高中数学抛物线的几何性质总结.
新高考数学抛物线知识点
新高考数学抛物线知识点抛物线作为数学中的重要概念之一，广泛应用于物理、工程等领域。
在新高考数学考试中，抛物线也是一个重要的知识点。
本文将以新高考数学为背景，探讨抛物线的相关概念、性质和应用。
1. 抛物线的定义与基本方程抛物线是在平面上以某一点为焦点，与一条与焦点不重合的直线相切的点的轨迹。
在直角坐标系中，抛物线的方程是$y=ax^2+bx+c$，其中$(a\neq 0)$。
2. 抛物线的几何性质（1）焦点与准线：抛物线上的每一点到焦点的距离与该点到准线的距离相等。
准线是抛物线对称轴上的一条水平直线。
（2）对称性：抛物线关于准线对称。
（3）定点：抛物线上的顶点是准线与抛物线的交点，也是抛物线的最值点。
（4）开口方向：抛物线开口的方向取决于二次项系数$a$的正负。
当$a>0$时，抛物线开口向上；当$a<0$时，抛物线开口向下。
3. 抛物线的相关公式（1）焦距公式：焦距$f=\dfrac{1}{4|a|}$。
焦点到准线的距离等于焦点到抛物线顶点的距离。
（2）焦点坐标：焦点的坐标为$(0, \dfrac{1}{4|a|})$。
（3）顶点坐标：抛物线的顶点坐标为$(-\dfrac{b}{2a},\dfrac{4ac-b^2}{4a})$。
（4）准线方程：准线的方程为$y=-\dfrac{1}{4a}$。
4. 抛物线的应用抛物线作为一种强大的数学工具，在实际生活中有着广泛的应用。
（1）物理学中的应用：抛物线可以用来描述自由落体和抛体运动的轨迹。
例如，投掷物体的运动轨迹可以近似为一个抛物线。
（2）工程学中的应用：抛物线在工程设计中有着重要的应用，如天桥的设计、悬索桥的设计等。
通过抛物线的性质和公式，工程师可以合理地设计结构，使得建筑物的受力分布更加均匀并且美观。
（3）经济学中的应用：抛物线可以用来描述成本和利润之间的关系。
例如，在经济学中，经济学家经常使用抛物线来分析成本与产量之间的关系，并确定生产的最佳产量。
高中数学抛物线的几何性质总结课件
开口方向与开口大小的关系
开口方向与开口大小的相互影响
开口方向和开口大小是相互影响的，一般来说，向上开口的抛物线开口会逐渐变小，向下开口的抛物线开口会逐 渐变大。
特殊情况下的关系
当a=0时，抛物线退化为一条直线，此时开口方向和大小无法定义。
04 抛物线的对称性
抛物线的对称轴
抛物线关于其对称轴对称，对称轴是 一条垂直于x轴的直线。
对称轴是抛物线几何性质的一个重要 特征，它决定了抛物线的形状和位置 。
对于标准形式的抛物线 y=ax^2+bx+c，其对称轴的方程是 x=-b/2a。
抛物线的对称中心
抛物线的对称中心是其顶点的位 置，顶点坐标可以通过二次函数 的顶点式y=a(x-h)^2+k得到。
抛物线上的任意一点 到焦点的距离等于该 点到准线的距离。
抛物线的标准方程
开口向右的抛物线方程为 $y^2 = 2px$，其中 $p$ 是焦 距。
开口向左的抛物线方程为 $y^2 = -2px$，其中 $p$ 是 焦距。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
抛物线的标准方程可以根据焦 点和准线的位置进行变换。
抛物线的几何性质
01
02
03
开口方向与函数值变化趋势
开口方向与函数值随x的变化趋势一致，向上开口时函数值随x增大而增大，向 下开口时函数值随x增大而减小。
抛物线的开口大小
开口大小与二次项系数的绝对值大小
开口大小由二次项系数的绝对值|a|决定，|a|越大，抛物线开口越小；|a|越小，抛 物线开口越大。
开口大小与函数值变化幅度的关系
一口气总结33条有关抛物线的结论
一、抛物线的定义抛物线是一种特殊的二次函数，其图像呈现出对称轴且开口方向确定的特点。
一般而言，抛物线的标准方程可表示为y=ax^2+bx+c，其中a、b、c是实数且a≠0。
二、抛物线的图像特点1. 抛物线的开口方向由二次项系数a决定，若a>0则开口向上，若a<0则开口向下。
2. 抛物线的对称轴是与顶点相关的直线，其方程为x=-b/2a。
3. 抛物线的顶点的纵坐标为c-b^2/4a。
4. 抛物线的焦点坐标为(-b/2a, c-b^2+1/4a)。
5. 抛物线的焦距为1/4a。
三、抛物线的焦点及直边1. 抛物线是缺点耀焦点在n位上。
2. 抛物线与其焦点的连线是垂直的。
3. 抛物线是直行的。
四、抛物线与直线的关系1. 抛物线与直线的交点个数与直线的位置关系有关，一般情况下有两个交点。
2. 若抛物线和直线相切，则称该直线为抛物线的切线。
五、抛物线与拱门的关系1. 拱门的形状大多呈现出抛物线的形态，这也是抛物线在建筑和土木工程中的应用之一。
2. 抛物线拱桥由于其结构特点，比较稳固且能够将荷载有效地传递到桥墩上，因此在桥梁工程中得到广泛应用。
六、抛物线的几何性质1. 抛物线的离心率为1，故它是一种特殊的椭圆。
2. 两条平行于抛物线对称轴的直线与抛物线所夹的面积是相等的。
3. 顶点位于原点的抛物线的焦点至原点的距离等于焦距的一半。
七、抛物线的物理应用1. 在物理学中，抛物线经常用来描述抛体运动的轨迹，比如抛出的子弹、投掷的物体等。
2. 抛物线还被用来研究光学中的抛物线面镜、抛物面反射器等设备。
八、抛物线的数学模型1. 抛物线可以用来建立二次函数方程的数学模型，利用这种模型，可以求解许多现实生活中的问题，比如自由落体运动、物体弹跳的高度等。
九、抛物线的轨迹方程1. 一个抛物线上的点P(x, y)的轨迹方程为y=ax^2。
十、抛物线的渐近线1. 抛物线的渐近线是与抛物线趋于无穷远时的方向呈现出一定的趋势的直线。
抛物线的几何性质
抛物线的几何性质一、知识点:抛物线的几何性质(以px y 22=为例) 1．范围因为p ＞0，由方程()022>=p px y 可知，这条抛物线上的点M 的坐标(x ，y)满足不等式x≥0，所以这条抛物线在y 轴的右侧；当x 的值增大时，|y|也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸． 2．对称性以－y 代y ，方程()022>=p px y 不变，所以这条抛物线关于x 轴对称，我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴． 3．顶点抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点．在方程()022>=p px y 中，当y=0时，x=0，因此抛物线()022>=p px y 的顶点就是坐标原点．4．离心率抛物线上的点M 与焦点的距离和它到准线的距离的比，叫做抛物线的离心率，用e 表示．由抛物线的定义可知，e=1．注意强调p 的几何意义：是焦点到准线的距离抛物线不是双曲线的一支，抛物线不存在渐近线通过图形的分析找出双曲线与抛物线上的点的性质差异，当抛物线上的点趋向于无穷远时，抛物线在这一点的切线斜率接近于对称轴所在直线的斜率，也就是说接近于和对称轴所在直线平行，而双曲线上的点趋向于无穷远时，它的切线斜率接近于其渐近线的斜率结论一：若AB 是抛物线22(0)y px p =>的焦点弦（过焦点的弦），且11(,)A x y ，22(,)B x y ，则：2124px x =，212y y p =-。
证明：因为焦点坐标为F(2p ,0),当AB 不垂直于x 轴时，可设直线AB 的方程为：()2p y k x =-，由2()22p y k x y p x ⎧=-⎪⎨⎪=⎩得: 2220ky py kp --= ∴212y y p=-，2242121222244y y ppx x p p p =⋅==。
当AB ⊥x 轴时，直线AB 方程为2p x =，则1y p =，2y p =-，∴212y y p =-，同上也有：2124px x =。
抛物线的简单几何性质
F
x 2 py ( p 0)
2
y
O F
l
x l
y0 y0
x
2、抛物线的焦半径公式：
| PF | d
点P ( x0 , y0 )在对应抛物线上 , p y 2 px ( p 0) :| PF | x0 ; 2
2
3、若A( x1 , y1 )、B( x2 , y2 )是y 2 px( p 0)的
y A
E
O D
M
F
B
x
对这个结论的再发现: 2 过抛物线 y 2 px( p 0) 的焦点的一条直 线和抛物线相交 , 两个交点的纵坐标为 y1 、y2 , 则 y1 y2 p .
2
|y1|· |y2|=p2
几何解释,就是
M
2
MK NK KF
K
N
3、若点A、B在此抛物线的准线上的射影分别为 A1、B1 , 则A1 FB1
y A
E
O D
M F
B x
课堂小结
1.抛物线有许多几何性质，探究抛物 线的几何性质，可作为一个研究性学 习课题，其中焦点弦性质中的有些结 论会对解题有一定的帮助. 2.焦点弦性质y1y2＝－p2是对焦点在x 轴上的抛物线而言的，对焦点在y轴 上的抛物线，类似地有x1x2＝－p2.
小结： 抛物线的焦点 弦有及其丰富的内涵， 有如下的一些结论： 2p (1) AB x1 x2 p sin 2 (为直线AB的倾斜角 ). 2 p 2 (2) y1 y2 p ; x1 x2 . 4
2
p y 2 px ( p 0) :| PF | x0 ; 2 p 2 x 2 py( p 0) :| PF | y0 ; 2 p 2 x 2 py( p 0) :| PF | y0 . 2
2.4.2抛物线的 几何性质
发现一个结论: 2 过抛物线 y 2 px( p 0) 的焦点的一条直 线和抛物线相交 , 两个交点的纵坐标为 y1 、y2 , 则 y1 y2 p .
2
M
这一结论非常奇妙,变中有不变,动中有不动.
K
几何解释,就是
N
MK NK KF
2
思考: “一条直线和抛物线 y 2 2 px( p 0) 相交, 两个交点的纵坐标为 y1 、y2 ,且 y1 y2 p2 . 则 这条直线过焦点.”成立吗?
问题: 倾斜角为 的直线经过抛物线 y 2 2 px ( p 0) 的 焦点,与抛物线相交于 A 、B ,求线段 AB 的长. 解:设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 )
( x1 , y1 )
p ( x , y ) 2 2 x y cot 由 2 消去 x 并整理得 y2 2 py cot p2 0 与直线 y 2 2 px 的倾斜角 ∴ y1 y2 2 p cot , y1 y2 p2 无关 ! 2 2 2 2 AB ( x1 x2 ) ( y1 y2 ) = (1 cot )( y1 y2 ) 很奇怪! 2p 2 2 = (1 cot ) ( y1 y2 ) 4 y1 y2 = 2 sin
·
F
焦 点
(4)开口向下 x2 = -2py (p>0) l 准线
e=1
3、顶点
定义：抛物线与坐标轴的 交点称为抛物线的顶点。
y
y2 = 2px
(p>0)中，
o
F( p ,0 ) 2
令y=0,则x=0.
即：抛物线y2 = 2px (p>0) 的顶点是（0，0）.
抛物线及其性质知识点大全
抛物线及其性质1．抛物线定义：平面内到一定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹称为抛物线． 2．抛物线四种标准方程的几何性质：图形参数p 几何意义 参数p 表示焦点到准线的距离，p 越大，开口越阔.开口方向 右左上下 标 准方 程 22(0)y px p => 22(0)y px p =-> 22(0)x py p =>22(0)x py p =->焦 点位 置 X 正X 负Y 正Y 负焦 点坐 标 (,0)2p (,0)2p -(0,)2p(0,)2p -准 线方 程 2p x =-2p x =2p y =-2p y =范 围 0,x y R ≥∈0,x y R ≤∈0,y x R ≥∈0,y x R ≤∈对 称轴 X 轴X 轴Y 轴Y 轴顶 点坐 标 （0,0）离心率 1e =通 径 2p焦半径11(,)A x y 12p AF x =+12p AF x =-+12p AF y =+12p AF y =-+焦点弦长AB12()x x p ++ 12()x x p -++ 12()y y p ++ 12()y y p -++焦点弦长AB 的补充11(,)A x y22(,)B x y以AB 为直径的圆必与准线l 相切若AB 的倾斜角为α，22sin p AB α=若AB 的倾斜角为α，则22cos pAB α=2124p x x = 212y y p =-112AF BF AB AF BF AF BF AF BF p++===•• 3．抛物线)0(22>=p px y 的几何性质：(1)范围：因为p>0，由方程可知x ≥0，所以抛物线在y 轴的右侧， 当x 的值增大时，|y |也增大，说明抛物线向右上方和右下方无限延伸．(2)对称性：对称轴要看一次项，符号决定开口方向． (3)顶点（0，0），离心率：1=e ，焦点(,0)2p F ，准线2px -=，焦准距p ． (4) 焦点弦：抛物线)0(22>=p px y 的焦点弦AB ，),(11y x A ,),(22y x B ,则p x x AB ++=21||． 弦长|AB|=x 1+x 2+p,当x 1=x 2时，通径最短为2p 。
高二数学抛物线的几何性质2
o
N C
AD BC 2(
1 y) 4
p 1 y y, 2 4
AD AF , BC BF
AF BF 2( 1 y) 4
ABF中, AF BF AB 2
2( y 1 3 ) 2, 即y 4 4
1.过抛物线 y ax ( a 0) 的焦点F作一直线交抛物线于P、Q两点，
2 y 例2、已知过抛物线 2 px( p 0) 的焦点F的 ) 直线交抛物线于 A( x1 , y1 )、B( x2 , y2 两点。
（1）x1 x2 是否为定值？y1 y2 呢？ 1 1 （ 2） 是否为定值？ | FA | | FB |
y
A ( x1 , y1 )
F
这一结论非常奇妙,
y12 2 px1 y1 y2 2 px1 2 px 2 px ∴ y ∴ y y1 y1 y2 y1 y2 y1 y2 y1 y2
2 2 px 4 p ∵ y12 2 px1 , y1 y2 4 p2 ∴ y y1 y2 y1 y2 2p ∴ y ( x 2 p) ∴ AB 过定点（2p,0）. y1 y2
2.4.2抛物线的简单几 何性质(2)
复习：
图 形
y
l
O F
1、抛物线的几何性质
方程 焦点 准线 范围 顶点 对称轴
x≥0 y∈R x≤0 x轴
e
y2 = 2px p p F ( , 0 ) x x （p>0） 2 2
l
y
F O
y2 = -2px p p F ( ,0) x 2 x（p>0） 2 x2 = 2py p p F (0, ) y 2 2 x （p>0） x2
抛物线几何性质(抛物线几何性质总结)
思考: “一条直线和抛物线 y2 2 px( p 0) 相交, 两个交点的纵坐标为 y1 、y2 ,且 y1 y2 p2 .则 这条直线过焦点.”成立吗?
例2. 求证: 以抛物线的焦点弦为直径的圆与
抛物线的准线相切.
证明：取AB的中点M, 过A、B、C点作准线的
垂线, 垂足为A1、B1、M1, 则
x＋5＝0的距离小1,求点M的轨迹方程．
分析：如图可知原条件等价于M点到F(4, 0)和到
x＝－4距离相等，由抛物线的定义，
点M的轨迹是以F(4, 0)为焦点,x＝－4为准
线的抛物线．
y
因为p/2=4, 所以p=8,
M(x , y)
所求方程是 y2＝16x．
-5 -4
F(4,0) x
例2. M是抛物线y2 = 2px (p＞0)上一点, 若点M的
2
∴直线 AB 的方程为 x
y cot
p
由
x
y cot
p 2
消去
x
并整理
2
y2 2 px
得 y2 2 py cot p2 0
∴ y1 y2 2 p cot , y1 y2 p2
( x1 , y1 )
( x2 , y2 )
与直线 的倾斜角 无关!
AB ( x1 x2 )2 ( y1 y2 )2 = (1 cot2 )( y1 y2很)2奇怪!
三角形，那么∠CFD的大小如何？
yA C
90°
OF
x
D
B
形成结论
过抛物线y2=2px的焦点F作直线交抛物线于A、 B两点，焦点弦AB具有如下性质.
1
AB
x1
x2
p
2p
抛物线的几何性质
抛 物 线（一）知识回顾1.定义：在平面内,与一个定点F 和一条定直线L(L 不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫抛物线.M F M H =，FK p =为焦准距。
2.标准方程：（1）焦点在x 轴正半轴：22y px =（0p >），焦点(,0)2p F ，准线：2p x =-；（2）焦点在x 轴负半轴：22y px =-（0p >），焦点(,0)2p F -，准线：2p x =；（3）焦点在y 轴正半轴：22x py =（0p >），焦点(0,)2p F ，准线：2p y =-；（4）焦点在y 轴负半轴：22x py =-（0p >），焦点(0,)2p F -，准线：2py =；（二）几何性质：以22y px =（0p >）为例 （1）范围：0x ≥，y R ∈； （2）对称性：x 轴；（抛物线的轴） （3）顶点：原点；（4）离心率：1e =抛物线上的点M 与焦点的距离和它到准线的距离的比,叫抛物线的离心率,用e 表示.由抛物线定义可知,e =1.说明:①对于其余三种形式的抛物线方程,要求自己得出它们的几何性质,这样,有助于学生掌握抛物线四种标准方程.②根据一次项的变量确定对称轴和焦点位置，根据一次项系数的符号确定开口方向。
根据焦参数p 的值确定抛物线开口的大小，p 越大，抛物线开口越开阔。
③抛物线没有渐近线.④垂直于对称轴的焦点弦叫抛物线的通径，其长为2p 。
(5) 范围:当x 的值增大时,y 也增大,这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸.(但应让学生注意与双曲线一支的区别,无渐近线).（三）、抛物线中与焦点弦有关的一些几何图形的性质： （1）以过焦点的弦为直径的圆和准线相切；（2）设AB 为焦点弦， M 为准线与x 轴的交点，则∠AMF ＝∠BMF ；（3）设AB 为焦点弦，A 、B 在准线上的射影分别为A 1，B 1，若P 为A 1B 1的中点，则PA ⊥PB ；（四）弦长公式与中点弦问题：(1) 弦长公式:若直线y kx b =+与圆锥曲线相交于两点A 、B ，且12,x x 分别为A 、B的横坐标，则A B＝12x -，若12,y y 分别为A 、B 的纵坐标，则A B ＝21211y y k-+，若弦AB 所在直线方程设为x ky b =+，则A B12y -。
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已知抛物线的顶点在原点，对称轴为 x 轴，
抛物线上的点 M（-3， m ）
到焦点的距离等于 5，求抛物线的方程和 m 的值.
解：抛物线对称轴为 x 轴，且过点 M（-3，m ）， 所以可设抛物线标准方程为 y2 2 px ，
【解析】选B.
2y2 5x 0
y2 a x 0a 0
2
9.焦点在直线3x 4y 12 0 上的抛物线的标准方程是____________．
答案： y2 16x 或 x2 12y .
变式 2 若 A 是定直线l 外的一定点，则过 A 与l 相切圆
的圆心轨迹是（ ） A．圆 B．椭圆 C．双曲线一支 D．抛物线 答案：D
，∴直线
y=-2
与抛物线只有一个公共点.
当 k≠0 时，二次方程的△=4(k2-2k-2)2-4k2(k-2)2=-16(k2-2k-1)
当△>0 得 k2-2k-1<0，1 2 k 1 2 ，∴当1 2 k 0 ，或0 k 1 2 时，直线
与抛物线有两个公共点
由△=0 得 k=1 2 ，此时直线与抛物线相切，只有一个公共点 由△<0 得 k 1 2 ，或 k 1 2 ，此时直线与抛物线无公共点
当 k 为何值时，直线 y=kx+k-2 与抛物线 y2=4x 有两个公共点？ 仅有一个公共点？无公共点？
解：由
y y
2
kx 4x
k
2
得：k2x2+2(k2-2k-2)x+(k-
2)2=0
当 k=0 时，方程退化为一次方程，-4x+4=0，该方程只有一解 x=1，原方程组只有一组解
x y
1 2
问题：与椭圆、双曲线的几何性质比较，抛物线的 几何性质有什么特点？
（1）抛物线只位于半个坐标平面内，虽然它也可以 无限延伸，但没有渐近线；
（2）抛物线只有一条对称轴，没有对称中心； 抛物线又叫做无心圆锥曲线。
（3）抛物线只有一个顶点、一个焦点、一条准线；
（4）抛物线的离心率是确定的，为1．
引例.
4. 过抛物线焦点 F 的直线与抛物线交于 A，B 两点，
若 A，B 在准线上的射影是 A2，B2，
则∠A2FB2 等于
.
5．（习题 2.4B 组第 2 题）已知等边三角形的一个顶点位于原点，
另外两个顶点在抛物线 y2 2 px( p 0) 上，求这个等边三角形的边长.
【解析】设这个等边三角形 OAB 的 顶点 A, B 在抛物线上，且坐标分
别为 ( x1 , y1 ) ， ( x2 , y2 ) 则 y12 2 px1 , y22 2 px2 . 又 | OA || OB |, 所以 x12 y12 x22 y22 ， 即 x12 x22 2 px1 2 px2 0.( x12 x22 ) 2 p( x1 x2 ) 0 ， 因此 ( x1 x2 )( x1 x2 2 p) 0 . 因为 x1 0, x2 0, 2 p 0 ,所以 x1 x2 . 由此 | y1 || y2 | ，即线段 AB 关于 x 轴 对称.
又因为 M（-3， m ）到焦点的距离等于 5， 所以 M（-3， m ）到准线的距离等于 5，
即 p 3 5, p 4 2
故所求抛物线的方程为 y 2 8x ， m 2 6 .
3. （2010 全国）已知抛物线 C : y2 2 px( p＞0) 的准线为 l ，过 M (1, 0)
且斜率为 3 的直线与 l 相交于点 A ，与 C 的一个交点为 B ．
若 AM MB ，则 p
．
【解析】过 B 作 BE 垂直于准线 l 于 E，∵ AM MB ，∴M 为中点，
∴ BM 1 AB ，又斜率为 3 ， BAE 300 ，∴ BE 1 AB ，
2
2
∴ BM BE ，∴M 为抛物线的焦点，∴ p 2.
因为 x 轴垂直于 AB ，且 AOx 300 ， 所以 y1 tan 300
3
.
x1
3
又因为
x1
y12 2p
，所以
y1
2
3 p ，因 此 | AB | 2 y1 4
3 p.
变式1：已知抛物线y2＝2px(p>0)，一条长为4p的弦，其两个端点在抛物线上 滑动，求此弦中点到y轴的最小距离． 解：如图所示，设动弦两个端点为A、B，中点为C，作AA′， BB′，CC′垂直于准线，垂足分别为A′，B′，C′，连结AF、 BF，由抛物线定义可知，|AF|=|AA
方程 范围 对称性 顶点 离心率
y2 2 px x 0
p 0
x 轴 (0 , 0) e 1
y2 2 px x 0
p 0
x2 2 py
p 0
y0
x 轴 (0 , 0) e 1 y 轴 (0 , 0) e 1
x2 2 py y 0
p 0
y 轴 (0 , 0) e 1
抛物线的焦点 F 在 x 轴上，A(m，－3)在抛物线上， 且|AF|＝5，求抛物线的标准方程．
解：设抛物线方程为 y2＝2px 或 y2＝－2px，(p＞0) ， ∵A 点在抛物线上
∴(－3)2＝2pm 或(－3)2＝－2pm，∴m＝± 9 ① 2p
又|AF|＝ p ＋|m|＝5 ② 2
把①代入②可得 p 9 ＝5 2 2p
（6）证明:以CD为直径的圆过焦点F.
？
结论: 则
2; p
（6）以CD为直径的圆与弦AB相切于焦点F.
例 1.抛物线 y 1 x2 (m 0) 的焦点坐标是（ ） m
A.（0， m ）或（0， m ）
4
4
C.（0， 1 ）或（0， 1 ）
4m
4m
B.（0， m ） 4
D.（0， 1 ） 4m
y
....
A
. .
.
.
OF
x
B
想 一 想 ？
y
....
A
..
.
.
OF
x
B
y
....
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OF
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| AB | 2 p(m2 1).
则 tan 1 , m 1 ,
m
tan
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AB |
1
2 p( tan2
1)
cos 2 2 p( sin2
1)
2p
sin2
.
想
一
想
抛物线几何性质1
习主席的三句话
你的责任就是你的方向，
你的经历就是你的资本，
你的性格就是你的命运。
• 复杂的事情简单做，你就是专家； 简单的事情重复做，你就是行家； 重复的事情用心做，你就是赢家。
•
美好是属于自信者的，
机会是属于开拓者的，
奇迹是属于执著者的！
你若不想做，总会找到借口；
你若想做，总会找到方法。