函数的最值与导数PPT课件
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3.3.3函数的最大(小)值与导数 课件
函数最值的逆向问题 例 2 已知函数 f(x)＝ax3－6ax2＋b，问是否存在实数 a、 b，使 f(x)在[－1,2]上取得最大值 3，最小值－29？若存在， 求出 a，b 的值；若不存在，请说明理由．
[分析] 函数最值的逆向问题，通常是已知函数的最值 求函数关系式中字母的值的问题．解决时应利用函数的极 值与最值相比较，综合运用求极值、最值的方法确定系数 的方程(组)，解之即可．
所以 f(x)在(0，12)，(2，＋∞)内是增函数，在(－∞，0)，(12，
2)内是减函数．
(2)由条件 a∈[－2,2]可知 Δ＝9a2－64<0，从而 4x2＋3ax ＋4>0 恒成立．
当 x<0 时，f′(x)<0；当 x>0 时，f′(x)>0. 因此函数 f(x)在[－1,1]上的最大值是 f(1)与 f(－1)两者中 的较大者．
2．函数 y＝|x－1|，下列结论正确的是( ) A．y 有极小值 0，且 0 也是最小值 B．y 有最小值 0，但 0 不是极小值 C．y 有极小值 0，但 0 不是最小值 D．因为 y 在 x＝1 处不可导，所以 0 既非最小值也非极 值
解析：最小值与极小值定义的应用．故选 A. 答案：A
3．函数 f(x)＝x(1－x2)在[0,1]上的最大值为( )
当 a＝－130时，f′(x)＝x(4x2－10x＋4)＝2x(2x－1)(x－2)．
令 f′(x)＝0，解得 x1＝0，x2＝12，x3＝2.
当 x 变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x (－∞，0)
0
(0，12)
1 2
(12，2)
2
(2，＋∞)
f′(x) －
0
3.3导数与函数的极值最值课件高三数学一轮复习2
提醒：(1)极值反映了函数在某一点附近的大小情况，刻画的是函数的局部性质．极 值点是函数在区间内部的点，不会是端点．
(2)对于可导函数f(x)，f ′(x0)＝0是函数f(x)在x＝x0处有极值的必要不充分条件． 例如f(x)＝x3，f′(0)＝0，但x＝0不是极值点． (3)极大值(或极小值)可能不止一个，可能没有，极大值不一定大于极小值．
提醒：(1)极值是一个局部性概念，反映的是函数在某个点附近的大小情况，并不意 味它在函数的整个定义域内最大或最小；最值是一个整体性的概念，函数的最值是比较 某个区间内的所有函数值得出的．
(2)若函数在开区间(a，b)内的极值点只有一个，则相应极值点为函数最值点． (3)若函数在闭区间[a，b]的最值点不是端点，则最值点必为极值点． (4)连续函数的极值个数不确定，而函数在某一闭区间上的最大和最小值是唯一的．
②若 a<0，要使函数 f(x)在 x＝a 处取得极大值，则需 f(x)在a＋32b，a上单调递增，在 (a，＋∞)上单调递减，此时需满足 a>a＋32b，得 b<a<0，∴a2<ab.
综上可知，a2<ab，故选 D.
3．(角度 2)已知函数 f(x)＝x3＋6lnx，f ′(x)为 f(x)的导函数．求函数 g(x)＝f(x)－f ′(x) ＋9的单调区间和极值．
3 值点，则实数 a 的取值范围是____－__∞__，__－__14_∪___14_，__＋__∞__ ___．
【解析】
(1) 因 为
f′(x)
＝
3x2
＋
6mx
＋
n
，
由
题
有
f′－1＝0， f－1＝0，
即
3－6m＋n＝0， －1＋3m－n＋m2＝0，
2025年高考数学总复习课件23第三章第二节第2课时导数与函数的极值、最值
当a>0时，令f ′(x)＝0，得x＝1a.
当x∈
0，
1
a
时，f ′(x)>0，函数f (x)单调递增；
当x∈
1
a
，+∞
时，f ′(x)<0，函数f (x)单调递减，
故函数f (x)在x＝1a处取得极大值，无极小值．
综上可知，当a≤0时，函数f (x)无极值点；当a>0时，f (x)有一个极大值点1a，无
必备知识 落实“四基”
核心考点 提升“四能”
课时质量评价
(2)讨论函数f (x)在定义域内极值点的个数．
解：由(1)知函数f (x)的定义域为(0，＋∞)，f ′(x)＝1x－a＝1－xax(x>0)．
当a≤0时，f ′(x)>0在(0，＋∞)上恒成立，即函数f (x)在(0，＋∞)上单调递增，
此时函数在定义域上无极值点．
y′>0，解得x<－7或x>1；令y′<0，解得－7<x<1，所以函数y＝13x3＋(a＋1)x2－(a2 ＋3a－3)x在(－∞，－7)，(1，＋∞)上单调递增，在(－7，1)上单调递减，所以x ＝1是函数的极小值点，符合题意．若a＝－3，则y′＝x2－4x＋3.令y′>0，解得
x<1或x>3；令y′<0，解得1<x<3，所以函数y＝13x3＋(a＋1)x2－(a2＋3a－3)x在(－ ∞，1)，(3，＋∞)上单调递增，在(1，3)上单调递减，所以x＝1是函数的极大值 点，不符合题意．
A 解析：f ′(x)＝(x－c)2＋2x(x－c)＝(x－c)·(3x－c)，
由题知f ′(2)＝(2－c)(6－c)＝0，所以c＝2或c＝6.
导数与函数的极值、最值课件-2025届高三数学一轮复习
处的切线方程为y= x+b(其中a,b∈R,e是自然对数的底数),则
3
27e
f(x)在区间[-3,3]上的最大值为
,最小值为 0
解析:由 f(x)=
得 f′(x)=
- -
( )
=
依题可得f′(1)= = ,所以a=3.
故 f(x)=
.
考点二
利用导数解决函数的最值问题
[例4] (2024·江苏苏州模拟)已知函数f(x)=xln x-a(x-1),求函
数f(x)在区间[1,e]上的最小值.
解:f(x)=xln x-a(x-1),则f′(x)=ln x+1-a,
①当ea-1≤1,即a≤1时,x∈[1,e],
则f′(x)≥0,f(x)在[1,e]上单调递增,
所以Δ=(-2a)2-4×3×2>0,
解得 a> 或 a<- .
提升·关键能力
类分考点,落实四翼
考点一
利用导数解决函数的极值问题
角度一
根据函数图象判断函数极值
[例1] (多选题)(2024·重庆检测)函数y=f(x)的导函数y=f′(x)
的图象如图所示,则(
)
A.-3是函数y=f(x)的极值点
可知-3是函数y=f(x)的极值点,所以A正确;
因为函数y=f(x)在(-3,1)上单调递增,
可知-1不是函数y=f(x)的极小值点,-2也不是函数y=f(x)的极大值
点,所以B错误,C正确,D错误.故选AC.
由图象判断函数y=f(x)的极值,要抓住两点
(1)由y=f′(x)的图象与x轴的交点的横坐标,可得函数y=f(x)的可
2019-2020学年人教A版选修2-2 函数的最大(小)值与导数 课件(50张)
这些命题中，真命题的个数是________． 【解析】 ②③正确． 【答案】 2
(2)[a，b]上连续不断的函数 f(x)在(a，b)上满足 f′(x)＞0，则 f(a)是函数的最______值，f(b)是函数的最______值．
【答案】 小，大
题型二 闭区间上函数的最值
例 2 求下列函数的最大值和最小值． ππ
y′
＋
0
－
0＋
y －2
2
－2
2
由上表知 f(x)最大值为 2.
【答案】 C
x－1 (2)求 y＝ ，x∈[0，4]的最大值和最小值．
x2＋1 【解析】 y′＝－（xx2＋2＋21x）＋21，
令 y′＝0，得 x＝1＋ 2和 x＝1－ 2(舍)． 又 f(0)＝－1，f(4)＝137，f(1＋ 2)＝ 22－1， ∴ymax＝ 22－1，ymin＝－1.
x f′(x)
f(x)
π －2
π 2
ππ (－ 2 ，－ 6 )
π －6
－
0
π－3 3 6
ππ (－ 6 ， 6 )
＋
π x
6
f′(x)
0
3 3－π f(x)
6
ππ (6，2)
－
π 2
π －2
π
π
从上表可知，最大值为 2 ，最小值为－ 2 .
(2)f′(x)＝3x2－3，令 f′(x)＝0，得 x＝±1. ∵f(－3)＝(－3)3－3×(－3)＋3＝－15， f(－1)＝(－1)3－3×(－1)＋3＝5， f(1)＝13－3×1＋3＝1， f(32)＝(32)3－3×32＋3＝185， ∴函数的最大值是 5，最小值是－15.
互动 2 函数的最大(小)值可以有多个吗？最大(小)值点 呢？
(2)[a，b]上连续不断的函数 f(x)在(a，b)上满足 f′(x)＞0，则 f(a)是函数的最______值，f(b)是函数的最______值．
【答案】 小，大
题型二 闭区间上函数的最值
例 2 求下列函数的最大值和最小值． ππ
y′
＋
0
－
0＋
y －2
2
－2
2
由上表知 f(x)最大值为 2.
【答案】 C
x－1 (2)求 y＝ ，x∈[0，4]的最大值和最小值．
x2＋1 【解析】 y′＝－（xx2＋2＋21x）＋21，
令 y′＝0，得 x＝1＋ 2和 x＝1－ 2(舍)． 又 f(0)＝－1，f(4)＝137，f(1＋ 2)＝ 22－1， ∴ymax＝ 22－1，ymin＝－1.
x f′(x)
f(x)
π －2
π 2
ππ (－ 2 ，－ 6 )
π －6
－
0
π－3 3 6
ππ (－ 6 ， 6 )
＋
π x
6
f′(x)
0
3 3－π f(x)
6
ππ (6，2)
－
π 2
π －2
π
π
从上表可知，最大值为 2 ，最小值为－ 2 .
(2)f′(x)＝3x2－3，令 f′(x)＝0，得 x＝±1. ∵f(－3)＝(－3)3－3×(－3)＋3＝－15， f(－1)＝(－1)3－3×(－1)＋3＝5， f(1)＝13－3×1＋3＝1， f(32)＝(32)3－3×32＋3＝185， ∴函数的最大值是 5，最小值是－15.
互动 2 函数的最大(小)值可以有多个吗？最大(小)值点 呢？
4.3导数与函数的极值最值课件高三数学一轮复习
【解析】选AC.根据导函数的图象可知, 当x∈(-∞,-3)时,f'(x)<0,当x∈(-3,1)时,f'(x)≥0, 所以函数y=f(x)在(-∞,-3)上单调递减,在(-3,1)上单调递增, 可知-3是函数y=f(x)的极值点,所以A正确. 因为函数y=f(x)在(-3,1)上单调递增, 可知-1不是函数y=f(x)的极小值点,-2也不是函数y=f(x)的极大值点,所以B错误,C 正确,D错误.
条
件
在点x=x0附近的左侧f'(x)>0,
右侧f'(x)<0
f'(x0)=0 在点x=x0附近的左侧f'(x)<0, 右侧f'(x)>0
图象
极值 极值点
f(x0)为极_大___值 x0为极_大___值点
f(x0)为极_小___值 x0为极_小___值点
微点拨 ①函数的极大值和极小值都可能有多个,极大值和极小值的大小关系不 确定. ②对于可导函数f(x),“f'(x0)=0”是“函数f(x)在x=x0处有极值”的必要不充分条件.
【解析】选D.由题图知,当x∈(-∞,-3)时,y>0,x-1<0⇒f'(x)<0,f(x)单调递减; 当x∈(-3,1)时,y<0,x-1<0⇒f'(x)>0,f(x)单调递增; 当x∈(1,3)时,y>0,x-1>0⇒f'(x)>0,f(x)单调递增; 当x∈(3,+∞)时,y<0,x-1>0⇒f'(x)<0,f(x)单调递减. 所以函数有极小值f(-3)和极大值f(3).
x
(0,2)
2
(2,+∞)
人教A版高中数学选修1-1课件-函数的最大(小)值与导数
∴当 x＝－23时， f(x)有极大值2227＋c. 又 f(－1)＝12＋c，f(2)＝2＋c， ∴当 x∈[－1,2]时， f(x)的最大值为 f(2)＝2＋c. ∵当 x∈[－1,2]时， f(x)<c2 恒成立． ∴c2>2＋c，解得 c<－1 或 c>2， ∴c 的取值范围是(－∞，－1)∪(2，＋∞)．
[解析] (1)解：f′(x)＝－ax2＋2eax－1x＋2，f′(0)＝2. 因此曲线 y＝f(x)在(0，－1)处的切线方程是 2x－y－1＝0. (2)证明：当 a≥1 时，f(x)＋e≥(x2＋x－1＋ex＋1)e－x. 令 g(x)＝x2＋x－1＋ex＋1，则 g′(x)＝2x＋1＋ex＋1. 当 x<－1 时，g′(x)<0，g(x)单调递减； 当 x>－1 时，g′(x)>0，g(x)单调递增． 所以 g(x)≥g(－1)＝0.因此 f(x)＋e≥0.
4．函数 f(x)＝sin x＋cos x 在 x∈[－2π，π2]上的最大值为___2___，最小值为 ___－__1__.
[解析] f′(x)＝cos x－sin x， 令 f′(x)＝0，即 cos x＝sin x， ∵x∈[－π2，2π]，∴x＝4π. f(4π)＝ 2，f(－2π)＝－1，f(2π)＝1， ∴f(x)在区间[－2π，π2]上的最大值为 2，最小值为－1.
[思路分析] 本题主要考查导数的几何意义，极值的逆用和不等式的恒成立问题，求解第(2)小题的关 键是求出函数f(x)在[－1,2]上的最大值．
[解析] (1)f′(x)＝3x2－x＋b, f(x)的图象上有与 x 轴平行的切线，则 f′(x)＝ 0 有实数解，
即方程 3x2－x＋b＝0 有实数解， ∴Δ＝1－12b≥0，解得 b≤112. 故 b 的取值范围为(－∞，112]．
导数与函数的极值、最值课件-2025届高三数学一轮复习
1．设f(x)为R 上的奇函数，当x≥0时，f′(x)－cos x<0，则不等式f(x)<sin x的解集为 ________． 解析：令φ(x)＝f(x)－sin x，当x≥0时，φ′(x)＝f′(x)－cos x<0，∴φ(x)在 [0，＋∞)上单调递减，又f(x)为R上的奇函数，∴φ(x)为R上的奇函数，∴φ(x)在 (－∞，0]上单调递减，故φ(x)在R 上单调递减且φ(0)＝0，不等式f(x)<sin x可化为 f(x)－sin x<0，即φ(x)<0，即φ(x)<φ(0)，故x>0，∴原不等式的解集为(0，＋∞)． 答案：(0，＋∞)
分别是________，g(x)在(1,2)上的最小值和最大值________．
[记结论] 1．对于可导函数f(x)，f′(x0)＝0是函数f(x)在x＝x0处有极值的必要不充分 条件．
2．若函数f(x)的图象连续不断，则f(x)在[a，b]上一定有最值． 3．若函数f(x)在[a，b]上是单调函数，则f(x)一定在区间端点处取得最值． 4．若函数f(x)在区间(a，b)内只有一个极值点，则相应的极值点一定是函数 的最值点．
4 27
．若f(x)在(a－1，a＋3)上存在极大值，则a
的取值范围是________．
1．已知函数极值，确定函数解析式中的参数时，要注意根据极值点的导数 为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解．
2．导数值为0不是此点为极值点的充要条件，所以用待定系数法求解后必 须检验．
2．设 f(x)＝2x3＋ax2＋bx＋1 的导数为 f′(x)，若函数 y＝f′(x)的图象关于直
考向1 根据函数图象判断函数极值
(2022·郑州模拟)设函数f(x)在R 上可导，其导函数为
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最小值为 5 2 7
小结
求f(x)在闭区间[a,b]上的最值的步骤
(1) 求f(x)在区间(a,b)内极值(极大值或极小值) (2) 将y=f(x)的各极值与f(a)、f(b)(端点处)
比较,其中最大的一个为最大值，最小的
一个最小值.
练习
1、已知函数 f ( x) x3 3 x a, x [2,3] (1)求 f ( x ) 的极值 (2)当 a 在什么范围内取值时，曲线 y f ( x ) 与 x 轴总有交点
2 解:(1) f ( x) 3 x 6 x 9 令f ( x ) 0 即 3 x 2 6 x 9 0
解得:x 1或x 3 (3, ) 所以函数的单调减区间为 (, 1)，
(2) f ( x) 3 x 2 6 x 9
令 f ( x ) 0 解得 x 1或x 3 （舍去）
当 x 变化时,y, y 的变化情况如下表:
x 2 (2, 1) f ( x ) -f ( x) 2 a
↘
1
0 极小值 5 a
( 1, 2)
2
↗ 22 a
5 a 所以函数的最大值为 f (2) 22 a ,最小值为
22 a 20
即a 2
y
y
x0 o x 左正右负极大
o x x0 左负右正极小
x0 o x 左右同号无极值
复习
用导数法求解函数极值的步骤：
(1) 求导函数fˊ(x)； (2) 求解方程fˊ(x)=0； (3) 检查fˊ(x)在方程fˊ(x)=0的根的左右
的符号，并根据符号确定极大值与极小值
.
口诀：左负右正为极小，左正右负为极大.
2 a 0 18 a 0 即 2 a 18
练习
2、求函数f (x)=3x-x3 在区间 [-3，3] 内的最大值和最小值.
注： 求函数最值的一般方法
一.是利用函数性质
二.是利用不等式 三.是利用导数课后Βιβλιοθήκη 业课本32页第6 题
(1)(2)(3)
总结：一般地，如果在区间[a，b]上函数f（x）的图像 是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值。如 何求最值？ 只要把连续函数的所有极值与端点的函数值进行比较，就 可求最大值、最小值
应用
1 3 例1、求函数 y x 4 x 4 在区间 [0, 3] 上的最大 3 值与最小值。 解: y x 2 4 令 y 0,解得 x 2或x 2 （舍去） 当x 变化时, y, y 的变化情况如下表: x 0 (0, 2) (2, 3) 3 2 f ( x ) － ＋ 0 4 f ( x) 4 ↘ 1 极小值 ↗ 3
新课
求函数最值
1)在某些问题中，往往关心的是函数在整个 定义域区间上，哪个值最大或最小的问题这就 是我们通常所说的最值问题. 2)在闭区间[a,b]上的函数y=f(x)的图象是 一条连续不断的曲线,则它必有最大值和最小 f(x3) y 值. f( x ) f(b)
1
a x1
g
f(a)
x2
0
g
x4 x3 b x
所以函数的极大值为 2 a，极小值为 2 a
(2) 由（1）可知，函数在区间 [2, 3] 上的极大值 为 2 a ，极小值为 2 a ，又因 f ( 2) 2 a ， f (3) 18 a
所以函数的最大值为 2 a ，最小值为 18 a 曲线 y f ( x ) 与 x 轴总有交点
又由于
f (0) 4 , f (3) 1
4 函数在区间 [0, 3] 上最大值为 4 ,最小值为 3
应用 3 2 f ( x ) x 3 x 9 x a, 例2：已知函数
(1)求f ( x ) 的单调减区间 (2)若f ( x ) 在区间[2, 2] 上的最大值为 20 , 求该区间上的最小值
2 (1) f ( x ) 3 x 3 令 f ( x ) 0 解得 x 1或x 1 解: 当 x变化时,f ( x ), f ( x ) 的变化情况如下表:
x (2, 1) 1 ( 1,1) 1 (1, 3) f ( x ) 0 + -0 -极大值 极小值 f ( x ) ↘ 2 a ↗ 2 a ↘
f(x2)
y y=f(x) o y y=f(x)
y
y=f(x)
a
b x
o a
y y=f(x)
b
x
o
a
b x
o a
b x
归纳结论：
（1）函数f（x）的图像若在开区间（a，b）上是连续不 断的曲线，则函数f（x）在（a，b）上不一定有最大值或 最小值；函数在半开半闭区间上的最值亦是如此
（2）函数f（x）若在闭区间[a，b]上有定义，但有 间断点，则函数f（x）也不一定有最大值或最小值
函数的最值与导数
复习
1、导数与单调性的关系
(1) f ( x ) 0 f ( x )为单调递增函数 (2) f ( x ) 0 f ( x )为单调递减函数
(3) x0为极值点 f ( x0 ) 0
2.极值的判定
(1) (2) (3)
y
f ( x ) 由正变负,那么 x0是极大值点; f ( x ) 由负变正,那么 x0是极小值点; f ( x ) 不变号,那么 x0 不是极值点。