勾股定理复习课导学案
勾股定理复习导学案
课题：勾股定理复习课型：复习课课时：1教师“复备”栏或学生笔记栏【学习目标】 1.理解勾股定理的内容，已知直角三角形的两边，会运用勾股定理求第三边.2.勾股定理的应用.3.会运用勾股定理的逆定理，判断直角三角形.【学习重点】掌握勾股定理及其逆定理。
【学习难点】理解勾股定理及其逆定理的应用。
【学习过程】一、复习回顾知识结构如下：1.勾股定理：(1)(2)勾股定理揭示了直角三角形___之间的数量关系，是解决有关线段计算问题的重要依据．22222222,,bacacbbca+=-=-=,2222,acbbca-=-=．2.勾股定理逆定理3.互逆命题：互逆定理：二.课堂展示例1：如果一个直角三角形的两条边长分别是6cm和8cm，那么这个三角形的周长和面积分别是多少?例2：如图，在四边形ABCD中，∠C=90°，AB=13，BC=4，CD=3，AD=12，求证：AD⊥BD．三.随堂练习1.如果下列各组数是三角形的三边，那么不能组成直角三角形的一组数是( )A．7，24，25 B．321，421，521C．3，4，5 D．4，721，8212.如果把直角三角形的两条直角边同时扩大到原来的2倍，那么斜边扩大到原。
勾股定理复习导学案2
课题：勾股定理的逆定理复习（1）(导学案)一、学习目标1、掌握勾股定理的逆定理。
2、进一步熟练掌握勾股定理及逆定理的应用。
3、在反思和交流的过程中，体验学习带来的无尽乐趣。
二、重点难点重点：勾股定理的逆定理的应用 难点：灵活应用勾股定理及逆定理。
三、本章相关知识 1.勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a ，b ，c 满足 ，那么这个三角形是 ．注：（1）勾股定理主要反映了直角三角形三边之间的数量关系，它是解决直角三角形中有关计算与证明的主要依据；2.勾股定理的逆定理主要的应用是把数转化为形，通过计算三角形三边之间的关系来判断一个三角形是否是直角三角形，它可作为直角三角形的判定依据．3.利用勾股定理逆定理证明三角形是否是直角三角形的步骤：①先判断哪条边最大； ②分别用代数法计算 a 2+b 2 和c 2 的值； ③判断a 2+b2和 c 2是否相等。
若相等，则是直角三角形；若不相等，则不是直角三角形。
4.勾股定理的应用（最短路线、梯子下滑、船在水中航行等） 考点1：用勾股定理的逆定理判别一个三角形是否是直角三角形 1.若一个三角形的周长 123cm ，一边长为33cm ，其他两边之差为3cm ，则这个三角形是 .2、若△ABC 的三边为a 、b 、c 满足a ：b ：c=1：1：2，则△ABC 的形状为 。
3.若△ABC 的三边a ，b ，c 满足条件a 2+b 2+c 2+338=10a+24b+26c,试判定△ABC 的形状．4．已知：如图，在正方形ABCD 中，F 为DC 的中点，E 为CB 的四等分点且CE ＝，求证：AF ⊥FE ．(点拨：要证AF ⊥EF ，需证△AEF 是直CB41角三角形，由勾股定理的逆定性，只要证出AF 2+EF 2=AF 2就可以了．）5、如图，铁路上A ，B 两点相距25km ，C ，D 为两村庄，DA ⊥AB 于A ，CB ⊥AB 于B ，已知DA=15km ，CB=10km ，现在要在铁路AB 上建一个土特产品收购站E ，使得C ，D 两村到E 站的距离相等，则E 站应建在离A 站多少km 处？考点1：勾股定理在几何中的应用 1、如图，已知Rt △ABC 的周长为4+32，斜边AB 的长为23,则Rt △ABC 的面积是 。
14勾股定理复习导学案 - 副本
勾股定理复习学案一、自主梳理、问题导学（1）勾股定理： 。
（2）勾股定理的逆定理： 。
（3）满足 的三个正整数，称为勾股数。
例如： 。
（4）勾股定理是直角三角形的一个重要的性质，它揭示的是直角三角形中边长的特殊关系，揭示直角三角形中角的特殊关系的性质是 。
二、应用训练1、一个直角三角形的三边长为连续偶数，则它的各边长为________。
2、三角形的三边为a 、b 、c ，由下列条件不能判断它是直角三角形的是（ ）A ．a:b:c=8∶16∶17B ． a 2-b 2=c 2C ．a 2=(b+c)(b-c)D ． a:b:c =13∶5∶12 B3、如图，一只蚂蚁从点A 沿圆柱表面爬到点B ，如果圆柱的高为8cm ，圆柱的底面半径为π6cm ，那么最短的路线长是（ ） AA. 6cmB. 8 cmC. 10 cmD. 10πc4、如图己知13,12,4,3,====⊥AD CD BC AB BC AB 求四边形ABCD 的面积.5、如图，已知长方形ABCD 中AB=8 cm,BC=10 cm,在边CD 上取一点E ，将△ADE折叠使点D 恰好落在BC 边上的点F ，求CE 的长.三、精练展示1．一个直角三角形，有两边长分别为6和8，下列说法正确的是（ ）A. 第三边一定为10B. 三角形的周长为25C. 三角形的面积为48D. 第三边可能为102．直角三角形的斜边为20cm ，两条直角边之比为3∶4，那么这个直角三角形的周长为（ ）A . 27cm B. 30cm C. 40cm D. 48cm3．若△ABC 的三边a 、b 、c 满足(a-b)(a 2+b 2-c 2)=0，则△ABC 是 ( )A. 等腰三角形B. 等边三角形C. 等腰直角三角形D. 等腰三角形或直角三角形4．将直角三角形的三边扩大相同的倍数后，得到的三角形是（ ）A 直角三角形B 锐角三角形C 钝角三角形D 不能5． 在Rt △ABC 中，∠C=90°，（1）若a=5，b=12，则c= ；（2）b=8，c=17 ，则ABC S =6. 等边三角形的边长为6，则它的高是________7．已知两条线段的长为5cm 和12c m,当第三条线段的长为 c m 时,这三条线段能组成一个直角三角形.8. 在△ABC 中，点D 为BC 的中点，BD=3，AD=4，AB=5，则AC=___________9．等腰三角形的周长是20c m,底边长是6c m,则底边上的高是____________四、考点链接：已知：如图，△ABC 中，∠C ＝90º，AD 是角平分线，CD ＝15，BD ＝25．求AC 的长．五、巩固提升、拓宽延伸1、等腰三角形的，腰长为25，底边长14，则底边上的高是________，面积是_________。
勾股定理复习导学案
第一单元 《勾股定理》的复习课导学案
一、知识点
1、勾股定理：直角三角形两直角边a 、b 的平方和等于斜边c 的平方。
（即：a 2+b 2=c 2）
2、勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长：a 、b 、c 有关系a 2+b 2=c 2，
那么这个三角形是直角三角形。
3、满足222c b a =+的三个正整数，称为勾股数。
二、典型例题
（2016•哈尔滨改编）甲、乙两船从港口A 同时出发，甲船以30海里/小时的速度向北偏东35°的方向航行，乙船以40海里/小时的速度另一个方向航行,2小时后，甲船达到C 岛，乙船到达B 岛。
若两岛相距100海里，问：乙船航行的方向是南偏东多少度？
A B C
35°
⌒
(2014年安徽中考试题)如图，Rt△ABC中，AB=9，BC=6，∠B=90°，将△ABC折叠，使A点与BC的中点D重合，折痕为MN，则线段BN的长为（）
（2015•资阳）如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为12cm，底面周长为10cm，在容器内壁离容器底部3cm的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿3cm的点A 处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是
思考：（1）以直角三角形的三边为边向外作正方形，三个正方形的面积有何关系？
（2）以直角三角形的三边为边向外作等边三角形，三个等边三角形的面积有何关系？
（3）以直角三角形的三边为斜边向外作等腰直角三角形，三个等腰直角三角形的面积有何关系？
（4）以直角三角形的三边为直径向外作半圆，三个半圆的面积有何关系？。
勾股定理复习课导学案(1)
通 辽 四 中 导 学 案班级： 姓名： 导学案编号：课题 第17章勾股定理复习课 授课教师课型 新 授 课主 备审 核学习 目标1.思考勾股定理及其逆定理的发现证明和应用过程2.体会出入相补思想、数形结合思想、方程思想、转 化思想在解决数学问题中的作用.导 学 过 程一、 单元导入，明确目标二、 自学指导，合作探究：1.在Rt △ABC 中，已知a=1，b=3，∠B=90°，则第三边c 的为 ．2.在Rt △ABC 中，已知a=1，b=3，则第三边c 的长为 ．3.分别以下列四组数为一个三角形的边长：①3，4，5；②5，12，13；③8，15，17； ④4，5，6．其中能构成直角三角形的有 ．4. 命题“对顶角相等”的逆命题是______________________________________， 这个是______________命题(选填真或假)．5.小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多1 m ，当他把绳子的下端后，发现下端刚好接触地面，则旗杆的高（ ）．A ．8 mB ．10 mC ．12 mD ．14 m6.如图K17－16－2，数轴上的点A 表示的数是－1，点B 表示的数是1，CB⊥AB 于点B ，且勾股定理直角三角形边 长的数量关系勾股定理 的逆定理直角三角 形的判定互逆定理BC ＝2，以点A 为圆心，AC 为半径画弧交数轴于点D ，则点D 表示的数为__________.（6题） （7题） （8题） 7. 在直线l 上依次摆放着七个正方形(如图所示)．已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是S1、S2、S3、S4，则S1＋S2＋S3＋S4＝_______． 8. 如下图所示的一块地，AB ＝3，CB ＝4，∠ABC＝90°，CD ＝13，AD ＝12.则这块地的面积 ．9. 如下图，矩形纸片ABCD 中，AB ＝4，AD ＝3，折叠纸片使AD 边与对角线BD 重合，折痕AG 的长为10.已知a,b,c 满足0)11(3522=-+-+-c b a ，则a= ，b= ，c= 以a ，b ，c 为边的三角形为 三角形三、大组汇报，教师点拨：1. 如图K17－16－4，在四边形ABCD 中，AB ＝AD ＝4 ，∠A ＝90°，∠CBD ＝30°， ∠C ＝45°，求BD 及BC 的长l321S 4S 3S 2S 12. 如图，正方形ABCD 中，F 为DC 的中点，E 为BC 上一点，且CE= 41BC ． 你能说明∠AFE 是直角吗？通辽四中达标检测题1. 如图K17－16－3，每个小正方形的边长为1.(1)直接写出四边形ABCD 的面积和周长；(2)求证：∠BCD ＝90°.FE D CBA2.如图，P 为边长为2的正方形ABCD 对角线AC 上一动点， 点E 为AD 边中点，求EP+DP 最小值 。
勾股定理复习导学案
勾股定理复习 课型：复习课知识点： A. 熟练掌握勾股定理的各种表达形式： /C= 9 0 0, /A 、/E 、/C 的对边分别为 2 2, .2 2 2.2 .2 2 _ C =a +b , a =c -b , b =c -a 1. 某直角三角形的勾与股分别是另一直角三角形勾与股的 形与另一直角三角形的弦之比是( ) A. n:1 B.1:n C.1: n2 2. ___________________________ 由四根木棒，长度分别为 3, 4, 5, 6若取其中三根木棒组成三角形，有 成直角三角形的是 _________________B. 勾股定理的应用：用勾股定理可以解决(1) 已知直角三角形的任两边，求第三边问题； (2) 证明线段的平方关系问题；(3) 作数轴上的 J 2、品、弼,……等； (4) 解决实际问题.、3. 直角三角形的两条直角边分别是 5cm, 12cm,其斜边上的高是(4. 以直角三角形的两直角边所作正方形的面积分别是 25和144,则斜边长是5. —架5cm 长的梯子，斜立靠在一竖直的墙上，这是梯子下端距离墙的底端 1.4，若梯子顶端下滑了 0.8m, 则梯子底端将下滑( )6. 要在高3m,斜坡5m 的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需( )米7. —座楔形台高14m,底座长48m,.—位自行车运动员要在 5s 内驶过楔形台斜面， 则要达到的平均速度为 _______________ ;8.一根旗杆高8m,断裂后旗杆顶端落于旗杆底端 4m 处，旗杆的断裂出距离地面( 如图，在R t △ ABC 中, a,b,c ,2 n 倍，则这个三角D. n2:1( )种取法，其中，能构)米 9、在数轴上做出 J 3 10、如图，在△ ABC 中，AB=AC , P 为BC 上任意一点，请用学过的知识说明: AB2 — AP2=PB X PC 。
C. 探索神秘的勾股数组：满足a 2 + b 2 =c 2的三个正整数，称为勾股数.如(1) (2) 5, 12, 13; (3) 6, 8, 10; (4) 8, 15, 17 ; (5) 7, 24, 25 ; (6) 若a 、b 、c 是一组勾股数，则 ka 、kb 、kc (k 为正整数)也是勾股数. ① 设n 为正整数，且 n > 1,令a=2n,b =② 设m n 为正整数，且m>n ,令a = m 2 3, 4, 5; 9, 40,41 11.把直角三角形两条直角边同时扩大到原来的 3倍， A.不变 B.扩大到原来的 C.扩大到原来的9倍 D.减小到原来的 D. 如何判定一个三角形是直角三角形(1) 先确定最大边(如 c ) 验证c (2) 若c 2 = a 2 n 2 -1,c = n 2 +1，则有 __________ -n 2,b = 2mn, c = m 2 + n 2，则有 _ 则其斜边() 3倍1/3 2与a 2 +b 2是否具有相等关系 + b 2」b ABC 是以/ C 为直角的直角三角形；若 c 2丰a 2 +b 2则^ ABC 不是直角三角形。
勾股定理复习课导学案
例题
• 考点二：求线段的长 • 1．把一根长为10㎝的铁丝弯成一个直角三角形的两条 直角边，如果要使三角形的面积是9㎝2，那么还要准 备一根长为____的铁丝才能把三角形做好． • 2．如图，将一个边长分别为4、8 F 的长方形纸片ABCD折叠，使C点 A 与A点重合，则EB的长是（ ）． A．3 B．4 C．5 D．5 B
A E
C
B
D
例题
• 9.图示是一种“羊头”形图案，其作法是，从 正方形1开始，以它的一边为斜边，向外作等 腰直角三角形，然后再以其直角边为边，分别 向外作正方形2，和2′，…，依次类推，若正方 形7的边长为1cm，则正方形1的边长为____cm.
E
D
C
例题
• 3．如图，铁路上A，B两点相距25km，C，D 为两村庄， DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，已知 DA=15km，CB=10km，现在要在铁路AB上建 一个土特产品收购站E，使得C，D两村到E站 的距离相等，则E站应建在离A站多少km处？
D C
A
E
B
例题
• 4．如图，某学校（A点）与公路（直线L）的 距离为300米,又与公路车站（D点）的距离为 500米，现要在公路上建一个小商店（C点）， 使之与该校A及车站D的距离相等，求商店与 车站之间的距离．
例题
• 考点一：已知两边求第三边 • 1、直角三角形中，以直角边为边长的两个正 方形的面积为7cm2，8cm2，则以斜边为边长的 正方形的面积为_____cm2．
• 2、已知直角三角形的两边长为3、2，则另一 条边长是________．
例题
• 3、在数轴上作出表示
10
的点．
• 4、一种盛饮料的圆柱形杯，测得内部底面半 径为2.5㎝，高为12㎝，吸管放进杯里，杯口外 面至少要露出4.6㎝，问吸管要做多长？
勾股定理的复习导学案
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答案
BC=3
解析
根据勾股定理，在直角三角形中，直角边的平方和等于 斜边的平方。即，AC²+BC²=AB²。代入已知值， 4²+BC²=5²，所以BC=3。
进阶练习题
题目
在直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=√5，BC=2√5，则 AB的长度为多少？
答案
AB=3√5
解析
根据勾股定理，在直角三角形中，直角边的平方和等于斜边 的平方。即，AC²+BC²=AB²。代入已知值， (√5)²+(2√5)²=5+20=25，所以AB=3√5。
通过勾股定理可以推导出直角三角形的 面积公式为$frac{1}{2}ab$，其中a和b 为直角边。
勾股定理与相似三角形的关系
勾股定理与相似三角形之间存在一定的联系。 如果两个直角三角形相似，那么它们的对应边长比例满足勾股定理。
勾股定理与三角函数的关系
勾股定理与三角函数之间存在密切的 联系。
在直角三角形中，三角函数（如正弦、 余弦、正切）可以用于描述角度和边 长之间的关系。
误解二
只有当直角三角形中两条直角边分别为3和4时，斜边才为5。实际上，勾股定理适用于任意直角三角形，只要满 足勾股定理的条件即可。
勾股定理应用中的单位问题
单位不统一
在应用勾股定理时，必须确保涉及的所有边长单位统一，否则会导致计算错误。
忽视单位换算
在涉及不同单位时，需要正确进行单位换算，以确保计算结果的准确性。
确保给定的三边满足勾股定理的条件 ，避免误解。
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勾股定理复习学案
一、知识要点：
1、勾股定理
勾股定理：;____________________________________________________________________________也就是说：如果直角三角形的两直角边为a、b，斜边为c ，那么_____________________________。
公式的变形：a2 = _________， b2= ____________。
2、勾股定理的逆定理
如果三角形ABC的三边长分别是a，b，c，且满足______________，那么三角形ABC 是直角三角形。
这个定理叫做勾股定理的逆定理.
3、勾股数
满足a2 + b2= c2的三个正整数，称为勾股数。
常用的勾股数组有:______________________________________________________________________ 注意：①勾股数必须是正整数，不能是分数或小数。
②一组勾股数扩大相同的正整数倍后，仍是勾股数。
三、考点剖析
考点一：利用勾股定理求面积
例1：求：（1）阴影部分是正方形；（2）阴影部分是长方形；（3）阴影部分是半圆．
例2.如图，分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正方形、半圆、等边三角形，其面积分别用S1、S2、S3表示，试探索S1、S2、S3之间的关系．
练习：
例1.如右图所示的图形中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为5，则正方形A ，B ，C ，D 的面积的和为 _________________________________.
例2.在直线l 上依次摆放着七个正方形（如图所示）．已知斜放置的三个正方形的面积分别是1，2，3，正放置的四个正方形的面积依次是S1，S2，S3，S4，则S1+S2+S3+S4=_________．
考点二：在三角形中，已知两边或三边长，求各边上的高。
例1.已知直角三角形两直角边长分别为5和12， 求斜边上的高． 例2.已知等腰三角形等腰中，
，若
，求各边上的高.
例3.已知
中，AB=15，AC=13，BC=14，求各边上的高。
【强化训练】：
1．在直角三角形中,若两直角边的长分别为1cm ，2cm ，则斜边长为 2．已知直角三角形的两边长为3、2，则另一条边长的平方是____________ （结论：直角三角形的两条直角边的积等于____________________
3.已知△ABC 中，AB ＝17，AC ＝10，BC 边上的高AD ＝8，则边BC 的长为_______________ 考点三、图形的折叠问题
例：折叠矩形ABCD 的一边AD,点D 落在BC 边上的点F 处,已知AB=8CM,BC=10CM,求CF 和EC 。
.
对应练习：如图，矩形纸片ABCD 中，AB=3厘米，BC=4厘米，现将A 、C 重合，使纸片折叠压平，
设折痕为EF 。
试确定重叠部分△AEF 的面积
A
B
C
E
F
D
考点四：最短距离问题
例、如图，在棱长为1的正方体ABCD—A’B’C’D’的表面上，求蚂蚁从顶点A爬到顶点C’的最短距离．
对应练习：如图一个圆柱，底圆周长6cm，高4cm，一只蚂蚁沿外壁爬行，要从A点爬到B点，则最少要爬行 cm
例2：如图，菱形ABCD中，AB=4，∠BAD＝60°，E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE+PB 的最小值是。
E D
C
A
P
对应练习：如图，在正方形ABCD中，E在BC上，BE=2，CE=1，P在BD上，则PE+PC的最小值为___________ 考点五：构造直角三角形解决实际问题
例：在某一平地上，有一棵树高8米的大树，一棵树高2米的小树，两树之间相距8米。
今一只小鸟在其中一棵树的树梢上，要飞到另一棵树的树梢上，问它飞行的最短距离是多少？（画出草图然后解答）
对应练习：如图是一块地，已知AD=8m，CD=6m，∠D=90°，AB=26m，BC=24m，求这块地的面积。
A
B
考点六:应用勾股定理解决情境问题
１.小强想知道学校旗杆的高，他发现旗杆顶端的绳子垂到地面还多1米，当他把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好接触地面，你能帮他算出来吗？
2.某楼梯的侧面视图如图3所示，其中米，，，因某种活动要求铺设红
色地毯，则在AB
段楼梯所铺地毯的长度应为
．
3.图甲是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的。
在Rt △ABC 中，若直角边AC ＝6，BC ＝5，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图乙所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长（图乙中的实线）是______________。
A B
C
四、课时作业优化设计
【驻足“双基”】
1．设直角三角形的三条边长为连续自然数，则这个直角三角形的面积是_____．2．直角三角形的两直角边分别为5cm，12cm，其中斜边上的高为（）．
A．6cm B．8.5cm C．30
13
cm D．
60
13
cm
【提升“学力”】
3．如图，△ABC的三边分别为AC=5，BC=12，AB=13，将△ABC沿AD折叠，使AC•落在AB上，求DC 的长．
4．如图，一只鸭子要从边长分别为16m和6m的长方形水池一角M•游到水池另一边中点N，那么这只鸭子游的最短路程应为多少米？
【聚焦“中考”】
5．（海南省中考题）如图，铁路上A、B两点相距25km，C、D为两村庄，DA•垂直AB于A，CB垂直AB于B，已知AD=15km，BC=10km，现在要在铁路AB上建一个土特产品收购站E，使得C、D两村到E站的距离相等，则E站建在距A站多少千米处？。