1.3.3函数的最大(小)值与导数
4.函数y=2x3－3x2－12x+5在［0，3］上的最大 值是_____5______.
练习：已知a为实数，f(x)=(x2-4)(x-a),若f(x)在 x=-1处取得极值，求f(x)在[-2,2]上的最大值和最 小值。
a=1/2 最大值：9/2
最小值：-50/27
知识小结：
求f(x)在[a,b]上的最大值与最小值的步骤如下：
例2:若函数 f ( x) ax3 6ax2 b(a 0), x [1, 2] 的最大值为3,最小值为-29,求a,b的值.
堂上练习
1．下列说法正确的是( D ) A.函数的极大值就是函数的最大值 B.函数的极小值就是函数的最小值 C.函数的最值一定是极值 D.在闭区间上的连续函数一定存在最值
2、求 y＝f(x)在[a，b]上的最大值与最小值， 可分为两步进行： ⑴ 求 y＝f(x)在(a，b)内的极值； ⑵ 将 y＝f(x)的各极值与 f(a)，f(b)比较，其 中最大的一个为最大值，最小的一个为最 小值．
三、例题讲解
例1:求 f x 1 x3 4x 4 在[0,3]的最大值与最小值
最小值：f(x3)
阅读课本判断下列命题的真假：
1.函数在其定义域上的最大值与最小值至多 各有一个；
2、最大值一定是极大值； 3、最大值一定大于极小值；
y f(x3)
f(x1)
a
x2
x1
0
x3
f(b)
g
x4 bx
g
f(a)
f(x2)
2、找出f (x)在区间[a,b]的内最值
最大值：f(b)
最小值：f(a)
y
3、观察右边
一个定义在区
间[a,b]上的函数 y=f(x)的图象.
a x1 o X2
X3
bx
发现图中__f_(x_1_)_、_f_(_x3_)__是极小值，__f_(x_2_)____是极 大值，在区间上的函数的最大值是__f_(_b_)_，最小值 是__f_(x_3_)__。
新课讲解
1、在区间[a,b]上函数y=f (x)的图像是一条连续 曲线,它就有最大值和最小值
f (x)>0
Oa
x1
x2
bx
在极小值点附近
2.求可导函数 f (x) 的极值点和极值的步骤：
(1) 确定函数的定义域 ；
(2) 求出导数 f '(x)； (3) 令f '(x)=0，解方程； (4) 列表：把定义域划分为部分区间，
考察每个部分区间内 f '(x) 的符号， 判断f (x)的单调性从而确定极值点; (5)下结论，写出极值。
（1）对于任意的x∈I，都有f(x)≥M; （2）存在x0∈I，使得f(x0) = M 那么，称M是函数y=f(x)的最小值
பைடு நூலகம் 1、找出f (x)的在区间[a,b]内极值
极大值：f(x2)、f(x4)、f(x6) 极小值： f(x1)、f(x3)、f(x5)
那么f (x)在区间[a,b]的内最值呢?
最大值：f(a)
学案变式2： 下图是导函数 y f (x) 的图象, 试找出函数 y f (x)
的极值点, 并指出哪些是极大值点, 哪些是极小值点.
y
y f (x)
x2 x3
a x1 O
x4 x5
x
x6
b
1.极值的判定
y yf(x)
在极大值点附近
f (x)>0
f (x)<0
f (x)<0
3
解: y x2 4 ( x 2)(x 2).
令 y 0 , 解得x1=-2 , x2=2.
当 y 0 , 即 x 2 , 或 x 2 ;
当 y 0 , 即 2 x 2 .
－－
0
+
+
4
↘ -4/3
↗
1
因此,函数在[0,3]上的最大值是4， 最小值是- 4/3.
求导—求极点—列表—求极值
知识回顾
3．最大值 一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果
存在实数M满足： （1）对于任意的x∈I，都有f(x)≤M; （2）存在x0∈I，使得f(x0) = M 那么，称M是函数y=f(x)的最大值
4．最小值
一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果 存在实数M满足：
2.函数y=f(x)在区间［a,b］上的最大值是M，最小值是 m,若M=m,则f (x) ( A )
A.等于0 B.大于0 C.小于0
D.以上都有可能
堂上练习
3.函数y 1 x4 1 x3 1 x2,在-1,1上最小值为 A
432
A.0 B. 2 C. 1
D. 13 12
求f(x)在[a,b]上的最大值与最小值的步骤 可以改为：
（1）求f(x)在(a,b)内导函数为零的点，并计 算出其函数值；
（2）将f(x)的各导数值为零的点的函数值与 f(a)、f(b)比较，其中最大的一个是最大值， 最小的一个是最小值．
堂上练习
求下列函数在给定区间上的最大值与最小值
1 f x 6x2 x 2, x 0,2; 2 f x x3 27x, x 4,4;
（1）f(x)在(a,b)内导函数为零的点，并计算出其函数值； （2）将f(x)的各导数值为零的点的函数值与f(a)、f(b)比较， 其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．
注意 1) 函数的最值概念是整体性的； 2) 函数的最大值（最小值）唯一； 3) 函数的最大值大于等于最小值； 4) 函数的最值可在端点上取.
2014-2015学年高中数学(人教版选修2-2)配套课件第一章 1.3 1.3.3 函数的最大(小)值与导数
(2)若 a<0，f′(x)，f(x)随 x 的变化情况见下表：
x f′(x) f (x )
(－,2) ＋ ↗
栏 目 链 接
∴当 x＝0 时，f(x)取得最小值 f(0)＝b＝－29.
又 f(2)＝－16a－29， f(－1)＝－7a－29<f(2)， ∴当 x＝2 时， f(x)取得最大值， 即－16a－29＝3，∴a＝－2.
栏 目 链 接
π π 可知[f(x)]max＝ ，[f(x)]min＝－ . 2 2
题型2
由函数的最值确定参数
例2 若f(x)＝ax3－6ax2＋b，x∈[－1,2]的最大值为3， 最小值是－29，求a，b的值．
栏 目 链 接
解析：f′(x)＝3ax2－12ax＝3a(x2－4x)． 令 f′(x)＝0，得 x＝0 或 x＝4. ∵x∈[－1,2]，∴x＝0. 由题意知 a≠0.
a＝2， a＝－2， 综上所述， 或 b＝3 b＝－29.
栏 目 链 接
点评：解决此类问题的关键在于确定函数最大值、最小值 对应的自变量的值(即最值点)，然后列方程或不等式解得参数 的值或范围，若所含参数对单调性有影响时常需分类讨论．
跟 踪 训 练
3 2 2． 如果函数 f(x)＝x － x ＋a 在[－1,1]上的最大值是 2， 2
28 4 ，最小值为－ . 3 3
点评：(1)求 f(x)在区间[a，b]上的最大值与最小值的步 骤如下： ①求函数 y＝f(x)在区间(a，b)内的极值； ②计算出 f(a)，f(b)的值； ③比较 f(a)，f(b)与各极值的大小，其中最大的一个是最 大值，最小的一个是最小值． (2)用导数方法求函数最值(包括值域)的方法： ①对比极值点及端点值； ②利用单调性．
【讲练测】2014年高中数学人教a版选修2-2教学课件：2、1-3-3
人 教
A
版
数
学
第一章 导数及其应用 (选修2-2)
(2)当a<0时，x变化时，f′(x)，f(x)变化情况如下表：
x
(－1,0) 0 (0,2)
f′(x)
－
0＋
人
f(x)
b
教 A
所以当x＝0时，f(x)取最小值，所以f(0)＝b＝－29.
版 数
学
又f(2)＝－29－16a，f(－1)＝－29－7a，
第一章 导数及其应用 (选修2-2)
[例3] 已知f(x)＝ax3－6ax2＋b，问是否存在实数a，b，
使f(x)在[－1,2]上取最大值3，最小值－29？若存在，求出a，
人
b的值，若不存在，说明理由．
教 A
版
[分析] 由题目可获取以下主要信息：
数 学
①函数f(x)＝ax3－6ax2＋b在x∈[－1,2]上的最大值为3，
极值与最值的区别和联系
(1)函数的极值表示函数在一点附近的情况，是在局部
对函数值的比较；函数的最值是函数在整个定义域上的情
况，是对函数在整个定义域上的函数值的比较．
人
(2)函数的极值不一定是最值，需对极值和区间端点的
教 A
函数值进行比较，或者考察函数在区间内的单调性．
版 数
(3)如果连续函数在区间(a，b)内只有一个极值，那么 学
第一章 导数及其应用 (选修2-2)
[例2] 已知a是实数，函数f(x)＝x2(x－a)．
(1)若f′(1)＝3，求a的值及曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的
切线方程；
人
教
A
(2)求f(x)在区间[0,2]上的最大值．
【教学设计】公开课 函数的最大(小)值与导数
1.3.3 函数的最大（小）值与导数一、【教学目标】重点: 求函数最值的方法.难点：函数存在最值的的条件；求函数最值的方法.知识点：理解函数最值的特点；掌握函数存在最值的的条件及用导数求函数最值的方法.能力点：通过引导学生观察、归纳,培养学生的观察能力和归纳能力.教育点：通过以学生为主体的教学方法,让学生自己探究函数最值的求法,发展体验获取知识的感受.自主探究点：通过“会观察”,“敢归纳”,“善建构”,培养学生自主学习,勇于创新的精神.考试点：求函数最值的方法.易错易混点：极值和最值的区别与联系.拓展点：通过函数的最大（小）值与导数教学,建立概念间的多元联系,培养同学们多角度审视问题的习惯.二、【复习回顾】【师生活动】（1）师:好美的图片啊,这里的山高低起伏，层峦叠嶂，你能用两句诗形容这里的山吗?生:横看成岭侧成峰,远近高低各不同.（2）师:我们从图片上提炼出来一段图象,观察闭区间],[b a 上函数)(x f y 的图象,找出它的极大值点,极小值点.生:极大值点：642,,x x x 极小值点：531,,x x x 【设计意图】利用课件的生动性激发学生的学习兴趣.师:我们在图象上取一个闭区间],[d c ，以这一段为例，你能说出极大值的定义吗?这里的极大值也是最大值，那你能再说一下最值的定义吗? 【设计意图】温故而知新,通过学生回答,为本节课的学习作铺垫.教师总结：极值是一个局部概念,极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小,并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小.在社会生活实践中,为了发挥最大的经济效益,常常遇到如何能使用料最省、产量最高,效益最大等问题,这些问题的解决常常可转化为求一个函数的最大值和最小值问题函数在什么条件下一定有最大、最小值?它们与函数极值关系如何?这就是我们这一节课的主要内容----函数的最大（小）值与导数. 【设计意图】 通过教师总结,引出最值及本节课的课题. 三、【探究新知】探究一：函数在区间],[d c 上有最大值、最小值吗?如果有，分别在什么位置取最值?探究二：函数在区间]c上有最大值、最小值吗?如果有，分别在什么位[d,置取最值?探究三：函数在区间]c上还有最大值、最小值吗?如果有，分别又在什,[d么位置取最值?四、【理解新知】师：通过三个探究，我们来思考总结下面两个问题：思考1：你能从自变量的范围和图象的角度说明函数在什么情况下有最值吗?（学生分组讨论，完成总结）学生回答，教师板书：最值存在性定理：一般地，如果在区间]f(xy 的图象是一条连续不断的曲,a上函数)[b线，那么它必有最大值和最小值。
【精品课件】1.3.3函数的最大(小)值与导数
(3)函数在其定义域上的最大值与最小值至多各 有一个,而函数的极值则可能不止一个,也可能没有 极值,并且极大值(极小值)不一定就是最大值(最小 值),但除端点外在区间内部的最大值(或最小值),则 一定是极大值(或极小值). (4)如果函数不在闭区间[a,b]上可导,则在确定函 数的最值时,不仅比较该函数各导数为零的点与端 点处的值,还要比较函数在定义域内各不可导的点 处的值.
3
4 小值为 3
.
练习
P31 (1)----(4)
小结
] 1. 求 f ( x )在 [a, b 上的最大值与最小值的步骤 :
①求函数 f ( x )在 (a , b) 内的极值；
) f (a )、f (b)的值； ②求函数 f ( x 在区间端点
③将函数 f ( x )在各极值与 f (a )、f (b) 比较，其中最大的一
1.3.3 函数的最大(小)值与导数
复习引入
1.当函数f(x)在x0处连续时,判别f(x0)是极大(小)值的 方法是: ①如果在x0附近的左侧 f/（x）>0 ,右侧f/(x)<0 ,那 么,f(x0)是极大值; ②如果在x0附近的左侧 f/(x)<0, 右侧f/(x)>0 ,那 么,f(x0) 是极小值. 2.导数为零的点是该点为极值点的必要条件,而不是充 分条件.极值只能在函数的导数为零且在其附近左右 两侧的导数异号时取到. 3.在某些问题中,往往关心的是函数在一个定义区间上, 哪个值最大,哪个值最小,而不是极值.
个是最大值，最小的一个是最小值． 2.求函数最值的一般方法： ①.是利用函数性质 ②.是利用不等式 ③.是利用导数
作业
P31
6
y y=f(x) o y y=f(x)
【人教A版】数学《优化方案》选修2-2课件第1章1.3.3
x f′(x)
f(x)
(－1,0)
0
(0,2)
＋
0
－
↗ 最大值3 ↘
∴当x＝0时，f(x)取最大值，∴b＝3. 又f(2)＝8a－24a＋3＝－16a＋3， f(－1)＝－7a＋3>f(2)， ∴当x＝2时，f(x)取最小值，－16a＋3＝－29， ∴a＝2， ∴a＝2，b＝3.
【思维总结】 本题属于逆向探究题型．解这 类问题的基本方法是待定系数法．从逆向思维 出发，实现由已知向未知的转化，最终落脚在 比较极值与端点值大小上，从而解决问题．
【解】 ∵f(x)＝x3－12x2－2x＋5， ∴f′(x)＝3x2－x－2. 令 f′(x)＝0，即 3x2－x－2＝0，
∴x＝1，或 x＝－23. 列表：
x －1
(－1，－23) －23
(－23，1)
1
(1,2) 2
f′(x)
f(x)
11
2
＋
↗
0
157 27
－
↘
0
7 2
＋
↗
7
∴当 x＝－23时，f(x)取得极大值 f－23＝52227；
值，在熟练掌握求解步骤的基础上，还须注
意以下几点： (1)对函数进行准确求导； (2)研究函数的单调性，正确确定极值和端点 函数值； (3)比较极值与端点函数值大小时，有时需要 利用作差或作商，甚至要分类讨论．
变式训练1 求下列各函数的最值． (1)f(x)＝－x4＋2x2＋3，x∈[－3,2]； (2)f(x)＝e－x－ex，x∈[0，a]，a为正常数． 解：(1)f′(x)＝－4x3＋4x， 令f′(x)＝－4x(x＋1)(x－1)＝0， 得x＝－1或x＝0或x＝1. 当x变化时，f′(x)及f(x)的变化情况如下表：
高中数学(新课标)选修2课件1.3.3函数的最大(小)值与导数
于是，g(x)在[0,1]上的最小值是 g(ln(2a))＝2a－ 2aln(2a)－b. 综上所述，当 a≤12时，g(x)在[0,1]上的最小值是 g(0)＝1－b； 当12<a<2e时，g(x)在[0,1]上的最小值是 g(ln(2a))＝2a－2aln(2a) －b； 当 a≥2e时，g(x)在[0,1]上的最小值是 g(1)＝e－2a－b.
当 x 变化时，f′(x)与 f(x)的变化情况如下表：
x (－∞，－ 2) － 2 (－ 2， 2) 2 ( 2，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
极大值
极小值
因为 f(－1)＝10，f(3)＝18，f( 2)＝－8 2，
所以当 x＝ 2时，f(x)取得最小值－8 2；
当 x＝3 时，f(x)取得最大值 18.
对 f(x)求导，得 f′(x)＝4ax3ln x＋ax4×1x＋4bx3＝ x3(4aln x＋a＋4b)． 由题意知 f′(1)＝0， 得 a＋4b＝0，解得 a＝12. 因为 f′(x)＝48x3ln x(x>0)， 令 f′(x)＝0，解得 x＝1. 当 0<x<1 时，f′(x)<0，此时 f(x)为减函数； 当 x>1 时，f′(x)>0，此时 f(x)为增函数． 所以 f(x)在 x＝1 处取得极小值 f(1)＝－3－c， 并且此极小值也是最小值．
状元随笔 (1)函数的最值是一个整体性的概念．函数极值是
在局部上对函数值的比较，具有相对性；而函数的最值则是表示函 数在整个定义域上的情况，是对整个区间上的函数值的比较．
2019-2020学年高中数学(苏教版 选修2-2)教师用书：第1章 1.3.3 最大值与最小值 Word版含答案
1.3.3最大值与最小值1．会求在指定区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次)．(重点) 2．掌握含参数的最值问题的讨论．(难点)3．掌握函数的极值与最值的联系与区别．(易混点)[基础·初探]教材整理函数的最大(小)值与导数阅读教材P32“例1”以上部分，完成下列问题．1．函数的最大值与最小值．(1)如果在函数定义域I内存在x0，使得对任意的x∈I，总有f(x)≤f(x0)，则称f(x0)为函数f(x)在定义域上的最大值．(2)如果在函数定义域I内存在x0，使得对任意的x∈I，总有f(x)≥f(x0)，则称f(x0)为函数f(x)在定义域上的最小值．函数的最大(小)值是相对函数定义域整体而言的，如果存在最大(小)值，那么函数的最大(小)值惟一．2．利用导数求函数的最值求可导函数f(x)在区间[a，b]上的最大值与最小值的步骤(1)求f(x)在区间(a，b)上的极值；(2)将第一步中求得的极值与f(a)，f(b)比较，得到f(x)在区间[a，b]上的最大值与最小值．1．判断正误：(1)函数的最大值一定是函数的极大值．( )(2)开区间上的单调连续函数无最值．( )(3)函数f(x)在区间[a，b]上的最大值和最小值一定在两个端点处取得．( )【答案】(1)×(2)√(3)×2．函数f(x)＝2x－cos x在(－∞，＋∞)上________．(填序号)①无最值；②有极值；③有最大值；④有最小值．【解析】f′(x)＝2＋sin x>0恒成立，所以f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，无极值，也无最值．【答案】①[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：_______________________________________________解惑：_______________________________________________疑问2：_______________________________________________解惑：_______________________________________________疑问3：_______________________________________________解惑：_______________________________________________[小组合作型](1)f(x)＝x3－12x2－2x＋5，x∈[－2,2]；(2)f(x)＝e－x－e x，x∈[0,1]．【精彩点拨】首先利用函数求极值，再比较极值与端点值的大小，确定最值．【自主解答】(1)f′(x)＝3x2－x－2＝(3x＋2)(x－1)，令f′(x)＝0，得x1＝－23，x2＝1.当x变化时，f′(x)，f(x)变化情况如下表：(2)f ′(x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1ex ′－(e x )′＝－1ex －e x＝－1＋e2x ex .当x ∈[0,1]时，f ′(x )<0恒成立， 即f (x )在[0,1]上是减函数．故当x ＝1时，f (x )有最小值f (1)＝1e －e ；当x ＝0时，f (x )有最大值f (0)＝e －0－e 0＝0.求函数最值的四个步骤 (1)求函数的定义域；(2)求f ′(x )，解方程f ′(x )＝0； (3)列出关于x ，f (x )，f ′(x )的变化表； (4)求极值、端点值，确定最值．[再练一题]1．(2016·盐城质检)函数y ＝x ＋2cos x 在区间⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0，π2上的最大值是________.【导学号：01580015】【解析】 ∵y ′＝1－2sin x ，x ∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0，π2，令y ′＝0，得x ＝π6.由于f (0)＝2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π6＝π6＋3，f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2＝π2，∴函数的最大值为π6＋3.【答案】 π6＋3已知函数f (x )＝ax 3－6ax 2＋b ，x∈[－1,2]的最大值为3，最小值为－29，求a ，b 的值．【精彩点拨】 首先求出f ′(x )．然后讨论a 的正负，根据函数f (x )的单调性得出用a ，b 表示的函数的最值，从而列出关于a ，b 的方程组，求a ，b .【自主解答】 由题设知a ≠0，否则f (x )＝b 为常函数，与题设矛盾． 求导得f ′(x )＝3ax 2－12ax ＝3ax (x －4)， 令f ′(x )＝0，得x 1＝0，x 2＝4(舍去)．(1)当a >0，且x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：单调递增单调递减f (0)＝b ＝3. 又f (－1)＝－7a ＋3，f (2)＝－16a ＋3<f (－1)， ∴f (2)＝－16a ＋3＝－29，解得a ＝2.(2)当a <0时，同理可得，当x ＝0时，f (x )取得极小值b ，也就是函数在[－1,2]上的最小值，∴f (0)＝b ＝－29.又f (－1)＝－7a －29， f (2)＝－16a －29>f (－1)，∴f (2)＝－16a －29＝3，解得a ＝－2. 综上可得，a ＝2，b ＝3或a ＝－2，b ＝－29.1．本题的解题关键是利用函数的单调性确定某些极值就是函数的最值，同时由于系数a的符号对函数的单调性有直接的影响，且最值也受a的符号的影响，因此需要对a的符号进行分类讨论．2．已知函数的最值求参数问题属于逆向探究题型，解决该类问题的基本方法是待定系数法，列出关于参数的方程(组)，从而求出参数的值，但在用参数表示最值时，需要根据参数的情况分类讨论．[再练一题]2．设23<a<1，函数f(x)＝x3－32ax2＋b在区间[－1,1]上的最大值为1，最小值为－62，求该函数的解析式.【导学号：01580016】【解】f′(x)＝3x2－3ax，令f′(x)＝0，得x＝0或x＝a.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：单调递增单调递减单调递增当x＝a时，f(x)取得极小值－a32＋b，而f(0)>f(a)，又f(1)>f(－1)，故只需比较f(0)与f(1)，f(－1)与f(a)的大小．因为f(0)－f(1)＝32a－1>0，所以f(x)的最大值为f(0)＝b，所以b＝1.又因为f (－1)－f (a )＝12(a ＋1)2(a －2)<0，所以f (x )的最小值为f (－1)＝－1－32a ＋b＝－32a ，所以－32a ＝－62，所以a ＝63.故所求函数的解析式是f (x )＝x 3－62x 2＋1. [探究共研型]如图1-3-6为y ＝f (x图1-3-6探究1 观察[a ，b ]上函数y ＝f (x )的图象，试找出它的极大值、极小值． 【提示】 f (x 1)，f (x 3)为函数的极大值，f (x 2)，f (x 4)为函数的极小值． 探究2结合图象判断，函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上是否存在最大值，最小值？若存在，分别为多少？【提示】 存在．f (x )最小值＝f (a )，f (x )最大值＝f (x 3)．探究3 函数y ＝f (x )在[a ，b ]上的最大(小)值一定是其极值吗？ 【提示】 不一定．也可能是区间端点的函数值．设函数f (x )＝tx 2＋2t 2x ＋t －1(x ∈R ，t >0)． (1)求f (x )的最小值h (t )；(2)若h (t )<－2t ＋m 对t ∈(0,2)恒成立，求实数m 的取值范围．【精彩点拨】(1)利用配方法，即可求出二次函数f(x)的最小值h(t)；(2)构造函数g(t)＝h(t)－(－2t＋m)，只需使g(t)在(0,2)上的最大值小于零即可求得m的取值范围．【自主解答】(1)∵f(x)＝t(x＋t)2－t3＋t－1(x∈R，t>0)，∴当x＝－t时，f(x)取最小值f(－t)＝－t3＋t－1，即h(t)＝－t3＋t－1.(2)令g(t)＝h(t)－(－2t＋m)＝－t3＋3t－1－m，由g′(t)＝－3t2＋3＝0，得t＝1或t＝－1(不合题意，舍去)．当t变化时，g′(t)，g(t)的变化情况如下表：单调递增单调递减∴g(t)在(0,2)h(t)<－2t＋m在(0,2)内恒成立等价于g(t)<0在(0,2)内恒成立，即等价于1－m<0.∴m的取值范围为(1，＋∞)．1．涉及到不等式恒成立、不等式能成立的问题时，一般需转化为函数最值来解决．若不等式中含参数，则可考虑分离参数，以求避免分类讨论．2．不等式恒成立、能成立常见的转化策略(1)a＞f(x)恒成立⇔a＞f(x)最大值，a＜f(x)恒成立⇔a<f(x)最小值；(2)f(x)＞g(x)＋k恒成立⇔k＜[f(x)－g(x)]最小值；(3)f(x)＞g(x)恒成立⇔f(x)最小值＞g(x)最大值；(4)a＞f(x)能成立⇔a＞f(x)最小值，a＜f(x)能成立⇔a＜f(x)最大值．[再练一题]3．上例(2)若改为“存在t∈[0,2]，使h(t)<－2t＋m成立”，则实数m的取值范围如何求解？【解】令g(t)＝h(t)－(－2t＋m)＝－t3＋3t－1－m，由g′(t)＝－3t2＋3＝0，得t＝1或t＝－1(不合题意，舍去)．当t变化时，g′(t)，g(t)的变化情况如下表：单调 递增单调递减存在t ∈[0,2]，使h (t )<－2t ＋m 成立， 等价于g (t )的最小值g (2)<0. ∴－3－m <0，∴m >－3，所以实数m 的取值范围为(－3，＋∞)．[构建·体系]1．函数y ＝x －sin x ，x ∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤π2，π的最大值是________．【解析】 ∵y ′＝1－cos x ≥0，∴y ＝x －sin x 在⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤π2，π上是增函数，∴y 最大值＝π.【答案】 π2．函数f (x )＝x 3－3x 2＋2在区间[－1,1]上的最大值是________.【导学号：01580017】【解析】 f ′(x )＝3x 2－6x ＝3x (x －2)． 令f ′(x )＝0得x 1＝0，x 2＝2(舍去)． 当x ∈[－1,0)时，f ′(x )>0，f (x )递增； 当x ∈(0,1]，f ′(x )<0，f (x )递减； ∴x ＝0时，f (x )取最大值2. 【答案】 23．函数f (x )＝12e x(sin x ＋cos x )在区间⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0，π2上的值域为________ .【解析】 ∵x ∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0，π2，∴f ′(x )＝e x cos x ≥0，∴f (0)≤f (x )≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2，即12≤f (x )≤12·e π2.【答案】 ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12，12e π24．已知函数f (x )＝m ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －1x －2ln x (m ∈R )，g (x )＝－m x ，若至少存在一个x 0∈[1，e]，使得f (x 0)<g (x 0)成立，则实数m 的取值范围是________．【解析】 由题意，不等式f (x )<g (x )在[1，e]上有解，∴mx <2ln x ，即m 2<ln xx 在[1，e]上有解，令h (x )＝ln xx ，则h ′(x )＝1－ln xx2，当1≤x ≤e 时，h ′(x )≥0，∴在[1，e]上，h (x )≥h (e)＝1e ，∴m 2<1e ，∴m <2e .∴m 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－∞，2e .【答案】 ⎝⎛⎦⎥⎥⎤－∞，2e5．已知a 为实数，f (x )＝(x 2－4)·(x －a )． (1)求导数f ′(x )；(2)若f ′(－1)＝0，求f (x )在[－2,2]上的最大值和最小值． 【解】 (1)由原式得f (x )＝x 3－ax 2－4x ＋4a ， ∴f ′(x )＝3x 2－2ax －4. (2)由f ′(－1)＝0，得a ＝12，此时有f (x )＝(x 2－4)·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －12，f ′(x )＝3x 2－x －4.由f ′(x )＝0，得x ＝43或x ＝－1.又f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫43＝－5027，f (－1)＝92，f (－2)＝0，f (2)＝0，∴f (x )在[－2,2]上的最大值为92，最小值为－5027.我还有这些不足：(1)_______________________________________________ (2)_______________________________________________ 我的课下提升方案：(1)_______________________________________________ (2)_______________________________________________。
1.3.3函数的最大(小)值与导数课件新人教A版选修2-2
新知导学 f(g) f(b) 1．下图中的函数f(x)的最大值为 _____，最 小值为_____．
f(d)，f(g)
f(c)，f(e)
而极大值为__________，极小值为
2．由上图还可以看出，假设函数y＝f(x)在闭 区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线， 最大值 最小值 可导的 与 该函数在 [a ，b]上一定能够取得_________ _________，若该函数在(a，b)内是 不一定 _________，该函数的最值必在极值点或区 间端点取得．但在开区间(a，b)内可导的函 数f(x)__________有最大值与最小值．
1 3 4．(2014· 枣庄市期中)若1、3为函数f(x)＝3x ＋bx2＋cx(b、 c∈R)的两个极值点，则曲线y＝f(x)在点(－1，f(－1))处的切线 的斜率为( A．8 C．4 ) B．6 D．0
[答案] A [解析] f ′(x)＝x2＋2bx＋c，由条件知，1、3 是方程f ′(x)＝0的两个实根，∴b＝－2，c＝3， ∴f ′(－1)＝8，故选A.
第二步，建联系，确定解题步骤． 先求f ′(x)，利用极值条件建立a、b的方程组， 解方程组求a、b；从而得到f(x)解析式；再解 不等式f ′(x)>0(或f ′(x)<0)确定f(x)的单调性； 最后由极大值求c，再求f(x)在[－3,3]上的最 小值． 第三步，规范解答．
[解析] (1)∵f(x)＝ax3＋bx＋c，∴f ′(x)＝3ax2＋b， ∵f(x)在点x＝2处取得极值c－16，
f ′2＝0， ∴ f2＝c－16， 12a＋b＝0， 即 8a＋2b＋c＝c－16. a＝1， 解得 b＝－12.
12a＋b＝0， 化简得 4a＋b＝－8.
高中数学 第一章 导数及其应用 1.3 导数在研究函数中的应用 1.3.3 函数的最大(小)值与导数
1．3.3 函数的最大(小)值与导数(一)学习目标 1.理解函数最值的概念，了解其与函数极值的区别与联系.2.会求某闭区间上函数的最值．知识点函数的最大(小)值与导数如图为函数y＝f(x)，x∈[a，b]的图象．思考1 观察区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象，试找出它的极大值、极小值．答案极大值为f(x1)，f(x3)，极小值为f(x2)，f(x4)．思考2 结合图象判断，函数y＝f(x)在区间[a，b]上是否存在最大值，最小值？若存在，分别为多少？答案存在，f(x)min＝f(a)，f(x)max＝f(x3)．梳理(1)函数的最大(小)值的存在性一般地，如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值．(2)一般地，求函数y＝f(x)在[a，b]上的最大值与最小值的步骤如下：①求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值；②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．1．函数的最大值不一定是函数的极大值．( √)2．函数f(x)在区间[a，b]上的最大值与最小值一定在区间端点处取得．( ×)3．有极值的函数一定有最值，有最值的函数不一定有极值．( ×)类型一求函数的最值命题角度1 利用导数直接求最值例1 求下列各函数的最值：(1)f(x)＝－x4＋2x2＋3，x∈[－3,2]；(2)f(x)＝x3－3x2＋6x－2，x∈[－1,1]．考点利用导数求函数的最值题点利用导数求不含参数函数的最值解(1)f′(x)＝－4x3＋4x，令f′(x)＝－4x(x＋1)(x－1)＝0，得x＝－1，x＝0，x＝1.当x变化时，f′(x)及f(x)的变化情况如下表：∴当x＝－3时，f(x)取最小值－60；当x＝－1或x＝1时，f(x)取最大值4.(2)f′(x)＝3x2－6x＋6＝3(x2－2x＋2)＝3(x－1)2＋3，∵f′(x)在[－1,1]内恒大于0，∴f(x)在[－1,1]上为增函数．故当x＝－1时，f(x)min＝－12；当x＝1时，f(x)max＝2.即f(x)的最小值为－12，最大值为2.反思与感悟求解函数在固定区间上的最值，需注意以下几点(1)对函数进行准确求导，并检验f′(x)＝0的根是否在给定区间内．(2)研究函数的单调性，正确确定极值和端点函数值．(3)比较极值与端点函数值的大小，确定最值．跟踪训练1 求下列函数的最值．(1)f (x )＝x －1ex；(2)f (x )＝12x ＋sin x ，x ∈[0,2π]．考点 利用导数求函数的最值 题点 利用导数求不含参数函数的最值 解 (1)函数f (x )＝x －1ex的定义域为R .f ′(x )＝1·e x－e x(x －1)(e x )2＝2－xe x ， 当f ′(x )＝0时，x ＝2， 当f ′(x )>0时，x <2， 当f ′(x )<0时，x >2.所以f (x )在(－∞，2)上单调递增，在(2，＋∞)上单调递减， 所以f (x )无最小值，且当x ＝2时，f (x )max ＝f (2)＝1e 2.(2)f ′(x )＝12＋cos x ，x ∈[0,2π]，令f ′(x )＝0，得x ＝23π或x ＝43π.因为f (0)＝0，f (2π)＝π，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23π＝π3＋32，f⎝ ⎛⎭⎪⎫43π＝23π－32， 所以当x ＝0时，f (x )有最小值f (0)＝0， 当x ＝2π时，f (x )有最大值f (2π)＝π. 命题角度2 对参数讨论求最值例2 已知函数f (x )＝e x －ax 2－bx －1，其中a ，b ∈R ，e ＝2.718 28…为自然对数的底数． 设g (x )是函数f (x )的导函数，求函数g (x )在区间[0,1]上的最小值． 考点 利用导数求函数的最值 题点 利用导数求含参数函数的最值 解 因为f (x )＝e x－ax 2－bx －1， 所以g (x )＝f ′(x )＝e x－2ax －b ， 又g ′(x )＝e x－2a ， 因为x ∈[0,1]，1≤e x≤e，(1)若a ≤12，则2a ≤1，g ′(x )＝e x－2a ≥0，所以函数g (x )在区间[0,1]上单调递增，g (x )min ＝g (0)＝1－b . (2)若12<a <e2，则1<2a <e ，于是当0<x <ln(2a )时，g ′(x )＝e x－2a <0， 当ln(2a )<x <1时，g ′(x )＝e x－2a >0， 所以函数g (x )在区间[0，ln(2a )]上单调递减， 在区间[ln(2a )，1]上单调递增，g (x )min ＝g (ln(2a ))＝2a －2a ln(2a )－b .(3)若a ≥e 2，则2a ≥e，g ′(x )＝e x－2a ≤0，所以函数g (x )在区间[0,1]上单调递减，g (x )min ＝g (1)＝e －2a －b .综上所述，当a ≤12时，g (x )在区间[0,1]上的最小值为1－b ；当12<a <e2时，g (x )在区间[0,1]上的最小值为2a －2a ln(2a )－b ； 当a ≥e2时，g (x )在区间[0,1]上的最小值为e －2a －b .引申探究1．若a ＝1，b ＝－2，求函数g (x )在区间[0,1]上的最小值． 解 因为a ＝1，b ＝－2，g (x )＝f ′(x )＝e x －2x ＋2，又g ′(x )＝e x－2，令g ′(x )＝0， 因为x ∈[0,1]，解得x ＝ln 2，已知当x ＝ln 2时，函数取极小值，也是最小值，故g (x )min ＝g (ln 2)＝2－2ln 2＋2＝4－2ln 2.2．当b ＝0时，若函数g (x )在区间[0,1]上的最小值为0，求a 的值． 解 当b ＝0时，因为f (x )＝e x－ax 2－1， 所以g (x )＝f ′(x )＝e x－2ax ，又g ′(x )＝e x－2a ，因为x ∈[0,1]，1≤e x≤e，(1)若a ≤12，则2a ≤1，g ′(x )＝e x－2a ≥0，所以函数g (x )在区间[0,1]上单调递增，g (x )min ＝g (0)＝1，不符合题意．(2)若12<a <e2，则1<2a <e ，于是当0<x <ln(2a )时，g ′(x )＝e x－2a <0， 当ln(2a )<x <1时，g ′(x )＝e x－2a >0， 所以函数g (x )在区间[0，ln(2a )]上单调递减， 在区间[ln(2a )，1]上单调递增，g (x )min ＝g (ln(2a ))＝2a －2a ln(2a )＝0，解得a ＝e2不符合题意，舍去．(3)若a ≥e 2，则2a ≥e，g ′(x )＝e x－2a ≤0，所以函数g (x )在区间[0,1]上单调递减，g (x )min ＝g (1)＝e －2a ＝0，解得a ＝e 2.反思与感悟 对参数进行讨论，其实质是讨论导函数大于0，等于0，小于0三种情况．若导函数恒不等于0，则函数在已知区间上是单调函数，最值在端点处取得；若导函数可能等于0，则求出极值点后求极值，再与端点值比较后确定最值．跟踪训练2 已知a 是实数，函数f (x )＝x 2(x －a )，求f (x )在区间[0,2]上的最大值． 考点 利用导数求函数的最值 题点 利用导数求含参数函数的最值 解 f ′(x )＝3x 2－2ax .令f ′(x )＝0，解得x 1＝0，x 2＝2a 3.①当2a3≤0，即a ≤0时，f (x )在[0,2]上单调递增，从而f (x )max ＝f (2)＝8－4a .②当2a3≥2，即a ≥3时，f (x )在[0,2]上单调递减，从而f (x )max ＝f (0)＝0.③当0<2a 3<2，即0<a <3时，f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2a 3上单调递减，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤2a 3，2上单调递增，从而f (x )max ＝⎩⎪⎨⎪⎧8－4a ，0<a ≤2，0，2<a <3，综上所述，f (x )max ＝⎩⎪⎨⎪⎧8－4a ，a ≤2，0，a >2.类型二 由函数的最值求参数例3 已知函数f (x )＝ax 3－6ax 2＋b ，x ∈[－1,2]的最大值为3，最小值为－29，求a ，b 的值．考点 导数在最值问题中的应用 题点 已知最值求参数解 由题设知a ≠0，否则f (x )＝b 为常函数，与题设矛盾． 求导得f ′(x )＝3ax 2－12ax ＝3ax (x －4)， 令f ′(x )＝0，得x 1＝0，x 2＝4(舍去)．①当a >0，且当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：由表可知，当x ＝0时，f (x )取得极大值b ，也就是函数在[－1,2]上的最大值，∴f (0)＝b ＝3.又f (－1)＝－7a ＋3，f (2)＝－16a ＋3<f (－1)， ∴f (2)＝－16a ＋3＝－29，解得a ＝2.②当a <0时，同理可得，当x ＝0时，f (x )取得极小值b ，也就是函数在[－1,2]上的最小值，∴f (0)＝b ＝－29.又f (－1)＝－7a －29，f (2)＝－16a －29>f (－1)， ∴f (2)＝－16a －29＝3，解得a ＝－2.综上可得，a＝2，b＝3或a＝－2，b＝－29.反思与感悟已知函数在某区间上的最值求参数的值(或范围)是求函数最值的逆向思维，一般先求导数，利用导数研究函数的单调性及极值点，探索最值点，根据已知最值列方程(不等式)解决问题．其中注意分类讨论思想的应用．跟踪训练3 已知函数h(x)＝x3＋3x2－9x＋1在区间[k,2]上的最大值是28，求k的取值范围．考点导数在最值问题中的应用题点已知最值求参数解∵h(x)＝x3＋3x2－9x＋1，∴h′(x)＝3x2＋6x－9.令h′(x)＝0，得x1＝－3，x2＝1，当x变化时，h′(x)，h(x)的变化情况如下表：当x＝－3时，取极大值28；当x＝1时，取极小值－4.而h(2)＝3<h(－3)＝28，如果h(x)在区间[k,2]上的最大值为28，则k≤－3.1．如图所示，函数f (x )导函数的图象是一条直线，则( )A ．函数f (x )没有最大值也没有最小值B ．函数f (x )有最大值，没有最小值C ．函数f (x )没有最大值，有最小值D ．函数f (x )有最大值，也有最小值 考点 导数在最值问题中的应用 题点 最值与极值的综合应用 答案 C解析 由导函数图象可知，函数f (x )只有一个极小值点1， 即f (x )在x ＝1处取得最小值，没有最大值．2．函数f (x )＝x 3－3x ＋1在闭区间[－3,0]上的最大值和最小值分别是( ) A ．1，－1 B ．1，－17 C ．3，－17D ．9，－19考点 利用导数求函数的最值 题点 利用导数求不含参数函数的最值 答案 C解析 f ′(x )＝3x 2－3＝3(x －1)(x ＋1)，令f ′(x )＝0，得x ＝±1.又f (－3)＝－27＋9＋1＝－17，f (0)＝1，f (－1)＝－1＋3＋1＝3,1∉[－3,0]． 所以最大值为3，最小值为－17. 3．函数f (x )＝ln xx的最大值为( )A ．e －1B ．eC ．e 2D.103考点 利用导数求函数的最值 题点 利用导数求不含参数函数的最值 答案 A解析 令f ′(x )＝(ln x )′x －ln x ·x ′x 2＝1－ln xx2＝0， 解得x ＝e.当x >e 时，f ′(x )<0；当0<x <e 时，f ′(x )>0.f (x )极大值＝f (e)＝1e ，且函数在定义域内只有一个极值，所以f (x )max ＝1e.4．函数f (x )＝2x 3－6x 2＋m (m 是常数)在区间[－2,2]上有最大值3，则在区间[－2,2]上的最小值为________．考点 导数在最值问题中的应用 题点 已知最值求参数 答案 －37解析 f ′(x )＝6x 2－12x ＝6x (x －2)，由题意知，在区间[－2,2]上，x ＝0是f (x )的最大值点， ∴f (x )max ＝f (0)＝m ＝3.∵f (－2)＝－16－24＋3＝－37，f (2)＝16－24＋3＝－5， ∴f (x )min ＝－37.5．已知函数f (x )＝ax 3＋bx ＋c 在点x ＝2处取得极值c －16. (1)求a ，b 的值；(2)若f (x )有极大值28，求f (x )在[－3,3]上的最小值． 考点 导数在最值问题中的应用 题点 最值与极值的综合应用解 (1)因为f (x )＝ax 3＋bx ＋c ，故f ′(x )＝3ax 2＋b . 由于f (x )在点x ＝2处取得极值c －16，故有⎩⎪⎨⎪⎧f ′(2)＝0，f (2)＝c －16，即⎩⎪⎨⎪⎧12a ＋b ＝0，8a ＋2b ＋c ＝c －16，化简得⎩⎪⎨⎪⎧12a ＋b ＝0，4a ＋b ＝－8，解得a ＝1，b ＝－12.(2)令f ′(x )＝0，得x 1＝－2，x 2＝2.当x ∈(－∞，－2)时，f ′(x )>0，故f (x )在(－∞，－2)上为增函数； 当x ∈(－2,2)时，f ′(x )<0，故f (x )在(－2,2)上为减函数； 当x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )>0，故f (x )在(2，＋∞)上为增函数．由此可知f (x )在x 1＝－2处取得极大值，f (－2)＝16＋c ，f (x )在x 2＝2处取得极小值，f (2)＝c－16.由题设条件知16＋c＝28得c＝12.此时f(－3)＝9＋c＝21，f(3)＝－9＋c＝3，f(2)＝－16＋c＝－4. 因此，f(x)在[－3,3]上的最小值为f(2)＝－4.1．求函数在闭区间上的最值，只需比较极值和端点处的函数值即可；若函数在一个开区间内只有一个极值，这个极值就是最值．2．已知最值求参数时，可先确定参数的值，用参数表示最值时，应分类讨论.一、选择题1．设M，m分别是函数f(x)在[a，b]上的最大值和最小值，若M＝m，则f′(x)( ) A．等于0 B．小于0C．等于1 D．不确定考点导数在最值问题中的应用题点已知最值求导数答案 A解析因为M＝m，所以f(x)为常数函数，故f′(x)＝0，故选A.2．函数f(x)＝x4－4x(|x|<1)( )A．有最大值，无最小值B．有最大值，也有最小值C．无最大值，有最小值D．既无最大值，也无最小值考点利用导数求函数中参数的取值范围题点最值存在性问题答案 D解析f′(x)＝4x3－4＝4(x－1)(x2＋x＋1)．令f′(x)＝0，得x＝1.又x∈(－1,1)且1∉(－1,1)，∴该方程无解，故函数f(x)在(－1,1)上既无极值也无最值，故选D.3．函数f(x)＝2x＋1x，x∈(0,5]的最小值为( )A．2 B．3C.174D．22＋12考点利用导数求函数的最值题点 利用导数求不含参数函数的最值答案 B解析 由f ′(x )＝1x －1x 2＝32x －1x2＝0，得x ＝1， 且当x ∈(0,1)时，f ′(x )<0，当x ∈(1,5]时，f ′(x )>0，∴当x ＝1时，f (x )最小，最小值为f (1)＝3.4．若函数f (x )＝a sin x ＋13sin 3x 在x ＝π3处有最值，则a 等于( ) A ．2B ．1 C.233 D ．0考点 导数在最值问题中的应用题点 已知最值求参数答案 A解析 ∵f (x )在x ＝π3处有最值， ∴x ＝π3是函数f (x )的极值点． 又∵f ′(x )＝a cos x ＋cos 3x ，∴f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝a cos π3＋cos π＝0，解得a ＝2. 5．已知函数f (x )，g (x )均为[a ，b ]上的可导函数，在[a ，b ]上连续且f ′(x )<g ′(x )，则f (x )－g (x )的最大值为( )A ．f (a )－g (a )B ．f (b )－g (b )C ．f (a )－g (b )D ．f (b )－g (a )考点 利用导数求函数的最值题点 利用导数求不含参数函数的最值答案 A解析 令F (x )＝f (x )－g (x )，∵f ′(x )<g ′(x )，∴F ′(x )＝f ′(x )－g ′(x )<0，∴F (x )在[a ，b ]上单调递减，∴F (x )max ＝F (a )＝f (a )－g (a )．6．已知函数f (x )＝－x 2－2x ＋3在区间[a,2]上的最大值为154，则a 等于( ) A ．－32B.12 C ．－12D.12或－32考点 导数在最值问题中的应用题点 已知最值求参数答案 C解析 由题意知a <2，令f ′(x )＝－2x －2＝0，则x ＝－1.当a ≤－1时，最大值为4，不符合题意．当－1<a <2时，f (x )在[a,2]上是减函数， f (a )最大，－a 2－2a ＋3＝154，解得a ＝－12或a ＝－32(舍去)． 所以a ＝－12. 7．已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2－4在x ＝2处取得极值，若m ，n ∈[－1,1]，则f (m )＋f ′(n )的最小值是( )A ．15B ．－15C ．10D ．－13考点 利用导数求函数的最值题点 利用导数求含参数函数的最值答案 D解析 f ′(x )＝－3x 2＋2ax ，由函数f (x )在x ＝2处取得极值知f ′(2)＝0，即－3×4＋2a ×2＝0，∴a ＝3，由此可得f (x )＝－x 3＋3x 2－4，f ′(x )＝－3x 2＋6x ，易知f (x )在区间[－1,0)上单调递减，在区间(0,1]上单调递增，∴当m ∈[－1,1]时，f (m )min ＝f (0)＝－4.又f ′(x )＝－3x 2＋6x 的图象开口向下，且对称轴为直线x ＝1，∴当n ∈[－1,1]时，f ′(n )min ＝f ′(－1)＝－9.故f (m )＋f ′(n )的最小值为－13.二、填空题8．函数f (x )＝4x x 2＋1(x ∈[－2,2])的最大值是________，最小值是________． 考点 导数在最值问题中的应用题点 最值与极值的综合应用答案 2 －2解析 f ′(x )＝4(x 2＋1)－4x ×2x (x 2＋1)2 ＝4(1－x 2)(x 2＋1)2＝4(1＋x )(1－x )(x 2＋1)2， 令f ′(x )＝0，得x 1＝－1，x 2＝1.由f (－2)＝－85，f (－1)＝－2，f (1)＝2，f (2)＝85， ∴f (x )max ＝2，f (x )min ＝－2.9．已知函数f (x )＝－23x 3＋2ax 2＋3x (a >0)的导数f ′(x )的最大值为5，则在函数f (x )图象上的点(1，f (1))处的切线方程是________．考点 导数在最值问题中的应用题点 已知最值求参数答案 15x －3y －2＝0解析 ∵f ′(x )＝－2x 2＋4ax ＋3＝－2(x －a )2＋3＋2a 2，∴f ′(x )max ＝3＋2a 2＝5，∵a >0，∴a ＝1.∴f ′(x )＝－2x 2＋4x ＋3， f ′(1)＝－2＋4＋3＝5.又f (1)＝－23＋2＋3＝133， ∴所求切线方程为y －133＝5(x －1)． 即15x －3y －2＝0.10．函数f (x )＝12e x (sin x ＋cos x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的值域为________． 考点 利用导数求函数的最值题点 利用导数求不含参数函数的最值答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，12π2e 解析 f ′(x )＝12e x (sin x ＋cos x )＋12e x (cos x －sin x )＝e x cos x ， 当0≤x ≤π2时，f ′(x )≥0， 所以f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上是增函数， 故f (x )的最大值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝12π2e ，f (x )的最小值为f (0)＝12. 11．已知y ＝f (x )是奇函数，当x ∈(0,2)时，f (x )＝ln x －ax ⎝ ⎛⎭⎪⎫a >12，当x ∈(－2,0)时，f (x )的最小值为1，则a 的值为________．考点 导数在最值问题中的应用题点 已知最值求参数答案 1解析 由题意知，当x ∈(0,2)时，f (x )的最大值为－1.令f ′(x )＝1x －a ＝0，得x ＝1a， 当0<x <1a时，f ′(x )>0； 当x >1a时，f ′(x )<0. ∴f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝－ln a －1＝－1， 解得a ＝1.12．已知函数f (x )＝e x－2x ＋a 有零点，则a 的取值范围是__________．考点 利用导数求函数中参数的取值范围题点 最值与零点问题答案 (－∞，2ln 2－2]解析 由题意知e x －2x ＋a ＝0有根，即a ＝2x －e x ，令g (x )＝2x －e x ，则g ′(x )＝2－e x ，令g ′(x )＝0，解得x ＝ln 2.而g (x )在(－∞，ln 2)上单调递增，在(ln 2，＋∞)上单调递减，∴g (x )max ＝2ln 2－eln 2＝2ln 2－2，∴a ≤2ln 2－2.三、解答题13．已知函数f (x )＝a ln x －bx 2，a ，b ∈R ，且曲线y ＝f (x )在x ＝1处与直线y ＝－12相切． (1)求a ，b 的值； (2)求f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 上的最大值． 考点 利用导数求函数的最值题点 利用导数求不含参数函数的最值解 (1)f ′(x )＝a x－2bx .由曲线y ＝f (x )在x ＝1处与直线y ＝－12相切， 得⎩⎪⎨⎪⎧f ′(1)＝0，f (1)＝－12，即⎩⎪⎨⎪⎧ a －2b ＝0，－b ＝－12，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，b ＝12. (2)由(1)，得f (x )＝ln x －12x 2，定义域为(0，＋∞)． f ′(x )＝1x－x ＝1－x 2x . 令f ′(x )>0，得0<x <1，令f ′(x )<0，得x >1，所以f (x )在⎣⎢⎡⎭⎪⎫1e ，1上单调递增，在(1，e]上单调递减， 所以f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 上的最大值为f (1)＝－12. 四、探究与拓展14．已知函数f (x )＝13x 3－x 2－x ＋m 在[0,1]上的最小值为13，则实数m 的值为________． 考点 导数在最值问题中的应用题点 已知最值求参数答案 2解析 由f (x )＝13x 3－x 2－x ＋m ， 可得f ′(x )＝x 2－2x －1，令x 2－2x －1＝0，可得x ＝1± 2.当x ∈(1－2，1＋2)时，f ′(x )<0，即函数f (x )在(1－2，1＋2)上是减函数，即f (x )在[0,1]上为减函数，故f (x )在[0,1]上的最小值为f (1)，所以13－1－1＋m ＝13，解得m ＝2.15．已知函数f (x )＝ln x ＋a x .(1)当a <0时，求函数f (x )的单调区间；(2)若函数f (x )在[1，e]上的最小值是32，求a 的值． 考点 导数在最值问题中的应用题点 已知最值求参数解 函数f (x )＝ln x ＋a x的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x －a x 2＝x －a x 2， (1)∵a <0，∴f ′(x )>0，故函数在其定义域(0，＋∞)上单调递增．(2)当x ∈[1，e]时，分如下情况讨论：①当a <1时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增，其最小值为f (1)＝a <1，这与函数在[1，e]上的最小值是32相矛盾； ②当a ＝1时，函数f (x )在[1，e]上单调递增，其最小值为f (1)＝1，同样与最小值是32相矛盾；③当1<a <e 时，函数f (x )在[1，a )上有f ′(x )<0，f (x )单调递减，在(a ，e]上有f ′(x )>0，f (x )单调递增，所以，函数f (x )的最小值为f (a )＝ln a ＋1，由ln a ＋1＝32，得a ＝ e. ④当a ＝e 时，函数f (x )在[1，e]上有f ′(x )≤0，f (x )单调递减，其最小值为f (e)＝2，这与最小值是32相矛盾； ⑤当a >e 时，显然函数f (x )在[1，e]上单调递减，其最小值为f (e)＝1＋a e>2，仍与最小值是32相矛盾； 综上所述，a 的值为 e.。
函数的最大(小)值与导数(上课用)
[解析] 存在． 显然a≠0，f′(x)＝3ax2－12ax. 令f′(x)＝0，得x＝0或x＝4(舍去)． (1)当a>0时，x变化时，f′(x)，f(x)变化情况如 下表：
2.函数y=f(x)在区间［a,b］上的最大值是M，最小值是 m,若M=m,则f (x) ( A )
A.等于0 B.大于0 C.小于0
D.以上都有可能
堂上练习
3.函数y 1 x4 1 x3 1 x2,在-1,1上最小值为 A
432
A.0 B. 2 C. 1
D. 13 12
4.函数y 2x x2 的最大值为( A ) x 1
A. 3
B.1 C. 1
D. 3
3
2
2
堂上练习
5. 函 数 y=2x3 － 3x2 － 12x+5 在 ［ 0 ， 3 ］ 上 的 最 小 值 是
______-_1_5___.
6.函数 f (x)=sin2x－x在［－
2
,
最小值为_____2__.
2 ］上的最大值为___2__；
7.将正数a分成两部分，使其立方和为最小，这两部分应分
aa
成___2___和__2____.
课外练习：
例练习题12：：已知函数f (x) 2x3 6x2 a在2，2上有最小值 37 1求实数a的值； 2求f (x)在2，2上的最大值。
解:(1）f (x) 6x2 12x 令f (x) 0解得x 0或x 2