勾股定理专题复习(经典一对一教案哟)

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学生姓名授课时间：授课科目：数学

教学课题勾股定理知识点解析（二）

重点、难点能准确证明勾股定理，并能将以灵活运用。

教师姓名年级：初二课型:复习课

一、作业检查

作业完成情况：优□良□中□差□

二、课前回顾

对上次家庭作业进行检查并评讲

三、知识整理

知识点1.勾股定理

（1）勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。如果用a，b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边（即：a2+b2＝c2）

注意：○1勾股定理揭示的是直角三角形三边关系的定理，只适用于直角三角形。○2应用勾股定理时，要注意确定那条边是直角三角形的最长边，也就是斜边，在Rt△ABC中，斜边未必一定是c，当∠A=90时，a2＝b2 +c2 ；当∠B=90时，b2＝a2 +c2

例1．（1）如图1所示，在Rt△ABC中，∠C=90,AC=5，BC=12，求AB的长；

（2）如图2所示，在Rt△ABC中，∠C=90,AB=25，AC=20，求BC的长

（3）在Rt△ABC中,AC=3，BC=4，求AB2的值 A

C B

图1

C B

A 图2

知识点2.勾股定理的证明

（1）勾股定理的证明方法很多，可以用测量计算，可以用代数式的变形，可以用几何证明，也可以用面积（拼图）证明，其中拼图证明是最常见的一种方法。 思路：

①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理 常见方法如下：方法一：4EFGH S S S ∆+=正方形正方形ABCD ，221

4()2

ab b a c ⨯+-=，化简可

证．

方法二：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．

四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221

422

S ab c ab c =⨯+=+

大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++ 所以222a b c +=

知识点3.直角三角形的判别条件

（1）如果三角形的三边长啊a ，b ，c ，满足a 2+b 2＝c 2足，那么这个三角形为直角三角形（此判别条件也称为勾股定理的逆定理）

注意：○1在判别一个三角式是不是直角三角形时，a 2+b 2是否等于c2时需通过计算说明，不能直接写成a 2+b 2＝c 2。○2验证一个三角形是不是直角三角形的方法是：（较小边长）+(较长边长)=（最大边长）时，此三角形为直角三角形；否则，此三角形不是直角三角形.

例1. 五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将他们摆成两个直角三角形，其中正确的是（ ）

c

b

a

H

G F E

D

C

B A

b

a

c

b

a

c c

a

b

c

a b

例2.在△ABC 中，a=m 2-n 2，b=2mn ，c=m 2+n 2，其中m ，n 是正整数，且m ＞n,试判断△ABC 是不是直角三角形。

知识点4.勾股数

满足a 2+b 2＝c 2的三个正整数，称为勾股数。

常见的勾股数有：○13,4,5○26,8,10○38,15,17○47,24,25○55,12,13○69,12,15○79,40,41 例1．判断下列各组数是不是勾股数

（1）3,4,7 （2）5,12,13 （3）1/3,1/4,1/5 (4)3,-4,5

四、典型例题

题型一、应用勾股定理建立方程

【例 １】如图，△ABC 中，AB=13，BC=14，AC=15，求BC 边上的高AD ．

c

b

a

H

G F E

D

C

B

A

b

a

c

b

a

c c

a

b

c

a

b

【变式1】直角三角形周长为12cm，斜边长为5cm，求直角三角形的面积。

【变式2】四边形ABCD中，∠B=90°，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四边形ABCD的面积。

题型二、勾股定理在折叠问题中的应用

例1.如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC=6cm，BC=8cm，现将直角边AC沿直线

AD折叠，使AC恰好落在斜边AB上，且点C与点E重合，求CD的长。

【变式1】如图所示，折叠矩形的一边AD，使点D落在BC边的点F处，已知AB=8cm，BC=10cm，求EF的长。

【变式2】在矩形纸片ABCD中，AD=4cm，AB=10cm，按如图方式折叠，使点B与点D重合，折痕为EF．求DE的长；

【变式3】如图，矩形纸片ABCD的边AB＝10 cm，BC＝6 cm，E为BC上的一点．将矩形纸片沿着AE折叠，点B恰好落在边DC的点G处，求BE的长

【变式4】在矩形纸片ABCD中，AB=3，BC=6，沿EF折叠后，点C落在AB边上的点P处，点D落在点Q处，AD与PQ相交于点H，∠BPE=30°，

（1）BE的长为________，QF的长为_______；

（2）四边形PEFH的面积为_______。

题型三、确定几何体上的最短路线

例1、如图所示，有一圆柱形油罐，现要以油罐底部的一点A环绕油罐建子（图中虚线），并且要正好建到A点正上方的油罐顶部的B点，已知油罐高AB=5米，底面的周长是的12米，则梯子最短长度为________米