高二数学 抛物线的定义-标准方程及几何性质(文) 人教实验B版

高二数学抛物线的定义；标准方程及几何性质（文）人教实验B版【本讲教育信息】一. 教学内容：抛物线的定义；标准方程及几何性质二. 本周学习目标掌握抛物线的定义，标准方程，能根据条件利用待定系数法求抛物线的方程，掌握抛物线的几何性质。

了解抛物线的参数方程，能根据方程讨论曲线的性质，掌握直线与抛物线的位置关系的判断方法，能够正确熟练地解决有关直线和抛物线的位置关系的一些问题。

三. 考点分析（一）抛物线的定义：平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫抛物线，定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线。

（二）2. 抛物线标准方程中p的几何意义是：焦点到准线的距离，故p＞03. 抛物线的标准方程中，一次项的变量决定对称轴，一次项的符号决定开口方向。

4. 弦长公式：（1）过焦点F （2p,0）的弦长：x 1，x 2分别为弦AB 的端点的横坐标，y 1,y 2分别为弦AB 的端点的纵坐标，弦|AB|＝x 1+x 2+p ，pBF AF 211=+，y 1y 2＝－p 2 （2）一般的弦长公式：类似于椭圆，x 1，x 2分别为弦PQ 的横坐标，y 1,y 2分别为弦PQ 的纵坐标，弦PQ 所在的直线方程为y=kx+b,代入抛物线方程整理得Ax 2+Bx+C=0,则PQ ＝AACB kx x k 21122212-+=-+，若y 1,y 2分别为弦PQ 的纵坐标，则PQ ＝21211y y k-+5. 斜率为k 的弦的中点的轨迹方程是：y=kp,一条平行于x 轴且不包括端点在抛物线内部的射线。

6. 与焦点弦有关的一些几何图形的性质： （1）以过焦点的弦为直径的圆和准线相切（2）设AB 为焦点弦，端点在准线上的射影为A 1，B 1，M 为准线与x 轴的交点，则∠AMF ＝∠BMF（3）若P 为A 1B 1的中点，则PA ⊥PB（4）若AO 的延长线交准线于C ，则BC 平行于x 轴，反之，若过B 点平行于x 轴的直线交准线于C 点，则A ，O ，C 三点共线。

7. 过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点：两条切线和一条平行于对称轴的直线。

【典型例题】例1. 指出抛物线的焦点坐标、准线方程． （1）（2）分析：（1）先根据抛物线方程确定抛物线是四种中的哪一种，求出p ，再写出焦点坐标和准线方程。

（2）先把方程化为标准方程形式，再对a 进行讨论，确定是哪一种后，求p 及焦点坐标与准线方程．解：（1），∴焦点坐标是（0，1），准线方程是：（2）原抛物线方程为： ，①当时，，抛物线开口向右，∴焦点坐标是 ，准线方程是：．②当时，，抛物线开口向左，∴焦点坐标是 ，准线方程是： ．综合上述，当时，抛物线的焦点坐标为，准线方程是：．例2. 分别求满足下列条件的抛物线的方程。

过点B （-3,2）； 焦点在直线240x y --=上解：（1）依题意，设所求抛物线的方程为2222(0)y px x py p =-=>或 ∵抛物线过点B （-3,2），代入22y px =-得23p = 代入22x py =得94p =∴所求抛物线的方程为224932y x x y =-=或 （2）令02x y ==-得， 令04y ==得x ∴抛物线的焦点坐标为（0，-2）或（4，0）当焦点坐标为（0，-2）时，抛物线的方程为28x y =- 当焦点坐标为（4，0）时，抛物线的方程为216y x =反思：抛物线的开口方向有四种，相应的标准方程的形式也就有四种，因此，在解题时要利用图形全面分析，防止遗漏符合题设条件的某个开口方向，从而防止遗漏符合题设条件的抛物线的标准方程。

例 3. 已知抛物线的顶点在原点，对称轴为轴，抛物线上的点到焦点的距离等于5，求抛物线的方程和的值。

解法一：设抛物线方程为，则焦点为，由题设可得：解得或故抛物线方程为的值为解法二：设抛物线方程为，则焦点为，准线方程为.根据抛物线定义， 到焦点的距离等于5，也就是 到准线的距离等于5，则因此抛物线方程为28y x =-.又点在抛物线上，于是点评：解法二利用抛物线的定义把到焦点的距离转化为到准线的距离，既快捷又方便，要善于转化。

例4. 斜率为1的直线经过抛物线x 4y 2=的焦点，与抛物线相交于两点A 、B ，求线段。

AB 的长。

由抛物线的标准方程可知，焦点为，准线方程为.由题设，直线的方程为：.代入抛物线方程，整理得：.解法一：解上述方程得： ，分别代入直线方程得：即坐标分别为、.解法二：设，，则：=84622=-⋅解法三：设、 ()22y ,x B . 由抛物线定义可知，等于点到准线的距离.即同理 1x |BF |2+=点拨：解法一利用传统的基本方法求出两点坐标，再利用两点间距离公式求出的长。

解法二没有直接求出A 、B 坐标。

而是利用韦达定理找到与的关系，利用直线截二次曲线的弦长公式求得，这是典型的设而不求的思想方法，比解法一先进，解法三充分利用抛物线的定义，把过焦点的这一特殊的弦分成两个半径的和，转化为准线的距离，这是思维产生质的飞跃的表现。

例5. 过抛物线2y x =的顶点O 作两条互相垂直的弦OA ，OB 。

求证：直线AB 过定点 求△AOB 面积的最小值解：（1）设A （11,x y ）、B （22,x y ）,则221122,y x y x ==若12,x x = 则由OA ⊥OB 得121x x ==，AB 过点M （1，0）若12,x x ≠则1212221212121y y y y k x x y y y y --===--+由OA ⊥OB 得0y y x x 2121=+，又212221x x y y =⋅∴121y y =-故AB 的方程为：11121()y y x x y y -=-+即2121121()y y y y y y x x +--=-化简得：12()1y y y x +=-，故直线AB 恒过定点M （1,0） （2） 直线AB ：21x ty y x -==与联立，消去x 得方程：210y ty --=∴t y y 21=+，1y y 21-=⋅故2212()4y y t -=+∴4t 21|y y ||OM |21S 221AOB +=-⋅=△ ∴当t=0,即AB ⊥x 轴时AOB S ∆取最小值１反思：与弦有关的问题内容十分丰富，基本内容有弦长，弦终点，最值，轨迹等问题，但解题思想都一致，即由直线方程与圆锥曲线方程联立并消元，利用判别式、韦达定理使所求问题转化为方程的问题求解，或用点差法求解。

【模拟试题】（答题时间：60分钟）一、选择题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）1. 以双曲线19y 16x 22=-的右焦点为顶点，左顶点为焦点的抛物线方程为（ ）A. )5x (18y 2--=B. )5x (4y 2--=C. )5x (36y 2--=D. )5x (36y 2+-=2. 若AB 为抛物线px 2y 2=（0p >）的焦点弦，l 是抛物线的准线，则以AB 为直径的圆与l 的公共点的个数是（ ）A. 0B. 1C. 2D. 0或1或23. 若抛物线01422=++--m y mx y 的准线与双曲线12322=-y x 的右准线重合，则m 的值为（ ）A. -2B. 4C. -8D. 24. 抛物线y px p 220=>()上一点的横坐标为6，这点的焦半径为10，则焦点到准线的距离为（ ） A. 4B. 8C. 16D. 325. 已知定点A （4，3），抛物线y x 24=，F 为抛物线的焦点，B 是抛物线的动点，则BF AB+取最小值时的B 点的坐标为（ ）A. （2，3）B. （1，3）C. （4，4）D. （233，）6. 抛物线的顶点在原点，焦点在y 轴上，其上一点P （m ，1）到焦点的距离为5，则抛物线的方程为（ ）A. y 8x 2=B. y 8x 2-=C. y 16x 2=D. y 16x 2-=二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）7. 抛物线1x 2y :C 2+=向右平移21个单位得一曲线 C ，再把曲线 C 绕其焦点逆时针方向旋转︒90，则所得曲线的方程为_________。

8. 242_____.y x y x k k ==+=抛物线截直线所得弦长为则 9. AB 是过抛物线y px p 220=>()的焦点的弦，则AB 的最小值为_________10. 过抛物线焦点F 的直线与抛物线交于A 、B 两点，若A 、B 在抛物线准线上的射影分别为A B 11、，则∠A FB 11等于_________三、解答题（本大题共4题，共50分）11. 抛物线2x 21y -=与过点M （0，－1）的直线l 交于A 、B 两点，O 为坐标原点，若OA 与OB 的斜率之和为1，求直线l 的方程。

（12分）12. 如果抛物线1ax y 2-=上存在关于直线y x =+2对称的两个不同的点，求a 的取值范围。

（13分）13. 若抛物线y=ax 2-1上总存在关于直线 l ：x+y=0的对称点，求a 的取值范围。

（12分） 14. 过抛物线x 4y 2=的焦点F 作弦AB ，且8|AB |≤，直线AB 与椭圆2y 2x 322=+相交于两个不同的点，求直线AB 的倾斜角的范围。

（13分）【试题答案】1. C2. BAB BB AA MM 21][21'''=+=，相切3. B)4()1(-=-x m y由4344=⇒=+-m m4. B 如图，设P 点是抛物线y px 22=上一点，且x P ==610，PF ，由抛物线定义，知P 到准线的距离为10，从而得y 轴到准线的距离为4，故F 到准线的距离为8。

5. D 如图，由抛物线定义BF BC =，∴+=+⊥BF AB AB BC BC l ，准线()当B 、C 、A 三点共线时，AB BC +最小，此时B 点的纵坐标与A 点的纵坐标相等，从而可确定()B 233，。

6. C提示：由点P （m ，1）所在的抛物线开口向上，又P 到焦点的距离为5，根据定义知P24=，从而216P = 7. ()()x y -=+122122 提示：C '方程为y x 22121=-+() 即y x 22=，顶点（0，0），焦点()120， 绕焦点逆时针方向旋转90︒，新顶点为1212，-⎛⎝ ⎫⎭⎪ 开口向上，而焦点到顶点的距离不变故得方程x y -⎛⎝ ⎫⎭⎪=+⎛⎝ ⎫⎭⎪1221228. k=-49. AB 的最小值即通径2p10. 如图，设∠==AA F AF AA 11α，则由，知∠=∠=AFA BB F 11αβ，设，则由 BF BB =1，知∠=BFB 1β又AA x BB 11////轴，∴∠=∠=A FK B FK 11αβ， ∴+=∠=︒∴+=︒∠=︒22180909011αβαβAFB A FB ，即11. 解：设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）x y x y 1212222122=-=-⎧⎨⎪⎩⎪()()y x y x x x 112212121+=-+=() ⇒+=-x x 122()()21-得：()()()x x x x y y 2121212+-=-- ⇒=k 1 ∴l ：y x =-112. 解：设P （x y 11，），Q （x y 22，）是抛物线y ax =-21上关于直线y x =+2对称的两点，另设直线PQ 的方程为y x b =-+（ PQ ⊥直线y x =+2） ()y x b y ax ax x b =-+=-⎧⎨⎩⇒+-+=22110 一方面，直线PQ 与抛物线有两个交点，则()∆=++>1410a b ……① 另一方面，由韦达定理，得：x x a121+=-，从而PQ 中点M 的横坐标为 x x x a012212=+=- M 在直线PQ 上，∴点M 的纵坐标为y x b ab 0012=-+=+ 又M 在直线y x =+2上，∴+=-+12122a b a……② 由①②，消去b ，可得：123014a a ->∴>， 13. 解：设A ，B 是抛物线y=ax 2-1上关于直线l ：x+y=0的对称点，设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)b x y AB 1k l AB AB +==∴⊥的方程为，可设直线，用心 爱心 专心 11 y x b y ax ax x b =+=-⎧⎨⎩⇒--+=22110()直线与抛物线相交于两点AB∴=++>∆14101a b ()……（）另外，，设的中点，则x x a AB M x y 12001+=(,)x xx a y x b a b 0120021212=+==+=+，而点在直线上，M x y x y x y (,)000000+=∴+= 即，……（）1212012a a b b a ++==-()把（）代入（），得，解得。