()(axfyxfy-=−→−=沿x轴右移a个单位；axfyxfy+=−→−=)()(沿y轴上移a个单位；axfyxfy-=−→−=)()(沿y轴下移a个单位。
2.对称变换同一个函数求对称轴或对称中心，则求中点或中心。
两个函数求对称轴或对称中心，则求交点。
（1）对称变换①函数)(xfy=与函数)(xfy-=的图像关于直线x=0(y轴)对称。
②函数)(xfy=与函数)(xfy-=的图像关于直线y=0(x轴)对称。
③函数)(axfy+=与)(xbfy-=的图像关于直线2ab x -=对称（2）中心对称①函数)(xfy=与函数)(xfy--=的图像关于坐标原点对称②函数)(xfy=与函数)2(2xafyb-=-的图像关于点（a,b）对称。
3伸缩变换（1）)(xafy=的图像，可以将)(xfy=的图像纵坐标伸长（a>1）或缩短（a<1）到原来的a倍，横坐标不变。
（2）)(axfy=（a>0）的图像，可以将)(xfy=的横坐标伸长（0<a<1）或缩短（a>1）到原来的1/a倍，纵坐标不变。
4．翻折变换（1）形如)(x f y =，将函数)(x f 的图像在x 轴下方的部分翻到x 轴上方，去掉原来x 轴下方的部分，保留原来在x 轴上方的部分。
（2）形如)(y x f =，将函数)(x f 在y 轴右边的部分沿y 轴翻到y 轴左边并替代原来y 轴左边部分，并保留)(x f y 轴左边部分，为)(y x f =的图像。
习题：①做出32y 2++=）（x 的图像 ②做出3+=x y 的图像。
函数图像的变换法则
（ 0,1 ）和（ 0,1 ） （ 2,0 ）和（ 2， 2 ）
三﹑对称变换
y
(-x,y) .
(-x,-y) .
(y,x) . .(x,y)
x
.(x,-y)
函数图象对称变换的规律:
1. y f ( x) y f ( x)
关于x轴对称
2. y f ( x) y f ( x)
函数图象变换的应用:
①作图﹑② 识图﹑ ③用图
(2)方程 f(x)－a＝x 的根的个数等价于 y＝f(x)与 y＝x－a 的交点的个数，所以可以借助图像进行分析．
规范解答 解
2 x－2 －1， x∈－∞，1]∪[3，＋∞ f(x)＝ 2 －x－2 ＋1， x∈1，3
作出图像如图所示．
[2 分]
(1)递增区间为[1,2]，[3，＋∞)， 递减区间为(－∞，1]，[2,3]． [4 分] (2)原方程变形为 |x2－4x＋3|＝x＋a， 于是，设 y＝x＋a，在同一坐标系下再作出 y＝x＋a 的图 像．如图． 则当直线 y＝x＋a 过点(1,0)时，a＝－1； [6 分]
a a
1 x
a
a ax a a a
x
ax a ax
1 y 1
a a a
x
a
x
x
a a
f (1 x)
所以，函数y=f(x)的图象关于点（1/2,1/2）对称
（2）由对称性知f(1-x)+f(x)=1,所以 f(-2)+ f(-1)+ f(0)+ f(1)+ f(2)+ f(3)=3。
对称变换是指两个函数图象之间的对称关系,而”满足 f(x)= f(2a-x)或f(a+x)= f(a-x)有y=f(x)关于直线x=a对称”是 指一个函数自身的性质属性,两者不可混为一谈.
医学图像处理第3章图像变换3.2 医学图像的灰度变换
在此基础上对x进行一维傅立叶变换
F(u,v) 1 N1
f
(x,
v)e
j 2
ux N
u,
v
0,1,2,,
N
1
N x0
变量分离步骤如图所示 先沿列的方向，然后沿行的方向
若已知频率二维序列F(u，v)，则二维可分离性对傅立叶逆 变换同样适应。
f (x, y)
1
N 1 N 1
傅立叶变换提出 • 傅立叶（Fourier） ：法国数学家，1768年生 • 1822年出版“热分析理论”，1878年翻译成英文。提出傅 立叶级数 • 傅立叶级数：周期函数表示为不同频率的正弦和/或余弦 和 • 傅立叶变换：非周期函数表示为正弦和/或余弦乘以加权 函数的积分 • 逆变换可以重建原函数
N x0
y0
u, v 0,1,2,, N 1
二维傅立叶变换的可分离特性表明，一个二维傅立 叶变换可通过二次一维傅立叶变换来完成，即：第一次先 对y进行一维傅立叶变换
F(x,v) N[ 1 N1
j2 vy
f (x, y)e N ]
x,v 0,1,2,, N 1
N y0
F (u, v)e j 2 (uxvy) / N
N u0 v0
1
N 1
N 1
e j 2ux/ N F (u, v)e j 2vy / N
N u0
v0
x, y 0,1,2,, N 1
逆变换的分离性也同样可以分解为两次一维傅立叶变换。
2、平移性
f (x, y)e j2 (u0xv0y)/ N F(u u0, v v0 )
三. 二维离散傅立叶变换的性质
图像变换
w 可以取不同值，同一点齐次坐标不唯一。
如普通坐标系的点(2,3)的齐次坐标可以是：
(1,1.5,0.5)，(4,6,2)，(6,9,3)等。
普通坐标与齐次坐标的关系为“一对多”
普通坐标w =>齐次坐标 齐次坐标/w =>普通坐标 当w = 1时产生的齐次坐标称为“规格化坐标”
f(x,y) 减去背景图像b(x,y) g(x,y) 添加蓝色背景
图像的错切效果
在这个错切变换中，蒙娜丽莎的图像被变形，但是中心的 纵轴在变换下保持不变。（注意：角落在右边的图像中被 裁掉了。）蓝色的向量，从胸部到肩膀，其方向改变了， 但是红色的向量，从胸部到下巴，其方向不变。因此红色 向量是该变换的一个特征向量，而蓝色的不是。因为红色 向量既没有被拉伸又没有被压缩，其特征值为1。所有沿着 垂直线的向量也都是特征向量，它们的特征值相等。它们 构成这个特征值的特征空间。
=
图像的或运算
模板运算：提取感兴趣的子图像
=
图像的与运算
0 1＝0 1 0＝0 0 0＝0 求两个子图像的相交子图
1 1＝1
^
= 模板运算：提取感兴趣的图像^=图像加法运算举例
＋
＝
图像加法运算举例
图像加法运算举例
图像加法运算举例
图像减法运算举例
=
图像减法运算举例
因为前n个坐标是普通坐标系下的n维坐标。
图像的仿射变换
—— 齐次坐标的特点
(x,y)点的齐次坐标为（xw，yw,w) xw=wx，yw=wy,w≠0
(x,y)点对应的齐次坐标为三维空间的一条直线 ：
xw yw
wx wy
zw
如普通坐标系的点(2,3)的齐次坐标可以是：
(1,1.5,0.5)，(4,6,2)，(6,9,3)等。
普通坐标与齐次坐标的关系为“一对多”
普通坐标w =>齐次坐标 齐次坐标/w =>普通坐标 当w = 1时产生的齐次坐标称为“规格化坐标”
f(x,y) 减去背景图像b(x,y) g(x,y) 添加蓝色背景
图像的错切效果
在这个错切变换中，蒙娜丽莎的图像被变形，但是中心的 纵轴在变换下保持不变。（注意：角落在右边的图像中被 裁掉了。）蓝色的向量，从胸部到肩膀，其方向改变了， 但是红色的向量，从胸部到下巴，其方向不变。因此红色 向量是该变换的一个特征向量，而蓝色的不是。因为红色 向量既没有被拉伸又没有被压缩，其特征值为1。所有沿着 垂直线的向量也都是特征向量，它们的特征值相等。它们 构成这个特征值的特征空间。
=
图像的或运算
模板运算：提取感兴趣的子图像
=
图像的与运算
0 1＝0 1 0＝0 0 0＝0 求两个子图像的相交子图
1 1＝1
^
= 模板运算：提取感兴趣的图像^=图像加法运算举例
＋
＝
图像加法运算举例
图像加法运算举例
图像加法运算举例
图像减法运算举例
=
图像减法运算举例
因为前n个坐标是普通坐标系下的n维坐标。
图像的仿射变换
—— 齐次坐标的特点
(x,y)点的齐次坐标为（xw，yw,w) xw=wx，yw=wy,w≠0
(x,y)点对应的齐次坐标为三维空间的一条直线 ：
xw yw
wx wy
zw
函数图像的变换
函数图像的变换函数图像的变换1、平移变换函数y = f(x)的图像向右平移a个单位得到函数y = f(x - a)的图像;向上平移b个单位得到函数y =f(x)+ b 的图像 ;左平移a个单位得到函数y = f(x + a)的图像;向下平移b个单位得到函数y =f(x)- b 的图像(a ，b>0)。
2、伸缩变换函数 y = f(x)的图像上的点保持横坐标不变纵坐标变为原来的k倍(01时，伸)得到函数 y = k f(x)的图像;函数 y = f(x)的图像上的点保持纵坐标不变横坐标变为原来的1/k倍(01时，缩)得到函数y = f(k x)的图像(k>0，且 k ≠1)。
3、对称变换(1)函数y = f(x)的图象关于y轴对称的图像为 y =f(-x);关于x轴对称的图像为y =-f(x);关于原点对称的图像为y =-f(-x)。
(2)函数y = f(x)的图象关于x=a对称的图像为y =f(2a-x);关于y=b对称的图像为y =2b-f(x);关于点(a，b)中心对称的图像为y =2b-f(2a-x)。
(3)绝对值问题①函数 y =f(x)x轴及其上方的图像保持不变，把下f(bx)=f(2a -bx)成立，则函数 f(x)的图像关于x=a对称;(b≠0)(3)若函数 f(x)满足：对任意的实数x，都有f(a + x)=-f(a -x)成立，则函数 f(x)的图像关于点(a,0)对称;(4)若函数 f(x)满足：对任意的实数x，都有f(bx)=-f(2a -bx)成立，则函数 f(x)的图像关于(a,0)对称;(b≠0)(5)若函数 f(x)满足：对任意的实数x，都有f(a + x)=2b -f(a -x)成立，则函数 f(x)的图像关于点(a,b)对称;(6)若函数 f(x)满足：对任意的实数x，都有f(x)=2b -f(2a -x)成立，则函数 f(x)的图像关于(a,b)对称。
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1 3
x , x R的简图。
x
0 0
x x
3
3
9 2
3 2
1 3 sin
x 1 3
2
2
6
0 0
2
0 0
0 0
1
2
-1
2
y
y 2 sin
3
2 sin
1 3
1
2
x 3 9
2
6
o
2
3 2
x
三、函数 sin x与y sin( x )的关系 y
实际上，我们在前面已 经学过知道有
x
4x
sin 4 x
0 0 0
y
1
8 2
4
3 8 3 2
2
0
2
1
-1 0
y sin 4 x
2
o
-1
8
4
3 8
x
例三：作出 y
1
1 2
sin 2 x的简图
方法一 : “五点法”作图 解：∵函数y= sin2x的周期T= ∴在[0, ]上作图令Z=2x 则x=
Z 2
2、作出y=2sin1/2x的简图。
再见！
知道ω的变化影响函数周期，所以这个变换也称为周 期变换。
1所有点的横坐标缩短
0 1所有点的横坐标伸长
y sin x y sin x T 2
: 周期
练习2 ：画出函数 y sin 4 x , x R的简图。
解：∵函数y=sin4x的周期T=/2 ∴在[0, /2]上作图 令Z=4x 则x=Z/4 从而sinZ=sin4x
0
0
3 2
2
2 0
3 2 sin x
3 2
x
1 3
0
0
2
0 0
3 2
2 0
sinx 0
sin x
1
3 2
-1 0
3 2
sinx 0
sin x
1
1 3
-1 0
1 3
y
y
y=sinx
1 3
1 3
y
1
2sin
x
o
2
3
x
x
3 2
二、函数 sinx与y sinx的图象关系 y
x
点评：函数 A sin x的图象既可用“五点法 y ”完成 也可由y sin x的图象通过振幅和周期 的变换而得到。
练习3：画出函数 y 2 sin
解：∵函数y=2sin x的周期T=6 ∴在[0,6]上作图令Z= 1 x 则x=3Z ,从而2sinZ=2sin x
3 3 1 3 1
x
2
-2
观察上图发现：
1．y=Asinx，xR(A>0且A1)的图象可以看作把正弦曲 线上的所有点的纵坐标伸长(A>1)或缩短(0<A<1)到原 来的A倍（横坐标不变）而得到的。实际上在物理学 中就把A叫做振幅，因此这个变换也称为振幅变换。
A1所有点的纵坐标伸长
y sin x y A sin x A : 振幅
横坐标不变
y sin 2 x 2
1
2
y
y=sinx
y sin 2 x 2 1
o y=sin2x
x
方法二:变换法
y=sinx
y
纵坐标不变 1 y sin 2 x y sin 2 x 1 2 横坐标缩短为 倍 纵坐标缩短为 2
2
横坐标不变
1
y=sinx
1 y sin 2 x 2
o y=sin2x
0 A1所有点的纵坐标缩短
2．它的值域为[-A, A] 最大值是A, 最小值是-A。
练习1：画出下列函数在长度为一个周期的闭区间上的简图。
（1） y 3 2 sin x , x R ( 2) y 1 3 sin x , x R
解：列表得 x
3 2
解：列表得 0 0
3 2
2 0 0 0
1 2
1 2
-1 -2
1 2
y
2
y=2sinx
3
1
1 2
1 2
y
1 2
sin x
2
2
o
2
x
y=sinx
-1 -2
y
2
1
y=2sinx
y 1 2
sin x
3 2
o
-１
y=sinx
x
2
-2
y
2
1
y=2sinx
y 1 2
sin x
3 2
o
-１
y=sinx
x 2x
sin2x
1 2 sin 2 x
0
2
3
3 2
2
0
0 0
4
2
0 0
4
2 0 0
从而 1 sinZ=21 2sin2x
1
1 2
-1
1 2
y
y 1 2
1 2
sin 2 x
3 4
2
o
1 2
4
x
方法二:变换法
y=sinx
纵坐标不变 1 y sin 2 x 1 横坐标缩短为 倍 纵坐标缩短为 2
从而sinZ=sin2x
0
4
2
2
3 4
3
x
0
2
2
3
3 2
4
Z 0 sinZ 0 y
1
0
2 2 -1 0
Z 0 sinZ 0
1
0
2 -1 0
1
y=sin2x y=sinx
2
y sin
3
1 2
x
4
o
-1
3 2
2
x
y
y=sin2x
1
y=sinx
o
2 3 2
0向左平移
y sin x y sin( x )
0向右平移
y
y sin( x
)
13
o
yyyyyyyyyyysinxsinxxxxx sinsinsinxx sinsinx sinsinxsin sin x
2
y sin 1 2 x
3
4
2
x
-1
y
y=sin2x
1
y=sinx
o
2 3 2
y sin 1 2 x
3
4
2
x
-1
观察上图发现：
函数y=sinωx, xR (ω>0且ω1)的图象，可看作把正
弦曲线上所有点的横坐标缩短(ω>1)或伸长(0<ω<1)到 原来的
1
倍（纵坐标不变）而得到的，实际上我们
例二 : 用" 五点法" 画出函数 y sin 2 x与 y sin x的简图 1 2 解：∵函数y=sin2x的周期T= ∵函数y=sin 2x的周期T=4
1
∴在[0, ]上作图令Z=2x
∴在[0,4]上作图令Z= 1 x 2
则x=2Z 从而sinZ=sin 1 x
2
则x=
x
Z 2
3
2
3 5 2 3
2
x
-1
思考：
1、利用“五点法”作出函数 y=3sin(2x-π/3)的简图。 2、函数y=3sin(2x-π/3)的图象 是由 y=sinx如何变换而得到。
课时小结
通过本节学习，掌握y=Asinωx的“五点法”作图及 振幅和周期变换。
课后作业
1、指出函数y=2/5sin3x的振幅、周期，并画出其图象。
三角函数的图象变换
探索研究
一、函数y=Asinx与y=sinx的图象关系
例一 : 用" 五点法" 画出函数 y 2 sin x与 y 1 2 sin x的简图
解：由于周期T=2
∴不妨先在[0,2]上作图，列表：
2
x
sinx 2sinx
1 2 sin x
0
0 0 0
0 0 0
3 2