勾股定理单元复习教案

年级数学科辅导讲义（第讲）学生姓名：授课教师：授课时间：

勾股定理

知识梳理

1．勾股定理：直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方。若直角三角形的两条直角边为a、b，斜边为c，则a²+b²=c²。

2．勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c有下面关系：a²+b²=c²，那么这个三角形是直角三角形。

3．满足a²+b²=c²的三个正整数，称为勾股数。若a，b，c是一组勾股数，则ak，bk，ck（k为正整数）也必然是一组勾股数。常用的几组勾股数有3,4,5；5,12,13；6,8,10；7,24,25；8,15,17；9,40,41等。

4．勾股定理的应用:

①圆柱形物体表面上的两点间的最短距离；

②长方体或正方体表面上两点间的最短距离问题。

5．直角三角形的判别：

①定义，判断一个三角形中有一个角是直角；

②根据勾股定理的逆定理，三角形一边的平方等于另外两边的平方和，则该三角形是直角三角形。

6．拓展：特殊角的直角三角形相关性质定理。

精讲点拨

考点1. 勾股定理

【例1】在Rt△ABC中，已知两边长为3、4，则第三边的长为

变式1 在Rt△ABC中，已知两边长为5、12，则第三边的长为

变式2 等边三角形的边长为6，则它的高是________

变式3 在Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C所对的边，

（1）已知c＝4，b＝3，求a；（2）若a:b=3:4，c=10cm，求a、b。

考点2. 勾股定理的证明

【例2】如图：由四个全等直角三角形拼成如下大的正方形，求证：2

2

2

a b c +=

变式 如图：由四个全等直角三角形拼成如下大的正方形，求证：2

2

2

a b c +=

考点3 勾股定理的应用

【例3】 如图，A 市气象站测得台风中心在A 市正东方向300千米的B 处，以107千米/时的速度向北偏西60°的BF 方向移动，距台风中心200•千米范围内是受台风影响的区域． （1）A 市是否会受到台风的影响？写出你的结论并给予说明； （2）如果A 市受这次台风影响，那么受台风影响的时间有多长？

变式1 飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到一个男孩子头顶上方4000米处，过了20秒，飞机距离这个男孩子头顶5000米，飞机每小时飞行多少千米？

变式2 一个25m 长的梯子AB ，斜靠在一竖直的墙AO 上，这时的AO 距离为24m ，如果梯子的顶端A 沿墙下滑4m ，那么梯子底端B 也外移4m 吗？

考点4. 直角三角形的判定

【例4】三角形的三边为a 、b 、c ，由下列条件不能判断它是直角三角形的是（ ）

A ．a:b:c=8∶16∶17

B ． a 2-b 2=c 2

C ．a 2

=(b+c)(b-c) D ． a:b:c =13∶5∶12

变式1 三角形的三边长为ab c b a 2)(2

2+=+,则这个三角形是( )

A. 等边三角形

B. 钝角三角形

C. 直角三角形

D. 锐角三角形.

变式2 已知，△ABC 中，17AB cm =，16BC cm =，BC 边上的中线15AD cm =，试说明△ABC

是等腰三角形．

变式3 如图，在正方形ABCD 中，F 为DC 的中点，E 为BC 上一点，且EC=4

1

BC ， 求证：AF ⊥EF ．

考点5. 勾股定理及其逆定理相关面积计算

【例5】一个零件的形状如图，已知∠A=900

，按规定这个零件中∠DBC 应为直角，工人师傅量得零件各边尺寸：AD = 4，AB = 3, BC = 12 , DC=13，问这个零件是否符合要求，并求四边形ABCD 的面积． D

C

B

A

变式1 如图示，有块绿地ABCD ，AD=12m ，CD=9m ，AB=39m ，BC=36m ，∠ADC=90°，求这块绿地的面积。

变式2 求知中学有一块四边形的空地ABCD ，如下图所示，学校计划在空地上种植草皮，经测量 ∠A=90°，AB=3m ，BC=12m ，CD=13m ，DA=4m ，若每平方米草皮需要200元，问学校需要投 入多少资金买草皮？

考点6. 折叠问题

【例6】折叠长方形ABCD 的一边AD ，使点D 落在BC 边的F 点处，若AB=8cm ，BC=10cm 。 求EC 的长.

变式1 如图，一块直角三角形的纸片，两直角边AC=6㎝，BC=8㎝。现将直角边AC 沿直线AD 折叠，使它落在斜边AB 上，恰与AE 重合，则CD 等于（ ） A ．2㎝

B ．3㎝

C ．4㎝

D ．5㎝

变式2 如图，在矩形ABCD 中，,6=AB 将矩形ABCD 折叠，使点B 与点D 重合，C 落在C '处，若

21：：=BE AE ，则折痕EF 的长为 。

变式1 图 变式2 图 m BF = 2.4 厘

= 4.00 厘米

E

C A

D

B

F

C

B

A

章节练习

一、选择题

1. 下列各组能组成直角三角形的是 ( )

A. 4、5、6

B. 2、3、4

C. 11、12、13

D. 8、15、17 2. 若等腰三角形的腰长为10，底边长为12，则底边上的高为（ ）

A. 6

B. 7

C. 8

D. 9

3. 如图，每个小正方形的边长为1，A 、B 、C 是小正方形的顶点，则∠ABC 的度数为（ ） A ．90° B ．60° C ．45° D ．30°

4. 直角三角形的两直角边分别为5厘米、12厘米，则斜边上的高是（ ）

A. 6厘米

B. 8厘米

C.

13

80厘米 D. 1360厘米

5. 已知一个直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（ ） 3题 图

A. 5

B. 25

C. 7

D. 25或7

二、填空题

6. 在△ABC 中，∠C ＝90°，若 c ＝17，b ＝15，则a ＝ ．

7. 如图,中间三角形是直角三角形，64、400分别为所在正方形的面积，则图中字母A 所代表的正方形面积是

8. 有以下几组数据 ①3、4、5 ；②17、15、8；③10、6、14；④12、5、13；⑤300、160、340；⑥0.3, 0.4,0.5.其中可以构成勾股数有

9. 如图某楼梯的长为5米，高3，计划在楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要________米。

10. 在长方形纸片ABCD 中，AD ＝4cm ，AB ＝10cm ，按如图方式折叠，使点B 与点D 重合，折痕为EF ，则DE ＝ cm.

9题 图 10题 图 A E B C

D

F

C ′

5米

3米