1.3.3函数的最大(小)值与导数

4.函数y=2x3－3x2－12x+5在［0，3］上的最大 值是_____5______.
练习：已知a为实数，f(x)=(x2-4)(x-a),若f(x)在 x=-1处取得极值，求f(x)在[-2,2]上的最大值和最 小值。
a=1/2 最大值：9/2
最小值：-50/27
知识小结：
求f(x)在[a,b]上的最大值与最小值的步骤如下：
例2:若函数 f ( x) ax3 6ax2 b(a 0), x [1, 2] 的最大值为3,最小值为-29,求a,b的值.
堂上练习
1．下列说法正确的是( D ) A.函数的极大值就是函数的最大值 B.函数的极小值就是函数的最小值 C.函数的最值一定是极值 D.在闭区间上的连续函数一定存在最值
2、求 y＝f(x)在[a，b]上的最大值与最小值， 可分为两步进行： ⑴ 求 y＝f(x)在(a，b)内的极值； ⑵ 将 y＝f(x)的各极值与 f(a)，f(b)比较，其 中最大的一个为最大值，最小的一个为最 小值．
三、例题讲解
例1:求 f x 1 x3 4x 4 在[0,3]的最大值与最小值
最小值：f(x3)
阅读课本判断下列命题的真假：
1.函数在其定义域上的最大值与最小值至多 各有一个；
2、最大值一定是极大值； 3、最大值一定大于极小值；
y f(x3)
f(x1)
a
x2
x1
0
x3
f(b)
g
x4 bx
g
f(a)
f(x2)
2、找出f (x)在区间[a,b]的内最值
最大值：f(b)
最小值：f(a)
y
3、观察右边
一个定义在区
间[a,b]上的函数 y=f(x)的图象.
a x1 o X2
X3
bx
发现图中__f_(x_1_)_、_f_(_x3_)__是极小值，__f_(x_2_)____是极 大值，在区间上的函数的最大值是__f_(_b_)_，最小值 是__f_(x_3_)__。
新课讲解
1、在区间[a,b]上函数y=f (x)的图像是一条连续 曲线,它就有最大值和最小值
f (x)>0
Oa
x1
x2
bx
在极小值点附近
2.求可导函数 f (x) 的极值点和极值的步骤：
(1) 确定函数的定义域 ；
(2) 求出导数 f '(x)； (3) 令f '(x)=0，解方程； (4) 列表：把定义域划分为部分区间，
考察每个部分区间内 f '(x) 的符号， 判断f (x)的单调性从而确定极值点; (5)下结论，写出极值。
（1）对于任意的x∈I，都有f(x)≥M; （2）存在x0∈I，使得f(x0) = M 那么，称M是函数y=f(x)的最小值
பைடு நூலகம் 1、找出f (x)的在区间[a,b]内极值
极大值：f(x2)、f(x4)、f(x6) 极小值： f(x1)、f(x3)、f(x5)
那么f (x)在区间[a,b]的内最值呢?
最大值：f(a)
学案变式2： 下图是导函数 y f (x) 的图象, 试找出函数 y f (x)
的极值点, 并指出哪些是极大值点, 哪些是极小值点.
y
y f (x)
x2 x3
a x1 O
x4 x5
x
x6
b
1.极值的判定
y yf(x)
在极大值点附近
f (x)>0
f (x)<0
f (x)<0
3
解: y x2 4 ( x 2)(x 2).
令 y 0 , 解得x1=-2 , x2=2.
当 y 0 , 即 x 2 , 或 x 2 ;
当 y 0 , 即 2 x 2 .
－－
0
+
+
4
↘ -4/3
↗
1
因此,函数在[0,3]上的最大值是4， 最小值是- 4/3.
求导—求极点—列表—求极值
知识回顾
3．最大值 一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果
存在实数M满足： （1）对于任意的x∈I，都有f(x)≤M; （2）存在x0∈I，使得f(x0) = M 那么，称M是函数y=f(x)的最大值
4．最小值
一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果 存在实数M满足：
2.函数y=f(x)在区间［a,b］上的最大值是M，最小值是 m,若M=m,则f (x) ( A )
A.等于0 B.大于0 C.小于0
D.以上都有可能
堂上练习
3.函数y 1 x4 1 x3 1 x2,在-1,1上最小值为 A
432
A.0 B. 2 C. 1
D. 13 12
求f(x)在[a,b]上的最大值与最小值的步骤 可以改为：
（1）求f(x)在(a,b)内导函数为零的点，并计 算出其函数值；
（2）将f(x)的各导数值为零的点的函数值与 f(a)、f(b)比较，其中最大的一个是最大值， 最小的一个是最小值．
堂上练习
求下列函数在给定区间上的最大值与最小值
1 f x 6x2 x 2, x 0,2; 2 f x x3 27x, x 4,4;
（1）f(x)在(a,b)内导函数为零的点，并计算出其函数值； （2）将f(x)的各导数值为零的点的函数值与f(a)、f(b)比较， 其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．
注意 1) 函数的最值概念是整体性的； 2) 函数的最大值（最小值）唯一； 3) 函数的最大值大于等于最小值； 4) 函数的最值可在端点上取.