《勾股定理》复习学案(单元复习)
勾股定理全章综合复习
勾股定理全章综合复习A. 1个B . 2个C . 3个D . 4个(2)已知a, b, c为厶ABC三边，且满足(a2—b2)(a2+b2—c2)= 0,则它的形状为( )A.直角三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形(3)三角形的三边为a、b、c,由下列条件不能判断它是直角三角形的是( )2 2 2A. a: b: c=8 : 16 :仃B. a - b =cC. a2=(b+c)(b-c)D. a: b: c=13 : 5 : 12(4)三角形的三边长为(a+b ) 2=c2+2ab,则这个三角形是( )A.等边三角形；B.钝角三角形；C.直角三角形；D.锐角三角形(5)直角三角形中一直角边的长为9,另两边为连续自然数，则直角三角形的周长为________(6)若厶ABC的三边长a,b,c满足a2 b2+c2 +200 = 12a + 16b + 20c,试判断△ ABC的形状。
例3:求最大、最小角的问题(1)若三角形三条边的长分别是7,24,25,则这个三角形的最大内角是度。
(2)已知三角形三边的比为1 : 3 : 2,则其最小角为。
考点三：勾股定理的应用例1:面积问题（1）下图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都 是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A 、 B 、C 、D 的边长分别是3、 3）（2）如图，△ ABC 为直角三角形，分别以 为直径向外作半圆，用勾股定理说明三个半圆的面积 关系，可得（ ） A. S 1+ S 2> S 3B. S 1+ S 2= S 3C. S 2+S 3< S ID.以上都不是 （3 ）如图所示，分别以直角三角形的三边向外作三个 正三角形，其面积分别是 S 、S 、S,贝陀们之间的关 系是（ ）A. S 1- S 2= S 3B. S 1+ S 2= S 3C. S 2+Sv S 1D. S 2- S 3=S 5、2、3,则最大正方形ED.（图AB, BC47 2)例2:求长度问题（1）小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆顶端的绳子垂到地面还多1米，当他把绳子的下端拉开5米后, 发现下端刚好接触地面，求旗杆的高度。
勾股定理 复习学案1
勾股定理 复习学案一、知识点：1、勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
数学式子：∠C=900⇒222a b c +=2、神秘的数组(勾股定理的逆定理)：如果三角形的三边长a 、b 、c 满足a 2＋b 2＝c 2，那么这个三角形是直角三角形.数学式子：222a b c +=⇒∠C=900满足a 2＋b 2＝c 2三个数a 、b 、c 叫做勾股数。
二、举例：例1：⑴一个直角三角形的两条直角边分别为3和4，求斜边的长度⑵一个直角三角形一条直角边为6，斜边为10，求另一条直角边例2：在△ABC 中，AB=13，AC=15，BC=14，。
求BC 边上的高AD 。
例3：在△ABC 中，AB=15，AC=20，BC 边上的高AD=12，试求BC 的长．(两解)例4：如图，在△ABC 中，AC=AB ，D 是BC 上的一点，AD ⊥AB ，AD=9cm ，BD=15cm ，求AC 的长．A a D CB A DC BA例5：一轮船在大海中航行，它先向正北方向航行8 km ，接着，它又掉头向正东方向航行15千米．⑴ 此时轮船离开出发点多少km? ⑵ 若轮船每航行1km ，需耗油0.4升，那么在此过程中轮船共耗油多少升?例6：如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC ＝6cm ， BC ＝8cm ，现将直角边AC 沿直线折叠，使它落在斜边AB 上，且点C 落到E 点，则CD 的长是多少?例7：如图，四边形ABCD 中，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，∠B=90°，求四边形ABCD的面积。
例8：有一根70cm 的木棒，要放在50cm ，40cm ，30cm 的木箱中，试问能放进去吗？例9：甲、乙两人在沙漠进行探险，某日早晨8∶00甲先出发，他以6千米/时速度向东南方向行走，1小时后乙出发，他以5千米/时速度向西南方向行走，上午10∶00时，甲、乙两人相距多远？E D C B A B ACD例10：如图，由5个小正方形组成的十字形纸板，现在要把它剪开，使剪成的若干块能够拼成一个大正方形。
勾股定理单元复习教案
年级数学科辅导讲义（第讲）学生姓名：授课教师：授课时间：专题勾股定理章节复习目标掌握勾股定理及其逆定理重难点勾股定理的应用常考点勾股定理的计算、勾股定理的应用勾股定理知识梳理1．勾股定理：直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方。
若直角三角形的两条直角边为a、b，斜边为c，则a²+b²=c²。
2．勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c有下面关系：a²+b²=c²，那么这个三角形是直角三角形。
3．满足a²+b²=c²的三个正整数，称为勾股数。
若a，b，c是一组勾股数，则ak，bk，ck（k为正整数）也必然是一组勾股数。
常用的几组勾股数有3,4,5；5,12,13；6,8,10；7,24,25；8,15,17；9,40,41等。
4．勾股定理的应用:①圆柱形物体表面上的两点间的最短距离；②长方体或正方体表面上两点间的最短距离问题。
5．直角三角形的判别：①定义，判断一个三角形中有一个角是直角；②根据勾股定理的逆定理，三角形一边的平方等于另外两边的平方和，则该三角形是直角三角形。
6．拓展：特殊角的直角三角形相关性质定理。
精讲点拨考点1. 勾股定理【例1】在Rt△ABC中，已知两边长为3、4，则第三边的长为变式1 在Rt△ABC中，已知两边长为5、12，则第三边的长为变式2 等边三角形的边长为6，则它的高是________变式3 在Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C所对的边，（1）已知c＝4，b＝3，求a；（2）若a:b=3:4，c=10cm，求a、b。
考点2. 勾股定理的证明【例2】如图：由四个全等直角三角形拼成如下大的正方形，求证：222a b c +=变式 如图：由四个全等直角三角形拼成如下大的正方形，求证：222a b c +=考点3 勾股定理的应用【例3】 如图，A 市气象站测得台风中心在A 市正东方向300千米的B 处，以107千米/时的速度向北偏西60°的BF 方向移动，距台风中心200•千米范围内是受台风影响的区域． （1）A 市是否会受到台风的影响？写出你的结论并给予说明； （2）如果A 市受这次台风影响，那么受台风影响的时间有多长？变式1 飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到一个男孩子头顶上方4000米处，过了20秒，飞机距离这个男孩子头顶5000米，飞机每小时飞行多少千米？变式2 一个25m 长的梯子AB ，斜靠在一竖直的墙AO 上，这时的AO 距离为24m ，如果梯子的顶端A沿墙下滑4m ，那么梯子底端B 也外移4m 吗？考点4. 直角三角形的判定【例4】三角形的三边为a 、b 、c ，由下列条件不能判断它是直角三角形的是（ ）A ．a:b:c=8∶16∶17B ． a 2-b 2=c 2C ．a 2=(b+c)(b-c) D ． a:b:c =13∶5∶12 变式1 三角形的三边长为ab c b a 2)(22+=+,则这个三角形是( )A. 等边三角形B. 钝角三角形C. 直角三角形D. 锐角三角形.变式2 已知，△ABC 中，17AB cm =，16BC cm =，BC 边上的中线15AD cm =，试说明△ABC是等腰三角形．变式3 如图，在正方形ABCD 中，F 为DC 的中点，E 为BC 上一点，且EC=41BC ， 求证：AF ⊥EF ．考点5. 勾股定理及其逆定理相关面积计算【例5】一个零件的形状如图，已知∠A=900，按规定这个零件中∠DBC 应为直角，工人师傅量得零件各边尺寸：AD = 4，AB = 3, BC = 12 , DC=13，问这个零件是否符合要求，并求四边形ABCD 的面积．变式1 如图示，有块绿地ABCD ，AD=12m ，CD=9m ，AB=39m ，BC=36m ，∠ADC=90°，求这块绿地的面积。
勾股定理复习课学案
勾股定理复习导学案成印雁【学习目标】1.理解勾股定理的内容，已知直角三角形的两边，会运用勾股定理求第三边.2.会应用勾股定理解决实际问题.3.会运用勾股定理的逆定理，判断直角三角形.【学习重点】掌握勾股定理及其逆定理.【学习难点】如何灵活运用勾股定理及其逆定理【导学进程】（一）、复习课本，自主完成一、勾股定理：___________________________________在Rt△ABC中，∠C=90°则有________________知识运用(1)在Rt△ABC中，∠C=90°（1）若a=3，b=4，则c=＿＿＿＿；若b=8，c=17，则a=_______;(2)一根旗杆在离地面9 m处断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部12 m的地面上，旗杆在折断之前高度为。
二、勾股定理逆定理_____________________________________知识运用(1)、下列各组数中不能作为直角三角形的三边长的是( )A. 1.5,2,3;B. 7,24,25;C. 6,8,10;D. 9,12,15.(2)、将直角三角形的三条边长同时扩大同一倍数, 得到的三角形是( )A. 钝角三角形;B. 锐角三角形;C. 直角三角形;D. 等腰三角形. （二）、合作探究，归纳生成(1)、一直角三角形两条边长分别是12和5，则第三边的平方为（2）、（2006年甘肃省定西市中考题）下图阴影部分是一个正方形，则此正方形的面为．(3)、如图1：有一长70㎝，宽50㎝，高50㎝的长方体盒子，A点处有一只蚂蚁，想吃到B点处的食物，它爬行的最近距离是厘米。
（三)、当堂检测、自我评价（1）已知一个三角形的三边长分别是12cm，16cm，20cm，则这个三角形的面积为。
（2）求：（1）阴影部分是正方形；（2）阴影部分是长方形；（3）阴影部分是半圆．（四）、谈收获。
【课外作业】1.如图所示，AD=4m,CD=3m,AB=12m,BC=13m,且∠CDA=900,求这块草地的面积。
初中数学《勾股定理》复习教案
勾股定理复习（一）教学目标1.理解勾股定理的内容，已知直角三角形的两边，会运用勾股定理求第三边.2.勾股定理的应用.3.会运用勾股定理的逆定理，判断直角三角形.重点：掌握勾股定理及其逆定理.难点：理解勾股定理及其逆定理的应用.教学过程一、复习回顾在本章中，我们探索了直角三角形的三边关系，并在此基础上得到了勾股定理，并学习了如何利用拼图验证勾股定理，介绍了勾股定理的用途；本章后半部分学习了勾股定理的逆定理以及它的应用．其知识结构如下：1.勾股定理：(1)直角三角形两直角边的______和等于_______的平方．就是说，对于任意的直角三角形，如果它的两条直角边分别为a 、b ，斜边为c ，那么一定有：————————————.这就是勾股定理．(2)勾股定理揭示了直角三角形___之间的数量关系，是解决有关线段计算问题的重要依据．22222222,,b a c a c b b c a +=-=-=,2222,a c b b c a -=-=．2.勾股定理逆定理“若三角形的两条边的平方和等于第三边的平方，则这个三角形为________.”这一命题是勾股定理的逆定理.它可以帮助我们判断三角形的形状.为根据边的关系解决角的有关问题提供了新的方法.定理的证明采用了构造法.利用已知三角形的边a,b,c(a 2+b 2=c 2)，先构造一个直角边为a,b 的直角三角形，由勾股定理证明第三边为c,进而通过“SSS ”证明两个三角形全等，证明定理成立.3.勾股定理的作用：(1）已知直角三角形的两边，求第三边；(2）在数轴上作出表示（n 为正整数）的点．勾股定理的逆定理是用来判定一个三角形是否是直角三角形的.勾股定理的逆定理也可用来证明两直线是否垂直,勾股定理是直角三角形的性质定理，而勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理，它不仅可以判定三角形是否为直角三角形，还可以判定哪一个角是直角，从而产生了证明两直线互相垂直的新方法：利用勾股定理的逆定理，通过计算来证明，体现了数形结合的思想．(3)三角形的三边分别为a 、b 、c ，其中c 为最大边，若222c b a =+，则三角形是直角三角形；若222c b a >+，则三角形是锐角三角形；若2<+c b a 22，则三角形是钝角三角形．所以使用勾股定理的逆定理时首先要确定三角形的最大边．二、课堂展示例1：如果一个直角三角形的两条边长分别是6cm 和8cm ，那么这个三角形的周长和面积分别是多少?例2：如图，在四边形ABCD 中，∠C=90°，AB=13，BC=4，CD=3，AD=12，求证：AD ⊥BD ．三、随堂练习1.如果下列各组数是三角形的三边，那么不能组成直角三角形的一组数是( )A ．7，24，25B ．321，421，521C ．3，4，5D ．4，721，821 2.如果把直角三角形的两条直角边同时扩大到原来的2倍，那么斜边扩大到原来的( )A ．1倍B ．2倍C ．3倍D ．4倍3.三个正方形的面积如图1，正方形A 的面积为（ ）A ． 6B ． 36C ． 64D ． 8 图1 A100644.直角三角形的两直角边分别为5cm ，12cm ，其中斜边上的高为（ ）A ．6cmB ．8．5cmC ．1330cm D ．1360cm 5.在△ABC 中，三条边的长分别为a ，b ，c ，a ＝n 2－1，b ＝2n ，c ＝n 2+1(n ＞1，且n 为整数)，这个三角形是直角三角形吗？若是，哪个角是直角四、课后练习1．两只小鼹鼠在地下打洞，一只朝前方挖，每分钟挖8cm ，另一只朝左挖，每分钟挖6cm ，10分钟之后两只小鼹鼠相距（ ）A ．50cmB ．100cmC ．140cmD ．80cm2．小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多1m ，当它把绳子的下端拉开5m 后，发现下端刚好接触地面，则旗杆的高为 （ ）A ．8cmB ．10cmC ．12cmD ．14cm3．在△ABC 中，∠C ＝90°，若 a ＝5，b ＝12，则 c ＝＿＿＿4．等腰△ABC 的面积为12cm 2，底上的高AD ＝3cm ，则它的周长为＿＿＿．5．等边△ABC 的高为3cm ，以AB 为边的正方形面积为＿＿＿．6．一个三角形的三边的比为5∶12∶13，它的周长为60cm ，则它的面积是＿＿。
《勾股定理》复习学案(期末复习)
第3题 第4题 《勾股定理》复习学案【知识点归纳】1、勾股定理直角三角形两直角边a ，b 的 等于斜边c 的 ，即2、勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a ，b ，c 有关系 ，那么这个三角形是 三角形。
3、勾股数：满足222c b a =+的三个 ，称为勾股数。
★注意：1.勾股定理仅适用于 三角形；2.常见的勾股数（请举出几组）：3.若a ，b ，c 为勾股数，则ka ，kb ，kc （k 为正整数）也是勾股数。
【基础训练】1.一架2.5m 长的梯子斜靠在一竖直的墙上，这时梯足距墙脚0.7m ．那么梯子的顶端距墙脚的距离是（ ）．(A)0.7m (B)0.9m (C)1.5m (D)2.4m2..以下各组数中，能组成直角三角形的是（ ）(A)2，3，4 (B)1.5，2，2.5 (C)32，42，52 (D)8，9，103.如图，为了求出湖两岸A 、B 两点之间的距离，一个观测者在点C 设桩，使三角形ABC 恰好为以∠B 为直角的直角三角形．通过测量，得到AC 长160m ，BC 长128m ，则AB 长 m ．4.利用四个全等的直角三角形可以拼成如图所示的图形，这个图形被称为弦图．从图2中可以看到：大正方形面积＝小正方形面积＋四个直角三角形面积．因而 c 2＝ ＋ 。
化简后即为 c 2＝ 。
5.有两棵树，一棵高6米，另一棵高2米，两树相距5米．一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了 米。
【本章小专题】☞专题一：勾股定理及应用1.计算下列直角三角形的边长（注意运用规律）：（1） （2） （3）2.一个零件的形状如图所示，工人师傅按规定做得AB ＝3，BC ＝4，AC ＝5，CD ＝12，AD ＝13，假如这是一块钢板，你能帮工人师傅计算一下这块钢板的面积吗？3.波平如镜的湖面上，有一朵盛开的美丽的红莲，它高出水面3尺．突然一阵大风吹过，红莲被吹至一边，花朵刚好齐及水面，如果知道红莲移动的水平距离为6尺，请问水深多少？☞专题二：面积问题1.如图：以Rt △的三边长为边在外面作三个正方形M 、N 、P（1）若S M =5，S N =6，则S M +S N +S P = ；（2）若S P =10，则S M +S N +S P = 。
人教版初中数学八年级下册第十七章《勾股定理》复习教案
第17章勾股定理全章复习教学目标：1.会用勾股定理解决简单问题。
2.会用勾股定理的逆定理判定直角三角形。
3.会用勾股定理解决综合问题和实际问题。
教学重点：回顾并思考勾股定理及逆定理教学难点：勾股定理及逆定理在生活中的广泛应用。
教学过程：(一)知识结构图：见PPT(二)基础知识：1.勾股定理如果直角三角形两直角边分别为a ，b ，斜边为c ，那么a2 + b2 = c2几何语言：在Rt △ABC 中, ∠C=90°∴a2+b2=c2练习：1.求出下列直角三角形中未知的边．2.已知:直角三角形的三边长分别是 3,4,X,则X=3. 三角形ABC 中,AB=10,AC=17,BC 边上的高线AD=8,求BC8A 15B 30° 2C B A 2 45° A CB2 .勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a ，b ，c 满足a2 +b2=c2 ，那么这个三角形是直角三角形 几何语言： 在△ABC 中,∵a2+b2=c2∴ △ABC 是直角三角形，∠C=90°互逆定理 如果一个定理的逆命题经过证明是真命题, 那么它也是一个定理, 这两个定理叫做互逆定理, 其中一个叫做另一个的逆定理.基础练习二：1．在已知下列三组长度的线段中，不能构成直角三角形的是 ( )A 5，12，13B 2，3，3C 4，7，5D 1， 2 ， 52.若△ABC 中 ,AB=5 ,BC=12 ,AC=13 ,求AC 边上的高.三、典例分析：例1、如图，四边形ABCD 中，AB ＝3，BC=4,CD=12,AD=13, ∠B=90°，求四边形ABCD 的面积变式 有一块田地的形状和尺寸如图所示，试求它的面积。
121334归纳： 转化思想例2、下图是学校的旗杆,小明发现旗杆上的绳子垂到地面还多1米，如图（1），当他把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好接触地面，如图（2），你能帮他D BA C归纳： 方程思想 例3、如图，矩形纸片ABCD 的边AB=10cm,BC=6cm,E 为BC 上一点，将矩形纸片沿AE 折叠，点B 恰好落在DC 边上的点G 处，求BE 的长。
勾股定理的复习学案（第8、9课时）
《勾股定理(2)》复习学案
勾股定理复习(2)学习目标1.掌握直角三角形的边、角之间所存在的关系，熟练应用直角三角形的勾股定理和逆定理来解决实际问题．2.经历反思本单元知识结构的过程，理解和领会勾股定理和逆定理．3.熟悉勾股定理的历史，进一步了解我国古代数学的伟大成就，激发爱国主义思想，培养良好的学习态度．重点：掌握勾股定理以及逆定理的应用．难点：应用勾股定理以及逆定理．考点一、已知两边求第三边1．在直角三角形中,若两直角边的长分别为1cm ，2cm ，则斜边长为______．2．已知直角三角形的两边长为3、2，则另一条边长是________________．3．在数轴上作出表示10的点．4．已知，如图在ΔABC 中，AB=BC=CA=2cm ，AD 是边BC 上的高． 求 ①AD 的长；②ΔABC 的面积．考点二、利用列方程求线段的长1．如图，铁路上A ，B 两点相距25km ，C ，D 为两村庄，DA ⊥AB 于A ，CB ⊥AB 于B ，已知DA=15km ，CB=10km ，现在要在铁路AB 上建一个土特产品收购站E ，使得C ，D 两村到E 站的距离相等，则E 站应建在离A 站多少km 处？2.如图，某学校（A 点）与公路（直线L ）的距离为300米，又与公路车站（D 点）的距离为500米，现要在公路上建一个小商店（C 点），使之与该校AAD E BC及车站D 的距离相等，求商店与车站之间的距离．考点三、判别一个三角形是否是直角三角形1.分别以下列四组数为一个三角形的边长：（1）3、4、5（2）5、12、13（3）8、15、17（4）4、5、6，其中能够成直角三角形的有2.若三角形的三别是a 2+b 2,2ab,a 2-b 2(a>b>0),则这个三角形是 .3.如图1，在△ABC 中，AD 是高，且，求证：△ABC 为直角三角形。
考点四、灵活变通1.在Rt △ABC 中， a ，b ，c 分别是三条边，∠B=90°，已知a=6，b=10，则边长c=2.直角三角形中，以直角边为边长的两个正方形的面积为72cm ，82cm ，则以斜边为边长的正方形的面积为_________2cm ．3.如图一个圆柱，底圆周长6cm ，高4cm ，一只蚂蚁沿外壁爬行，要从A 点爬到B 点，则最少要爬行 cm4.如图：带阴影部分的半圆的面积是 （π取3）5.一只蚂蚁从长、宽都是3，高是8的长方体纸箱的A 点沿纸箱爬到 B 点，那么它所爬行的最短路线的长是CD BD AD 2⋅=6.若一个三角形的周长123c m,一边长为33c m,其他两边之差为3c m,则这个三角形是______________________．7.如图：在一个高6米，长10米的楼梯表面铺地毯，则该地毯的长度至少是 米。
第十八章 勾股定理 复习学案
c ba HG F EDCBAbacbac cabcab ac c baED A第十八章 勾股定理一、课程学习目标1、体验勾股定理的探索过程，会运用勾股定理解决简单的实际问题。
2、会运用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否为直角三角形。
3、了解勾股数的概念，能识记一些常见的勾股数。
4、能在数轴上找到一些表示无理数的点的位置，如2、13等。
5、了解逆命题、逆定理的概念。
能写出一个命题的逆命题，会判定是否成立。
6、领会和掌握“数形结合”“方程”“转化”“分类讨论”等数学思想方法。
二、本章知识结构图三、勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法,用拼图的方法验证勾股定理的思路是: ①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理 常见方法如下：方法一：4EFGH S S S ∆+=正方形正方形ABCD，2214()2ab b a c ⨯+-=，化简可证。
方法二：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221422S ab c ab c =⨯+=+大正方形面积为222()2S a b a ab b=+=++所以222a b c +=方法三：2112S 222ADE ABES S ab c∆∆=+=⋅+梯形，1()()2S a b a b =+⋅+梯形，化简得证。
四、知识要点———经典例题———跟踪练习18.1勾股定理 （一）知识要点1、勾股定理： 。
2、至少会用三种方法来证明勾股定理。
（二）经典例题例1：直角三角形的两条直角边长分别为5，12，则斜边上的高为 。
例2：已知Rt △ABC 的周长为24，∠C=90°，且AB ：AC =5：3，则BC 的长等于（ ）。
例3：在△ABC 中，090=∠C ，AB=10，（1）若030=∠A ，求BC 、AC 的长（精确地0.01） （2）若045=∠A ，求BC 、AC 的长（精确地0.01）例4：有一个小朋友拿着一根竹竿要通过一个长方形的门,如果把竹竿竖立放比门高1尺,斜放则恰好等于门的对角线长,已知门宽4尺,求门的高度.例5：如图,我国古代数学家赵爽的“勾股圆方图”是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是 1，直角三角形较短的直角边为a ，较长的直角边为b ，那么()2b a + 的值为（ ）A ．13 B.19 C.25 D.169例6：一架25分米长的梯子，斜立在一竖直的墙上，这时梯足距离墙底7分米，如果梯子的顶端沿墙下滑4分米，那么梯足将滑动 。
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《勾股定理》复习学案★知识汇总1．勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法用拼图的方法验证勾股定理的思路是：①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改；②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理常见方法如下：设直角三角形的两直角边和斜边长由短到长分别为a,b,c 方法一：如图，S △AFD = EF= S 正方形EFGH = S 正方形ABCD = = 化简过程为：方法二：如图，S △= S 大正方形= S 小正方形= = 化简过程为：方法三：如图，S △AED = S △BEC = S △AEB = S 梯形ABCD = = ， 化简过程为：2.面积问题：⑴如图1，以直角三角形的三边长作正方形，则三个正方形的面积之间存在关系是 ⑵如图2，以直角三角形的三边长为直径作半圆，则三个半圆的面积之间存在关系是 ⑶如图3，以直角三角形的三边长为斜边作等腰直角三角形，则三个三角形的面积之间存在关系 是 小练习：1.如图1，①若S 1=9 S 2=16，则S 3= ，BC= ；②若AB=2，S 3=10，则S 2= ； ③若S 3=10，则S 1+S 2+S 3= ；④若S 1+S 2=5，则S 1+S 2+S 3= 。
2.如图2，①若S 1=2π S 3=258π，则S 2= ；②若S 1=3π，S 2=32π，则S 3= ，BC= ； ③若BC=10，则S 1+S 2= 。
3.如图3，BC=6，则S 1+S 2+S 3= 。
4.如图4，以直角三角形的三边长为直径作半圆，若AB=12,AC =5,则S 阴影= 。
5.如图5，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，①若最大的正方形的边长为7㎝，则正方形A 、B 、C 、D 的面积之和为 ；②若最大的正方形的边长为10㎝，正方形A 的边长为6㎝，B 的边长为5㎝，C 的边长也为5㎝，则正方形D 的边长为 。
3．勾股定理的逆定理内容：如果三角形三边长a ，b ，c 满足a 2+b 2=c 2，那么这个三角形是直角三角形，其中c 为斜边。
4. 勾股数条件：①满足a 2+b 2=c 2；②a,b,c 为三个正整数，则a,b,c 为一组勾股数。
请写出一些常见的勾股数（至少写出5组）：5.勾股定理的应用 ①已知直角三角形的任意两边长，求第三边：在ABC ∆中，90C ∠=︒，则c 2=a 2+b 2，b 2=c 2-a 2，a 2=c 2-b 2 ②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系 ③可运用勾股定理解决一些实际问题④在空间图形中求不在同一平面上两点的距离，需要将立体图形展开，使两点放入同一平面内，然后用勾股定理计算。
★练习题一. 选择题1.已知一个Rt △的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（ ） A 、25 B 、14 C 、7 D 、7或252.等腰△ABC 的底边BC 为16，底边上的高AD 为6，则腰长AB 的长为（ ） A 、10 B 、12 C 、15 D 、203.下列说法正确的是（ ）A.若 a 、b 、c 是△ABC 的三边，则a 2＋b 2＝c 2B.若 a 、b 、c 是Rt △ABC 的三边，则a 2＋b 2＝c 2C.若 a 、b 、c 是Rt △ABC 的三边， 90=∠A，则a2＋b 2＝c 2D.若 a 、b 、c 是Rt △ABC 的三边， 90=∠C ，则a 2＋b 2＝c 24.把直角三角形的两条直角边同时扩大到原来的2倍，则斜边扩大到原来的（ ） A ． 2倍 B ． 4倍 C ． 6倍 D ． 8倍5.△ABC 是某市在拆除违章建筑后的一块三角形空地.已知∠C=90°，AC=30米，AB=50米，如果要在这块空地上种植草皮，按每平方米草皮元计算，那么共需要资金（ ）. A. 50元 B. 600元 C. 1200元 D. 1500元图4 图56.如图,将一棵长为24cm 的筷子置于底面直径为5cm ，高为12cm 的圆柱形水杯中（如图），设筷子露在杯子外面的长为hcm ，则h 的取值范围是（ ）A 、h ≤13cmB 、h ≥12cmC 、5cm ≤h ≤13cmD 、11cm ≤h ≤12cm7.如图,直线L 上有三个正方形a 、b 、c,若a 、c 的面积分别为5和11,则正方形b 的面积为（ ） A. 4 B. 6 C. 16 D. 55 8.如图，将一个边长分别为4、8的长方形纸片ABCD 折叠，使C 点与 A 点重合，则EB 的长是（ ）． A ．3B ．4 CD ．59.如图，每个小正方形的边长为1，A 、B 、C 是小正方形的顶点，则∠ABC 的度数为（ ） A ．90° B ．60° C ．45° D ．30°10.将直角三角形的三条边长同时扩大同一倍数, 得到的三角形是( )（A ） 钝角三角形 （B ） 锐角三角形 （C ） 直角三角形 （D ） 等腰三角形.11.已知a ，b ，c 为△ABC 三边，且满足(a －b )(a 2+b 2－c 2)＝0，则它的形状为（ ） A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形 二. 填空题1.若△ABC 的三边a 、b 、c 满足▕a-3▏+5 c +b 2+16=8b,则△ABC 的形状为 。
2.如图是一个外轮廓为矩形的零件平面示意图，根据图中标注的尺寸（单位：㎜），计算两圆孔中心A 和B 的距离为 。
3.如图，是02年8月在北京召开的国际数学大会的会标，它是由四个相同的直角三角形与中间一个小正方形拼成的一个大正方形，若大正方形的边长为13cm ，小正方形的边长为7cm ，则直角三角形较短的直角边长为 。
4.如图，Rt △ABC 中，∠C=90°，D 为AC 上一点，且DA=DB=5，又S △DAB =10，则CD= 。
5.如图，学校有一块长方形花圃，有极少学生为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”，他们仅仅少走了 步路，却踩上了花草。
（假设2步为1米）6.如图，在直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AD ⊥CD ，AB=1㎝，AD=2㎝，CD=4㎝，则BC= 。
则矩形ABCD 的边BC的长为 。
7.直角三角形的两直角边长分别为5和12，则斜边上的高为 。
8.在平静的湖面上，有一支红莲，高出水面1米，一阵风吹来，红莲被吹到了一边，花朵正好没入水中，已知红莲移动的水平距离为2米，这里的水有多深？答：米。
9.小明想知道学校旗杆的高度，他发现旗杆顶端的绳子垂到地面还多1米，当他把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好接触地面，则旗杆的高为 。
10.下列三角形①三边之比为1∶2∶4 ②三角之比为2∶3∶5 ③三边之比为2∶3∶4 ④三边之比为9∶40∶41⑤三边长分别为3、7、2 ⑥三边长分别为32、42、52其中是直角三角形的有（填序号） 。
11.如图为某楼梯,测得楼梯的长为5米,高3米,计划在楼梯表面铺地毯,地毯的长度至少需要 米. 12.如图，对面的两棵树高分别为8m 和2m ，两棵树间距为8m ，一小鸟从一棵树梢飞到另一棵树梢，至少需要飞过的距离为 。
13.如图，一棵大树在一次强烈的地震中从离地面10米处折断倒下，树顶落在距树根24米处，则大树在折断前的高度为 。
14.在一棵树的10米高B 处有两只猴子，一只猴子爬下树走到距树20米处的池塘A 处，另一只爬到树顶D 后，直接跃到A 处，如果两只猴子所经过的距离相等，则这棵树高约为 。
15.如图，一圆柱体如图所示，圆柱体的底面半径为2，高AB 为5。
（π取3）⑴若一只蚂蚁从A 点出发，沿圆柱体的侧面爬行到点C ，则爬行的最短距离的平方为 。
⑵若一只蚂蚁从A 点出发，沿圆柱体的侧面爬行到点B ，则爬行的最短距离为 。
16.如图，长方体的底面边长分别为1cm 和3cm ，高为6cm ．如果用一根细线从点A 开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B ，那么所用细线最短需要______cm.17.如图，一块直角三角形的纸片，两直角边AC=6cm ，BC=8cm,现将直角边AC 沿直线AD 折叠，使它落在斜边AB ，且与AE 重合，则CD 长为 。
18.如图，矩形ABCD 中，AB=10，BC=8，沿直线CE 折叠，使点D 落在点F 处，则BF= ，AF= ，AE= 。
19.如图，将矩形纸条ABCD 沿EF 、GH 同时折叠，B 、C 两点恰好落在AD 边的P 点，若∠FPH=90°，PF=8，PH=6，则BC 长为 。
第6题第7题 第8题 C BA 第9题 第2题 第3题 第4题 第5题第6题第11题 第12题第13题第14题B A 6cm 3cm 1cm 第16题 第15题第17题 第18题 第19题图18.2-320.在直角三角形ABC中，斜边AB=2，则AB2+AC2+BC2=______.21.如图，四边形ABCD是正方形，AE垂直于BE，且AE=3，BE=4，阴影部分的面积是______.22.如图，△ABC中，∠C=90°，AB垂直平分线交BC于D若BC=8，AD=5，则AC等于______________.23.如图，△ABC中，∠C = 90°，点O为△ABC的三条角平分线的交点，OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，点D、E、F分别是垂足，且BC = 8cm，CA = 6cm，则点O到三边AB，AC和BC的距离分别等于 cm.24.在直线l上依次摆放着七个正方形（如图4所示）。
已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是S1、S2、S3、S4，则S1+S2+S3+S4=______。
三. 解答题1.如图，小明在A时测得某树的影长为2m，B时又测得该树的影长为8m，若两次日照的光线互相垂直，求树的高度为2.如图，铁路上A，B两点相距25km，C，D为两村庄，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，已知DA=15km，CB=10km，现在要在铁路AB上建一个土特产品收购站E，使得C，D两村到E站的距离相等，则E站应建在离A站多少km处？3.如图，图⑴是用硬纸板做成的两个全等的直角三角形，两直角边长分别为a,b斜边长为c.图⑵是以C为直角边的等腰直角三角形，请你将它们拼成一个能证明勾股定理的图形。
⑴画出拼成这个图形的示意图，写出他是什么图形。
⑵用这个图形证明勾股定理。
4.“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里，它们离开港口一个半小时后相距30海里．如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？5.一个零件的形状如图，按规定这个零件中∠A与∠BDC都应为直角，工人师傅量得零件各边尺寸：AD=4，AB=3,BD=5，DC=13 , BC=12，这个零件符合要求吗？6.如图，在等边三角形ABC中，P为△ABC内一点，连结PA、PB、PC，将PB绕点B顺时针旋转60°，使点P与点Q重合，若PA:PB:PC=3:4:5,求∠BQC的度数。