特殊平面法向量的求法
法向量求法及应用方法
法向量求法及应用方法法向量是指与一些曲面上的每一点的切平面垂直的向量。
在三维空间中，法向量可以方便地描述曲面的几何特征和方向。
一、法向量的求法：1.平面的法向量：平面的法向量可以通过两个不平行的向量叉积得到。
设平面上两个向量为a和b，法向量n=a×b。
2.曲面的法向量：曲面的法向量可以通过曲面的方程求得。
常见的曲面方程包括参数方程、隐函数方程和显函数方程。
对于参数方程和隐函数方程，可以通过求偏导数来得到曲面的切向量，然后再将切向量进行标准化得到法向量。
例如，对于参数方程x=x(u,v)，y=y(u,v)，z=z(u,v)，法向量可以通过求∂(x,y,z)/∂(u,v)的叉积来得到。
而对于隐函数方程F(x,y,z)=0，可以通过对F(x,y,z)进行偏导数得到一个方程组，然后解这个方程组来得到法向量。
二、法向量的应用方法：1.曲面法向量的判定：通过计算曲面的法向量可以判断曲面的朝向和几何特征。
例如，在渲染图形时，可以通过曲面的法向量来决定光线对曲面的照射效果，以实现更真实的光影效果。
2.曲面法向量的插值和平滑：在计算机图形学中，通常需要对曲面进行插值和平滑处理。
曲面的法向量可以帮助我们在曲面上进行平滑采样。
例如，在曲面细分中，通过计算曲面的法向量来过滤掉尖锐的细分结果，使得细分结果更加平滑自然。
3.曲面的切平面和法向量的切线：对于空间曲线上的点，可以通过曲线的参数方程求得曲线的切线向量。
而对于空间曲面上的点，可以通过曲面的法向量和曲面上其中一点的切平面求得曲线的切向量。
切平面上的切向量和曲面的法向量垂直，并且与曲线相切。
4.计算曲面的面积和体积：曲面的法向量可以用来计算曲面的面积和体积。
对于平面，面积等于法向量的模长；对于曲面，可以通过对曲面分割成小区域然后计算每个小区域的法向量，并对法向量进行积分得到曲面的面积或体积。
5.平面和曲面的方程：法向量可以帮助我们确定平面和曲面的方程。
对于平面，通过平面上一点和法向量，可以得到平面的方程；对于曲面，通过曲面上一点和法向量，可以得到曲面的方程。
平面法向量的求法法向量怎么求
方法指导：如图2-5,若点B为平面α外一点，点A
1
ab
adcb；2、适合右手定则。
cd
二、平面法向量的应用
1、求空间角
为平面α内任一点，平面的法向量为，则点B到平面α的距离公式为d
三、高考真题新解
例1、已知如图3-1,四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形，
AB∥DC，DAB90,PA底面ABCD，且PA=AD=DC=
mn0,mn,即平面A1MC平面A1BD1.
(III).设点A到平面A1MC的距离为d,
mMCMA1(a2,
又MA(
2222
a,a)是平面A1MC的法向量, 22
2|mMA|1
a,0,0),A点到平面A1MC的距离为:da.22|m|
四、用空间向量解决立体几何的“三步曲”
(1)、建立空间直角坐标系(利用现有三条两两垂直的直线，注意已有的正、直条件,相关几何知识的综合运用，建立右手系)，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；、通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题；、把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义。
3|m||n|
22
面AMC与面BMC所成二面角的大小为arccos().
33
例2、(本题满分12分)如图3-2，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，已知AB＝AA1＝a，BC，M是AD的中点。(Ⅰ)求证：AD∥平面A1BC；
(Ⅱ)求证：平面A1MC⊥平面A1BD1；(Ⅲ)求点A到平面A1MC的距离。
线线、线面、面面间的位置关系与向量运算的关系设直线l,m的方向向量分别为,，平面,的法向量分别为,。
1.平行关系
平面法向量的快速求法叉乘
平面法向量的快速求法叉乘平面法向量的快速求法叉乘---------------------------------平面法向量（Plane Vector）是现代几何学中一种重要的概念，它被广泛应用于工程、科学、数学等多个领域。
平面法向量定义为一组三个元素的数组，由一条有向线段的起点（A）和终点（B）构成。
它可以用来表示一个平面上的向量或一个三维空间中的向量。
叉乘（Cross Product）是一种常见的矢量运算，它通常用来求两个三维向量的叉乘积。
平面法向量的叉乘也是一种有用的运算，它可以用来求出两个向量在平面上的叉乘结果。
在求解平面法向量叉乘时，最常用的方法是使用叉乘定理，即使用另外两个向量来表示原始向量，然后将这两个向量分别叉乘，最后将叉乘的结果相加求得最终的叉乘结果。
这是一种相对比较复杂的计算方法，而且在计算大量数据时会耗费大量时间。
为了解决上述问题，人们开发了快速求法叉乘法（Fast Cross Product Method），这是一种计算平面法向量叉乘的新方法。
该方法不需要使用叉乘定理，而是直接使用原始向量来计算叉乘。
其核心思想是：将原始向量分别作为三个平面法向量，然后将这三个向量相乘，最后得出最终的叉乘结果。
在实践中，使用快速求法叉乘的方法可以很大地提高计算效率。
因为它不需要使用叉乘定理来计算叉乘，而是直接使用原始向量来计算叉乘，这样就能大大减少计算时间。
此外，该方法还具有较好的计算准确性，因为它不会出现因叉乘定理而产生误差的情况。
总之，快速求法叉乘法是一种有效的计算平面法向量叉乘的新方法。
该方法不仅能够大大提高计算效率，而且还具有较好的计算准确性。
因此，快速求法叉乘法已成为计算平面法向量叉乘的常用方法。
平面的法向量定义
平面的法向量定义平面的法向量是指垂直于该平面的矢量。
在数学和物理学中，法向量是研究平面性质和解决与平面相关问题的重要工具。
本文将介绍平面的法向量的概念、性质和应用。
一、概念平面的法向量是指与该平面垂直的矢量，它垂直于平面的每一个点。
平面上的每个点都有一个唯一的法向量。
法向量可以用有序数对或坐标表示，也可以用矢量符号表示。
通过法向量，我们可以确定平面的方向和倾斜程度。
二、性质1. 平面的法向量与平面上的任意两个不重合的向量都垂直。
2. 平面的法向量与平面上的任意两个平行的向量也平行。
3. 平面的法向量的模长等于平面上任意两个不重合向量的模长的乘积再乘以它们的夹角的正弦值。
三、求法向量的方法1. 已知平面上的三个点A、B、C，可以通过向量运算求出平面的法向量。
设向量AB=a，向量AC=b，则平面的法向量n=a×b，其中“×”表示向量的叉乘。
2. 已知平面的一般方程Ax+By+Cz+D=0，可以用系数A、B、C构成的向量作为平面的法向量。
四、应用1. 判断平面的位置关系：通过比较两个平面的法向量可以判断它们的位置关系，如平行、垂直或相交。
2. 求直线与平面的交点：直线与平面相交时，可以使用平面的法向量和直线的方向向量求解交点的坐标。
3. 求平面的方程：已知平面上的一点和法向量，可以利用点法式或一般方程求解平面的方程。
4. 求平面的倾斜度：平面的法向量可以用来表示平面的倾斜程度，根据法向量的大小可以判断平面的倾斜程度。
总结：平面的法向量是垂直于该平面的矢量，它可以用来描述平面的方向和倾斜程度。
通过法向量，我们可以判断平面的位置关系、求解直线与平面的交点、求解平面的方程以及判断平面的倾斜程度。
熟练掌握平面的法向量的概念、性质和应用，对于解决与平面相关的问题具有重要意义。
法向量的快速求法
法向量的快速求法
法向量的快速求法可以通过以下方法实现：
1. 对于平面上的一个向量，其法向量可以通过求其逆时针旋转90度得到，即将向量(x,y)变为(-y,x)。
2. 对于三维空间中的一个向量，其法向量可以通过向量积（又称为叉积）求得。
设a和b是两个不共线的向量，则它们的向量积a×b是一个向量，其大小等于以a和b为邻边所构成的平行四边形的面积，方向垂直于这个平行四边形，满足右手定则。
向量积的计算公式为：
a ×
b = (aybz −azby,azbx −axbz,axby −aybx)
其中，aybx表示a向量y分量与b向量x分量相乘。
3. 对于曲面上的一个点P，其法向量可以通过求其切平面的法向量得到。
曲面的切平面包含该点的所有切线，其法向量指向切平面凸出的一侧。
切平面的法向量可以通过对曲面方程求偏导数得到。
平面法向量的求法
平面法向量的求法教学目的:掌握快速计算法向量的方法，为空间角的求解、距离的计算服务; 教学重点:熟练应用速算方法求出法向量教学难点:平面内不共线两向量的坐标中不含0，求此面的法向量教学过程: ,,aa,,1、定义:如果，那么向量叫做平面的法向量。
,2、法向量坐标的求法(1)方程法ABCD例1:(2010浙江理数)如图，在矩形中，点分别在线段EF,ABAD,2EF上，.沿直线将AEEBAFFD,,,,43''AEFBEF,平面,AEF翻折成，使平面. ,AEF'(?)求二面角AFDC,,的余弦值;【评析】(2)含0速算法如果空间直角坐标系中的点在坐标轴上，那么就有两个坐标为0，点在坐标平面上，就会有一个坐标为0，同理，如果向量与坐标轴平行，则向量就有两个坐标为0，向量与坐标平面平行，向量就有一个坐标为0，有的学生在实践中发现，两个向量的六个坐标中，只要出现0，就可以快速求得法向量，有点“十字相乘法”快速分解二次三项式的味道，而且正确率高，在考试中作用明显。
ABC例2、(08陕西卷理科第19题)三棱锥被平行于底面的平面所截得的几,ABC何体如图所示，截面为，，平面，，，,BAC90ABCAA,AA,311111AC,2，，((?)求二面角的大小( AB,2AC,1ACCB,,111zC1 A1 B1A y C Bx【评析】【探究】已知 A(a,0,0),B(0,b,0),C(0,0,c),则面ABC的一个法向量为(3)公式法:已知平面 ,a,(x,y,z),b,(x,y,z),的两个非零不共线向量111222则面,的一个法向量n,已知平面 ,a,(1,3,4),b,(2,6,3),练习:的两个非零不共线向量则面,的一个法向量n,【评析】3、应用练习:ABCABC,111E如图，已知正三棱柱的各棱长都是4，BCCC1CF是的中点，动点在侧棱上，且不与点重合(设CAFE,,,tan,二面角的大小为，求的最小值(。
平面法向量公式
平面法向量公式
平面法向量是指平面上一组向量，也称平面方向向量，它指向平面正方向。
平面法向量公式指出三个不同的点之间的关系。
如果A，B，C是三个点，则平面法向量公式为： N= (B-
A)X(C-A)
算法法向量是根据空间几何学中夹角的定义引入的，它由夹角旁的对边构成，表示该夹角的正方向，也就是平面的正方向。
平面法向量的计算依赖于向量的知识，具体来说，要确定任意三点组成平面的法向量，首先需要确定三点坐标，例如三点 A，B，C的坐标分别为(A1,B1,C1)、(A2,B2,C2)、(A3,B3,C3)。
法
向量表示为N，可以采用叉乘公式计算：N= (A2-A1)X(A3-
A1) 。
法向量表示多维物体旋转或平移的方向，在计算机图形学、力学、热力学中都广泛应用。
在计算机图形学中，法向量用于求解光照系统，确定视角变换，确定Bézier曲面等。
力学中，
可以利用法向量来计算滑动及接触方向，以及单位磁场和单位耗散磁场，确定磁力线分布等。
热力学中，可以利用法向量求解相变平衡的条件，确定温度、流量及压力等变量的关系。
总之，平面法向量公式被广泛应用于多个领域，有助于计算几何学中相当复杂的问题，可以用于碰撞检测，模拟对象的重力行为，以及物理系统的仿真等。
以上就是对平面法向量公式的介绍，从定义它的基本原理，到它在各领域的重要作用，都有了更深入的认识。
可以看出，平面法向量公式是一个有效的工具，可以用于重要的研究与实践，相信它会带给我们更多新的应用。
高中平面法向量的求法
高中平面法向量的求法高中物理中，平面法向量是一个十分重要的概念。
在日常物理学习中，无论是解析几何还是向量的求解，都会涉及到平面法向量的计算。
平面法向量的求法有多种，下面将会对其进行归纳总结，供大家参考学习。
一、什么是平面法向量在空间中，一个平面的正面和反面是分别存在的，通过平面法向量就可以确定平面的朝向。
平面法向量是一个与平面垂直的向量，其长度可以为任意值，但方向必须与平面法线一致。
平面法向量的两端点可以位于平面上的任意两个不同点，因此平面法向量不唯一。
二、平面法向量的求法1.已知平面方程式求平面法向量如果已知平面方程式Ax+By+Cz+D=0，则平面法向量可以由系数A、B、C直接读出，即法向量的坐标为(A,B,C)。
2.已知平面上的三点求平面法向量如果已知平面上的三点P1(x1,y1,z1)、P2(x2,y2,z2)、P3(x3,y3,z3)，则可以通过叉乘运算得到平面法向量。
具体步骤如下：1）连接P1和P2两点，得到向量v1=(x2-x1,y2-y1,z2-z1)；2）连接P1和P3两点，得到向量v2=(x3-x1,y3-y1,z3-z1)；3）通过叉乘得到平面法向量n=v1×v2。
需要注意的是，如果向量v1和v2所在的直线平行，则无法通过叉乘求得平面法向量。
3.已知平面上一点和平面法向量求平面方程式如果已知平面上的一点P(x0,y0,z0)和平面法向量n，平面方程式可以通过点法式直接得到：Ax+By+Cz+D=0，其中A、B、C为平面法向量n 的坐标，D为-Ax0-By0-Cz0。
本文列举了平面法向量的三种求法，希望能够对广大高中生以及学习物理的同学有所帮助。
在平面法向量的学习过程中，重要的是理解其概念以及如何进行计算，而不是死记硬背公式。
只有通过深入理解，我们才能够在学习中游刃有余，事半功倍。
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为 n(x, y,0)
r uuur
O
nAB0
B(0,b,0) y
r 11
n ( , ,0)
a bx
A(a,0,0) A
6
类比迁移
结论1
1.平面ABCD//z轴，在x轴、y轴上的截距分别
为a、b，则平面ABCD的一个法向量 ( 1 , 1 , 0 ) ab
2.平面ABCD//x轴，在y轴、z轴上的截距分别
r n1
(0,
1
,
2)
24
A
G(0,2,0)
F
z A1(0, 0, 2 2 )
E
B
OyxFra bibliotekDAC
14
巩固练习
练2.已知ABCD是上下底边长分别为2和6，高为 3
的等腰梯形，将他沿对称轴OO1折成直二面角，求 平面OAC和ACO1的一个法向量. z
D O1 C
O1( 0 ,
0, C
3) ( 0 , 1,
M (1, 2 ,1)
B1
r n
(
1
,
1
,
z)
D O
xy
C y
A
A
x
B (1,1,0)
4
问题2：在长宽高分别为2,1,2的长方体AC1中r，uuur
求平面AC1的一个法向量.
ngAA1 0,
u u u r
u u u r
解：A C ( 1 ,2 ,0 ) ,A A 1 ( r0 ,0 ,2 ) ,
z
N
D1
Q
C1
P
A1
M(0,-2,0)
D O
R(1,0,0)
A(2,0,0)A x
B1(2,2,2) C(0,2,0) y
B(2,2,0)
13
直击高考
（2010浙江理数改编）在矩形ABCD中，点E、F分 别在线段AB、AD上，AE=EB=AF2 = FD=4.沿直线 EF将△AEF翻折成△A1EF，使平面3 A1EF⊥平面BEF. 求平面A1FD的一个法向量.
分别为a、b、c，则平面ABC的一个法向量为
(1 ,1 ,1) ___a___b___c ___
z C (0,0,c)
O x A (a,0,0)A
B (0,b,0) y
10
探究规律
结论3 平面ABC在x轴,y轴,z轴上的截距分别为a,b,c， 则平面ABC的一个法向量为 ( 1 , 1 , 1 )
问题3：平面ABCD//z轴，在x轴、y轴上的截
距分别为a、b，则平面ABCD的一个法向量为
(1 ,1 ,0) ___u au _u r __b ______ u u u r
z
解：A B ( a ,b ,0 ) ,B C ( 0 ,0 ,c ) ,
C(0,b,c)
设平r 面ABCD的一个D法向量
为b、c，则平面ABCD的一个法向量 ( 0 , 1 , 1 ) bc
3.平面ABCD//y轴，在x轴、z轴上的截距分别
为a、c，则平面ABCD的一个法向量 ( 1 , 0 , 1 ) ac
A
7
探究规律
问题4：平面AOBD，O是原点，A在z轴上
点B(a,b,0),则平面AOBD的一个法向量为
( 1 , 1 ,0) ____a__b______
ab
2.平面AOBD,O是原点,A在x轴上点B(0,b,c), 则平面AOBD的一个法向量为 ( 0 , 1 , 1 )
bc
3.平面AOBD,O是原点,A在y轴上点B(a,0,c),
则平面AOBD的一个法向量为 ( 1 , 0 , 1 )
A
a c9
探究规律
问题5：平面ABC在x轴、y轴、z轴上的截距
解：M u u u C u r1(1,1 2,0),u B u C u u r1( r1,0,1)
(1)gx1y0gz0 2
设平面BMC1的一个法向量为 n(1,2,z)
r uuuur
r
nBC1
0
z
1
n(1,2,1)
z
反思1r： 跟向量a =(x,y,0)垂直
D1 1
C1(0,1,1)
的法向量可设为 A1
0gx0gy2gz0
nr设平uAu面C urA C10的 一个法x 向2量y为z0n (nrx,y,(10,)12 , 0)
反思2r ：
D1
跟向量a =(x,0,0)垂直
C1(0,2,2)
的法向量可设为 A1 (1,0,2)
B1
r n(0,y,z)
D
C(0,2,0)
O
y
A(1,A0,0)
B
5
x
探究规律
abc
A
11
练1：在棱长为2的正方体AC1中,P,Q,R分别为棱
A1D1,C1D1, AD的中点,求以下平面的一个法向量.
(1)面RCD1; (1 , 1 , 1 ) (2)面PRCC1; 2 2
(1, 1 , 0 ) 2
z
D1(0,0,2) P(1,2,0)
A1
B1
D
O
R(1,0,0)
A
A
B
x
C1
z
u u u r u u u r
解：O A (0 ,0 ,c ) ,O D (a ,b ,0 )A(0,0,c)
设平r 面OABD的一个法向量
为 n(x, y,0)
r uuur
nOD0
O
nr (1,1,0)
x
ab
A
B
y D(a,b,0)
8
类比迁移
结论2
1.平面AOBD,O是原点,A在z轴上点B(a,b,0), 则平面AOBD的一个法向量为 ( 1 , 1 , 0 )
C(0,2,0) y
12
练1：在棱长为2的正方体AC1中,P,Q,R分别为棱
A1D1,C1D1, AD的中点,求以下平面的一个法向量.
(3)面PQAC; ( 1 , 1 , 1 )
( 1, 1 , 0 )
(4)面PRBB1; 2 2 4 T(0,0,4)
2
反思通3：过延长线段找平
面与坐标轴的交点
在空间直角坐标系下求平面 的法向量
A
1
在空间直角坐标系下， 如何求平面的法向量？
r 1.设平面α的法向量 n(x,y,z)
rr 2.在平面α内找两个不共线的向量 a , b
rr rr 3.由 na0,n 得b 到 关0 于x,y,z的三元一次
方程组，解之可得平面的法向量
α
A
2
特殊平面的法向量
1.平面ABCD//y轴和z轴，则平面ABCD的 一个法向量为__(_1_,0_,_0_) _
2.平面ABCD//x轴和z轴，则平面ABCD的 一个法向量为_(_0_,_1_,0_)__
3.平面ABCD//x轴和y轴，则平面ABCD的 一个法向量为__(0__,0_,_1_) _
A
3
问题1：在棱长为1的正方体AC1中，M为棱Ar1Bu1uuur
的中点，求平面BMC1的一个法向量.
ngMC1 0
3)
D
A
O
B
O
x A (3, 0, 0)
r
3
n1 (0, 1, )
3
r n2
(1
, 0,
3)
A3 3
y B
15
巩固练习
练3.直三棱柱AC1中，∠ACB=90°，AC=1，
CB= 2 ,侧棱AA1=1，侧面AA1BB1的两条对角线