法向量求法及应用方法
法向量求法及应用方法
法向量求法及应用方法法向量是指与一些曲面上的每一点的切平面垂直的向量。
在三维空间中，法向量可以方便地描述曲面的几何特征和方向。
一、法向量的求法：1.平面的法向量：平面的法向量可以通过两个不平行的向量叉积得到。
设平面上两个向量为a和b，法向量n=a×b。
2.曲面的法向量：曲面的法向量可以通过曲面的方程求得。
常见的曲面方程包括参数方程、隐函数方程和显函数方程。
对于参数方程和隐函数方程，可以通过求偏导数来得到曲面的切向量，然后再将切向量进行标准化得到法向量。
例如，对于参数方程x=x(u,v)，y=y(u,v)，z=z(u,v)，法向量可以通过求∂(x,y,z)/∂(u,v)的叉积来得到。
而对于隐函数方程F(x,y,z)=0，可以通过对F(x,y,z)进行偏导数得到一个方程组，然后解这个方程组来得到法向量。
二、法向量的应用方法：1.曲面法向量的判定：通过计算曲面的法向量可以判断曲面的朝向和几何特征。
例如，在渲染图形时，可以通过曲面的法向量来决定光线对曲面的照射效果，以实现更真实的光影效果。
2.曲面法向量的插值和平滑：在计算机图形学中，通常需要对曲面进行插值和平滑处理。
曲面的法向量可以帮助我们在曲面上进行平滑采样。
例如，在曲面细分中，通过计算曲面的法向量来过滤掉尖锐的细分结果，使得细分结果更加平滑自然。
3.曲面的切平面和法向量的切线：对于空间曲线上的点，可以通过曲线的参数方程求得曲线的切线向量。
而对于空间曲面上的点，可以通过曲面的法向量和曲面上其中一点的切平面求得曲线的切向量。
切平面上的切向量和曲面的法向量垂直，并且与曲线相切。
4.计算曲面的面积和体积：曲面的法向量可以用来计算曲面的面积和体积。
对于平面，面积等于法向量的模长；对于曲面，可以通过对曲面分割成小区域然后计算每个小区域的法向量，并对法向量进行积分得到曲面的面积或体积。
5.平面和曲面的方程：法向量可以帮助我们确定平面和曲面的方程。
对于平面，通过平面上一点和法向量，可以得到平面的方程；对于曲面，通过曲面上一点和法向量，可以得到曲面的方程。
差乘法求法向量
差乘法求法向量差乘法是一种常用的求法向量的方法，在几何学和向量运算中被广泛应用。
它主要用于求解平面上两个向量的垂直向量或空间中三个向量的法向量。
本文将从理论和实际应用两个方面介绍差乘法的原理和计算方法。
一、差乘法原理差乘法又称为叉乘法或向量积法，是求解向量的垂直向量的一种方法。
它的原理基于向量的叉乘运算，通过两个向量的叉乘得到一个新的向量，该向量与原来的两个向量均垂直。
具体计算方法如下：设有两个向量a和b，它们的叉乘结果记为c，那么向量c的长度等于向量a和向量b的长度的乘积与它们夹角的正弦值的乘积。
向量c的方向则垂直于向量a和向量b所在的平面，并满足右手法则。
二、差乘法计算步骤在实际应用中，我们可以按照以下步骤来使用差乘法求解法向量：1. 确定两个向量a和b。
2. 计算两个向量的叉乘，得到新的向量c。
3. 根据c的长度和方向确定法向量的大小和方向。
例如，在平面几何中，已知两个向量a(2,3)和b(4,1)，我们可以按照以下步骤使用差乘法求解它们的法向量：1. 确定两个向量a和b：a(2,3)和b(4,1)。
2. 计算两个向量的叉乘，得到新的向量c：c = (2,3) × (4,1) = (2×1-3×4, 3×4-2×1) = (-10,10)。
3. 根据c的长度和方向确定法向量的大小和方向：法向量的长度为√((-10)²+10²) ≈ 14.14，法向量的方向垂直于平面以向量c为法向量的平面。
三、差乘法的应用差乘法在几何学和向量运算中有着广泛的应用。
下面将介绍一些常见的应用场景。
1. 平面几何中的法向量在平面几何中，差乘法可以用来求解平面上两个向量的法向量。
法向量在几何学中扮演着重要的角色，它垂直于平面，并且可以用来表示平面的方向和倾斜程度。
2. 三维空间中的法向量在三维空间中，差乘法可以用来求解三个向量的法向量。
法向量在三维几何学和物理学中有着广泛的应用，例如计算平面的法向量、曲面的法向量以及物体表面的法向量等。
平面法向量的求法法向量怎么求
方法指导：如图2-5,若点B为平面α外一点，点A
1
ab
adcb；2、适合右手定则。
cd
二、平面法向量的应用
1、求空间角
为平面α内任一点，平面的法向量为，则点B到平面α的距离公式为d
三、高考真题新解
例1、已知如图3-1,四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形，
AB∥DC，DAB90,PA底面ABCD，且PA=AD=DC=
mn0,mn,即平面A1MC平面A1BD1.
(III).设点A到平面A1MC的距离为d,
mMCMA1(a2,
又MA(
2222
a,a)是平面A1MC的法向量, 22
2|mMA|1
a,0,0),A点到平面A1MC的距离为:da.22|m|
四、用空间向量解决立体几何的“三步曲”
(1)、建立空间直角坐标系(利用现有三条两两垂直的直线，注意已有的正、直条件,相关几何知识的综合运用，建立右手系)，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；、通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题；、把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义。
3|m||n|
22
面AMC与面BMC所成二面角的大小为arccos().
33
例2、(本题满分12分)如图3-2，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，已知AB＝AA1＝a，BC，M是AD的中点。(Ⅰ)求证：AD∥平面A1BC；
(Ⅱ)求证：平面A1MC⊥平面A1BD1；(Ⅲ)求点A到平面A1MC的距离。
线线、线面、面面间的位置关系与向量运算的关系设直线l,m的方向向量分别为,，平面,的法向量分别为,。
1.平行关系
法向量的求法
法向量的求法
求法向量是物理学中一个重要的概念，它可用于描述物体在空间中的移动和变化之间的关系。
通过求法向量，物体的位置和动量在任何时间以及任何方向上都可以得到准确的表达。
因此，求法向量在物理学研究中占据十分重要的地位和作用。
法向量是由单位向量构成的，它可以用来描述物体的变化，特别是当物体的变化是在逐渐发生时，求法向量尤为重要。
举例来说，如果你要表达物体在不同时间和不同位置 t 的变化，你可以采用如下公式来求出法向量 f (t)。
f (t) = r(t) - r(t-1)
其中，r(t) 代表物体在t时间单位的位置，而 r(t-1) 则代表这物体在 t-1 时间单位的位置。
事实上，问题就是求出物体在 t 时刻和 t-1 时刻的位置之间的距离。
这种距离可以被认为是一种“ 变化率”，可以用来描述物体的移动过程。
几何学中的求法向量并不仅仅限于空间上的运动，而且也可以应用于函数的导数中。
函数的导数，可以用公式 d f (x) / d x 来表示，其中 d f (x) 表示函数在 x 时刻的变化率，而 d x 表示这个变化率与 x 之间的距离。
另外，在机器学习中也大量应用到求法向量方法。
通过求法向量，可以确定每一个变量和优化目标之间的关系，并对数据进行分析，从中学习出最佳的解决方案。
总之，求法向量是一种常用的数学方法，用来表达变量们的空间变化关系，在机器学习等领域有着重要的应用价值。
高中法向量的求法
高中法向量的求法在高中数学中，法向量是一个重要的概念。
它与向量和平面的关系密切相关，是解决平面几何问题的基础。
本文将介绍高中法向量的求法，希望能帮助大家更好地理解和应用这一概念。
一、法向量的定义法向量是与给定平面垂直的向量。
平面上的每个点都可以对应一个法向量，该法向量垂直于该点所在的切平面。
在二维空间中，法向量只有一个，而在三维空间中，法向量有无数个。
二、法向量的求法1. 已知平面的法向量如果已知平面的一般方程或者点法式方程，可以直接从方程中读取出平面的法向量。
一般方程的形式为Ax + By + Cz + D = 0，其中ABC为法向量的坐标分量。
2. 通过两个向量叉乘求法向量如果已知平面上的两个不共线向量a和b，可以通过叉乘求出法向量。
叉乘的结果是一个新的向量c，它的方向垂直于a和b所在的平面，并符合右手定则。
即将右手伸出，让拇指指向向量a的方向，食指指向向量b的方向，剩下的中指的方向就是法向量的方向。
3. 通过点的坐标求法向量如果已知平面上的三个不共线点A、B、C的坐标，可以通过向量AB和向量AC的叉乘来求得法向量。
即向量AB与向量AC做叉乘，得到的向量即为法向量。
三、法向量的性质1. 法向量与平面上的任意向量都垂直。
2. 平面上的两个不共线向量的叉乘得到的向量是与平面垂直的法向量。
3. 平面上任意两个不共线向量的叉乘得到的向量和平面的法向量平行。
4. 平面上的两个垂直向量的叉乘得到的向量是与平面垂直的法向量。
四、法向量的应用1. 判断两个平面是否平行或垂直：如果两个平面的法向量平行，则它们平行；如果两个平面的法向量垂直，则它们垂直。
2. 求直线与平面的关系：如果直线的方向向量与平面的法向量垂直，则直线与平面垂直；如果直线的方向向量与平面的法向量平行，则直线与平面平行。
3. 求直线的垂线：直线的垂线就是与直线垂直的直线，可以通过直线的方向向量和平面的法向量来求得。
五、总结高中法向量的求法是解决平面几何问题的重要方法之一。
法向量秒求
法向量秒求一．叉乘法求解法向量111222111221221112212211122122PAB PA=a b c PB=a b c n (x,y,z)b c x b c b c b c a c y (a c a c )a c a b z a b a b a b ===-=-=--==-uu u r uu r r 设平面的两边构成的向量为（，，）、（，，）平面PAB的一个法向量则，，，，，，二．掐头去尾交叉法求法向量111222a (x ,y ,z )b (x ,y ,z )n (x,y,z)===r r r 已知平面内两相交直线的方向向量、平面的法向量为分两步写，第一步横写两遍，掐头去尾；第二步：由左向右，交叉相乘再相减121212121212n (y z z y ,z x x z ,x y y x )=---r 说明：两种方法的实质是一样，都可以使用例题举证【例1】（2020·辽宁节选）已知平面α上三点()3,2,1A ，()1,2,0B -，()4,2,1C --，则平面α的一个法向量为（）A．()4,9,16--B．()4,9,16-C．()16,9,4--D．()16,9,4-【答案】B【解析】解法一：常规法由已知()4,0,1AB =-- ，()1,4,2AC =-- ，设平面α的一个法向量为(),,n x y z = ，由00n AB n AC ⎧⋅=⎨⋅=⎩，可得40420x z x y z --=⎧⎨--=⎩，取4x =，可得16z =-，9y =，所以，平面α的一个法向量为()4,9,16=-n .故选：B.解法二：叉乘法由已知()4,0,1AB =-- ，()1,4,2AC =-- ，设平面α的一个法向量为(),,n x y z = ()0x 0(2)(4)(1)44241y [4(2)1(1)]9120z 4(4)101614n 4,9,16n B==⨯---⨯-=-----=-=--⨯--⨯-=--==-⨯--⨯=-=--r r ，-1，，，-4，，只要跟成倍数都是平面的法向量，所以选解法三：掐头去尾交叉法()n 4,9,16n B=--r r 只要跟成倍数都是平面的法向量，所以选【例2】（2020·全国）已知(1,0,0)A ，(0,1,0)B ，(0,0,1)C ，则下列向量是平面ABC 法向量的是（）A．(1,1,1)-B．(1,1,1)-C．333,333⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭D．333,,333⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭【答案】C【解析】解法一：常规法(1,1,0),(1,0,1)AB AC =-=- ,设(,,)n x y z = 为平面ABC 的法向量，则00n AB n AC ⎧⋅=⎨⋅=⎩ ，化简得00x y x z -+=⎧⎨-+=⎩，∴x y z ==，故选C.解法二：叉乘法1x 11001110y -110(1)1-11-1z 101-11-10==⨯-⨯=-=-=-⨯-⨯-===-⨯-⨯=，00，，【】，1，（），()n 1,1,1n n =λr r r 只要跟成倍数都是平面的法向量，所以选C 解法三：掐头去尾交叉法()n 1,1,1n n =λr r r 只要跟成倍数都是平面的法向量，所以选C技巧强化1．（2020·全国）在三棱锥P ABC -中，CP 、CA 、CB 两两垂直，1AC CB ==，2PC =，如图，建立空间直角坐标系，则下列向量中是平面PAB 的法向量的是（）A．11,1,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B．()2,1C．()1,1,1D．()2,2,1-【解析】解法一：常规法()1,0,2PA =- ，()1,1,0AB =- ，设平面PAB 的一个法向量为(),,1n x y = ，由00n PA n AB ⎧⋅=⎨⋅=⎩则200x x y -=⎧⎨-+=⎩，解得22x y =⎧⎨=⎩，()2,2,1n ∴=r ．又111,1,22n ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，因此，平面PAB 的一个法向量为11,1,2⎛⎫ ⎪⎝⎭.故选：A.解法二：叉乘法()1,0,2PA =- ，()1,1,0AB =- ，设平面PAB 的一个法向量为(),,z =n x y x 01(2)212y -[01(2)(1)]2-10z 110-11-11==-⨯-=-=-=⨯--⨯-===⨯-⨯=0，-21， 0，，1，0（），()n 2,2,1n n =λr r r 只要跟成倍数都是平面的法向量，所以选A解法三：掐头去尾交叉法()1,0,2PA =- ，()1,1,0AB =- ，设平面PAB 的一个法向量为(),,z =n x y()n 2,2,1n n =λr r r 只要跟成倍数都是平面的法向量，所以选A2．（多选）（2020·南京市第十四中学）已知(4A -，6，1)-，(4B ，3，2)，则下列各向量中是平面(AOB O 是坐标原点)的一个法向量的是（）A．15194⎛⎫- ⎪⎝⎭，，B．15194⎛⎫- ⎪⎝⎭，，C．(15-，4，36)D．(15，4，36)-【答案】BD【解析】解法一：常规法设平面(AOB O 是坐标原点)的一个法向量是(,u x =y ，)z ，则·0·0u OA u OB ⎧=⎨=⎩ ，，即4604320x y z x y z -+-=⎧⎨++=⎩，，得90y z +=，令1y =，解得15419x y z ⎧=⎪⎪=⎨⎪=-⎪⎩，，，令4y =，解得15436x y z =⎧⎪=⎨⎪=-⎩，，，故15,1,94u ⎛⎫=-⎪⎝⎭ 或(15,4u = ，36)-．故选：BD．解法二：叉乘法(4(4,3,2),(,,)=-==，6,-1)、设平面是坐标原点的一个法向量是OA OB n x y z6x 623(1)15241y -[424(1)44246z 43463643==⨯-⨯-=--=-=-⨯-⨯-=-==-⨯-⨯=-，-13，，]， ，， ()n 15,4,36n n =-λr r r 只要跟成倍数都是平面的法向量，所以选BD解法三：掐头去尾交叉法()n 15,4,36n n =-λr r r 只要跟成倍数都是平面的法向量，所以选BD3．（2020·天津市第五十五中学）如图，长方体1111ABCD A B C D -中，4AB =，2BC =，13CC =，E ，F 分别是BC ，CD 的中点，以D 为原点，分别以DA ，DC ，1DD 为坐标轴建立空间直角坐标系，则平面1D EF的一个法向量是___________.【答案】(6-，3，2)【解析】解法一：常规法长方体1111ABCD A B C D -中，4AB =，2BC =，13CC =，E ，F 分别是BC ，CD 的中点，以D 为原点，分别以DA ，DC ，1DD 为坐标轴建立空间直角坐标系，则1(0D ，0，3)，(1E ，4，0)，(0F ，2，0)，1(1D E =，4，3)-，1(0D F =，2，3)-，设平面1D EF 的一个法向量是(n x =，y ，)z ，则11·430·230n x y z n yz D E D F ⎧=+-=⎪⎨=-=⎪⎩ ，取3y =，得(6n =-，3，2)，则平面1D EF 的一个法向量是(6-，3，2).故答案为：(6-，3，2).解法二：叉乘法1(1D E = ，4，3)-，1(0D F =，2，3)-，设平面1D EF 的一个法向量是(n x =，y ，)z ，x 4(3)2(3)6313y -[1(3)0(3)334z 120422==⨯--⨯-=---=-=⨯--⨯-=-==⨯-⨯=4，-32，，]0，1，（）0，()n 6,3,1n n =-λr r r 2只要跟成倍数都是平面的法向量解法三：掐头去尾交叉法()n 6,3,1n n =-λr r r 2只要跟成倍数都是平面的法向量4．（2020·鱼台县第一中学）如图，四棱柱1111ABCD A B C D -的底面ABCD 是正方形，O 为底面中心，1A O ⊥平面ABCD，1AB =1OCB 的法向量n =________.【答案】()1,0,1-（答案不唯一）【解析】解法一：常规法ABCD 是正方形，且2AB =AO OC 1∴==，OC (0,1,0)∴= ，A(0,1,0)- ，B(1,0,0)，(1,1,0)AB ∴= ，11A B (1,1,0)∴= ，OA 1= ，1AA 2=1OA 211∴=-=，故1(0,0,1)OA = ，故1111OB OA A B (1,1,1)=+= ，∵向量(,,)n x y z = 是平面OCB 1的法向量，OC 0y n ∴⋅== ，1OB 0n x y z ⋅=++= ，故0y =，x z =-，取1x =，故1z =-，平面1OCB 的法向量()1,0,1n =- 故答案为：()1,0,1-（答案不唯一）5．（2020·全国）已知()0,2,3A ，()2,1,6B -，()1,1,5C -.求平面ABC 的一个法向量；【答案】平面ABC 的一个法向量为()1,1,1n =（答案不唯一）；【解析】解法一：常规法因为()0,2,3A ，()2,1,6B -，()1,1,5C -，所以()2,1,3AB =-- ，()1,3,2AC =- ，设(),,n x y z =r为平面ABC 的一个法向量，则有230320n AB x y z n AC x y z ⎧⋅=--+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ ，所以x y z ==，不妨令1x =，则()1,1,1n = ，所以平面ABC 的一个法向量为()1,1,1n =；解法二：叉乘法所以()2,1,3AB =-- ，()1,3,2AC =- ，设(),,n x y z =r 为平面ABC 的一个法向量，1x 12(3)37223y -[2213]712-3z 123-37-32-==-⨯--⨯=-=-=-⨯-⨯===-⨯-⨯=，3-3，，，1，（），()n 7,7,7n n =λr r r 只要跟成倍数都是平面的法向量解法三：掐头去尾交叉法()n 7,7,7n n =λr r r 只要跟成倍数都是平面的法向量（2）若存在实数m ，n ，使a mAB nAC =+，即()()()3,4,12,1,31,3,2m n -=--+-，则2334321m n m n m n -+=⎧⎪--=-⎨⎪+=⎩，解得57117m n ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以51177a AB AC =-+ ，即向量()3,4,1a =- 与平面ABC 平行.6．（2020·河南郑州市·高三月考）如图，S 为圆锥的顶点，O 为底面圆心，点A ，B 在底面圆周上，且60AOB ∠=︒，点C ，D 分别为SB ，OB的中点．()1求证：AC OB ⊥；()2若圆锥的底面半径为2，高为4，求直线AC 与平面SOA 所成的角的正弦值．【答案】()1证明见解析；()22114.【解析】()1由题意，得SO ⊥底面圆O ，点C ，D 分别为SB ，OB 的中点，∴//CD SO ，CD ⊥底面圆O ，OB 在底面圆O 上，∴OB CD ⊥．60AOB ∠=︒，∴AOB 为正三角形，又因为D 为OB 的中点，∴OB AD ⊥，又因为AD CD D = ，且AD ⊂平面ACD ， C D ⊂平面ACD ，∴OB ⊥平面ACD ，AC ⊂平面ACD ，∴AC OB ⊥．()2解法一：常规法如图，以D 为原点，DA ，DB ，DC 所在直线为x 轴，y 轴，z轴建立空间直角坐标系，则()3,0,0A ，()0,0,2C ，()0,1,0O -，()0,1,4S -，故()3,0,2AC = ，()3,1,4AS =- ，)3,1,0OA = ，设平面SOA 的法向量为(),,n x y z = ，由00n AS n OA ⎧⋅=⎨⋅=⎩ ，可得34030y z x y ⎧-+=⎪+=，令1x =，得()1,3,0n =-r为平面SOA 的一个法向量，设直线AC 与平面SOA 所成的角为θ，则300321sin cos ,14133427n AC n AC n AC θ⋅-++=〈〉==+⨯+⋅ ，即直线AC 与平面SOA 所成的角的正弦值为2114．解法二：叉乘法()3,1,4=-AS ，)3,1,0OA = ，设平面SOA 的法向量为(),,n x y z = ，1x 101440y -[04]1z 1-101-==-⨯-⨯=-==--=-==-=，41， ，（）()n n n =-λr r r 只要跟成倍数都是平面的法向量解法三：掐头去尾交叉法()n n n =-λr r r 只要跟成倍数都是平面的法向量7．（2020·浙江衢州市）如图，在三棱锥P —ABC 中，PA ⊥平面ABC ，AC ⊥BC ，D 为PC 中点，E 为AD 中点，PA ＝AC ＝2，BC＝1．（1）求证：AD ⊥平面PBC ：（2）求PE 与平面ABD 所成角的正弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）21515.【解析】（1）证明：∵PA ⊥平面ABC ，∴PA BC⊥又因为BC AC ⊥，=PA AC A∩∴BC ⊥平面PAC ，∴BC AD ⊥．∵PA AC =，D 为PC 中点，∴AD PC ⊥，又∵PC BC C ⋂=，∴AD ⊥平面PBC ；（2）解法一：常规法以C为坐标原点建立如图空间直角坐标系()2,0,0A ，()0,1,0B ，()2,0,2P ，∴()1,0,1D ，310,22E ⎛⎫ ⎪⎝⎭,，∴13,0,22PE =--⎛⎫ ⎪⎝⎭ ，()2,1,0AB =- ，()1,0,1AD =- ．设平面ABD 的法向量为(),,m x y z = ，则00AB m AD m ⎧⋅=⎨⋅=⎩200x y x z -+=⎧⇒⎨-+=⎩，令1x =，则2,1==y z ，得()1,2,1m = ．设PE 与平面ABD 所成角为θ，则215sin 15θ⋅===⋅ PE m PE m ．解法二：叉乘法()2,1,0AB =- ，()1,0,1AD =- ．设平面ABD 的法向量为(),,m x y z = ，1x 11001120y -210(1)]2-11-1z 201-11-10==⨯-⨯=-=-=-⨯-⨯-===-⨯-⨯=，00，，[，2，（），()n 1,2,1n n =λr r r 只要跟成倍数都是平面的法向量设PE 与平面ABD 所成角为θ，则sin 15θ⋅===⋅ PE m PE m ．解法三：掐头去尾交叉法()n 1,2,1n n =λr r r 只要跟成倍数都是平面的法向量设PE 与平面ABD 所成角为θ，则sin 15θ⋅===⋅ PE m PE m ．8．（2020·河北邢台市·邢台一中高三月考=）已知四棱锥P ABCD -的底面是直角梯形，AD CD ⊥，//AB CD ，且3PA PC PD ===，24CD AD AB ===，O 为AC 的中点.()1求证：OP BC ⊥；()2求直线DP 与平面PBC 所成角的正弦值.【答案】()1证明见解析；()289.【解析】()1因为AD CD ⊥，所以2242AC AD CD =+=又3,PA PC O ==为AC 的中点，所以PO AC ⊥，()223221PO =-=，连接OD ，在Rt ACD △中，O 为AC 的中点，所以1222OD AC ==.因为222OD OP PD +=，所以OP OD ⊥，又OD AC O = ，所以OP ⊥平面ABCD .又BC ⊂平面ABCD ，所以OP BC ⊥.()2解法一：常规法如图，以D 为原点，分别以DA ，DC 所在直线为x 轴，y 轴，过点D 且与OP 平行的直线为z 轴建立空间直角坐标系D xyz -，则()4,2,0B ，()0,4,0C ，()2,2,1P ，()4,2,0BC =- ，()2,2,1CP =- ，()2,2,1DP = .设平面BCP 的一个法向量为(,,)n x y z = ，由00n BC n CP ⎧⋅=⎨⋅=⎩ ，得420220x y x y z -+=⎧⎨-+=⎩令1x =，可得()1,2,2n = .设直线DP 与平面PBC 所成角为θ，则88sin cos ,339DP n θ===⨯ .即直线DP 与平面PBC 所成角的正弦值为89.解法二：叉乘法()4,2,0BC =- ，()2,2,1CP =- 设平面BCP 的一个法向量为(,,)n x y z = ，2x 21(2)02140y -[4102]421-2z 4(2)24422==⨯--⨯=-=-=-⨯-⨯===-⨯--⨯=-，0-2，，，4，，()n 2,4,4n n =λr r r 只要跟成倍数都是平面的法向量则8sin cos ,9==DP n θ .即直线DP 与平面PBC 所成角的正弦值为89.解法三：掐头去尾交叉法()4,2,0BC =- ，()2,2,1CP =- 设平面BCP 的一个法向量为(,,)n x y z = ，()n 2,4,4n n =λr r r 只要跟成倍数都是平面的法向量则8sin cos ,9==DP n θ .即直线DP 与平面PBC 所成角的正弦值为89.9．（2020·四川泸州市·泸县五中高三月考）如图，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是边长为2的正方形，2PA =，E 为PD 中点.（1）求证：AE PC ⊥；（2）求二面角B AE C --的正弦值.【答案】（1）见详解；（2）3【解析】（1）证明：∵底面ABCD 是边长为2的正方形，2PA =，E 为PD 中点，∵AE PD ⊥，CD AD ⊥.∵PA ⊥平面ABCD ，CD 平面ABCD ，∴CD PA ⊥.∵PA AD A⋂=∴CD ⊥平面PAD ，∵AE 平面PAD ，∴CD AE ⊥，∵CD PD D = .∴AE ⊥平面PCD ，∵PC 平面PCD ，∴AE PC ⊥.（2）解法一：常规法以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z 轴，建立如图空间直角坐标系.则(0,0,0)A ，(2,0,0)B ，(2,2,0)C ，(0,1,1)E ，(0,1,1)AE = ，(2,0,0)AB =uu u r ，(2,2,0)AC =uuu r ，设平面ABE 的一个法向量(,,)m x y z = ，则200m AB x m AE y z ⎧⋅=⋅=⎨⋅=+=⎩，取1y =，得(0,1,1)m =- .设平面AEC 的一个法向量为111(,,)n x y z = .则2200n AC x y n AE y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩ ，取11x =.得(1,1,1)n =-，cos 3||||m n m n m n ⋅<⋅>==-⋅ ，∴二面角B AE C --的正弦值33=解法二：叉乘法（法向量求解略）解法三：掐头去尾交叉法（法向量求解略）10．（2020·河北省晋州市）如图，棱锥P —ABCD 的底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，PA =AD =2，BD=.（1）求证：BD ⊥平面PAC ；（2）求二面角P —CD —B 余弦值的大小；【答案】（1）证明见解析（2）22【解析】（1）建立如图所示的直角坐标系，则A （0，0，0）、D （0，2，0）、P （0，0，2）.在Rt △BAD 中，AD =2，BD=∴AB =2.∴B （2，0，0）、C （2，2，0），∴(0,0,2),(2,2,0),(2,2,0)AP AC BD ===-∵0,0BD BD AP AC =⋅=⋅ ，即BD ⊥AP ，BD ⊥AC ，又AP ∩AC =A ，故BD ⊥平面PAC .（2）解法一：常规法（3）由（1）得(0,2,2),(2,0,0)PD CD =-=-.设平面PCD 的法向量为1(,,)n x y z = ，则110,0n PD C n D ==⋅⋅ ，即02202000y z x +-=⎧⎨-++=⎩，∴0x y z =⎧⎨=⎩，故平面PCD 的法向量可取为1(0,1,1)n =u r ,∵PA ⊥平面ABCD ，∴(0,01)AP = 为平面ABCD 的法向量.设二面角P —CD —B 的大小为θ，依题意可得112cos 2n AP n APθ⋅===⋅ ，故二面角P —CD —B 余弦值的大小为22.解法二：叉乘法(0,2,2),(2,0,0)PD CD =-=- 2x 2000002y -[00(2)(2)4-2002z 002-14-20==⨯-⨯=-=-=⨯--⨯-===⨯-⨯=，-20， 0，]，，（），()n 0,4,4n n =λr r r 只要跟成倍数都是平面的法向量∵PA ⊥平面ABCD ，∴(0,01)AP = 为平面ABCD 的法向量.设二面角P —CD —B 的大小为θ，依题意可得1112cos22n AP n APθ⋅===⋅ ，故二面角P —CD —B 余弦值的大小为22.解法三：掐头去尾交叉法(0,2,2),(2,0,0)PD CD =-=- ()n 0,4,4n n =λr r r 只要跟成倍数都是平面的法向量∵PA ⊥平面ABCD ，∴(0,01)AP = 为平面ABCD 的法向量.设二面角P —CD —B 的大小为θ，依题意可得1112cos 22n AP n APθ⋅===⋅ ，故二面角P —CD —B 余弦值的大小为22.。
法向量的快速求解方法
法向量的快速求解方法引言法向量是计算机图形学中一个重要的概念，用于描述曲面或平面在某一点上的方向。
在许多图形渲染和计算机视觉任务中，需要准确、高效地求解法向量。
本文将介绍几种常用的快速求解法向量的方法，并对其进行比较和评价。
1. 离散法向量求解离散法向量求解是最直接、最简单的方法之一。
它通过对曲面或平面上的离散点进行采样，然后根据采样点周围的几何信息来估计法向量。
1.1 三角网格法三角网格法是离散法向量求解中最常用的方法之一。
它将曲面或平面离散化成一系列三角形，并在每个三角形上计算法向量。
具体步骤如下：1.将曲面或平面离散化成三角网格；2.对每个三角形，计算其顶点坐标；3.根据顶点坐标计算三角形的边长和角度；4.根据边长和角度计算每个顶点处的法向量。
1.2 体素法体素法是另一种常用的离散法向量求解方法。
它将曲面或平面划分成一系列体素（三维像素），并在每个体素上计算法向量。
具体步骤如下：1.将曲面或平面划分成体素；2.对每个体素，计算其顶点坐标；3.根据顶点坐标计算体素的边长和角度；4.根据边长和角度计算每个顶点处的法向量。
2. 近似法向量求解近似法向量求解是一种通过近似计算来快速求解法向量的方法。
它通过对曲面或平面进行简化，减少计算量，从而提高求解速度。
2.1 PCA方法PCA（Principal Component Analysis）方法是一种常用的近似法向量求解方法。
它通过对曲面或平面上的点云进行主成分分析，找到主要方向，并将其作为法向量。
具体步骤如下：1.对曲面或平面上的点云进行采样；2.对采样点云进行主成分分析，得到主要方向；3.将主要方向作为每个采样点处的法向量。
2.2 局部拟合方法局部拟合方法是另一种常用的近似法向量求解方法。
它通过对曲面或平面上的邻域进行拟合，得到局部的法向量。
具体步骤如下：1.对曲面或平面上每个点的邻域进行采样；2.对采样点进行拟合，得到局部法向量；3.将局部法向量作为每个点处的法向量。
法向量的算法与举例
法向量的算法与举例摘要高中数学中的向量作为沟通代数与几何的桥梁，大大简化了几何问题的运算量。
然而在高中数学体系中，几何占有很重要的地位，有些几何问题用常规的方法去解决往往比较繁杂，而运用向量能使过程得到大大的简化。
[1]用向量法解决几何问题有着思路清晰、过程简洁的优点。
[2]在立体几何中常用法向量来解决距离问题，夹角问题，于是求法向量又是一个新问题。
如果能够掌握平面法向量的快速求法，那么在解决立体几何问题中一定会有事半功倍之效。
关键词：法向量；矩阵；行列式；速算一、法向量的定义如果向量平面，那么向量叫做平面的法向量。
由定义可知，法向量并不是唯一的，以致只要是与平面互相垂直的向量都可以作为平面的法向量。
二、法向量的算法1、待定系数法求法向量与举例在给定的空间直角坐标系中，设平面的法向量 [或，或 ]，在平面内任找两个不共线的向量。
由，得且，由此得到关于的方程组，解此方程组即可得到 .具体步骤如下：①联立方程②消元求解③得出结论举例：如果，那么与的法向量为?解：设，因为，，则，，得，①-②得，，取，，（注意：给其中一个字母取一个不为零的值）。
例1 如图，在四棱锥S－ABCD中，S A⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，S A ＝AB＝2，∠BAD＝60°，E是PA的中点．(1)求证：直线S C∥平面BDE；证明设AC∩BD＝O.因为∠BAD＝60°，AB＝2，底面ABCD为菱形，s所以BO＝1，AO＝CO＝，AC⊥BD.如图，以O为坐标原点，以OB，OC所在直线分别为x轴，y 轴，过点O且平行于S A的直线为z轴，建立空间直角坐标系O－xyz，则S(0，－，2)，A(0，－，0)，B(1,0,0)，C(0，，0)，D(－1,0,0)，E(0，－，1)．(1)设平面BDE的法向量为n1＝(x1，y1，z1)，因为BE＝(－1，－，1)，BD＝(－2,0,0)，由得令z1＝，得y1＝1，所以n1＝(0,1，)．又＝(0,2，－2)，所以·n1＝0＋2－2＝0，即⊥n1，又，所以S C∥平面BDE.例 2 如图，在直三棱柱ADE—BCF中，面ABFE和面ABCD都是正方形且互相垂直，M为AB的中点，O为DF的中点．运用向量方法证明：(1)OM∥平面BCF；(2)平面MDF⊥平面EFCD.解：（1）略( 2)建系如右图，设平面MDF与平面EFCD的一个法向量分别为n1＝(x1，y1，z1)，n2＝(x2，y2，z2)．∵DF＝(1，－1,1)，DM＝，DC＝(1,0,0)，由n1·DF＝n1·DM＝0，得解得令x1＝1，则n1＝.同理可得n2＝(0,1,1)．∵n1·n2＝0，∴平面MDF⊥平面EFCD.1.行列式法求法向量与举例向量＝(x，y，z )，＝(x，y，z )是平面内的两个不共线向量，则向量＝(y z－y z，－(x z－x z )，x y－x y )是平面的一个法向量.如果用二阶行列式表示，则＝(，－， ) ，这更便于记忆和计算.（注：1、行列式:；2、纵坐标前边要加一个负号）.具体步骤：①竖着列出平面内的两个不共线向量②算出法向量的三个坐标（要算横坐标，就把已知两个向量的横坐标那一列遮起来用纵坐标和竖坐标求，其它坐标相同的求法）③得到平面的法向量。
法向量的公式
法向量的公式法向量是数学中的一个重要概念，它在几何学、物理学、计算机图形学等领域都有广泛的应用。
本文将以法向量的公式为标题，详细解释法向量的定义、计算方法以及其在不同领域的应用。
一、法向量的定义法向量（normal vector）是指与给定曲线、曲面或立体上某一点的切线或切平面垂直的向量。
具体而言，对于曲面上的一点P，其法向量n定义为与该点的切平面垂直的向量。
法向量的方向和长度都具有一定的意义，通常用单位向量表示。
二、法向量的计算方法1. 平面的法向量计算：对于平面Ax+By+Cz+D=0，其中A、B、C 为平面的法向量的分量，D为常数项。
根据平面的方程可得法向量n=(A,B,C)。
2. 曲面的法向量计算：对于曲面F(x,y,z)=0，其中F(x,y,z)是曲面上的一个隐函数。
可以通过求取曲面上某一点的梯度向量来得到该点的法向量。
梯度向量的定义为∇F=(∂F/∂x, ∂F/∂y, ∂F/∂z)。
三、法向量的应用1. 几何学中的应用：法向量在几何学中有广泛的应用，例如判断两条直线的关系、求取两个平面的夹角等。
通过计算两个曲线或平面的法向量，可以判断它们的相对位置和方向关系。
2. 物理学中的应用：在物理学中，法向量常用于描述力的方向和大小。
当一个物体受到力的作用时，其受力方向的法向量可以帮助我们确定物体的运动轨迹和受力情况。
3. 计算机图形学中的应用：在计算机图形学中，法向量用于表达三维物体的表面特性，如光照效果和阴影效果。
通过计算曲面上每个顶点的法向量，可以实现真实感的渲染效果。
4. 机器学习中的应用：在机器学习中，法向量可用于构建分类器和回归模型。
通过计算样本点的法向量，可以确定样本点所属的类别或预测其数值。
5. 工程学中的应用：在工程学中，法向量常用于计算流体的流动方向和速度。
通过计算流体表面上每个点的法向量，可以分析流体的流向和流速，为工程设计提供依据。
四、总结本文详细解释了法向量的定义、计算方法以及在几何学、物理学、计算机图形学、机器学习和工程学等领域的应用。
求法向量的方法
求法向量的方法法向量是一种在物理学和机器学习领域中非常重要的概念，这种想法被广泛用于估算物体表面的曲率、估算复杂几何体的几何特性等各种场景。
本文讨论如何求法向量的方法，包括五个主要部分：单位向量求法向量，内积求法向量，矩阵运算求法向量，特征值分解求法向量，固定的一般椭圆方程求法向量。
一、单位向量求法向量单位向量求法向量支持任意空间由维数确定的解析几何，假设X轴的单位向量为>$\hat{i}$，Y轴的单位向量为>${j}$，若将方程向量化话，则曲面方程为>$F(x, y)=ax \hat{i}+by \hat{j}$，则曲面的法向量为>$F_x \hat{i}+F_y \hat{j}$，其中$F_x=a$，$F_y=b$二、内积求法向量内积求法向量是基于内积运算的一种求法向量的方法，事实上是对导数的求取。
假设曲面的方程为>$F(x,y)=f(x,y)$，令曲面的法向量为>$\mathbf{N}=N_x \hat{i}+N_y \hat{j}$，则有曲面的法向量和法线方向矢量>$\mathbf{k}$之间的矢量积恒为>$\mathbf{k} \cdot\mathbf{N}=0$，故有>$N_x \frac{{\partial f \left( {x,y} \right)}}{{\partial x}}+N_y \frac{{\partial f \left( {x,y} \right)}}{{\partial y}}=0$，解出>$N_x=-\frac{{\frac{{\partial f \left( {x,y} \right)}}{{\partialy}}}}{{\frac{{\partial f \left( {x,y} \right)}}{{\partial x}}}}N_y$，可得到曲面的法向量>$N_x \hat{i}+N_y \hat{j}$三、矩阵运算求法向量通过矩阵的形式将曲面的坐标表达出来，以方便计算。
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平面法向量的求法及其应用一、 平面的法向量1、定义：如果α⊥→a ，那么向量→a 叫做平面α的法向量。
平面α的法向量共有两大类（从方向上分），无数条。
2、平面法向量的求法方法一(内积法):在给定的空间直角坐标系中，设平面α的法向量(,,1)n x y =[或(,1,)n x z =，或(1,,)n y z =]，在平面α内任找两个不共线的向量,a b 。
由n α⊥，得0n a ⋅=且0n b ⋅=，由此得到关于,x y 的方程组，解此方程组即可得到n 。
方法二：任何一个z y x ,,的一次次方程的图形是平面；反之，任何一个平面的方程是z y x ,,的一次方程。
0=+++D Cz By Ax )0,,(不同时为C B A ，称为平面的一般方程。
其法向量),,(C B A n =→;若平面与3个坐标轴的交点为),0,0(),0,,0(),0,0,(321c P b P a P ,如图所示,则平面方程为:1=++czb y a x ,称此方程为平面的截距式方程，把它化为一般式即可求出它的法向量。
方法三(外积法): 设, 为空间中两个不平行的非零向量，其外积→→⨯b a 为一长度等于θsin ||||→→b a ，（θ为,两者交角，且πθ<<0），而与, 皆垂直的向量。
通常我们采取「右手定则」，也就是右手四指由的方向转为的方向时，大拇指所指的方向规定为→→⨯b a 的方向,→→→→⨯-=⨯a b b a 。
:),,,(),,,(222111则设z y x b z y x a ==→→⎝⎛=⨯→→21y y b a ,21z z 21x x - ,21z z 21x x ⎪⎪⎭⎫21y y （注：1、二阶行列式:ca M =cb ad db -=；2例1、 已知，)1,2,1(),0,1,2(-==→→b a ， 试求（1）：;→→⨯b a （2）：.→→⨯a bKey: (1) )5,2,1(-=⨯→→b a ;)5,2,1()2(-=⨯→→a b例2、如图1-1,在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，求平面AEF 的一个法向量n 。
二、 平面法向量的应用1、 求空间角(1)、求线面角：如图2-1，设→n 是平面α的法向量，AB 是平面α的一条斜线，α∈A ，则AB 与平面α所成的角为： 图2-1-1:2,2→→→→->=<-=AB n ππθ图2-1-2:2,πθ=->=<→→AB n (2)、求面面角:设向量→m，→n 分别是平面α、β的法向量，则二面角βα--l 的平面角为：||||arccos,→→→→→→⋅⋅>==<n m nm n m θ（图2-2）;||||arccos,→→→→→→⋅⋅->==<n m nm n m πθ(图2-3)两个平面的法向量方向选取合适,可使法向量夹角就等于二面角的平面角。
约定，在图2-2中，→m 的方向对平面α而言向外，→n 的方向对平面β而言向内；在图2-3中，→m 的方向对平面α而言向内，→n 的方向对平面β而言向内。
我们只要用两个向量的向量积（简称“外积”，满足“右手定则”）使得两个半平面的法向量一个向内一个向外，则这两个半平面的法向量的夹角即为二面角βα--l 的平面角。
2、 求空间距离（1）、异面直线之间距离:图2-3|,cos |><=→→AB n θ)2,2,1(:=⨯=→→→AE AF n key 法向量方法指导：如图2-4,①作直线a 、b 的方向向量→a 、→b ， 求a 、b 的法向量→n ，即此异面直线a 、b②在直线a 、b 上各取一点A 、B ，作向量→AB ；③求向量→AB 在→n 上的射影d ，则异面直线a 、b ||||→→→∙=n n AB d ,其中b B a A b n a n ∈∈⊥⊥→→,,,（2）、点到平面的距离:方法指导：如图2-5,若点B 为平面α外一点，点A 为平面α内任一点，平面的法向量为，则点P 到 平面α的距离公式为||||→→→∙=n n AB d（3）、直线与平面间的距离:方法指导：如图2-6,直线a 与平面α之间的距离：||AB n d n ⋅=，其中a B A ∈∈,α。
n 是平面α的法向量（4）、平面与平面间的距离:方法指导：如图2-7,两平行平面,αβ之间的距离：||||→→→∙=n n AB d ，其中,A B αβ∈∈。
n 是平面α、β3、 证明（1）、证明线面垂直：在图2-8中,→m 向是平面α的法向量，→a 是直线a 的方向向量，证明平面的法向量与直线所在向量共线（→→=a m λ（2）、证明线面平行：在图2-9中,→m 向是平面α的法向量，→a 是直线的方向向量，证明平面的法向量与直线所在向量垂直（0=∙→→a m ）。
（3）、证明面面垂直：在图2-10中，→m 是平面α的法向量，→n 是平面的法向量，证明两平面的法向量垂直（0=∙→→n m ）n（4）、证明面面平行：在图2-11中, →m 向是平面α的法向量，→n 是平面β的法向量，证明两平面的法向量共线（→→=n m λ）。
三、高考真题新解1、（2005全国I ，18）（本大题满分12分）已知如图3-1,四棱锥P-ABCD 的底面为直角梯形，AB ∥DC ，⊥=∠PA DAB ,90底面ABCD ，且PA=AD=DC=21AB=1，M 是PB 的中点（Ⅰ）证明：面PAD ⊥面PCD ；（Ⅱ）求AC 与PB 所成的角； （Ⅲ）求面AMC 与面BMC 所成二面角的大小解:以A 点为原点,以分别以AD ，AB ，AP 为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系A-xyz 如图所示.)1,0,0().(=→AP I ，)0,0,1(=→AD ，设平面PAD 的法向量为)0,1,0(-=⨯=→→→AD AP m )0,1,0(=→DC 又，)1,0,1(-=→DP ，设平面PCD 的法向量为)1,0,1(=⨯=→→→DP DC n0=∙∴→→n m ，→→⊥∴n m ，即平面PAD ⊥平面PCD 。
).(II )0,1,1(=→AC ，)1,2,0(-=→PB ，510arccos ||||arccos ,=⋅∙>=∴<→→→→→→PB AC PB AC PB AC ).(III )21,0,1(-=→CM ，)0,1,1(--=→CA ，设平在AMC 的法向量为)1,21,21(-=⨯=→→→CA CM m .又)0,1,1(-=→CB ,设平面PCD 的法向量为)1,21,21(---=⨯=→→→CB CM n .)32arccos(||||arccos ,-=⋅∙>=∴<→→→→→→n m n m n m .∴面AMC 与面BMC 所成二面角的大小为)32arccos(-.]32arccos [-π或2、(2006年云南省第一次统测19题) (本题满分12分) 如图3-2，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中， 已知AB ＝AA 1＝a ，B Ca ，M 是AD 的中点。
(Ⅰ)求证：AD ∥平面A 1BC ；图(Ⅱ)求证：平面A 1MC ⊥平面A 1BD 1； (Ⅲ)求点A 到平面A 1MC 的距离。
解:以D 点为原点,分别以DA,DC,DD 1为x 轴,y 轴,z 轴,建立空间直角坐标系D-xyz 如图所示.).(I )0,0,2(a BC -=→ ,),,0(1a a BA -=→,设平面A 1BC 的法向量为)2,2,0(221a a BA BC n =⨯=→→→又)0,0,2(a AD -=→,0=∙∴→→AD n ,→→⊥∴n AD ,即AD//平面A 1BC.).(II ),0,22(a a MC =→,)0,,22(1a a MA -=→,设平面A 1MC 的法向量为: )22,22,(2221a a a MA MC m -=⨯=→→→, 又),,2(1a a a BD --=→,),,0(1a a BA -=→,设平面A 1BD 1的法向量为:)2,2,0(2211a a BA BD n =⨯=→→→,0=∙∴→→n m ,→→⊥∴n m ,即平面A 1MC ⊥平面A 1BD 1.).(III 设点A 到平面A 1MC 的距离为d,)22,22,(2221a a a MA MC m -=⨯=→→→是平面A 1MC 的法向量, 又)0,0,22(a MA =→,∴A 点到平面A 1MC 的距离为:a m MA m d 21||||=∙=→→→. 四、用空间向量解决立体几何的“三步曲”(1)、建立空间直角坐标系(利用现有三条两两垂直的直线，注意已有的正、直条件,相关几何知识的综合运用，建立右手系)，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；（化为向量问题）（2）、通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题；（进行向量运算）（3）、把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义。
（回到图形问题）。