函数的最值与导数 公开课

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提炼升华
一般地，求函数y=f(x)在区间[a, b]上的最 大值与最小值的步骤如下： (1) 求函数y=f(x)在开区间(a,b)内的极值；
(2) 计算端点处的函数值f(a), f(b)并将其与函 数y=f(x)的各极值比较，其中最大的一个是最 大值，最小的一个是最小值。
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讲授新课
观察区间[a,b]上函数y=f (x)的图象，你能找出它的极大值和极 小值吗？你能找出它的最大值，最小值吗？
y
极大值：f (x2)，f (x4)，f (x6) 极小值：f (x1)，f (x3)，f (x5) 最大值：f (a) 最小值：f (x3)
o
a x1 x 2
x3
x4
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课堂小结
1.规律总结；
2.函数存在最值的的条件;
3.一般地，求函数y=f(x)在区间[a, b]上的最大值 与最小值的步骤.
一般地，如果在闭区间[a，b]上函数y=f(x)的图像是一条连续 不断的曲线，那么它必定有最大值和最小值。
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课堂小结
1.规律总结；
2.函数存在最值的的条件;
1.3.3 函数的最大(小)值与导数
高二数学 李珂珂
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复旧知新
问题一：函数极值相关概念
（1）若函数y=f(x)在点x=b的函数
值f(b)比它在点x=b附近其他点的函 数值都小，满足f '(b)=0且在点x=b
f(b)
y
a
b 0 f(a)
x
附近的左侧f '(x)>0,右侧f '(x)<0,则
3.一般地，求函数y=f(x)在区间[a, b]上的最大值 与最小值的步骤.
(1) 求函数y=f(x)在开区间(a,b)内的极值； (2) 计算端点处的函数值f(a), f(b)并将其与函数y=f(x)的各极值 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。
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布置作业
作业： 课本P31页：练习 （2）（4）题 练习册： 课时作业（9）
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谢谢指导!
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课堂小结
1.规律总结；
2.函数存在最值的的条件;
3.一般地，求函数y=f(x)在区间[a, b]上的最大值 与最小值的步骤.
（1）函数的最值是比较某个区间内的所有函数值得到的，是整 体概念； （2）从个数上看，一个函数若有最大值或最小值，则至多只有 一个最大值或最小值； （3）最值可能在极值点取得，也可能在端点处取得。
典例精讲 例 2.求函数f(x)=48x-x3在区间[-3, 5]上的最值。
解：f'(x)=48-3x2= -3(x2-16)= -3(x-4)(x+4) 令 f'(x)=0，得 x=4或 x= -4（舍）
当-3< x < 4时，f'(x) >0，函数单调递增；
当4< x <5时，f'(x)<0，函数单调递减；
把点b叫做函数y=f(x)的极大值点， f(b)叫做函数y=f(x)的极大值。
（2）若函数y=f(x)在点x=a的函数值f(a)比它在点x=a附近其他点的 函数值都小,满足f '(a)=0且在点x=a附近的左侧f '(x)<0,右侧f '(x)>0, 则把点a叫做函数y=f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y=f(x)的极小值。
y y=f(x) y y=f(x)
y=f(x)
o a
x
b y=f(x) o a b x o a b x
y结论xFra biblioteko ab
在开区间内的连续函 数不一定有最大值与最小 值。 若有最值，一定在极值点 处取得。
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性质探究
探究问题2：闭区间上的最值问题
如图，观察[a，b]上的函数y=f(x)的图像，它们在[a，b]上有 最大值、最小值吗？如果有，最大值和最小值分别是什么？ y=f(x) y y=f(x) y
所以当x=4 时，函数取得极大值，且极大值 f (4)=128； 又 f (-3)= -117, f (5)=115 所以函数在区间[-3, 5] 上最大值为 128，最小值为 117.
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巩固练习
求函数f(x)=2x3-3x2-12x+5在区间[-2, 1]上的最值 解：
f'(x)=6x2-6x-12=6（x2-x-2）=6(x-2)(x+1)， 令 f'(x)=0，得 x=-1或 x=2（舍） 当-2< x < -1时，f'(x)>0，函数单调递增； 当-1< x <1时，f'(x)<0，函数单调递减； 所以当x= -1时，函数取得极大值，且极大值f (-1)=12； 又 f (-2)=1, f (1)=-8 所以函数在区间[-2, 1] 上最大值为 12,最小值为 -8
x5
x6
b
x
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规律总结
最值特点：
（1）函数的最值是比较某个区间内的所有函数值得到的，是整体
概念；
（2）从个数上看，一个函数若有最大值或最小值，则至多只有一 个最大值或最小值； （3）最值可能在极值点取得，也可能在端点处取得。
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性质探究
y
探究问题1：开区间上的最值问题
如图，观察（a，b）上的函数y=f(x)的图像，它们在（a，b）上 有最大值、最小值吗？如果有，最大值和最小值在什么位置取到？
o a o b x a x1 x2 x3 x4 b x
一般地，如果在闭区间[a，b]上函数y=f(x) 的图像是一条连续不断的曲线，那么它必定有 最大值和最小值。
结论
特别地，若函数y=f(x)在区间[a，b]上是单 调函数，则最值则在端点处取得。
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牛刀小试
例1 .给出下列说法：
（1）函数在其定义域内若有最值与极值，则其极大 值便是最大值，极小值便是最小值。 （2）在闭区间上的函数一定有最大值和最小值。 （3）若函数在其定义域上有最值，则一定有极值； 反之，若有极值，则一定有最值。 （4）若函数在给定的区间上有最值，则最多有一个 最大值，一个最小值；若函数有极值，则可有多个极 值。 其中说法正确的有（ (4) ）
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复旧知新
问题二：一般地，求函数y=f(x)的极值的方法是什么？
解方程f '(x) =0。当f '(x0) =0时： （1）如果在x0附近 的左侧 f '(x) >0 ，右侧 f '(x)<0 ,那么f
(x0)是极大值；
（2）如果在x0附近 的左侧 f '(x)<0，右侧 f '(x) >0 ,那么f (x0)是极小值；