函数的极值与导数ppt课件
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高中数学选修1课件1-3.3.2函数的极值与导数
4 e2
单调递减
因此，x＝0 是函数 f(x)的极小值点，极小值为 f(0)＝0；x＝2
是函数 f(x)的极大值点，极大值为 f(2)＝e42.
状元随笔
(1)求函数极值时要遵循定义域优先的原则，如第(1)小题，若 忽略了定义域，则列表时易将区间(0，e)错写成区间(－∞，e)．(2) 求函数的极值时，先确定导数值为零的点，然后根据极值的定义求 解．
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x) 单调递增 16 单调递减 －16 单调递增
从表中可以看出，当 x＝－2 时，函数有极大值 f(－2)＝16.
当 x＝2 时，函数有极小值 f(2)＝－16.
(2)函数 f(x)的定义域为 R，
f′(x)＝2x2x＋2＋11－24x2＝－2x－x21＋1x＋2 1.
令 f′(x)＝0，得 x＝－1 或 x＝1.
因为 y＝ln x 在(0，＋∞)内单调递增，y＝1x在(0，＋∞)内单调 递减，所以 f′(x)单调递增．
又 f′(1)＝－1<0，f′(2)＝ln 2－12＝ln 42－1>0， 故存在唯一 x0∈(1,2)，使得 f′(x0)＝0. 又当 x<x0 时，f′(x)<0，f(x)单调递减； 当 x>x0 时，f′(x)>0，f(x)单调递增． 因此，f(x)存在唯一的极值点．
A．1，－3 B．1,3 C．－1,3 D．－1，－3
解析：∵f′(x)＝3ax2＋b，∴f′(1)＝3a＋b＝0.① 又当 x＝1 时有极值－2，∴a＋b＝－2.② 联立①②解得ab＝ ＝1－，3. 答案：A
4．函数 y＝3x3－9x＋5 的极大值为________.
《函数的极值和导数》课件
Part
05
导数的计算方法
导数的四则运算规则
01
加法法则
$(uv)' = u'v + uv'$
02
减法法则
$(u-v)' = u'-v'$
03
乘法法则
$(uv)' = u'v + uv'$
04
除法法则
$left(frac{u}{v}right)' = frac{u'v-uv'}{v^2}$
复合函数的导数计算
最小成本问题
总结词
利用极值理论寻找最小成本
详细描述
在生产和经营活动中，也常常需要寻求最小成本。通过建立数学模型，利用函数的极值和 导数，可以找到使得成本最小的生产量、原材料采购量等决策变量。
实例
某公司需要采购原材料，每次采购的成本包括固定成本5万元和变动成本与采购量的比例 系数0.1万元/单位。求该公司的最小总成本。通过建立函数并求导，可以找到使得总成本 最小的采购量。
Part
03
极值在实际问题中的应用
最大利润问题
01
总结词
利用极值理论寻找最大利润
02 03
详细描述
在生产和经营活动中，常常需要寻求最大利润。通过建立数学模型，利 用函数的极值和导数，可以找到使得利润最大的生产量、价格等决策变 量。
实例
某公司生产一种产品，其固定成本为100万元，每生产一个单位的产品 ，成本为2万元，售价为5万元。求该公司的最大利润。通过建立函数并 求导，可以找到使得利润最大的产量。
Part
04
导数的几何意义
导数在平面上的表示
切线斜率
导数与函数的极值、最值课件-2025届高三数学一轮复习
处的切线方程为y= x+b(其中a,b∈R,e是自然对数的底数),则
3
27e
f(x)在区间[-3,3]上的最大值为
,最小值为 0
解析:由 f(x)=
得 f′(x)=
- -
( )
=
依题可得f′(1)= = ,所以a=3.
故 f(x)=
.
考点二
利用导数解决函数的最值问题
[例4] (2024·江苏苏州模拟)已知函数f(x)=xln x-a(x-1),求函
数f(x)在区间[1,e]上的最小值.
解:f(x)=xln x-a(x-1),则f′(x)=ln x+1-a,
①当ea-1≤1,即a≤1时,x∈[1,e],
则f′(x)≥0,f(x)在[1,e]上单调递增,
所以Δ=(-2a)2-4×3×2>0,
解得 a> 或 a<- .
提升·关键能力
类分考点,落实四翼
考点一
利用导数解决函数的极值问题
角度一
根据函数图象判断函数极值
[例1] (多选题)(2024·重庆检测)函数y=f(x)的导函数y=f′(x)
的图象如图所示,则(
)
A.-3是函数y=f(x)的极值点
可知-3是函数y=f(x)的极值点,所以A正确;
因为函数y=f(x)在(-3,1)上单调递增,
可知-1不是函数y=f(x)的极小值点,-2也不是函数y=f(x)的极大值
点,所以B错误,C正确,D错误.故选AC.
由图象判断函数y=f(x)的极值,要抓住两点
(1)由y=f′(x)的图象与x轴的交点的横坐标,可得函数y=f(x)的可
高中数学选修2-2函数的极值与导数课件
B. y=cos2x
C. y=tanx-x
课堂练习
2.曲线y=x4-2x3+3x在点P(-1，0)处的切线的斜率为( B )
A. –5
B. –6
C. –7
D. –8
课堂练习 3. 下列说法正确的是 （ C ）
A. 函数在闭区间上的极大值一定比极小值大 B. 函数在闭区间上的最大值一定是极大值 C. 对于f(x)=x3+px2+2x+1，若|p|<√6，则f(x)无极值 D. 函数f(x)在区间(a,b)上一定存在最值
一般地，求函数y=f(x)的极值的方法是:解方程 f ' x 0 .当 f ' x0 0 时：
x （1）如果在 0 附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么
2如果在x0附近的左侧f ' x 0,右侧 f ' x 0, 那么f x0 是极小值.
f x0
是极大值；
口诀：左负右正为极小，左正右负为极大.
例题讲解
求函数y＝(x2－1)3＋1的极值． 解：定义域为R，y ’＝6x(x2－1)2.由y ’＝0可得x1＝－1，x2＝0，x3＝1 当x变化时，y ’ ，y的变化情况如下表：
当x＝0时，y有极小值，并且y极小值＝0．
课堂练习
1 . 下列函数中，x=0是极值点的函数是（ B )
A. y=-x3 D. y=1/x
人教版高中数学选修2-2
第1章 导数及其应用
函数的极值与导数
课前导入
一般地，函数的单调性与导数的关系： 在某个区间a, b内, 如果f ' x > 0, 那么 函数y = f x在这个区间内单调递增; 如果 f ' x < 0,那么函数 y = f x在这个区间内
函数的极值与导数 课件
互动 1 满足 f′(x0)＝0 的点 x0 是函数 f(x)的极值点吗？ 【解析】 不一定，必须再加上 x0 左右导数的符号相反，才能 断定函数在 x0 处取得极值．
互动 2 函数 y＝f(x)在给定区间(a，b)内一定有极值点吗？ 【解析】 不一定．若函数 y＝f(x)在区间(a，b)内是单调函数， 就没有极值点．
例 2 求下列函数的极值： (1)f(x)＝x3－12x； (2)f(x)＝sinx(1＋cosx)(0<x<2π)；
(3)f(x)＝ 2x －2. x2＋1
【思路分析】
求f（x）的定义域 → 求f′（x） →
解方程f′（x）＝0 → 列表分析 → 结论
【解析】 (1)函数 f(x)的定义域为 R；
思考题 2 求下列函数的极值： (1)f(x)＝x3－3x2－9x＋5； (2)f(x)＝lnxx.
【解析】 (1)f′(x)＝3x2－6x－9.
解方程 3x2－6x－9＝0，得 x＝－1 或 x＝3.
当 x 变化时，f′(x)与 f(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，－1) －1 (－1，3)
3
【解析】 (1)∵f(x)＝2x2－ekxx＋k， ∴f′(x)＝－2x2＋（ke＋x 4）x－2k. ∵f(x)无极值，∴f′(x)≥0 或 f′(x)≤0 恒成立． ∵ex>0，∴f′(x)与 g(x)＝－2x2＋(k＋4)x－2k 同号． ∵g(x)的二次项系数为－2， ∴g(x)≤0 恒成立，令 Δ＝(k＋4)2－16k＝(k－4)2≤0，则 k＝ 4. ∴当 k＝4 时，f(x)无极值．
【解析】 以 d、e 两点为例，y＝f(x)在点 x＝d 处的函数值 f(d)比它在点 x＝d 附近其他点的函数值都小，f′(d)＝0；在 x＝d 的附近的左侧 f′(x)<0，右侧 f′(x)>0.类似地函数 y＝f(x)在点 x ＝e 的函数值 f(e)比它在 x＝e 附近其他点的函数值都大，f′(e) ＝0；在 x＝e 附近的左侧 f′(x)>0，右侧 f′(x)<0.
互动 2 函数 y＝f(x)在给定区间(a，b)内一定有极值点吗？ 【解析】 不一定．若函数 y＝f(x)在区间(a，b)内是单调函数， 就没有极值点．
例 2 求下列函数的极值： (1)f(x)＝x3－12x； (2)f(x)＝sinx(1＋cosx)(0<x<2π)；
(3)f(x)＝ 2x －2. x2＋1
【思路分析】
求f（x）的定义域 → 求f′（x） →
解方程f′（x）＝0 → 列表分析 → 结论
【解析】 (1)函数 f(x)的定义域为 R；
思考题 2 求下列函数的极值： (1)f(x)＝x3－3x2－9x＋5； (2)f(x)＝lnxx.
【解析】 (1)f′(x)＝3x2－6x－9.
解方程 3x2－6x－9＝0，得 x＝－1 或 x＝3.
当 x 变化时，f′(x)与 f(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，－1) －1 (－1，3)
3
【解析】 (1)∵f(x)＝2x2－ekxx＋k， ∴f′(x)＝－2x2＋（ke＋x 4）x－2k. ∵f(x)无极值，∴f′(x)≥0 或 f′(x)≤0 恒成立． ∵ex>0，∴f′(x)与 g(x)＝－2x2＋(k＋4)x－2k 同号． ∵g(x)的二次项系数为－2， ∴g(x)≤0 恒成立，令 Δ＝(k＋4)2－16k＝(k－4)2≤0，则 k＝ 4. ∴当 k＝4 时，f(x)无极值．
【解析】 以 d、e 两点为例，y＝f(x)在点 x＝d 处的函数值 f(d)比它在点 x＝d 附近其他点的函数值都小，f′(d)＝0；在 x＝d 的附近的左侧 f′(x)<0，右侧 f′(x)>0.类似地函数 y＝f(x)在点 x ＝e 的函数值 f(e)比它在 x＝e 附近其他点的函数值都大，f′(e) ＝0；在 x＝e 附近的左侧 f′(x)>0，右侧 f′(x)<0.
《函数的极值与导数》课件
极大值和极小值是极值的 两种分类，取决于导数的 变化情况。
应用示例
求函数的极值
通过求导和分析导数的变化，可以确定函数的极值 点和对应的极值。
求解实际问题
将实际问题转化为数学模型，并通过求导求解极值 来得到最优解。
端点的极值
函数定义域的端点如果存在极值，则称为端点描述函数在某一点处 的变化率，即函数曲线在 该点的切线斜率。
2 导数的意义
导数可以帮助我们分析函 数的变化趋势和特征，以 及确定函数的极值。
3 导数的符号表示
通常用f'(x)、dy/dx或y'来 表示函数f(x)的导数。
2
得到一些常见函数的导数表达式。
利用导数的性质，可以对复杂函数进行
四则运算的求导。
3
导数的链式法则
对复合函数求导时，可以使用链式法则 进行求导。
极值的判定
1 极值的必要条件
函数在极值点处的导数为 零或不存在。
2 极值的充分条件
当函数在极值点的导数发 生变号时，即可判断该点 为极值的充分条件。
3 极值的分类
导数与函数的关系
导数刻画函数的变化 趋势
导数的正负性可以描述函数的 单调性和变化趋势。
导数判断函数的单调 性
函数在导数大于零的区间上单 调递增，在导数小于零的区间 上单调递减。
极值与导数的关系
极值出现的地方，导数为零或 不存在。
导数的计算
1
基本导数公式
根据函数的基本性质和求导法则，可以
导数的四则运算
《函数的极值与导数》 PPT课件
欢迎来到《函数的极值与导数》PPT课件！本课程将带你深入了解函数的极值 和导数的概念，以及它们之间的关系。准备好迎接这趟知识之旅了吗？让我 们开始吧！
应用示例
求函数的极值
通过求导和分析导数的变化，可以确定函数的极值 点和对应的极值。
求解实际问题
将实际问题转化为数学模型，并通过求导求解极值 来得到最优解。
端点的极值
函数定义域的端点如果存在极值，则称为端点描述函数在某一点处 的变化率，即函数曲线在 该点的切线斜率。
2 导数的意义
导数可以帮助我们分析函 数的变化趋势和特征，以 及确定函数的极值。
3 导数的符号表示
通常用f'(x)、dy/dx或y'来 表示函数f(x)的导数。
2
得到一些常见函数的导数表达式。
利用导数的性质，可以对复杂函数进行
四则运算的求导。
3
导数的链式法则
对复合函数求导时，可以使用链式法则 进行求导。
极值的判定
1 极值的必要条件
函数在极值点处的导数为 零或不存在。
2 极值的充分条件
当函数在极值点的导数发 生变号时，即可判断该点 为极值的充分条件。
3 极值的分类
导数与函数的关系
导数刻画函数的变化 趋势
导数的正负性可以描述函数的 单调性和变化趋势。
导数判断函数的单调 性
函数在导数大于零的区间上单 调递增，在导数小于零的区间 上单调递减。
极值与导数的关系
极值出现的地方，导数为零或 不存在。
导数的计算
1
基本导数公式
根据函数的基本性质和求导法则，可以
导数的四则运算
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1.3.2函数的极值与导数课件人教新课标
重难聚焦
(6)若f(x)在区间(a,b)内有极值,则f(x)在(a,b)内一定不是单调函数, 即在某区间内单调的函数没有极值.
(7)如果函数f(x)在[a,b]上有极值,那么它的极值点的散布是有规 律的.相邻两个极大值点之间必有一个极小值点,同样,相邻两个极 小值点之间必有一个极大值点.一般地,当函数f(x)在[a,b]上连续且 有有限个极值点时,函数f(x)在[a,b]上的极大值点、极小值点是交 替出现的.
错因分析:函数在一点处的导数值为0是函数在这点取得极值的 必要条件,而非充分条件.错解中忽略了对得出的两组解进行检验 而出错.一般地,根据极值条件求参数值的问题时,在得到参数的两 组解后,应按照函数在这一点处取得极值所对应的条件进行检验, 考察每一组解所对应的函数在该点处是否能取得极值,从而进行取 舍.
知识梳理
【做一做 2-2】 函数 y=2-x2-x3 的极值情况是( )
A.有极大值,没有极小值
B.有极小值,没有极大值
C.既无极大值也无极小值
D.既有极大值也有极小值
解析:y'=-2x-3x2,令 y'=0,
得
x1=−
2 3
,
x2
=
0.
当x<−
2 3
时,y'<0;
当
−
2 3
<
x
<
0
时,y'>0;当
重难聚焦
(3)极大值与极小值之间无确定的大小关系.在某一点的极小值 也可能大于另一点的极大值,即极大值不一定比极小值大,极小值也 不一定比极大值小.如图所示.
(4)函数的极值点一定出现在区间的内部,区间的端点不能成为极 值点.
(新课标)高中数学《3.3.2-函数的极值与导数》课件-新人教A版选修1-1
第17页，共29页。
规律方法 已知函数极值情况，逆向应用确定函数的解析式， 进而研究函数性质时注意两点： (1)常根据极值点处导数为 0 和极值两个条件列方程组，利用待 定系数法求解． (2)因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用 待定系数法求解后必须验证根的合理性．
第18页，共29页。
第22页，共29页。
如图(1)，此时曲线 f(x)与 x 轴恰有两个交点，即方程 f(x)＝0 恰 好有两个实数根，所以 a＋2＝0，a＝－2.(10 分) 如图(2)，当极小值等于 0 时，有极大值大于 0，此时曲线 f(x) 与 x 轴恰有两个交点，即方程 f(x)＝0 恰好有两个实数根，所以 a－2＝0，a＝2.综上，当 a＝2，或 a＝－2 时方程恰有两个实数 根．(12 分)
第8页，共29页。
2．极值点与导数的关系 (1)可导函数的极值点一定是导数为 0 的点，但导数为 0 的点不 一定是函数的极值点． (2)导数为 0 的点可能是函数的极值点，如 y＝x2，y′(0)＝0，x ＝0 是极小值．导数为 0 的点也可能不是函数的极值点，如 y ＝x3，y′(0)＝0，x＝0 不是极值点．
第23页，共29页。
【题后反思】 用求导的方法确定方程根的个数是一种很有效的 方法，它是通过函数的变化情况，运用数形结合的思想来确定 函数的图象与 x 轴的交点个数．
第24页，共29页。
【变式 3】 设函数 f(x)＝x3－6x＋5，x∈R. (1)求函数 f(x)的单调区间和极值； (2)若关于 x 的方程 f(x)＝a 有三个不同的实数根，求实数 a 的取 值范围． 解 (1)f′(x)＝3x2－6，令 f′(x)＝0， 解得 x＝－ 2或 x＝ 2. 因为当 x＞ 2或 x＜－ 2时，f′(x)＞0； 当－ 2＜x＜ 2时，f′(x)＜0， 所以 f(x)的单调递增区间为(－∞，－ 2)，( 2，＋∞)； 单调递减区间为(－ 2， 2)．
规律方法 已知函数极值情况，逆向应用确定函数的解析式， 进而研究函数性质时注意两点： (1)常根据极值点处导数为 0 和极值两个条件列方程组，利用待 定系数法求解． (2)因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用 待定系数法求解后必须验证根的合理性．
第18页，共29页。
第22页，共29页。
如图(1)，此时曲线 f(x)与 x 轴恰有两个交点，即方程 f(x)＝0 恰 好有两个实数根，所以 a＋2＝0，a＝－2.(10 分) 如图(2)，当极小值等于 0 时，有极大值大于 0，此时曲线 f(x) 与 x 轴恰有两个交点，即方程 f(x)＝0 恰好有两个实数根，所以 a－2＝0，a＝2.综上，当 a＝2，或 a＝－2 时方程恰有两个实数 根．(12 分)
第8页，共29页。
2．极值点与导数的关系 (1)可导函数的极值点一定是导数为 0 的点，但导数为 0 的点不 一定是函数的极值点． (2)导数为 0 的点可能是函数的极值点，如 y＝x2，y′(0)＝0，x ＝0 是极小值．导数为 0 的点也可能不是函数的极值点，如 y ＝x3，y′(0)＝0，x＝0 不是极值点．
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【题后反思】 用求导的方法确定方程根的个数是一种很有效的 方法，它是通过函数的变化情况，运用数形结合的思想来确定 函数的图象与 x 轴的交点个数．
第24页，共29页。
【变式 3】 设函数 f(x)＝x3－6x＋5，x∈R. (1)求函数 f(x)的单调区间和极值； (2)若关于 x 的方程 f(x)＝a 有三个不同的实数根，求实数 a 的取 值范围． 解 (1)f′(x)＝3x2－6，令 f′(x)＝0， 解得 x＝－ 2或 x＝ 2. 因为当 x＞ 2或 x＜－ 2时，f′(x)＞0； 当－ 2＜x＜ 2时，f′(x)＜0， 所以 f(x)的单调递增区间为(－∞，－ 2)，( 2，＋∞)； 单调递减区间为(－ 2， 2)．
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9
练习：
下图是导函数 y f (x) 的图象, 试找出函数 y f (x)
的极值点, 并指出哪些是极大值点, 哪些是极小值点.
y
y f (x)
x2 x3
a x1 O
x4 x5
x
x6
b
探究4:导数值为0的点一定是函数的极值点吗？
10
归纳
二 函数在某点取得极值的必要条件和充分 条件分别是什么？
5
观察函数y=f(x)的图像
y
y fx
o Cd e f
g
h
x
探究 1、图中有哪些极值点？极值点唯一吗？
2、极大值一定比极小值大么？
6
函数极值是在某一点附近的小区间内 定义的，是局部性质说，在某一点的极 大值也可能小于另一点的极小值。
解析：令f′(x)＝3x2－3＝0， 得x＝±1， 可求得f(x)的极大值为f(－1)＝2， 极小值为f(1)＝－2， 如图所示，－2<a<2时，恰有三个不同公共点．
答案：(－2,2 )
19
1
• 1.理解极值的有关概念． • 2.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分
条件． • 3.会用导数求函数的极大值和极小值.
2
重点难点
重点:利用导数知识求函数的极值 难点:对极大、极小值概念的理解及求可导 函数的极值的步骤
3
观察图象中，点a和点b处的函数值与它们附 近点的函数值有什么的大小关系？
y y fx
a ob x
4
一 极值的定义
• 点a叫做函数y=f(x)的极小值点，函数值f（a）称 为函数y=f(x)的极小值，
• 点b叫做函数y=f(x)的极大值点，函数值f（b）称 为函数y=f(x)的极大值 。
• 极大值点极小值点统称为极值点，极大值和极小 值统称为极值
注：极值点指的是自变量的值，极值指的是函数值。
7
探究3：函数y=f(x)在极值点的导数值为多少? 在极值点两侧的导数符号有什么规律？
y
y fx
o Cd e f g h
结论:极值点处导数值为0
x
演示
8
探究:极值点两侧导数符号有何规律?
y yf(x)
极大值点两侧
f (x)>0
f (x)<0
f (x)<0
f (x)>0
Oa
x1
x2
极小值点两侧
bx
4、 已知f(x)=2x3-3x2+a的极大值为6，那么a等于( )
(A) 6 (B) 0 (C) 5 (D) 1
16
归纳小结
1、极值的定义。 2、判定极值的方法。 ３、求极值的步骤。
思想方法总结： 观察、转化、数形结合。
17
18
直线y＝a与函数f(x)＝x3－3x的图象有相异的三 个公共点，则a的取值范围是________．
14
检测提升
1．函数y＝1＋3x－x3有( )
A．极小值－2，极大值2 B．极小值－2，极大值3 C．极小值－1，极大值1 D．极小值－1，极大值3
2
求函f (x) x 1 的极值 x
15
3．已知关于 x 的函数 f(x)＝－13x3＋bx2＋cx＋bc，如果 函数 f(x)在 x＝1 处取极值－43，则 b＝________，c＝________.
11
三．求函数极值的步骤
例1 求函数 f (x) 1 x3 4x 4的极值. 3
如何列表，列表中的基本元素有哪些？区间分配 依据是什么？ 各区间对应导数的符号如何判定
图像
12
求解函数极值的一般步骤
• (1)确定函数的定义域，求导数 f (x) • (2)求方程 f (x)=0的根 • (3)用方程 f (x)=0的根，顺次将函数的定义域
分成若干小开区间，并列成表格. • (4)检查 f (x) 在方程根左右的值的符号，如
果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大 值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取 得极小值。
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例 2．已知 f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c 在 x＝1 与 x＝－23时都 取得极值．
(1)求 a，b 的值； (2)若 f(－1)＝32，求 f(x)的单调区间和极值．
练习：
下图是导函数 y f (x) 的图象, 试找出函数 y f (x)
的极值点, 并指出哪些是极大值点, 哪些是极小值点.
y
y f (x)
x2 x3
a x1 O
x4 x5
x
x6
b
探究4:导数值为0的点一定是函数的极值点吗？
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归纳
二 函数在某点取得极值的必要条件和充分 条件分别是什么？
5
观察函数y=f(x)的图像
y
y fx
o Cd e f
g
h
x
探究 1、图中有哪些极值点？极值点唯一吗？
2、极大值一定比极小值大么？
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函数极值是在某一点附近的小区间内 定义的，是局部性质说，在某一点的极 大值也可能小于另一点的极小值。
解析：令f′(x)＝3x2－3＝0， 得x＝±1， 可求得f(x)的极大值为f(－1)＝2， 极小值为f(1)＝－2， 如图所示，－2<a<2时，恰有三个不同公共点．
答案：(－2,2 )
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1
• 1.理解极值的有关概念． • 2.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分
条件． • 3.会用导数求函数的极大值和极小值.
2
重点难点
重点:利用导数知识求函数的极值 难点:对极大、极小值概念的理解及求可导 函数的极值的步骤
3
观察图象中，点a和点b处的函数值与它们附 近点的函数值有什么的大小关系？
y y fx
a ob x
4
一 极值的定义
• 点a叫做函数y=f(x)的极小值点，函数值f（a）称 为函数y=f(x)的极小值，
• 点b叫做函数y=f(x)的极大值点，函数值f（b）称 为函数y=f(x)的极大值 。
• 极大值点极小值点统称为极值点，极大值和极小 值统称为极值
注：极值点指的是自变量的值，极值指的是函数值。
7
探究3：函数y=f(x)在极值点的导数值为多少? 在极值点两侧的导数符号有什么规律？
y
y fx
o Cd e f g h
结论:极值点处导数值为0
x
演示
8
探究:极值点两侧导数符号有何规律?
y yf(x)
极大值点两侧
f (x)>0
f (x)<0
f (x)<0
f (x)>0
Oa
x1
x2
极小值点两侧
bx
4、 已知f(x)=2x3-3x2+a的极大值为6，那么a等于( )
(A) 6 (B) 0 (C) 5 (D) 1
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归纳小结
1、极值的定义。 2、判定极值的方法。 ３、求极值的步骤。
思想方法总结： 观察、转化、数形结合。
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直线y＝a与函数f(x)＝x3－3x的图象有相异的三 个公共点，则a的取值范围是________．
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检测提升
1．函数y＝1＋3x－x3有( )
A．极小值－2，极大值2 B．极小值－2，极大值3 C．极小值－1，极大值1 D．极小值－1，极大值3
2
求函f (x) x 1 的极值 x
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3．已知关于 x 的函数 f(x)＝－13x3＋bx2＋cx＋bc，如果 函数 f(x)在 x＝1 处取极值－43，则 b＝________，c＝________.
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三．求函数极值的步骤
例1 求函数 f (x) 1 x3 4x 4的极值. 3
如何列表，列表中的基本元素有哪些？区间分配 依据是什么？ 各区间对应导数的符号如何判定
图像
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求解函数极值的一般步骤
• (1)确定函数的定义域，求导数 f (x) • (2)求方程 f (x)=0的根 • (3)用方程 f (x)=0的根，顺次将函数的定义域
分成若干小开区间，并列成表格. • (4)检查 f (x) 在方程根左右的值的符号，如
果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大 值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取 得极小值。
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例 2．已知 f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c 在 x＝1 与 x＝－23时都 取得极值．
(1)求 a，b 的值； (2)若 f(－1)＝32，求 f(x)的单调区间和极值．