2020高三期末调研数学试题及答案

2020年秋学期高三期末调研试卷数学一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答卷纸．．．的相应位置上．．．．．．． 1． 设集合{}{}25,log (3),,(,)R A a B a b a b =+=∈，若{}1A B =I ，则A B =U ▲ ．2． 已知复数2(2)(1)i z m m =-+-对应的点位于第二象限，则实数m 的范围为 ▲ ．3． 若命题“R x ∃∈，使得2(1)10x a x +-+≤”为假命题，则实数a 的范围 ▲ ．4． 某算法的程序框图如图，若输入4,2,6a b c ===，则输出的结果为 ▲ ．5． 某人午休醒来，发觉表停了，他打开收音机想收听电台整点报时，则他等待的时间短于5分钟的概率为 ▲ ．注 意 事 项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1．本试卷共4页，包含填空题（第1题——第14题）、解答题（第15题——第20题）．本卷满分160分，考试时间为120分钟．考试结束后，请将答题卡交回．2．答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效．作答必须用0．5毫米黑色墨水的签字笔．请注意字体工整，笔迹清楚．4． 如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．5． 请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、破损．一律不准使用胶带纸、修正液、可擦洗的圆珠笔．6．已知sin 63x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则25sin sin 63x x ππ⎛⎫⎛⎫-+-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭= ▲ ． 7． 已知向量(2,1),(1,0)a b =-=r r ，则23a b -=s r▲ 已知曲线．8． 设双曲线的渐近线方程为230x y ±=，则双曲线的离心率为 ▲ ．9． 已知数列{}n a 的前n 项和S n =n 2—7n, 且满足16＜a k +a k+1＜22, 则正整数k=▲ ． 10．在正方体1111ABCD A B C D -中，M 为1BB 的中点，AC 、BD 交于点O ，则1D O 与平面AMC 成的角为 ▲ 度． 11． y=x 3+ax+1的一条切线方程为y=2x+1，则a= ▲ ． 12．不等式12sin x a y x+≥-+对一切非零实数,x y 均成立，则实数a 的范围为 ▲ ． 13．已知函数2()2f x x x =+，若存在实数t ，当[1,]x m ∈时，()3f x t x +≤恒成立，则实数m 的最大值为 ▲ ． 14．已知函数f （x ）=|x 2－2|，若f （a ）≥f （b ），且0≤a ≤b ，则满足条件的点（a ，b ）所围成区域的面积为 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(本小题满分14分)在边长为6cm 的正方形ABCD 中，E 、F 分别为BC 、CD 的中点，M 、N 分别为AB 、CF 的中点，现沿AE 、AF 、EF 折叠，使B 、C 、D 三点重合，构成一个三棱锥． （1）判别MN 与平面AEF 的位置关系，并给出证明； （2）求多面体E-AFMN 的体积．M N FB C D AF16．(本小题满分14分)已知△ABC 中，||10AC =u u u r ,||5AD =u u u r ,DB AD 115=,0CD AB =u u u r u u u r g ．（1）求AB AC -u u u ru u u r；（2）设BAC θ∠=，且已知4cos()5x θ+=，02x π-<<，求sinx ．17．（本小题满分14分）已知 A 、B 两地相距2R ，以AB 为直径作一个半圆，在半圆上取一点C ，连接AC 、BC ，在三角形ABC 内种草坪（如图），M 、N 分别为弧AC 、弧BC 的中点，在三角形AMC 、三角形BNC 上种花，其余是空地．设花坛的面积为1S ，草坪的面积为2S ，取ABC θ∠=．（1） 用θ及R 表示1S 和2S ； （2） 求12S S 的最小值．18．(本小题满分16分)已知椭圆 2214x y +=的左顶点为A ，过A 作两条互相垂直的弦AM 、AN 交椭圆于M 、N 两点．（1） 当直线AM 的斜率为1时，求点M 的坐标；（2） 当直线AM 的斜率变化时，直线MN 是否过x 轴上的一定点，若过定点，请给出证明，并求出该定点，若不过定点，请说明理由．19．(本小题满分16分)已知数列{}n a 的首项135a =，13,1,2,21n n n a a n a +==+L ． （1）求证：数列11n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭为等比数列；(2) 记12111n nS a a a =++L ，若100n S <，求最大的正整数n ． （3）是否存在互不相等的正整数,,m s n ，使,,m s n 成等差数列且1,1,1m s n a a a ---成等比数列，如果存在，请给出证明；如果不存在，请说明理由．20．(本小题满分16分)对于定义在区间D 上的函数()x f 和()x g ，如果对于任意D x ∈，都有()()1||≤-x g x f 成立，那么称函数()x f 在区间D 上可被函数()x g 替代．(1) 若()()x x g xx x f ln ,12=-=，试判断在区间[],1[e ]上()x f 能否被()x g 替代？ (2) 记()(),ln f x x g x x ==，证明()x f 在1(,)(1)m m m>上不能被()x g 替代；(3) 设x x x g ax x a x f +-=-=221)(,ln )(，若()x f 在区间],1[e 上能被()x g 替代，求实数a 的范围．无锡市2020年秋学期高三期末考试试卷数学（理科加试卷）命题单位：宜兴市教研室制卷单位：无锡市教研中心 2020．1注意事项及说明１．已知(1,0,2),(2,2,0),(0,1,2)OA OB OC ===u u u r u u u r u u u r ，点M 在直线OC 上运动，当MA MB ⋅u u u r u u u r取最小时，求点M 的坐标．２．设在12个同类型的零件中有2个次品，现抽取3次进行检验，每次抽一个，并且取出不再放回，若以变量X 表示取出的次品个数．（1） 求X 的分布列；（2） 求X 的数学期望及方差．3.若二项式n +的展开式中的常数项为第五项． (1)求n 的值；(2)求展开式中系数最大的项．4．若15231n n -+⨯+()*N n ∈能被正整数m 整除，请写出m 的最大值，并给予证明．无锡市2020年秋学期高三期末调研考试评分标准 数 学 一．填空题1．{}1,1,5- 2． 3．(1,3)- 4．6 5．112678 9．8 10．90 11．2 12．[]1,3 13．8 14．2π二．解答题：15． （1）因翻折后B 、C 、D 重合（如图），所以MN 应是ABF ∆的一条中位线，………………3分则MN AF MN AEF MN AEF AF AEF ⎫⎪⊄⇒⎬⊂⎪⎭P P 平面平面平面．………7分 （2）因为}AB BE AB AB AF⊥⇒⊥⊥平面BEF ，……………9分且6,3AB BE BF ===，∴9A BEF V -=，………………………………………11分 又3,4E AFMN AFMN E ABF ABC V S V S --∆== ∴274E AFMN V -=．………………………………………14分 16．（1）由已知115=，即115DB AD =u u u r u u u r，∵|5,AD =u u u r ｜ ∴||11DB =u u u r，………………………………………………………………2分∵0CD AB =u u u r u u u rg ， ∴CD AB ⊥， ………………………………………………………3分 在Rt △BCD 中，222BC BD CD =+,又222CD AC AD =-, ∴2222196BC BD AC AD =+-=， …………………………5分 ∴|||14AB AC BC -==u u u r u u u r u u u r． …………………………………………………………………6分（2）在△ABC 中，21cos =∠BAC ， ∴3πθ=． ……………………………………………7分即4cos()cos()35x x πθ+=+=，3sin()35x π+=±， ……………………………………9分而0,2633x x ππππ-<<-<+<， …………………………………………………………10分 则AF1sin()sin()sin 26332x πππ-=-<+<=， ………………………………………………12分 ∴3sin()35x π+=，∴sin sin[()]33x x ππ=+-=． ……………………………………14分17．（1）因为ABC θ∠=，则2sin ,2cos AC R BC R θθ==，则22212sin cos sin 22S AC BC R R θθθ=⋅==．………………………………………3分 设AB 的中点为O ，连MO 、NO ，则,MO AC NO BC ⊥⊥． 易得三角形AMC的面积为2sin (1cos )R θθ-， ……………………………………………5分三角形BNC 的面积为2cos (1sin )R θθ-， …………………………………………………7分∴1S =2sin (1cos )R θθ-+2sin (1cos )R θθ-2(sin cos 2sin cos )R θθθθ=+-． (8)分 （2）∵2122(sin cos 2sin cos )sin cos 12sin cos 2sin cos S R S R θθθθθθθθθθ+-+==-，………………………………10分令sin cos t θθ+=∈，则22sin cos 1t θθ=-． ∴12211111S t S t t t=-=---． ……………………………………………………………………12分∴12S S 的最小值为1．…………………………………………………………………………14分18．（1）直线AM 的斜率为1时，直线AM ：2y x =+， ……………………………………………1分代入椭圆方程并化简得：2516120x x ++=， ……………………………………………2分解之得1262,5x x =-=-，∴64(,)55M -． ……………………………………………………4分（2）设直线AM 的斜率为k ，则AM ：(2)y k x =+，则22(2),1,4y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 化简得：2222(14)161640k x k x k +++-=．……………………………6分∵此方程有一根为2-，∴222814M k x k-=+， ………………………………………………………7分 同理可得22284N k x k -=+． (8)分由（1）知若存在定点，则此点必为6(,0)5P -．…………………………………………………9分∵2222228(2)5146286445145M MP M k k y k k k k k x k -++===--+++，…………………………………………………11分同理可计算得2544PN kk k=-．……………………………………………………………………13分 ∴直线MN 过x 轴上的一定点6(,0)5P -． …………………………………………………………16分 19．（1）∵112133n n a a +=+，∴1111133n n a a +-=-，……………………………………………………2分 且∵1110a -≠，∴110()*N nn a -≠∈， …………………………………………………………3分 ∴数列11n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭为等比数列． ………………………………………………………………………4分（2）由（1）可求得11211()33n n a --=⨯，∴112()13n n a =⨯+．………………………………………5分 2121111112()333n n n S n a a a =+++=++++L L 111133211313n n n n +-=+⋅=+--，………………7分若100n S <，则111003n n +-<，∴max 99n =．…………………………………………………9分（3）假设存在，则22,(1)(1)(1)m n s m n s a a a +=-⋅-=-， …………………………………………10分 ∵332nn n a =+，∴2333(1)(1)(1)323232n m sn m s -⋅-=-+++．………………………………………12分 化简得：3323m n s +=⋅，………………………………………………………………………………13分∵33223m n s +≥=⋅，当且仅当m n =时等号成立．………………………………………15分又,,m n s 互不相等，∴不存在． ………………………………………………………………………16分20．∵ ()x xx x g x f ln 12)(--=-， 令x xx x h ln 12)(--=，∵02221121)(222>-+=-+='x x x x x x h ，……………………………2分 ∴)(x h 在],1[e 上单调增，∴]112,21[)(---∈ee x h ．……………………………………………3分 ∴1)()(≤-x g xf ，即在区间[],1[e ]上()x f 能被()xg 替代．…………………………………4分（2）令()()()ln t x f x g x x x =-=-．11()1x t x x x-'=-=Q ，………………………………………………………………………………5分 且当1x <时，()0t x '<；当1x >时，()0t x '>，…………………………………………………6分()(1)1t x t ∴≥=，即()()ln 1f x g x x x -=-≥，…………………………………………………7分∴()x f 在1(,)(1)m m m>上不能被()x g 替代． ……………………………………………………8分 （3）∵()x f 在区间],1[e 上能被()x g 替代，即1)()(≤-x g x f 对于],1[e x ∈恒成立． ∴121ln 2≤-+-x x ax x a ． 121ln 12≤-+-≤-x x ax x a ， ………………………………9分由（2）的知，当],1[e x ∈时，0ln >-x x 恒成立，∴有① xx x x a ln 1212-+-≤ ，…………………………………………………………………………10分 令xx x x x F ln 121)(2-+-=， ∵22)ln ()121)(11()ln )(1()(x x x x x x x x x F -+-----='2)ln ()1ln 121)(1(x x x x x x ---+-=， 由（1）的结果可知111ln 02x x x+-->，……………………………………………………………11分 ∴)(x F '恒大于零，∴21≤a ．…………………………………………………………………………12分 ②xx x x a ln 1212---≥ ，…………………………………………………………………………………13分 令xx x x x G ln 121)(2---=，∵22)ln ()121)(11()ln )(1()(x x x x x x x x x G -------='2)ln ()1ln 121)(1(x x x x x x -+-+-=， ∵11111ln 1ln 022x x x x x x+-+>+-->，…………………………………………………………14分∴)(x G '恒大于零，∴)1(2222---≥e e e a ， …………………………………………………………15分 即实数a 的范围为)1(222212---≥≥e e e a ． …………………………………………………………16分无锡市2020年秋学期高三期末考试评分标准数学加试题1．设(,,2)OM OC o λλλ==u u u u r u u u r ，…………………………………………………………………………2分∴(1,,22)MA MO OA λλ=+=--u u u r u u u u r u u u r ， ……………………………………………………………3分(2,2,2)MB MO OB λλ=+=--u u u r u u u u r u u u r ， ……………………………………………………………4分∴22(2)2(22)562MA MB λλλλλλ⋅=----=-+u u u r u u u r ………………………………………6分2315()55λ=-+， …………………………………………………………………………8分∴当35λ=时，MA MB ⋅u u u r u u u r 最小．此时36(0,,)55M ． ………………………………………………10分 2．（1）X……………………6分（2）6911()0121122222E X =⨯+⨯+⨯=， ……………………………………………………………8分2291115()122222444V X =⨯+⨯-=．…………………………………………………………………10分3．（1）1r n r r r n T C -+=Q ， ……………………………………………………………………１分x 的指数为032n r r --+=，…………………………………………………………………………２分n Q 的展开式中的常数项为第五项，∴4r =，…………………………………………3分解得：10n =． ……………………………………………………………………………………４分（2）10110r r r r T C -+=Q ，其系数为10102r r C -⋅．…………………………………………………５分设第1k +项的系数最大，则1019101010111101022,22,k k k k k k k k C C C C -+----⎧⋅≥⋅⎨⋅≥⋅⎩ ………………………………………………６分 化简得：2(1)10,112,k k k k +≥-⎧⎨-≥⎩ 即811,33k ≤≤∴3k =，………………………………………………８分即第四项系数最大，553766410215360T C x x --=⋅⋅=．…………………………………………………１０分4．当1n =时，1052318+⨯+=，∴8m ≤，……………………………………………………………2分下证1523 1.()*N n n n -+⨯+∈能被8整除． ……………………………………………………………3分1o 、当1n =时已证；…………………………………………………………………………………………4分2o 、假设当()*N n k k =∈时命题成立，即15231k k -+⨯+能被8整除．………………………………5分则当1n k =+时，11523155631k k k k +-+⨯+=⋅+⋅+ ……………………………………………………6分11(5231)4(53)k k k k --=+⋅+++， ……………………………………………………7分 ∵15231k k -+⨯+能被8整除，而153k k -+为偶数，∴14(53)k k -+也能被8整除．即当1n k =+时命题也成立．………………………………………………8分由1o 、2o 得m 的最大值为8． ………………………………………………………………………………10分。