经典习题平面法向量求法及应用
法向量求法及应用方法
法向量求法及应用方法法向量是指与一些曲面上的每一点的切平面垂直的向量。
在三维空间中，法向量可以方便地描述曲面的几何特征和方向。
一、法向量的求法：1.平面的法向量：平面的法向量可以通过两个不平行的向量叉积得到。
设平面上两个向量为a和b，法向量n=a×b。
2.曲面的法向量：曲面的法向量可以通过曲面的方程求得。
常见的曲面方程包括参数方程、隐函数方程和显函数方程。
对于参数方程和隐函数方程，可以通过求偏导数来得到曲面的切向量，然后再将切向量进行标准化得到法向量。
例如，对于参数方程x=x(u,v)，y=y(u,v)，z=z(u,v)，法向量可以通过求∂(x,y,z)/∂(u,v)的叉积来得到。
而对于隐函数方程F(x,y,z)=0，可以通过对F(x,y,z)进行偏导数得到一个方程组，然后解这个方程组来得到法向量。
二、法向量的应用方法：1.曲面法向量的判定：通过计算曲面的法向量可以判断曲面的朝向和几何特征。
例如，在渲染图形时，可以通过曲面的法向量来决定光线对曲面的照射效果，以实现更真实的光影效果。
2.曲面法向量的插值和平滑：在计算机图形学中，通常需要对曲面进行插值和平滑处理。
曲面的法向量可以帮助我们在曲面上进行平滑采样。
例如，在曲面细分中，通过计算曲面的法向量来过滤掉尖锐的细分结果，使得细分结果更加平滑自然。
3.曲面的切平面和法向量的切线：对于空间曲线上的点，可以通过曲线的参数方程求得曲线的切线向量。
而对于空间曲面上的点，可以通过曲面的法向量和曲面上其中一点的切平面求得曲线的切向量。
切平面上的切向量和曲面的法向量垂直，并且与曲线相切。
4.计算曲面的面积和体积：曲面的法向量可以用来计算曲面的面积和体积。
对于平面，面积等于法向量的模长；对于曲面，可以通过对曲面分割成小区域然后计算每个小区域的法向量，并对法向量进行积分得到曲面的面积或体积。
5.平面和曲面的方程：法向量可以帮助我们确定平面和曲面的方程。
对于平面，通过平面上一点和法向量，可以得到平面的方程；对于曲面，通过曲面上一点和法向量，可以得到曲面的方程。
平面法向量
时,
平面方程为
分析:利用三点式
按第一行展开得
即
二、平面的一般方程
设有三元一次方程
以上两式相减 , 得平面的点法式方程
此方程称为平面的一般
任取一组满足上述方程的数
则
显然方程②与此点法式方程等价,
②
的平面,
因此方程②的图形是
法向量为
方程.
特殊情形
• 当 D = 0 时, A x + B y + C z = 0 表示
一般式
点法式
截距式
三点式
2.平面与平面之间的关系
平面
平面
垂直:
平行:
夹角公式:
思考与练习
P330 题4 , 5, 8
作业 P330 2 , 6 , 7 , 9
备用题
求过点
且垂直于二平面
和
的平面方程.
解: 已知二平面的法向量为
取所求平面的法向量
则所求平面方程为
化简得
通过原点的平面;
• 当 A = 0 时, B y + C z + D = 0 的法向量
平面平行于 x 轴;
• A x+C z+D = 0 表示
• A x+B y+D = 0 表示
• C z + D = 0 表示
• A x + D =0 表示
• B y + D =0 表示
平行于 y 轴的平面;
平行于 z 轴的平面;
三、两平面的夹角
设平面∏1的法向量为
平面∏2的法向量为
则两平面夹角 的余弦为
即
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
平面法向量的应用和求法
（Ⅱ）因为商＝睁譬，１），且厅ｌ－ （譬，譬，１）’显然商肌脚上平Ｎ
ＢＤＥ．
（Ⅲ）设平面ＡＢＥ的一个法向量一：＝（Ｏ，ｙ，１），
矗：（ｏ，一厄。１），由Ｂ—Ｅ．ｎ２：０得一西＋１：０，
＂耐：０即卜＋２ｙ＋撞＝０，
Ｌ一２戈＋２ｙ＝０
２２
Ｅ口ｙ＝知 ＝（ｏ，刊，ｃｏｓ ｑ儿＞＝
●
万方数据
中学数学杂志２０１０ ｑ－－第９期
ｎ・ｎｌ
１
．厅
所以二面角Ａ。一ＥＤ—Ｆ的正弦值为等．
向量方法作为沟通代数和几何的工具在高考中 越来越常见，此类方法的要点在于建立恰当的直角 坐标系，确定点的坐标，恰当设平面的法向量，才能 便于计算．以计算代替分析，起到简化的作用，但计 算必须慎之又慎．
ｓｉｎ∽¨＝筝
即平面ＡＣＭ与平面ＢＣＤ所成二面角的正弦值
图２
设ＣＡ＝ＣＢ＝口，ＡＡｌ＝ＡＢ＝６，则Ａ（了ｂ，０，０），
Ｂｉ（一虿ｂ，６＇０），ｃ（ｏ，ｏ，
Ｍ一告，导，ｏ）， Ｅ（一ｉｂ，石３ｂ，ｏ）．故有：赢＝ （÷＇．，ｂ ｏ），Ａ—ＢＩ＝（一
面ＢＤＥ；
（ｍ）求二画角Ａ—ＢＥ—Ｄ的大小． 解 因为正方形ＡＢＣＤ和四边形ＡＣＥＦ所在的 平面相互垂直，且ＣＥ上ＡＣ，所以ＣＥ上平面ＡＢＣＤ．
垂直的一条向量．求平面的一个法向量厅是解题的 一个关键，事实上和平面垂直的向量有无穷多个，我 们只需一个就可以了，所以在具体问题中我们应该 根据平面与坐标轴的关系（平行、垂直）来设法向量 的坐标。怎么设下面来具体说明 １）当平面经过或平行某一条坐标轴时，如：经 过或平行石轴，则可设法向量为甩＝（０，Ｙ，１）；经过 或平行Ｙ轴，则可设法向量为厅＝（戈，０，１）；经过或 平行二轴，则可设法向量为刀＝（茗，１，０）． ２）当平面与某一条坐标轴垂直时，如：与ｚ轴垂 直，则可设法向量为刀＝（１，０，０）；与ｙ轴垂直，则可 设法向量为ｎ＝（０，ｌ，Ｏ）；与ｚ轴垂直，则可设法向 量为露＝（０，０，１）． ３）当平面与坐标轴既不平行也不垂直时：则可 设法向量为露＝（戈，Ｙ，１）．设ａ，ｂ为Ｏｔ内任意两个不 共线向量，则由ａ・刀＝０，且ｂ・刀＝０可得ｒ１．
平面法向量的快速求解方法
平面法向量的快速求解方法
咱先得知道啥是平面法向量。
简单说呢，平面法向量就是跟这个平面垂直的向量。
那咋求它呢？
有一种挺好用的方法哦。
假如说咱们有一个平面，这个平面是由两个不共线的向量确定的，比如说向量a和向量b。
那这个平面的法向量n就可以设成（x，y，z）。
然后呢，根据法向量和这两个向量都垂直的性质来列方程。
啥叫垂直呢？就是它们的点积为0呀。
那就是n·a = 0，n·b = 0。
这就得到了两个方程，像如果向量a =（a1，a2，a3），向量b =（b1，b2，b3），那就有a1x + a2y+ a3z = 0和b1x + b2y + b3z = 0。
这时候咋解呢？宝子们可别慌。
咱们可以给x或者y或者z先随便赋个值。
比如说，咱令x = 1，然后把这个值代入到那两个方程里，就变成了关于y和z的方程组啦。
解这个方程组就能求出y和z的值啦，这样法向量n就求出来了。
还有一种特殊情况呢。
要是这个平面在坐标轴上有特殊的关系，那求法向量就更简单了。
比如说平面平行于某一个坐标轴，那法向量在这个坐标轴方向上的分量就为0。
就像平面平行于x轴，那法向量就是（0，y，z）这种形式，再根据平面上的向量关系求出y和z就好啦。
宝子们，求解平面法向量其实没那么可怕，只要掌握了这些小技巧，就像找到了小捷径一样。
多做几道题，熟练了之后，一看到求平面法向量，心里就有底了，再也不会抓耳挠腮啦。
加油哦，宝子们，数学的小怪兽咱一个个打败！。
平面向量练习题及答案
平面向量练习题及答案1. 向量初步概念和运算(1) 已知向量a=3i+4j，求向量a的模长。
答案：|a| = √(3^2 + 4^2) = 5(2) 已知向量b=-2i+5j，求向量b的模长。
答案：|b| = √((-2)^2 + 5^2) = √29(3) 已知向量c=2i+3j，求向量c的模长和方向角（与x轴正方向的夹角）。
答案：|c| = √(2^2 + 3^2) = √13方向角θ = arctan(3/2)2. 向量的线性运算(1) 已知向量a=3i+4j，向量b=-2i+5j，求向量a+b。
答案：a+b = (3-2)i + (4+5)j = i + 9j(2) 已知向量a=3i+4j，向量b=2i-7j，求向量a-b。
答案：a-b = (3-2)i + (4-(-7))j = i + 11j(3) 已知向量a=3i+4j，求向量-2a的模长。
答案：|-2a| = |-2(3i+4j)| = |-6i-8j| = √((-6)^2 + (-8)^2) = 103. 向量的数量积与投影(1) 已知向量a=3i+4j，向量b=-2i+5j，求向量a·b的值。
答案：a·b = (3*-2) + (4*5) = -6 + 20 = 14(2) 已知向量a=3i+4j，向量b=-2i+5j，求向量a在b方向上的投影。
答案：a在b方向上的投影= (a·b)/|b| = 14/√294. 向量的夹角和垂直判定(1) 判断向量a=3i+4j和向量b=-2i+5j是否相互垂直。
答案：两个向量相互垂直的条件是a·b = 0。
计算得到a·b = 14，因此向量a和向量b不相互垂直。
(2) 已知向量a=3i+4j，向量b=-8i+6j，求向量a和向量b的夹角。
答案：向量a和向量b的夹角θ = arccos((a·b)/(∣a∣*∣b∣)) = arccos((-66)/(√25*√100))5. 向量共线和平面向量的应用(1) 已知向量a=3i+4j，向量b=-6i-8j，判断向量a和向量b是否共线。
高三数学平面法向量的求法试题
高三数学平面法向量的求法试题1.已知某几何体的直观图和三视图如下图所示, 其正视图为矩形,左视图为等腰直角三角形,俯视图为直角梯形.（1）证明：⊥平面（2）求平面与平面所成角的余弦值；【答案】（1）通过建系证明，．得到,.故⊥平面.（2）二面角C－NB1－C1的余弦值为．【解析】（1）证明:∵该几何体的正视图为矩形,左视图为等腰直角三角形,俯视图为直角梯形,∴两两垂直.以分别为轴建立空间直角坐标系如图．则．∴，．∴,.又与相交于，∴⊥平面. ………6分（2）∵⊥平面,∴是平面的一个法向量,设为平面的一个法向量,则,所以可取．则．∴所求二面角C－NB1－C1的余弦值为． 12分【考点】本题主要考查立体几何中的垂直关系，角的计算。
点评：典型题，立体几何题，是高考必考内容，往往涉及垂直关系、平行关系、角、距离的计算。
证明过程中，往往需要将立体几何问题转化成平面几何问题加以解答。
本题解答，通过建立适当的空间直角坐标系，利用向量的坐标运算，简化了繁琐的证明过程，实现了“以算代证”，对计算能力要求较高。
2.如图，已知四棱锥P-ABCD的底面为等腰梯形，AB∥CD,AC BD，垂足为H，PH是四棱锥的高，E为AD中点；（Ⅰ）证明：PE BC；（Ⅱ）若APB=ADB=60°，求直线PA与平面PEH所成角的正弦值。
【答案】（1）略（2）【解析】求解和证明立体几何问题一方面可以直接利用几何方法，通过证明或找到线面之间的关系，依据判定定理或性质进行证明求解.以为原点，分别为轴，线段的长为单位长，建立空间直角坐标系如图，则（Ⅰ）设则可得因为所以……………………5分（Ⅱ）由已知条件可得设为平面的法向量则即因此可以取，由，可得所以直线与平面所成角的正弦值为…………………12分3.如图，正方形AA1D1D与矩形ABCD所在平面互相垂直，AB=2AD=2，点E为AB上一点(I) 当点E为AB的中点时,求证；BD1//平面A1DE(II)求点A1到平面BDD1的距离；(III) 当时，求二面角D1-EC-D的大小.【答案】（1）略（2）A1到面BDD1的距离为（3）D1-EC-D的大小为【解析】(I) 要证BD1//平面A1DE，只要证明BD1平行该面内的一条直线，取中点，由中位线可证得；(II)等积法求高；(III)可以用传统法找出平面角也可以向量法求。
平面的法向量求法及简单应用
AE
D1F
(0,1,
) (0, 2
2
, 1)
0.
AE
D1F .
又A D I A E= A , D1F 平面ADE.
另证 : 可以用三垂线定理证D 1F AD, AE AD得证.16
例、已知在空间四边形OABC中，OA BC，
OB AC，求证：OC AB
uuur uuur uuur uuur 证明：由已知 OA B C ，OB AC
uuur uuur uuur uuur 所以 OA BC = 0 , OB AC = 0
uuur uuur uuur
OA ( OC OB ) = 0 uuur uuur uuur
OB ( OC OA ) = 0
uuur uuur uuur uuur
所以 OA OC = OA OB
A
uuur uuur uuur uuur
4
ur
e1
l1
uur
n1
l1 // 1或l1在ur1内uur ur uur e1 n1 e1 n1 0
教材未提
5
l
ur e1
uur n1
ur uur ur uur
l1 1 e1 // n1 e1 n1
教材未提
6
uur n1
1 uur n2
2
1 // 2或1与2u重ur 合uur uur uur
13
证：设正方体棱长为 1， uuur uuur uuuur
以 DA, DC, DD1 为单位正交基底，
建立如图所示空间坐标系 D xyz
uuuur
uuur
uDuBuur1 (1,1,1) ， AC (1,1, 0) ，
uAuDuur1
高考数学复习点拨 平面法向量的一种简单求法和在求角
平面法向量的一种简单求法和在求角、距离中的应用一、法向量的定义：与平面垂直的向量叫平面的法向量（根据定义可知：平面的法向量有多个，方向有两种：向上或向下）二、向量的数量积a·b=∣a︳︳b∣ｃｏｓ<a,b>ｃｏｓ<a,b>=若a=(x1,y1,z1) b=(x2,y2,z2),则a·b= ∣a︳=三、向量积：a×ba×b的结果仍然是一个向量（使两个向量的起点相同）方向：右手手指指向a的方向，自然弯向b，则大拇指所指的方向就是向量a×b的方向（即：a×b垂直平面）大小：等于a,b为邻边的平行四边形的面积。
如图所示：（由此我们可以通过求两个向量的向量积求平面的法向量）a×b的坐标计算设a=(x1, y1, z1)b=(x2 , y2, z2)则：a×b =（︳y1y z1z︱,-︱x1x z1z︱,︱x1x y1y︱）其中：二阶行列式︱a b c d︱=ad-bc习惯上：作a×b时，把a写在上，把b写在下作b×a时，把b写在上，把a写在下练习：已知a=（2，1，0）b =（-1，2，1）（1）求a×b。
（2）求b×a解：a×b=b×a=注：根据上述分析要求一个平面的法向量，只要在平面内找出两个同起点的向量作向量积即可。
例：如图所示，正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为2，E、F分别是DD1、DC的中点。
求平面AEF的一个法向量解：以D∴A（E（F（）∴AF=（AE=（∴平面AEF的法向量n=( )四、法向量在求角中的应用。
1、用法向量求线面角。
如图Θ=12π-<a,n> Θ=<a,n>- 12π两种情况下都有：sinΘ=︱cos<a,n>︱因为2、用法向量求二面角(2)如果两个平面的法向量选取合适，则二面角就等于两个平面的法向量的夹角（如第一种情况）。
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平面法向量的求法及其应 叫做平面 的法向量。平面 的法向量共有两大类（从方向上分），无数条。
2、平面法向量的求法
方法一(内积法):在给定的空间直角坐标系中，设平面 的法向量 [或 ，或 ]，在平面 内任找两个不共线的向量 。由 ，得 且 ，由此得到关于 的方程组，解此方程组即可得到 。
方法二：任何一个 的一次次方程的图形是平面；反之，任何一个平面的方程是 的一次方程。 ，称为平面的一般方程。其法向量 ;若平面与3个坐标轴的交点为 ,如图所示,则平面方程为: ,称此方程为平面的截距式方程，把它化为一般式即可求出它的法向量。
方法三(外积法):设 , 为空间中两个不平行的非零向量，其外积 为一长度等于 ，（θ为 , 两者交角，且 ），而与 , 皆垂直的向量。通常我们采取「右手定则」，也就是右手四指由 的方向转为 的方向时，大拇指所指的方向规定为 的方向, 。
（注：1、二阶行列式: ；2、适合右手定则。）