平面的法向量求法及简单应用
两直线确定的平面的法向量
两直线确定的平面的法向量引言在三维空间中，平面可以由不共线的两条直线唯一确定。
这两条直线决定了平面的位置和方向。
而平面的法向量是与平面垂直的向量，它可以通过两条直线的方向向量求得。
本文将介绍如何根据两条直线确定平面的法向量，并给出相关示例和应用。
1. 平面与直线在三维空间中，一个平面可以通过一个点和一个法向量来唯一确定。
而一个直线可以通过一个点和一个方向向量来唯一确定。
因此，当我们有两条直线时，我们可以利用它们来确定一个平面。
2. 确定法向量的方法要确定由两条直线确定的平面的法向量，我们需要知道这两条直线的方向向量。
假设有两个方向向量A和B分别表示两条直线上某一点到另一点的矢量。
首先，我们可以计算出这两个方向向量的叉积C。
叉积是一种二元运算，其结果是垂直于原始矢量所在平面上的新矢量。
根据叉积运算规则可知：C = A × B接下来，我们需要对C进行归一化，即将其长度变为1。
这可以通过将C除以其长度来实现。
最终，归一化后的向量C就是由两条直线确定的平面的法向量。
它垂直于这个平面，并且指向平面的正方向。
3. 示例让我们通过一个示例来演示如何确定由两条直线确定的平面的法向量。
假设有两条直线L1和L2，它们分别由以下参数表示：L1: P1(1, 2, 3) + t * V1(2, -1, 4) L2: P2(-2, 0, 5) + s * V2(3, 2, -1)其中P1和P2分别是直线上的点，V1和V2是方向向量，t和s是参数。
首先，我们计算出直线L1和L2的方向向量：V1 = (2, -1, 4) V2 = (3, 2, -1)然后，我们计算出这两个方向向量的叉积：C = V1 × V2 = (-9, 11, 7)接下来，我们对C进行归一化：|C| = √((-9)^2 + 11^2 + 7^2) ≈ √211 ≈ 14.53归一化后的法向量N可以通过将C除以其长度得到：N = C / |C| ≈ (-0.62, 0.76, 0.45)因此，由直线L1和L2确定的平面的法向量为N ≈ (-0.62, 0.76, 0.45)。
法向量求法及应用方法
法向量求法及应用方法法向量是指与一些曲面上的每一点的切平面垂直的向量。
在三维空间中，法向量可以方便地描述曲面的几何特征和方向。
一、法向量的求法：1.平面的法向量：平面的法向量可以通过两个不平行的向量叉积得到。
设平面上两个向量为a和b，法向量n=a×b。
2.曲面的法向量：曲面的法向量可以通过曲面的方程求得。
常见的曲面方程包括参数方程、隐函数方程和显函数方程。
对于参数方程和隐函数方程，可以通过求偏导数来得到曲面的切向量，然后再将切向量进行标准化得到法向量。
例如，对于参数方程x=x(u,v)，y=y(u,v)，z=z(u,v)，法向量可以通过求∂(x,y,z)/∂(u,v)的叉积来得到。
而对于隐函数方程F(x,y,z)=0，可以通过对F(x,y,z)进行偏导数得到一个方程组，然后解这个方程组来得到法向量。
二、法向量的应用方法：1.曲面法向量的判定：通过计算曲面的法向量可以判断曲面的朝向和几何特征。
例如，在渲染图形时，可以通过曲面的法向量来决定光线对曲面的照射效果，以实现更真实的光影效果。
2.曲面法向量的插值和平滑：在计算机图形学中，通常需要对曲面进行插值和平滑处理。
曲面的法向量可以帮助我们在曲面上进行平滑采样。
例如，在曲面细分中，通过计算曲面的法向量来过滤掉尖锐的细分结果，使得细分结果更加平滑自然。
3.曲面的切平面和法向量的切线：对于空间曲线上的点，可以通过曲线的参数方程求得曲线的切线向量。
而对于空间曲面上的点，可以通过曲面的法向量和曲面上其中一点的切平面求得曲线的切向量。
切平面上的切向量和曲面的法向量垂直，并且与曲线相切。
4.计算曲面的面积和体积：曲面的法向量可以用来计算曲面的面积和体积。
对于平面，面积等于法向量的模长；对于曲面，可以通过对曲面分割成小区域然后计算每个小区域的法向量，并对法向量进行积分得到曲面的面积或体积。
5.平面和曲面的方程：法向量可以帮助我们确定平面和曲面的方程。
对于平面，通过平面上一点和法向量，可以得到平面的方程；对于曲面，通过曲面上一点和法向量，可以得到曲面的方程。
平面法向量的求法法向量怎么求
方法指导：如图2-5,若点B为平面α外一点，点A
1
ab
adcb；2、适合右手定则。
cd
二、平面法向量的应用
1、求空间角
为平面α内任一点，平面的法向量为，则点B到平面α的距离公式为d
三、高考真题新解
例1、已知如图3-1,四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形，
AB∥DC，DAB90,PA底面ABCD，且PA=AD=DC=
mn0,mn,即平面A1MC平面A1BD1.
(III).设点A到平面A1MC的距离为d,
mMCMA1(a2,
又MA(
2222
a,a)是平面A1MC的法向量, 22
2|mMA|1
a,0,0),A点到平面A1MC的距离为:da.22|m|
四、用空间向量解决立体几何的“三步曲”
(1)、建立空间直角坐标系(利用现有三条两两垂直的直线，注意已有的正、直条件,相关几何知识的综合运用，建立右手系)，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；、通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题；、把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义。
3|m||n|
22
面AMC与面BMC所成二面角的大小为arccos().
33
例2、(本题满分12分)如图3-2，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，已知AB＝AA1＝a，BC，M是AD的中点。(Ⅰ)求证：AD∥平面A1BC；
(Ⅱ)求证：平面A1MC⊥平面A1BD1；(Ⅲ)求点A到平面A1MC的距离。
线线、线面、面面间的位置关系与向量运算的关系设直线l,m的方向向量分别为,，平面,的法向量分别为,。
1.平行关系
平面的法向量和方向向量
平面的法向量和方向向量平面的法向量和方向向量是平面几何中的重要概念，它们在描述平面的性质和运动方向时起到了关键作用。
本文将分别介绍平面的法向量和方向向量，并探讨它们的应用和相关性质。
一、平面的法向量平面的法向量是指垂直于该平面的向量。
设平面P上有一条直线L，经过L上的两点A和B可以确定一条向量AB。
如果向量AB垂直于平面P，那么向量AB就是平面P的法向量。
平面的法向量有以下性质：1. 法向量与平面上任意两个垂直向量的内积为零。
设向量a和向量b是平面P上的两个垂直向量，向量n是平面P的法向量，则有a·n=0，b·n=0。
2. 平面上的两个垂直向量的内积为零时，它们是平面的法向量的倍数关系。
设向量a和向量b是平面P上的两个垂直向量，向量n是平面P的法向量，则有a·n=0，b·n=0，因此存在实数k，使得a=k·n，b=k·n。
3. 平面上的两个非零向量的叉积是平面的法向量的倍数。
设向量a 和向量b是平面P上的两个非零向量，向量n是平面P的法向量，则有向量a×b=k·n，其中k为实数。
平面的法向量在几何和物理学中有广泛的应用。
例如，在计算平面上的点到另一平面的距离时，可以利用平面的法向量来求解。
同时，在力学中，平面的法向量也被用来描述平面上的压力和力的作用方向。
二、平面的方向向量平面的方向向量是指平面上的一个非零向量，它表示了平面上的一个方向。
设平面P上有一条直线L，经过L上的两点A和B可以确定一条向量AB。
如果向量AB不是平面P的法向量，那么向量AB 就是平面P的方向向量。
平面的方向向量有以下性质：1. 平面上的两个非零向量的线性组合是平面的方向向量。
设向量a 和向量b是平面P上的两个非零向量，向量c=k1·a+k2·b，其中k1和k2为实数，则向量c是平面P的方向向量。
2. 平面上的两个方向向量的叉积是平面的法向量。
两个向量的 平面法向量
两个向量的平面法向量在 3D 空间中，我们经常需要求解两个向量对应向量积的平面法向量。
这个平面法向量有很多应用，比如说图形学中的纹理映射、计算机视觉中的深度测量等。
下面，我们将分步骤阐述求解两个向量的平面法向量的方法。
步骤一：求两个向量的向量积首先，我们需要求解两个向量的向量积。
向量积的结果是一个新的向量，这个向量垂直于这两个向量所在的平面，并且它的大小等于这两个向量所在平行四边形的面积。
向量积可以用下面的公式表示：A ×B = | A | | B | sinΘ n其中，A 和 B 分别表示两个向量，Θ 表示 A 和 B 之间的夹角，| A | 和 | B | 分别表示 A 和 B 的模长，n 表示垂直于 A 和 B 所在平面的单位向量，它的方向由右手定则确定。
步骤二：求向量积的模长求解向量积之后，我们还需要求解它的模长。
向量积的模长等于这两个向量所在平行四边形的面积。
面积可以通过向量的模长和夹角的正弦值计算得到：Area = | A | | B | sinΘ因为向量积等于面积乘以垂直于平面的单位向量，所以向量积的模长等于面积的大小。
因此，我们可以直接用上面的公式求解向量积的模长。
步骤三：求平面法向量有了向量积，我们就可以很容易地求出平面法向量了。
平面法向量是指垂直于这两个向量所在平面的单位向量。
为了求出单位向量，我们需要将向量积除以它的模长。
具体而言，平面法向量可以用如下公式表示：n = (A × B) / | A × B |其中A × B 是求解向量积得到的向量，| A × B | 是向量积的模长。
我们将向量积除以它的模长，就能够得到平面法向量了。
总结通过上面的步骤，我们可以很容易地求解两个向量的平面法向量。
这个方法在很多应用场景都很有用，比如说图形学中的光照计算、机器人控制中的路径规划等。
平面法向量是 3D 空间中的一个重要概念，学习它的求解方法可以帮助我们更好地理解这个概念，并能够更好地应用到实践中。
平面的法向量公式
平面的法向量公式在我们学习空间几何的时候，平面的法向量公式可是个相当重要的“家伙”。
它就像是一把神奇的钥匙，能帮我们打开很多几何难题的大门。
先来说说啥是平面的法向量。
想象一下，有一个平平的面，就像一张超级大的纸铺在那里。
而法向量呢，就是垂直于这个面的向量，它就像一根直直站立在纸上的针，和纸面完全垂直。
平面的法向量公式是：设平面的方程为 Ax + By + Cz + D = 0 ，（A、B、C 不同时为 0），那么这个平面的法向量就是 n = (A, B, C) 。
这个公式看起来好像挺简单，可真要用起来，还得好好琢磨琢磨。
我记得有一次给学生们讲这个知识点的时候，有个学生一脸迷茫地问我：“老师，这法向量到底有啥用啊？”我笑了笑，拿起一支笔在黑板上画了一个立方体。
“同学们，咱们假设这立方体的一个面是由平面方程表示的，那如果我们知道了这个面的法向量，是不是就能很容易地求出这个面和其他面的夹角啦？这在解决很多空间几何问题时，可是超级有用的哦！”我一边说，一边在立方体上比划着。
那堂课上，我带着学生们做了好多练习题，通过实际的操作让他们更深刻地理解平面的法向量公式。
比如说，有这样一道题：已知平面方程 2x - 3y + 4z - 5 = 0 ，求它的法向量。
这时候，直接根据公式就能得出法向量是 (2, -3, 4) 。
再复杂一点，让求两个平面的夹角。
这时候，先分别求出两个平面的法向量，然后利用向量的夹角公式，就能算出平面的夹角啦。
学习平面的法向量公式，就像是在探索一个神秘的宝藏，每一次运用它解决问题，都像是找到了一颗璀璨的宝石。
而且呀，这个公式在实际生活中也有不少用处呢。
比如建筑设计中，工程师们要确定建筑物各个面的朝向和角度，就得用到平面的法向量知识；在计算机图形学里，制作逼真的 3D 模型，也离不开对平面法向量的准确计算。
总之，平面的法向量公式虽然看起来有点小复杂，但只要咱们多练习、多思考，就能把它运用得得心应手，让它成为我们解决空间几何问题的有力武器！希望同学们都能和这个公式成为好朋友，在数学的海洋里畅游无阻！。
平面求法向量公式
平面求法向量公式1. 平面法向量的定义。
- 设平面α，如果向量→n与平面α内的任意一条直线都垂直，那么称向量→n 为平面α的法向量。
2. 求平面法向量的公式推导（设平面α内有两个不共线向量→a=(x_1,y_1,z_1)，→b=(x_2,y_2,z_2)）- 设平面α的法向量为→n=(x,y,z)。
- 因为→n是平面α的法向量，所以→n⊥→a且→n⊥→b。
- 根据向量垂直的性质，若两个向量垂直，则它们的数量积为0。
- 可得<=ft{begin{array}{l}→n·→a = 0 →n·→b=0end{array}right.，即<=ft{begin{array}{l}x_1x + y_1y+z_1z = 0 x_2x + y_2y + z_2z=0end{array}right.。
- 为了求解x,y,z，我们可以采用赋值法。
例如，先令z = 1（当z_1和z_2不全为0时），然后解关于x和y的二元一次方程组<=ft{begin{array}{l}x_1x + y_1y=-z_1 x_2x + y_2y=-z_2end{array}right.。
- 由二元一次方程组的求解方法，先计算x的值：- 对于方程组<=ft{begin{array}{l}x_1x + y_1y=-z_1 x_2x + y_2y=-z_2end{array}right.，x=(<=ftbegin{array)/(ll)-z_1y_1 -z_2y_2end{array}}{<=ftbegin{array}{ll}x_1y_1 x_2y_2end{array}}=(-z_1y_2 +z_2y_1)/(x_1y_2 - x_2y_1)（当x_1y_2 - x_2y_1≠0时）。
- 再计算y的值：- y=(<=ftbegin{array)/(ll)x_1-z_1 x_2-z_2end{array}}{<=ftbegin{array}{ll}x_1y_1 x_2y_2end{array}}=(-x_1z_2 +x_2z_1)/(x_1y_2 - x_2y_1)（当x_1y_2 - x_2y_1≠0时）。
三点求平面法向量
三点求平面法向量在三维空间中，平面是由无数个点组成的。
平面有许多重要的性质，其中之一就是法向量。
法向量是与平面垂直的向量，它是平面的重要特征之一。
本文将从三个不同的角度来讨论如何求平面的法向量。
一、已知三个点求平面法向量如果我们已知平面上的三个不共线的点A、B和C，那么我们可以通过这三个点来求平面的法向量。
我们可以先求出两个向量AB和AC，然后通过向量的叉乘来求得平面的法向量。
具体步骤如下：1. 求向量AB：将点B的坐标减去点A的坐标，得到向量AB。
2. 求向量AC：将点C的坐标减去点A的坐标，得到向量AC。
3. 求法向量：将向量AB和向量AC进行叉乘运算，得到平面的法向量。
二、已知平面上一点和法向量求平面方程如果我们已知平面上的一点P和该平面的法向量n，那么我们可以通过这个点和法向量来求平面的方程。
平面的方程通常使用点法式表示，即`(x-x0)*A + (y-y0)*B + (z-z0)*C = 0`，其中`(x0, y0, z0)`是平面上的一点，`(A, B, C)`是平面的法向量。
具体步骤如下：1. 根据已知的法向量n，得到平面的法向量`(A, B, C)`。
2. 根据已知的点P的坐标`(x0, y0, z0)`，将这些值代入点法式中，得到平面的方程。
三、已知平面上一点和平面的法向量求点到平面的距离如果我们已知平面上的一点P和该平面的法向量n，那么我们可以通过这个点和法向量来求点到平面的距离。
点到平面的距离可以通过将点P到平面上的任意一点Q的向量投影到法向量上来计算。
具体步骤如下：1. 根据已知的法向量n，得到平面的法向量`(A, B, C)`。
2. 根据已知的点P的坐标`(x0, y0, z0)`，将这些值代入平面的方程，得到平面上的一点Q的坐标`(x1, y1, z1)`。
3. 求向量PQ：将点Q的坐标减去点P的坐标，得到向量PQ。
4. 求点P到平面的距离：将向量PQ投影到法向量`(A, B, C)`上，得到向量PQ的法向量分量，即点P到平面的距离。
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AE
D1F
(0,1,
) (0, 2
2
, 1)
0.
AE
D1F .
又A D I A E= A , D1F 平面ADE.
另证 : 可以用三垂线定理证D 1F AD, AE AD得证.16
例、已知在空间四边形OABC中，OA BC，
OB AC，求证：OC AB
uuur uuur uuur uuur 证明：由已知 OA B C ，OB AC
uuur uuur uuur uuur 所以 OA BC = 0 , OB AC = 0
uuur uuur uuur
OA ( OC OB ) = 0 uuur uuur uuur
OB ( OC OA ) = 0
uuur uuur uuur uuur
所以 OA OC = OA OB
A
uuur uuur uuur uuur
4
ur
e1
l1
uur
n1
l1 // 1或l1在ur1内uur ur uur e1 n1 e1 n1 0
教材未提
5
l
ur e1
uur n1
ur uur ur uur
l1 1 e1 // n1 e1 n1
教材未提
6
uur n1
1 uur n2
2
1 // 2或1与2u重ur 合uur uur uur
13
证：设正方体棱长为 1， uuur uuur uuuur
以 DA, DC, DD1 为单位正交基底，
建立如图所示空间坐标系 D xyz
uuuur
uuur
uDuBuur1 (1,1,1) ， AC (1,1, 0) ，
uAuDuur1
(1, uuur
0,
1)
uuuur uuur
DB1
AC uuuur
0，所以 uuuur
DB1
AC
,
同理 DB1 uAuuDur1
又因为 AD1 I
AC A uuuur
所 以 DB1 平 面 ACD , 从 而 DB1
是平面 ACD1 的一个法向量.
14
练习:
⑴在正方体 ABCD A1B1C1D1中, D1 E 、F 分别是 BB1 、CD 的中点, A1 求证: D1F 平面ADE
5.求平面法向量的方法：
6.有关平面的斜线概念， 三垂线定理及其逆定理 P104
18
巩固性训练1
1.设 a,b 分别是直线l1,l2的方向向量,根据
下
(1)列a条 (件2,,判1断,2l1),,lb2的 位(6置,3关,系6). 平行
(2)a (1,2,2),b (2,3,2)
垂直
(3)a (0,0,1),b (0,0,3)
∴平面 ABC 的单位法向量为(1， 2，2）或( 1，2， 2）.
3 33
33 3
11
例 如图，已知矩形 ABCD和矩形 ADEF所在平面互相垂直，点
M , N 分别在对角线 BD, AE上，且 BM 1 BD, AN 1 AE，
求证：MN // 平面CDE
3
3
简证：因为矩形ABCD和矩形ADEF 所在平面互相垂直u，uur所uuu以r uAuuBr，AD， AF互相垂直。以 AB，AD，AF 为正交 基底，建立如图所示空间坐标系，
为(-2,-4,k),若// ，则k=
；若
则 k=
。
2、已知 l // ，且 l 的方向向量为(2,m,1)，平面
的法向量为(1,1/2,2),则m=
.
3、若l 的方向向量为(2,1,m),平面 的法向量为
(1,1/2,2),且l ，则m=
.
21
4、已知空间四边形OABC，OB OC，
AOB AOC ，求证：OA BC
3.
平面的向量表示：
AMgn
r
0
给定一点Ar和一个向量 n ,那么过点
l
r
A,以向量 n 为法向量的平面是完
全确定的.
n
M
A
2
因为方向向量与法向量可以确定直线和 平面的位置，上节我们用直线的方向向量表 示了空间直线、平面间的平行
如何用平面的法向量表示空间两平面 平行、垂直的位置关系呢？
3
4. 两平面平行或重合、垂直的充要条件
OB OC = OB OA uuur uuur uuur uuur 所以 OA OC OB OC = 0 uuur uuur uuur
( OA OB ) OC = 0
O
C B
所以OC AB 17
小结
1.直线与平面垂直的定义 2. 平面的法向量： 3. 平面的向量表示： 4. 两平面平行或重合、垂直的充要条件
取 x 4,则 n (4,
r ∴ n (4, 3, 6) 是平面
4y 0 2z 0
3, 6)
ABC 的一个法向量.
9
5.求平面法向量的方法r ： ⑴设平面的法向量为 n ( x, y, z)
⑵找出(求出)平面内的两个不共线的向量的
r
r
坐标 a (a1,b1,c1),b (a2,b2,c2 )
D
A
C1
B1
E
F
C
B
15
练习.在正方体 ABCD A1B1C1D1中, E 、F
分别是 BB1 、CD 的中点,求证: D1F 平面ADE .
证uu明ur : r设u正uur方体r 的uu棱uur长为ur 1,
z
D1
C1
DA i, DC j, DD1 k.
A1
建立如图的空间直角坐标系
uuur
uuur uuur uuur uuur uuur 证明：因为OAgBC OAg(OC OB)
uuur uuur uuur uuur
O OAgOC OAgOB
uuur uuur
uuur uuur
| OA | | OC | cos | OA | | OB | cos
uuur uuur
uuur uuur
单位法向量. r
解:设平面 ABC 的一个法向量为 n ( x, y, z) r uuur r uuur
则 n AB ，n AC .
∴
( (
x, x,
y, y,
z) z)
(2, 2,1) (4,5, 3)
0 0
即
2x 4 x
2 5
y y
z0 3z 0
∴
y
z
2 2x
x
①
∵ x2 y2 z2 1 ②∴由①②得 x 1 3
| OA | | OB | cos | OA | | OB | cos
A
C
0
B
OA BC
22
练习:用空间向量来解决下列题目
1．如图，正方体 ABCD ABCD中， D
C
E为 DD的中点， 证明：BD //平面AEC
A
B
E
D
C
2、在正方体AC 中，E、F、G、P、 A
Q、R分别是所在棱AB、BC、BB
⑶根据法向量的定义建立关于 x, y, z 的方程
rr
组
n r
a r
0
待定系数法
n b 0
⑷解方程组,取其中的一个解,即得法向量.
10
(1， 2，2）或 ( 1，2， 2）.
uuur
3uuur 3 3
33 3
练习 1：已知 AB (2, 2,1), AC (4, 5, 3), 求平面 ABC 的
uuuur
则AD (1, uuur uuuur
0,
0),
D1F
AuDuurD1Fuuuu(r1,
0, 0)
uuur
(0, (0, 1 ,
2
AD D1F. 又 AE (0,
uuur uuuur
11
1 , 1), 2 1) 0.
1, 1 ), 2
D A
x
uuur
B1
F E Cy
B
uuuur
平行
19
巩固性训练2
1.设 u, v 分别是平面α,β的法向量,根据
下列条件,判断α,β的位置关系.
(1)u (2,2,5),v (6,4,4) 垂直 (2)u (1,2,2),v (2,4,4) 平行 (3)u (2,3,5),v (3,1,4) 相交
20
巩固性训练3
1、设平面 的法向量为(1,2,-2),平面 的法向量
D
AD 、D C 、DD的中点， 求证：⑴平面PQR∥平面EFG。
P A
R
⑵ BD⊥平面EFG
D
A
E
B
Q
C
B
G
C
F B
23
n1 // n2 n1 n27
uur 2 n2
uur n1
1
uur uur uur uur 1 2 n1 n2 n1 n1 0
8
例：法向量的求法
已知不共线的三点坐标,如何求经过这三点的平面的 一个法向量?
在空间直角坐标系中,已知 A(3,0,0), B(0,4,0) , C(0,0, 2) ,试求平面 ABC 的一个法向r 量.
l
1.直线与平面垂直的定义
2. 平面的法向量：
r
r
如果向量n 的基线与平面 垂直，则向量 n
叫平面 的法向量。 几点注意：
1.法向量一定是非零向量; 2.一个平面的所有法向量都
互相平r行; 3.向ur量n 是平面的法向量，向 量m 与平面r平ur行或在平面内，
则有 n m 0
1
uuuur r
设AB,AD,AF长分别为3a，3b，3c，