3.3.2 抛物线的简单几何性质

3.3.2抛物线的简单几何性质基础过关练题组一抛物线的几何性质及其运用1.已知抛物线x2=2py(p>0)的准线经过点(-1,-1),则抛物线的焦点坐标为()A.(-1,0)B.(0,-1)C.(1,0)D.(0,1)2.已知点P(6,y)在抛物线y2=2px(p>0)上,若点P到抛物线焦点F的距离等于8,则焦点F到抛物线准线的距离等于()A.2B.1C.4D.83.已知抛物线y2=2px(p>0)的准线与圆(x-3)2+y2=16相切,则p的值为()B.1C.2D.4A.124.已知点A是抛物线y2=2px(p>0)上一点,F为抛物线的焦点,O为坐标原点,当|AF|=4时,∠OFA=120°,则抛物线的准线方程是()A.x=-1B.y=-1C.x=-2D.y=-25.抛物线y2=4x的焦点为F,点P为抛物线上的动点,点M为其准线上的动点,当△FPM为等边三角形时,其面积为()A.2√3B.4C.6D.4√36.一条光线从抛物线y2=2px(p>0)的焦点F射出,经抛物线上一点B反射后,反射光线经过点A(5,4),若|AB|+|FB|=6,则抛物线的标准方程为.题组二直线与抛物线的位置关系7.已知直线l:y=x-1与抛物线C:y2=4x相交于A、B两点,则|AB|为()A.5B.6C.7D.88.已知直线y=kx-k及抛物线y2=2px(p>0),则()A.直线与抛物线有一个公共点B.直线与抛物线有两个公共点C.直线与抛物线有一个或两个公共点D.直线与抛物线可能没有公共点9.过点(0,1)且与抛物线y2=4x只有一个公共点的直线有()A.1条B.2条C.3条D.0条10.(2020山东菏泽高二上期末)已知斜率为k的直线l与抛物线C:y2=4x交于A、B 两点,线段AB的中点为M(2,1),则直线l的方程为()A.2x-y-3=0B.2x-y-5=0C.x-2y=0D.x-y-1=011.已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,直线l:y=x-2与抛物线C交于A,B两点.(1)求弦AB的长;(2)求△FAB的面积.12.(2020海南中学高二上期中)已知抛物线y 2=-x 与直线y=k(x+1)相交于A,B 两点,O 是坐标原点. (1)求证:OA ⊥OB;(2)当△OAB 的面积等于√10时,求k 的值.题组三 抛物线的综合运用13.在同一平面直角坐标系中,方程a 2x 2+b 2y 2=1与ax+by 2=0(a>b>0)的曲线大致为( )14.已知双曲线y 24-x 2=1的两条渐近线分别与抛物线y 2=2px(p>0)的准线交于A,B 两点,O 为坐标原点,若△OAB 的面积为1,则p 的值为( ) A.1 B.√2 C.2√2 D.415.抛物线y=-x 2上的点到直线4x+3y-8=0距离的最小值是( ) A.43B.75C.85D.316.过抛物线y 2=2px(p>0)的焦点F 的直线与抛物线交于A,B 两点,若A,B 在准线上的射影分别为A 1,B 1,则∠A 1FB 1等于( ) A.90° B.45° C.60° D.120°能力提升练题组一 抛物线的几何性质及其运用 1.()设抛物线x 2=8y 的焦点为F,准线为l,P 为抛物线上一点,PA ⊥l,A 为垂足,如果直线AF 的倾斜角等于60°,那么|PF|等于( ) A.2√3B.4√3C.83D.32.(多选)(2020山东淄博一中高二上期中,)设抛物线y 2=2px(p>0)的焦点为F.点M在y 轴上,若线段FM 的中点B 在抛物线上,且点B 到抛物线准线的距离为3√24,则点M 的坐标为( ) A.(0,-1) B.(0,-2) C.(0,2) D.(0,1)3.()若抛物线y 2=2x 上的一点M 到坐标原点O 的距离为√3,则点M 到该抛物线焦点的距离为 . 4.(2020北京通州高二上期末,)已知双曲线x 2-y23=1,抛物线y 2=2px(p>0)的焦点与双曲线的一个焦点相同,点P(x 0,y 0)为抛物线上一点. (1)求双曲线的焦点坐标;(2)若点P 到抛物线的焦点的距离是5,求x 0的值.题组二 直线与抛物线的位置关系 5.(2019黑龙江牡丹江一中高二上期中,)已知直线l:y=k(x+2)(k>0)与抛物线C:y 2=8x 相交于A 、B 两点,F 为C 的焦点,若|FA|=2|FB|,则k= ( ) A.13B.√23C.23D.2√236.(2019黑龙江大庆实验中学高二上期中,)已知y 2=x,点A,B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧,O 为坐标原点,若OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =12,则△AOB 面积的最小值为( ) A.6 B.8 C.10 D.127.(2020河南开封高二上期末联考,)已知抛物线C:y 2=2px(p>0)的焦点为F,点P(x 0,√2p)在抛物线C 上,且|PF|=3. (1)求抛物线C 的方程;(2)过焦点F 的直线l 与抛物线分别交于A,B 两点,点A,B 的坐标分别为(x 1,y 1),(x 2,y 2),O 为坐标原点,若OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =-(x 1+x 2),求直线l 的方程.题组三 抛物线的综合运用 8.(2020山东泰安高二上期末,)已知点A 是抛物线x 2=4y 的对称轴与准线的交点,点B 为抛物线的焦点,点P 在抛物线上且满足|PA|=m|PB|,当m 取最大值时,点P 恰好在以A,B 为焦点的双曲线上,则双曲线的离心率为(深度解析) A.√2+12 B.√ C.√5+12D.√5-19.(多选)(2020山东烟台高二上期末学业水平诊断,)已知抛物线E:y 2=4x 的焦点为F,准线为l,过F 的直线与E 交于A,B 两点,C,D 分别为A,B 在l 上的射影,且|AF|=3|BF|,M 为AB 中点,则下列结论正确的是(深度解析) A.∠CFD=90°B.△CMD 为等腰直角三角形C.直线AB 的斜率为±√3D.△AOB 的面积为4 10.()设抛物线y 2=4x 的焦点为F,过点F 作直线与抛物线交于A,B 两点,点M 满足OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB⃗⃗⃗⃗⃗ ),过M 作y 轴的垂线与抛物线交于点P,若|PF|=2,则点P 的横坐标为 ,|AB|= .11.(2020湖南长沙长郡中学高二上期中,)已知O 为坐标原点,点P(1,2)在抛物线C:y 2=4x 上,过点P 作两直线分别交抛物线C 于点A,B,若k PA +k PB =0,则k AB ·k OP 的值为 .答案全解全析基础过关练1.D∵抛物线x2=2py(p>0)的准线经过点(-1,-1),∴-p2=-1,即p=2,∴抛物线的焦点坐标为(0,1).2.C抛物线y2=2px(p>0)的准线为x=-p2,因为P(6,y)为抛物线上的点,所以点P到焦点F的距离等于它到准线的距离,所以6+p2=8,所以p=4,即焦点F到抛物线准线的距离等于4,故选C.3.C抛物线y2=2px(p>0)的准线方程为x=-p2,因为抛物线y2=2px(p>0)的准线与圆(x-3)2+y2=16相切,所以3+p2=4,解得p=2.4.A如图所示,过A作准线的垂线AC,过F作AC的垂线FB,垂足分别为C,B,由题意,得∠BFA=∠OFA-90°=30°,所以|AB|=|AF|·sin30°=2,点A到准线的距离d=|AB|+|BC|=2+p=4,解得p=2,则抛物线的准线方程是x=-1,故选A.5.D由题意知,△FPM为等边三角形,|PF|=|PM|=|FM|,∴PM⊥抛物线的准线.设P(m24,m),则M(-1,m),∴等边三角形的边长为1+m24,又F(1,0),|PM|=|FM|,∴1+m24=√(1+1)2+m2,解得m=±2√3,∴等边三角形的边长为4,其面积为4√3,故选D.6.答案y2=4x解析抛物线具有光学性质,即从焦点出发的光经抛物线上一点反射后,反射光线沿平行于抛物线对称轴的方向射出,∵|AB|+|FB|=6,∴5+p2=6,∴p=2,∴抛物线的标准方程为y2=4x.7.D由条件知,直线y=x-1过抛物线的焦点,将y=x-1代入抛物线方程y2=4x,整理得x2-6x+1=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=6,∴|AB|=x1+x2+2=8.8.C因为直线y=kx-k=k(x-1),所以直线过点(1,0).又点(1,0)在抛物线y 2=2px(p>0)的内部, 所以当k=0时,直线与抛物线有一个公共点; 当k ≠0时,直线与抛物线有两个公共点. 故选C.9.C 易知过点(0,1),且斜率不存在的直线为x=0,满足与抛物线y 2=4x 只有一个公共点.当斜率存在时,设直线方程为y=kx+1,与y 2=4x 联立并整理,得k 2x 2+(2k-4)x+1=0,当k=0时,方程有一个解,即直线与抛物线只有一个公共点;当k ≠0时,令Δ=(2k -4)2-4k 2=0,解得k=1,即直线与抛物线有一个公共点.所以满足题意的直线有3条.故选C.10.A 设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则{y 12=4x 1,y 22=4x 2⇒(y 1-y 2)(y 1+y 2)=4(x 1-x 2). 又AB 的中点为M(2,1), ∴y 1+y 2=2,∴k=y 1-y 2x 1-x 2=2,因此直线AB 的方程为y-1=2(x-2), 化简得2x-y-3=0,故选A.11.解析 (1)联立{y =x -2,y 2=4x,消去y 整理得x 2-8x+4=0,其中Δ=64-4×4=48>0,设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2), 则x 1+x 2=8,x 1x 2=4,所以|x 1-x 2|=√(x 1+x 2)2-4x 1x 2=4√3, 所以|AB|=2·|x 1-x 2|=√2×4√3=4√6. (2)由题意得点F(1,0), 故点F 到直线l 的距离d=√=√22,所以S △FAB =12×|AB|×d=12×4√6×√22=2√3.12.解析 (1)证明:当k=0时,直线与抛物线仅一个交点,不合题意,∴k ≠0. 由y=k(x+1),得x=yk-1,代入y 2=-x,整理得,y 2+1ky-1=0.设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2), 则y 1+y 2=-1k ,y 1y 2=-1.∵点A,B 在抛物线y 2=-x 上,∴A(-y 12,y 1),B(-y 22,y 2),∴k OA ·k OB =y 1-y 12·y 2-y 22=1y 1y 2=-1,∴OA ⊥OB.(2)设直线AB 与x 轴交于点E,则E(-1,0), ∴|OE|=1,∴S △OAB =12|OE|(|y 1|+|y 2|)=12|y 1-y 2|=12√1k 2+4=√10,解得k=±16.13.D 解法一:将方程a 2x 2+b 2y 2=1与ax+by 2=0转化为x 21a 2+y 21b 2=1与y 2=-a bx.因为a>b>0,所以1b >1a>0,所以椭圆的焦点在y 轴上,抛物线的焦点在x 轴上,且开口向左.故选D.解法二:方程ax+by 2=0(a>b>0)中,将y 换成-y,其结果不变,即ax+by 2=0的曲线关于x轴对称,排除B,C;由解法一知椭圆的焦点在y 轴上,排除A.故选D.14.B 双曲线y 24-x 2=1的两条渐近线方程是y=±2x,∵抛物线y 2=2px(p>0)的准线方程是x=-p 2,∴A,B 两点的纵坐标的差的绝对值是2p,又△AOB 的面积为1,∴12×p2×2p=1,∴p=√2.故选B.15.A 设抛物线y=-x 2上一点为A(m,-m 2),A 点到直线4x+3y-8=0的距离d=|4m -3m 2-8|5=|3(m -23)2+203|5,∴当m=23时,d 取得最小值,为43.故选A.16.A 如图,由抛物线的定义,知|AA 1|=|AF|,|BB 1|=|BF|, 所以∠AA 1F=∠AFA 1. 又∠AA 1F=∠A 1FO, 所以∠AFA 1=∠A 1FO. 同理∠BFB 1=∠B 1FO,于是∠AFA 1+∠BFB 1=∠A 1FO+∠B 1FO=∠A 1FB 1, 故∠A 1FB 1=90°.故选A.能力提升练1.C 在△APF 中,由抛物线的定义,可得|PA|=|PF|.∵|AF|sin 60°=4,∴|AF|=√.过P 作PB ⊥AF 于B,∵∠PAF=∠PFA=30°,∴|PF|=|BF|cos30°=83,故选C.2.BC 设M(0,y),易知F (p2,0),则B (p 4,y2),如图所示.则|BB 1|=p 4+p 2=3√24,∴p=√2.∴抛物线方程为y 2=2√2x,且B (√24,y2),又B 在抛物线上,∴14y 2=2√2×√24,因此y 2=4,解得y=±2.故选BC.3.答案 32解析 设点M (y 22,y),∵|MO|=√3,∴(y 22-0)2+(y-0)2=3,∴y 2=2或y 2=-6(舍去),∴x=y 22=1.∴M 到抛物线y 2=2x 的准线x=-12的距离d=1-(-12)=32.∵点M 到抛物线焦点的距离等于点M 到抛物线y 2=2x 的准线的距离, ∴点M 到该抛物线焦点的距离为32,故答案为32.4.解析 (1)因为双曲线的方程为x 2-y23=1,所以a 2=1,b 2=3.所以c 2=a 2+b 2=4.所以c=2.所以双曲线的焦点坐标分别为(-2,0),(2,0).(2)因为抛物线y 2=2px(p>0)的焦点与双曲线的一个焦点相同, 所以抛物线y 2=2px(p>0)的焦点坐标是(2,0),所以p=4. 因为点P(x 0,y 0)为抛物线上一点,所以点P(x 0,y 0)到抛物线的焦点的距离等于点P(x 0,y 0)到抛物线的准线x=-2的距离. 因为点P 到抛物线的焦点的距离是5,即x 0+2=5,所以x 0=3.5.D 设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),x 1>0,x 2>0,y 1>0,y 2>0,因为|FA|=2|FB|,所以x 1+2=2(x 2+2),因为y 1x 1+2=y 2x 2+2,所以y 1=2y 2,所以y 12=4y 22,即8x 1=4×8x 2,所以x 1=4x 2,与x 1+2=2(x 2+2)联立,解得x 2=1,所以y 2=2√2,因此k=y 2x 2+2=2√23,故选D.6.B 设直线AB 的方程为x=ty+m,点A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),直线AB 与x 轴的交点为M(m,0),将x=ty+m 代入y 2=x,可得y 2-ty-m=0,根据根与系数的关系得y 1y 2=-m,y 1+y 2=t.∵OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =12,∴x 1·x 2+y 1·y 2=12,又x 1x 2=y 12y 22,∴(y 1·y 2)2+y 1·y 2-12=0,令y 1y 2=u,则u 2+u-12=0,解得u=-4或u=3,∵点A,B 位于x 轴的两侧,∴u=y 1·y 2=-4,故m=4. 故直线AB 所过的定点坐标是(4,0),故△AOB 的面积S=12×4×|y 1-y 2|=2×√(y 1+y 2)2-4y 1y 2=22+16≥8, 当t=0时,直线AB 垂直于x 轴,△AOB 的面积取得最小值,为8,故选B.7.解析 (1)由点P(x 0,√2p)在抛物线C 上,得(√2p)2=2px 0,解得x 0=p,由抛物线定义得,|PF|=x 0+p 2=3p 2=3,解得p=2, 故抛物线C 的方程为y 2=4x.(2)设直线l 的方程为x=my+1,联立{y 2=4x,x =my +1,消去x,得y 2-4my-4=0, 故y 1+y 2=4m,y 1y 2=-4,所以x 1x 2=y 124×y 224=y 12y 2216=1,x 1+x 2=(my 1+1)+(my 2+1)=m(y 1+y 2)+2=4m 2+2,则OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =-(x 1+x 2)=x 1x 2+y 1y 2=-3,即4m 2+2=3,解得m=±12,所以所求直线l 的方程为y=2x-2或y=2-2x.8.B 由x 2=4y,得p=2,∴焦点B(0,1),准线l:y=-1,从而A(0,-1),如图所示.设∠PAQ=θ.∵|PA|=m|PB|,|PB|=|PQ|,∴m=|PA||PB|=|PA||PQ|=1sinθ.结合图形知,当AP 与抛物线相切时,sin θ最小,从而m 最大.设直线AP 的方程为y=kx-1(k ≠0),由{x 2=4y,y =kx -1,得x 2-4kx+4=0, 令Δ=16k 2-16=0,解得k=±1,不妨取k=1,得P 点坐标为(2,1).设双曲线的方程为y 2a 2-x 2b 2=1(a>0,b>0). 在双曲线y 2a 2-x 2b 2=1(a>0,b>0)中,2c=2,即c=1, 2a=|PA|-|PB|=2√2-2⇒a=√2-1,∴离心率e=c a =√=√2+1,故选B.解题模板 在解决圆锥曲线问题时,对条件的运用,可用代数法,借助方程的手段解决问题;也可用几何法,利用几何性质、几何图形解决问题.如本题中条件“|PA|=m|PB|”就是借助图形,利用几何性质解决问题,简化运算.9.AC 由y 2=4x,得2p=4,即p=2,∴焦点F(1,0),准线l:x=-1.设直线AB 的方程为x=my+1,A(x 1,y 1),B(x 2,y 2).由{y 2=4x,x =my +1得y 2-4my-4=0, ∴y 1+y 2=4m,y 1·y 2=-4,从而x 1+x 2=4m 2+2,x 1·x 2=1.又|AF|=3|BF|,∴x 1+p 2=3(x 2+p2),即x 1=3x 2+2. 因此x 2=m 2,且3x 22+2x 2-1=0⇒x 2=13或x 2=-1(舍去). ∴m 2=13,∴m=±√33,即直线AB 的斜率为±√3,C 正确; 选项A 中,C(-1,y 1),D(-1,y 2),∴FC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·FD ⃗⃗⃗⃗⃗ =4+y 1y 2=4-4=0,从而∠CFD=90°,A 正确;选项B 中,M(2m 2+1,2m),∴CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·DM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =4(m 2+1)2+4m 2-2m(y 1+y 2)+y 1y 2=4m 4+4m 2=169,结合图形知△CMD 不是直角三角形,B 错误;选项D 中,S △AOB =12|OF||y 1-y 2|=12√16m 2+16=4√33,D 错误.故选AC.陷阱分析 解决多选题时,先明确条件的含义,如本题中,由条件“|AF|=3|BF|”可以确定直线的方程,得到选项C 正确,进而可以将变化的问题化为确定的问题,简化运算.解题时避免将选项逐一验证,增加运算难度.10.答案 1;8解析 由y 2=4x,得2p=4,∴p=2.因此F(1,0),准线l:x=-1.如图所示.设P(x 0,y 0),则|PF|=x 0+1=2⇒x 0=1.由P 在抛物线上知,y 02=4x 0=4,∴y 0=±2.不妨取y 0=2,得P(1,2).设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),∵OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ), ∴M 为线段AB 的中点,∴M (x 1+x 22,y 1+y 22).∵A,B 均为抛物线上的点,∴y 12=4x 1,y 22=4x 2,从而(y 1-y 2)(y 1+y 2)=4(x 1-x 2).又y 1+y 22=2,∴y 1+y 2=4. 因此k AB =y 1-y 2x 1-x 2=1,∴直线AB 的方程为y=x-1.由{y 2=4x,y =x -1,得x 2-6x+1=0, ∴x 1+x 2=6,因此|AB|=x 1+x 2+p=6+2=8.11.答案 -2解析 设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2), 则k AB =y 2-y 1x 2-x 1=y 2-y 1y 224-y 124=4y 1+y 2, k PA =y 1-2x 1-1=y 1-2y 124-1=4y 1+2,同理k PB =4y 2+2. ∵k PA +k PB =0,∴4y 1+2+4y 2+2=0,得y 1+y 2=-4,∴k AB =4-4=-1. 又k OP =21=2, ∴k AB ·k OP =-1×2=-2.。