抛物线的简单几何性质练习题

课时作业(十三)
[学业水平层次]
一、选择题
1．已知点P (6，y )在抛物线y 2＝2px (p >0)上，若点P 到抛物线焦点F 的距离等于8，则焦点F 到抛物线准线的距离等于( )
A ．2
B ．1
C ．4
D ．8
【解析】 抛物线y 2＝2px (p >0)的准线为x ＝－p 2，因为P (6，y )
为抛物线上的点，所以点P 到焦点F 的距离等于它到准线的距离，所
以6＋p 2＝8，所以p ＝4，即焦点F 到抛物线的距离等于4，故选C.
【答案】 C
2．(2014·成都高二检测)抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，点P 为抛物线上的动点，点M 为其准线上的动点，当△FPM 为等边三角形时，其面积为( )
A ．2 3
B ．4
C ．6
D ．43
【解析】 据题意知，△FPM 为等边三角形，|PF |＝|PM |＝|FM |，
∴PM ⊥抛物线的准线．设P ⎝ ⎛⎭
⎪⎫m 24，m ，则M (－1，m )，等边三角形边长为1＋m 24，又由F (1,0)，|PM |＝|FM |，得1＋m 24＝1＋12＋m 2，得m ＝23，∴等边三角形的边长为4，其面积为43，故选D.
【答案】 D
3．已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A 、B 两点，若线段AB 的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准
线方程为( )
A ．x ＝1
B ．x ＝－1
C ．x ＝2
D ．x ＝－2
【解析】 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，代入抛物线方程得：⎩⎪⎨⎪⎧
y 21＝2px 1， ①y 22＝2px 2， ② ①－②得，
(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝2p (x 1－x 2)．
又∵y 1＋y 2＝4，∴y 1－y 2x 1－x 2＝2p 4＝p 2
＝k ＝1，∴p ＝2. ∴所求抛物线的准线方程为x ＝－1.
【答案】 B
4．(2014·课标Ⅱ)设F 为抛物线C ：y 2＝3x 的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A ，B 两点，则|AB |＝( )
B ．6
C ．12
D ．73
【解析】 焦点F 的坐标为⎝ ⎛⎭
⎪⎫34，0，直线AB 的斜率为33，所以直线AB 的方程为y ＝33⎝ ⎛⎭
⎪⎫x －34，
即y ＝33x －34，代入y 2＝3x ，
得13x 2－72x ＋316＝0，
设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝212，
所以|AB |＝x 1＋x 2＋32＝212＋32＝12，故选C.
【答案】 C
二、填空题
5．抛物线y 2＝x 上到其准线和顶点距离相等的点的坐标为________．
【解析】 设抛物线上点的坐标为(x ，±x )，此点到准线的距离为x ＋14，到顶点的距离为x 2＋x 2，由题意有x ＋14＝x 2＋x 2，∴x
＝18，∴y ＝±24，∴此点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫18
，±24. 【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫18
，±24 6．(2014·临沂高二检测)直线y ＝kx ＋2与抛物线y 2＝8x 有且只有一个公共点，则k ＝________.
【解析】 当k ＝0时，直线与抛物线有唯一交点，当k ≠0时，联立方程消y 得k 2x 2＋4(k －2)x ＋4＝0，由题意Δ＝16(k －2)2－16k 2＝0，∴k ＝1.
【答案】 0或1
7．(2014·湖南)平面上一机器人在行进中始终保持与点F (1,0)的距离和到直线x ＝－1的距离相等．若机器人接触不到过点P (－1,0)且斜率为k 的直线，则k 的取值范围是________．
【解析】 设机器人为A (x ，y )，依题意得点A 在以F (1,0)为焦点，x ＝－1为准线的抛物线上，该抛物线的标准方程为y 2＝4x .
过点P (－1,0)，斜率为k 的直线为y ＝k (x ＋1)．
由⎩⎪⎨⎪⎧
y 2＝4x ，y ＝kx ＋k ，得ky 2－4y ＋4k ＝0. 当k ＝0时，显然不符合题意；
当k ≠0时，依题意得Δ＝(－4)2－4k ·4k <0，
化简得k 2－1>0，解得k >1或k <－1，因此k 的取值范围为(－∞，－1)∪(1，＋∞)．
【答案】 (－∞，－1)∪(1，＋∞)
三、解答题
8．若抛物线的顶点在原点，开口向上，F 为焦点，M 为准线与y 轴的交点，A 为抛物线上一点，且|AM |＝17，|AF |＝3，求此抛物线的标准方程．
【解】 设所求抛物线的标准方程为
x 2
＝2py (p ＞0)，设A (x 0，y 0)，由题知M ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－p 2. ∵|AF |＝3，∴y 0＋p 2＝3，
∵|AM |＝17，
∴x 20＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 0＋p 22＝17，
∴x 20＝8，代入方程x 20＝2py 0得，
8＝2p ⎝ ⎛⎭
⎪⎫3－p 2，解得p ＝2或p ＝4. ∴所求抛物线的标准方程为x 2＝4y 或x 2＝8y .
9．已知直线l 经过抛物线y 2＝6x 的焦点F ，且与抛物线相交于A ，B 两点．
(1)若直线l 的倾斜角为60°，求|AB |的值；
(2)若|AB |＝9，求线段AB 的中点M 到准线的距离．
【解】 (1)因为直线l 的倾斜角为60°，所以其斜率k ＝tan 60°＝ 3.
又F ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，所以直线l 的方程为y ＝3⎝ ⎛⎭
⎪⎫x －32. 联立⎩⎨⎧
y 2＝6x ，y ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －32，消去y 得x 2－5x ＋94＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝5，
而|AB |＝|AF |＋|BF |＝x 1＋p 2＋x 2＋p 2＝x 1＋x 2＋p ，
所以|AB |＝5＋3＝8.
(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由抛物线定义知
|AB |＝|AF |＋|BF |＝x 1＋x 2＋p ＝x 1＋x 2＋3，所以x 1＋x 2＝6，于是线段AB 的中点M 的横坐标是3.
又准线方程是x ＝－32，所以M 到准线的距离为3＋32＝92.
[能力提升层次]
1．(2014·湖南省长沙一中期中考试)已知抛物线x 2＝2py (p >0)的焦
点为F ，过F 作倾斜角为30°的直线与抛物线交于A ，B 两点，若|AF ||BF |
∈(0,1)，则|AF ||BF |＝( )
【解析】 因为抛物线的焦点为F ⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，p 2，故过点F 且倾斜角为
30°的直线的方程为y ＝33x ＋p 2，与抛物线方程联立得x 2－233px －p 2
＝0，解方程得x A ＝－33p ，x B ＝3p ，所以|AF ||BF |＝|x A ||x B
|＝13，故选C. 【答案】 C
2．(2013·大纲卷)已知抛物线C ：y 2＝8x 与点M (－2,2)，过C 的焦
点且斜率为k 的直线与C 交于A ，B 两点，若MA →·MB →＝0，则k ＝( )
D ．2
【解析】 由题意可知抛物线的焦点坐标为(2,0)，则过焦点且斜率为k 的直线的方程为y ＝k (x －2)，与抛物线方程联立，消去y 化简得k 2x 2－(4k 2＋8)x ＋4k 2＝0，设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4＋8k 2，x 1x 2＝4，所以y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)－4k ＝8k ，y 1y 2＝k 2[x 1x 2－2(x 1＋
x 2)＋4]＝－16，因为MA →·MB →＝0，所以(x 1＋2)(x 2＋2)＋(y 1－2)(y 2－2)
＝0(*)，将上面各个量代入(*)，化简得k 2－4k ＋4＝0，所以k ＝2，故选D.
【答案】 D
3．抛物线x 2＝2py (p >0)的焦点为F ，其准线与双曲线x 23－y 23＝1
相交于A ，B 两点，若△ABF 为等边三角形，则p ＝________.
【解析】 由于x 2＝2py (p >0)的准线为y ＝－p 2，由⎩⎨⎧ y ＝－p 2，x 2－y 2＝3，
解得准线与双曲线x 2－y 2＝3的交点为
A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－ 3＋14p 2，－p 2，
B ⎝ ⎛⎭
⎪⎫ 3＋14p 2，－p 2，所以AB ＝2
3＋14p 2.
由△ABF 为等边三角形，得32AB ＝p ，解得p ＝6.
【答案】 6
4．已知抛物线x ＝－y 2与过点(－1,0)且斜率为k 的直线相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，当△OAB 的面积等于10时，求k 的值．
【解】 过点(－1,0)且斜率为k 的直线方程为y ＝k (x ＋1)，
由方程组⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝－y 2，y ＝kx ＋1，消去x ，整理得ky 2＋y －k ＝0， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由根与系数之间的关系得y 1＋y 2＝－1k ，
y 1y 2＝－1.
设直线与x 轴交于点N ，显然N 点的坐标为(－1,0)．
∵S △OAB ＝S △OAN ＋S △OBN ＝12|ON ||y 1|＋12|ON ||y 2|＝12|ON ||y 1－
y 2|，
∴S △OAB ＝12y 1＋y 22－4y 1y 2＝12
1k 2＋4＝10， 解得k ＝－16或16.。