抛物线的简单几何性质

2
的焦点的距离是5，则P=
4
。
例2、斜率为1的直线 l 经过抛物线 y 4 x 的 焦点F，且与抛物线相交于A，B两点，求线 y 段AB的长。
2
A`
O
A
解这题,你有什么方法呢?
B`
F B
x
法一:直接求两点坐标,计算弦长(运算量一般较大);
法二:设而不求,运用韦达定理,计算弦长(运算量一般);
法三:设而不求,数形结合,活用定义,运用韦达定理,计 算弦长.
P越大,开口越开阔
O
P ( x 0 , y0 )
F
x
（2）焦半径： 连接抛物线任意一点与焦点的线段叫
做抛物线的焦半径。
焦半径公式： |PF|=x +p/2 0
总结
1、范围： 抛物线只位于半个坐标平面内，虽然它也可 以无限延伸，但没有渐近线； 2、对称性： 抛物线只有一条对称轴,没有对称中心; 3、顶点：抛物线只有一个顶点，一个焦点，一条准线； 4、离心率：抛物线的离心率是确定的，等于１； 5、通径： 抛物线的通径为2P, 2p越大，抛物线的张口 越大.
抛物线在y轴的右侧，当x的值增大时，︱y︱也 增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸。
0 x
p0
o
p F ( ,0 ) 2
x
2、
对称性
关于x轴
y
( x, y )
对称
( x, y)
2
若点(x,y)在抛物线上, 即满足y2 = 2px， o F ( p ,0) 则 (-y)2 = 2px 即点(x,-y) 也在抛物线上, 故 抛物线y2 = 2px(p>0)关于x轴对称.
4 3 2 1
2
P(x,y)
-2
2
4
6
8
10
对称中心;
-1
-2
3.抛物线只有一个顶点、
-4
-3
o
p F ( ,0 ) 2
x
一个焦点、一条准线; 4.抛物线的离心率是确定的,为1; 思考：抛物线标准方程中的p对抛物线开口的影响. P越大,开口越开阔
-5
补充（1）通径： （标准方程中2p的几何意义）
y
y2=2px
A
l
o
· F
B
过焦点且垂直于对称轴的直p
p p A( , p)、B( , p) 2 2
P越大，开口越阔
利用抛物线的顶点、通径的两个端点可较准确画出 反映抛物线基本特征的草图。
补充（1）通径： （标准方程中2p的几何意义）
y
通径的长度：2P
y∈R
(0,0) 1
y
O
F
l
x2 = 2py p p y≥0 F (0, ) y 2 2 x∈R x （p>0） y轴 x2 y≤0
y
O F
= -2py F (0, p ) y p 2 x（p>0） 2
l
x∈R
特点：
y2=4x 1.抛物线只位于半个坐标平面内,虽然它可以无 y2=2x 限延伸,但它没有渐近线; y2=xy 1 2= y x 2.抛物线只有一条对称轴,没有
三、典例精析
坐标轴
例１：已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标 ），求它的标准方程. 原点，并且经过点M（２， 2 2 解: 因为抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原 点，并且经过点M（２， 2 2 ）， 所以设方程为： y 2 px 又因为点M在抛物线上：
2
( p 0)
所以：2 (
4) AB x1 x2 P
四、归纳总结
1、范围： 抛物线只位于半个坐标平面内，虽然它也可 以无限延伸，但没有渐近线； 2、对称性： 抛物线只有一条对称轴,没有对称中心; 3、顶点：抛物线只有一个顶点，一个焦点，一条准线； 4、离心率：抛物线的离心率是确定的，等于１； 5、通径： 抛物线的通径为2P, 2p越大，抛物线的张口 越大.
X
抛物线的简单几何性质
一、温故知新
定义：在平面 内,与一个定点 F和一条定直 线l(l不经过点 F)的距离相等 的点的轨迹叫 抛物线.
图 l y
O
抛物线的定义及标准方程
形 标准方程
焦点坐标 准线方程
F
x
y2=2px (p>0) y2=-2px (p>0) x2=2py (p>0)
p ( ,0 ) 2 p ( ,0) 2 p (0， ) 2
A’
A O F B
x
代入方程y 4 x, 得( x 1) 4 x,
2 2
化简得x 6 x 1 0.
2

x1 x2 6 AB x1 x2 2 8
B’

所以，线段AB的长是8。
抛物线的焦点弦的特征
1、已知AB是抛物线y2＝2px的任意一条焦点弦，且A （x1，y1）、B（x2，y2） 1）求证：y1y2＝－P2，x1x2＝p2/4。 2）设θ为直线AB的倾斜角，求证：当θ＝90o时，取得 ︱AB︱的最小值2p。 3）若弦AB过焦点，求证：以AB为直径的圆与准线相 切。
o
p F ( ,0 ) 2
x
下面请大家得出其余三种标准方程抛 物线的几何性质。
（二）归纳：抛物线的几何性质
图 形
y
l
O F
方程
焦点 准线 范围 顶点 对称轴
x≥0 y∈R x≤0 x轴
e
y2 = 2px p p F ( ,0) x x （p>0） 2 2
l
y
F O
y2 = -2px p p F ( ,0) x 2 x（p>0） 2
p x 2 p x 2 p y 2 p y 2
y
F
l
O
x
y
F
O
l
x
y
l
O F
x
p x2=-2py (0， ) (p>0) 2
二、探索新知 如何研究抛物线y2 =2px（p>0）的几何性质?
y
1、
范围
由抛物线y2 =2px（p>0） 有 2 px y 0
2
所以抛物线的范围为 x 0
2) 2 p 2 p 2 因此所求抛物线标准方程为：2 4 x y
2
当焦点在x(y)轴上,开口方向不定时,设为y2=2mx(m ≠0) (x2=2my (m≠0)),可避免讨论
练习：
1、已知抛物线的顶点在原点，对称轴为x轴，焦点在 直线3x-4y-12=0上，那么抛物线通径长是 16 . 2、已知点A（-2，3）与抛物线 y 2 px( p 0)
例4
斜率为 的直线l经过抛物线y 4 x的焦点F , 且与 1
2
抛物线相交于A, B两点，求线段AB的长。 p 解：由题意可知，p 2, 1, y 2 A’ 准线l : x 1.
A F B
x
设A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), A, B到 准线l的距离分别为d A , d B .
AF d A x1 1, BF d B x2 1,
O B’
由抛物线的定义可知
所以 AB AF BF x1 x2 2
例4
斜率为 的直线l经过抛物线y 4 x的焦点F , 且与 1
2
抛物线相交于A, B两点，求线段AB的长。
y
由已知得抛物线的焦点为F (1,0), 所以直线AB的方程为y x 1
x
3、
顶点
y
定义：抛物线与 它的对称轴的交点叫 做抛物线的顶点。

o
y2
= 2px (p>0)中，
p F ( ,0 ) 2
x
令y=0,则x=0.
即：抛物线y2 = 2px (p>0)的顶点（0，0）.只有一 个 注:这与椭圆有四个顶点,双曲线有两个顶点不同。
4、
离心率
y
P(x,y)
抛物线上的点与 焦点的距离和它到准 线的距离之比，叫做 抛物线的离心率。 由定义知， 抛物线y2 = 2px (p>0)的离心率为e=1.