抛物线的简单几何性质练习题

课时作业(十三)

[学业水平层次]

一、选择题

1．已知点P (6，y )在抛物线y 2＝2px (p >0)上，若点P 到抛物线焦点F 的距离等于8，则焦点F 到抛物线准线的距离等于( )

A ．2

B ．1

C ．4

D ．8

【解析】 抛物线y 2

＝2px (p >0)的准线为x ＝－p 2，因为P (6，y )为抛物线上的点，所以点P 到焦点F 的距离等于它到准线的距离，

所以6＋p 2＝8，所以p ＝4，即焦点F 到抛物线的距离等于4，故选

C.

【答案】 C

2．(2014·成都高二检测)抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，点P 为抛物线上的动点，点M 为其准线上的动点，当△FPM 为等边三角形时，其面积为( )

A ．2 3

B ．4

C ．6

D ．4 3

【解析】 据题意知，△FPM 为等边三角形，|PF |＝|PM |＝|FM |，

∴PM ⊥抛物线的准线．设P ⎝ ⎛⎭

⎪⎫m 24，m ，则M (－1，m )，等边三角形边长为1＋m 24，又由F (1,0)，|PM |＝|FM |，得1＋m 24＝(1＋1)2＋m 2，得m ＝23，∴等边三角形的边长为4，其面积为43，故选D.

【答案】 D

3．已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A 、B 两点，若线段AB 的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为( )

A ．x ＝1

B ．x ＝－1

C ．x ＝2

D ．x ＝－2

【解析】 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，代入抛物线方程得：⎩⎨⎧ y 21＝2px 1， ①y 22＝2px 2， ②

①－②得，

(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝2p (x 1－x 2)．

又∵y 1＋y 2＝4，∴y 1－y 2x 1－x 2

＝2p 4＝p 2＝k ＝1，∴p ＝2. ∴所求抛物线的准线方程为x ＝－1.

【答案】 B

4．(2014·课标Ⅱ)设F 为抛物线C ：y 2＝3x 的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A ，B 两点，则|AB |＝( ) A.303 B ．6 C ．12 D ．7 3

【解析】 焦点F 的坐标为⎝ ⎛⎭

⎪⎫34，0，直线AB 的斜率为33，所以直线AB 的方程为y ＝33⎝ ⎛⎭

⎪⎫x －34，

即y ＝33x －34，代入y 2＝3x ， 得13x 2－72x ＋316＝0，

设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝212，

所以|AB |＝x 1＋x 2＋32＝212＋32＝12，故选C.

【答案】 C

二、填空题

5．抛物线y 2＝x 上到其准线和顶点距离相等的点的坐标为________．

【解析】 设抛物线上点的坐标为(x ，±x )，此点到准线的距离为x ＋14，到顶点的距离为x 2＋(x )2，由题意有x ＋14＝x 2＋(x )2，

∴x ＝18，∴y ＝±24，∴此点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫18

，±24. 【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫18

，±24 6．(2014·临沂高二检测)直线y ＝kx ＋2与抛物线y 2＝8x 有且只有一个公共点，则k ＝________.

【解析】 当k ＝0时，直线与抛物线有唯一交点，当k ≠0时，联立方程消y 得k 2x 2＋4(k －2)x ＋4＝0，由题意Δ＝16(k －2)2－16k 2＝

0，∴k ＝1.

【答案】 0或1

7．(2014·湖南)平面上一机器人在行进中始终保持与点F (1,0)的距离和到直线x ＝－1的距离相等．若机器人接触不到过点P (－1,0)且斜率为k 的直线，则k 的取值范围是________．

【解析】 设机器人为A (x ，y )，依题意得点A 在以F (1,0)为焦点，x ＝－1为准线的抛物线上，该抛物线的标准方程为y 2＝4x .

过点P (－1,0)，斜率为k 的直线为y ＝k (x ＋1)．

由⎩⎨⎧ y 2＝4x ，y ＝kx ＋k ，得ky 2－4y ＋4k ＝0.

当k ＝0时，显然不符合题意；

当k ≠0时，依题意得Δ＝(－4)2－4k ·4k <0，

化简得k 2－1>0，解得k >1或k <－1，因此k 的取值范围为(－∞，－1)∪(1，＋∞)．

【答案】 (－∞，－1)∪(1，＋∞)

三、解答题

8．若抛物线的顶点在原点，开口向上，F 为焦点，M 为准线与y 轴的交点，A 为抛物线上一点，且|AM |＝17，|AF |＝3，求此抛物线的标准方程．

【解】 设所求抛物线的标准方程为

x 2

＝2py (p ＞0)，设A (x 0，y 0)，由题知M ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－p 2.

∵|AF |＝3，∴y 0＋p 2＝3，

∵|AM |＝17，

∴x 20＋⎝ ⎛

⎭⎪⎫y 0＋p 22＝17，

∴x 20＝8，代入方程x 20＝2py 0得，

8＝2p ⎝ ⎛⎭

⎪⎫3－p 2，解得p ＝2或p ＝4. ∴所求抛物线的标准方程为x 2＝4y 或x 2＝8y .

9．已知直线l 经过抛物线y 2＝6x 的焦点F ，且与抛物线相交于A ，B 两点．

(1)若直线l 的倾斜角为60°，求|AB |的值；

(2)若|AB |＝9，求线段AB 的中点M 到准线的距离．

【解】 (1)因为直线l 的倾斜角为60°，所以其斜率k ＝tan 60°＝ 3.

又F ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，所以直线l 的方程为y ＝3⎝

⎛⎭⎪⎫x －32. 联立⎩⎪⎨⎪⎧ y 2＝6x ，y ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －32，消去y 得x 2

－5x ＋94＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝5，

而|AB |＝|AF |＋|BF |＝x 1＋p 2＋x 2＋p 2＝x 1＋x 2＋p ，