平面法向量的求法
平面法向量的求法法向量怎么求
方法指导：如图2-5,若点B为平面α外一点，点A
1
ab
adcb；2、适合右手定则。
cd
二、平面法向量的应用
1、求空间角
为平面α内任一点，平面的法向量为，则点B到平面α的距离公式为d
三、高考真题新解
例1、已知如图3-1,四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形，
AB∥DC，DAB90,PA底面ABCD，且PA=AD=DC=
mn0,mn,即平面A1MC平面A1BD1.
(III).设点A到平面A1MC的距离为d,
mMCMA1(a2,
又MA(
2222
a,a)是平面A1MC的法向量, 22
2|mMA|1
a,0,0),A点到平面A1MC的距离为:da.22|m|
四、用空间向量解决立体几何的“三步曲”
(1)、建立空间直角坐标系(利用现有三条两两垂直的直线，注意已有的正、直条件,相关几何知识的综合运用，建立右手系)，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；、通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题；、把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义。
3|m||n|
22
面AMC与面BMC所成二面角的大小为arccos().
33
例2、(本题满分12分)如图3-2，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，已知AB＝AA1＝a，BC，M是AD的中点。(Ⅰ)求证：AD∥平面A1BC；
(Ⅱ)求证：平面A1MC⊥平面A1BD1；(Ⅲ)求点A到平面A1MC的距离。
线线、线面、面面间的位置关系与向量运算的关系设直线l,m的方向向量分别为,，平面,的法向量分别为,。
1.平行关系
法向量的快速求法
法向量的快速求法
法向量的快速求法可以通过以下方法实现：
1. 对于平面上的一个向量，其法向量可以通过求其逆时针旋转90度得到，即将向量(x,y)变为(-y,x)。
2. 对于三维空间中的一个向量，其法向量可以通过向量积（又称为叉积）求得。
设a和b是两个不共线的向量，则它们的向量积a×b是一个向量，其大小等于以a和b为邻边所构成的平行四边形的面积，方向垂直于这个平行四边形，满足右手定则。
向量积的计算公式为：
a ×
b = (aybz −azby,azbx −axbz,axby −aybx)
其中，aybx表示a向量y分量与b向量x分量相乘。
3. 对于曲面上的一个点P，其法向量可以通过求其切平面的法向量得到。
曲面的切平面包含该点的所有切线，其法向量指向切平面凸出的一侧。
切平面的法向量可以通过对曲面方程求偏导数得到。
空间平面法向量求法
空间平面法向量求法一、法向量定义定义：如果，那么向量叫做平面的法向量。
平面的法向量共有两大类（从方向上分），无数条。
二、平面法向量的求法1、内积法在给定的空间直角坐标系中，设平面的法向量=（x,y,1）[或=（x,1,z)或=（1，y,z）]，在平面内任找两个不共线的向量,。
由，得·=0且·=0，由此得到关于x,y的方程组，解此方程组即可得到。
2、任何一个x,y,z的一次方程的图形是平面；反之，任何一个平面的方程是x,y,z的一次方程。
Ax+By+Cz+D=0(A,B,C不同时为0)，称为平面的一般方程。
其法向量=(A,B,C);若平面与3个坐标轴的交点为P(a,0,0),P(0,b,0),P(0,0,c),则平面方程为:,称此方程为平面的截距式方程，把它化为一般式即可求出它的法向量。
3、外积法设,为空间中两个不平行的非零向量，其外积×为一长度等于||||sinθ，（θ为两者交角，且0<θ<π，而与,, 皆垂直的向量。
通常我们采取“右手定则”，也就是右手四指由的方向转为的方向时，大拇指所指的方向规定为×的方向,×=-×。
设=(x1,y1,z1),=(x2,y2,z2),则×=（注：1、二阶行列式:；2、适合右手定则。
）Codepublic double[] GetTriangleFunction(ESRI.ArcGIS.Geometry.IPoint point1,ESRI.ArcGIS.Geometry.IPoint point2, ESRI.ArcGIS.Geometry.IPoint point3){try{double a = 0, b = 0,c=0; //方程参数double x1 = 0, x2 = 0, x3 = 0, y1 = 0, y2 = 0, y3 = 0, z1 = 0, z2 = 0, z3 = 0; //各点坐标值double[] returnValue = new double[3];x1 = point1.X * 1000;y1 = point1.Y * 1000;z1 = point1.Z * 1000;x2 = point2.X * 1000;y2 = point2.Y * 1000;z2 = point2.Z * 1000;x3 = point3.X * 1000;y3 = point3.Y * 1000;z3 = point3.Z * 1000;//向量I1double[] I1 = new double[3];I1[0] = x2 - x1;I1[1] = y2 - y1;I1[2] = z2 - z1;//向量I2double[] I2 = new double[3];I2[0] = x3 - x1;I2[1] = y3 - y1;I2[2] = z3 - z1;double X1 = I1[0];double Y1 = I1[1];double Z1 = I1[2];double X2 = I2[0];double Y2 = I2[1];double Z2 = I2[2];a = Y1 * Z2 - Y2 * Z1;b = X2 * Z1 - X1 * Z2;c = X1 * Y2 - X2 * Y1;returnValue[0] = a;returnValue[1] = b;returnValue[2] = c;return returnValue;}catch (Exception e){throw e;}}OPENGL里面就这样实现void getNormal(GLfloat gx[3],GLfloat gy[3], GLfloat gz[3],GLfloat *ddnv){GLfloat w0,w1,w2,v0,v1,v2,nr,nx,ny,nz;w0=gx[0]-gx[1]; w1=gy[0]-gy[1];w2=gz[0]-gz[1];v0=gx[2]-gx[1]; v1=gy[2]-gy[1];v2=gz[2]-gz[1];nx=(w1*v2-w2*v1);ny=(w2*v0-w0*v2);nz=(w0*v1-w1*v0);nr=(GLfloat)sqrt(nx*nx+ny*ny+nz*nz); //向量单位化。
快速求平面的法向量
快速求平面的法向量
用向量方法做立几题，必须会的一种功夫是求平面的法向量。
不少理科同学为经常算错平面的法向量而苦恼，下面介绍一种快速求平面的法向量方法，简直就是秒杀。
结论：向量a r ＝(x 1，y 1，z 1)，b r
＝(x 2，y 2，z 2)是平面α内的两个不共线向量，则向量 n r
＝(y 1z 2－y 2z 1，－(x 1z 2－x 2z 1)，x 1y 2－x 2y 1)是平面α的一个法向量.
如果用二阶行列式表示，则
n r ＝(1
12
2
y z y z ，－
112
2
x z x z ，
112
2
x y x y ) ，这更便
于记忆和计算.
结论证明（用矩阵与变换知识可以证明，此处
略去），但你可以验证 n r
一定满足0
m a m b ⎧•=⎪⎨•=⎪⎩u r r u
r r ⇔111222
00x x y y z z x x y y z z ++=⎧⎨++=⎩； 而且∵a r 、b r 不共线，∴n r 一定不是0r
.
怎样用该结论求平面的法向量呢？举例说明.
例、向量a r ＝(1，2，3)，b r
＝(4，5，6)是平
面α内的两个不共线向量，求平面α的法向量
解：设平面α的法向量为n r
＝(x ，y ，z )，
则00n a n b ⎧•=⎪⎨•=⎪⎩r r r r ⇒2304560x y z x y z ++=⎧⎨
++=⎩ 令z ＝1，得n r
＝(1，－2，1).
注意：
① 一定按上述格式书写，否则易被扣分.
② n r
的计算可以在草稿纸上完成，过程参照右边“草稿纸上演算过程”.。
平面法向量的求法
轴平行 轴平行 轴平行
② 单○r 就是面 谁○谁垂r 直 若 ar （0, y, z）, 则 ar 与x 轴垂直 若 ar （x, 0, z）, 则 ar 与y 轴垂直 若 a （x, y, 0）, 则 a与z 轴垂直
1.几个常见的结论：
① 双○就是轴 谁非谁平行
② 单○就是面 谁○谁垂直
③ 双○补单○
z
D1
A1
C1
B1
y
D A
x
C B
2.验证法：感觉良好验证法
已感知到某向量是所求法向量 用线面垂直判定定理验证即可
例1.如图,已知正方体ABD-A1B1C1D1的棱长为1
则平面ACD1的法向量是________ z
解：建立如图所示的坐标系……
D1
令 n （1,1,1）
A1
因
n • AD1 （1,1,1）(1,0,1） 0
(
11
,
)
24
（5 , 2 , 1 ）
三、法向量的求法：
1.直接法：特殊易得直接写 2.验证法：感觉良好验证法 3.三步法：一设二乘三特值 4.平面方程(截距)法： 5.含○速算法： 6.行列式(叉积)法：
均要伪装成： 三步法
1.直接法：特殊易得直接写
坐标面或于其平行的面的法向量，r 可直接写出： 面xoy或于其平行的面的法向量是 nr （0, 0,1） 面yoz或于其平行的面的法向量是 nr （1, 0, 0） 面zox或于其平行的面的法向量是 n （0,1, 0）
1.单○负倒参
例5.在棱长为1的正方体AC1中，M为棱A1B1的中点
求平面BMC1的一个法向量 z
析1：
uuuur
1
MC1 uuuur
点到平面的距离公式 法向量
点到平面的距离公式法向量一、点到平面的距离公式（利用法向量）（一）平面的法向量。
1. 定义。
- 设平面α，如果向量→n与平面α内的任意一条直线都垂直，那么称向量→n 为平面α的法向量。
- 例如，对于平面Ax + By+ Cz+D = 0（A、B、C不同时为0），其法向量→n=(A,B,C)。
2. 求法。
- 给定平面内的两个不共线向量→a=(x_1,y_1,z_1)和→b=(x_2,y_2,z_2)，设平面的法向量为→n=(x,y,z)。
- 根据法向量的定义，→n·→a=0且→n·→b=0，得到方程组<=ft{begin{array}{l}x_1x + y_1y+z_1z = 0 x_2x + y_2y+z_2z = 0end{array}right.- 通过解这个方程组就可以求出平面的法向量→n（通常可以先令x、y、z中的一个为某个值，然后求解另外两个）。
（二）点到平面的距离公式。
1. 公式推导。
- 设点P(x_0,y_0,z_0)，平面α的方程为Ax + By + Cz+D = 0，其法向量→n=(A,B,C)。
- 在平面α上任取一点Q(x_1,y_1,z_1)，则向量→PQ=(x_1 - x_0,y_1 - y_0,z_1 - z_0)。
- 点P到平面α的距离d就是向量→PQ在法向量→n方向上投影的绝对值。
- 根据向量投影公式，向量→PQ在→n上的投影为frac{→PQ·→n}{|→n|}。
- 计算→PQ·→n=A(x_1 - x_0)+B(y_1 - y_0)+C(z_1 - z_0)，又因为Ax_1+By_1 + Cz_1+D = 0，即Ax_1+By_1 + Cz_1=-D。
- 所以→PQ·→n= - Ax_0 - By_0 - Cz_0 - D，而|→n|=√(A^2)+B^{2+C^2}。
- 则点P到平面α的距离d=(| Ax_0 + By_0+Cz_0+D|)/(√(A^2)+B^{2)+C^{2}}。
平面的法向量
平面的法向量
平面法向量的求法：1.在平面内找两个不共线的向量2.待求的法向量与这两个向量各做数量积为零就可以确定出法向量了.3.为方便运算，提取公因数，若其中含有未知量x,为x代值即可得到一个最简单的法向量。
普通平面法向量的具体步骤：（待定系数法）1、建立恰当的直角坐标系2、设平面法向量n=（x，y，z）3、在平面内找出两个不共线的向量，记为a=（a1，a2, a3）b=（b1，b2，b3）4、根据法向量的定义建立方程组①n·a=0 ②n·b=0。
空间直角坐标系中平面法向量的三种求法：一、方程法，利用直线与平面垂直的判定定理构造三元一次方程组，由于有三个未知数，两个方程，要设定一个变量的值才能求解，这是一种基本的方法，但运算稍繁，要使法向量简洁，设值可灵活，法向量有无数个，它们是共线向量，取一个就可以。
二、矢量积公式。
三、双0速算法：如果空间直角坐标系中的点在坐标轴上，那么就有两个坐标为0，点在坐标平面上，就会有一个坐标为0，同理，如果向量与坐标轴平行，则向量就有两个坐标为0，向量与坐标平血平行，向量就有一个坐标为0，有的学生在实践中发现，两个向量的六个坐标中，只要出现2个0,就可以快速求得法向量，有点“十字相乘法”快速分解二次三项式的味道，而且正确率高，在考试中作用明显。
扩展资料：高中法向量更快求法：叉乘，造0法。
叉乘口诀：掐头去尾，交叉相乘再相减。
造0法：构造0时，加减乘除都行。
平面求法向量公式
平面求法向量公式1. 平面法向量的定义。
- 设平面α，如果向量→n与平面α内的任意一条直线都垂直，那么称向量→n 为平面α的法向量。
2. 求平面法向量的公式推导（设平面α内有两个不共线向量→a=(x_1,y_1,z_1)，→b=(x_2,y_2,z_2)）- 设平面α的法向量为→n=(x,y,z)。
- 因为→n是平面α的法向量，所以→n⊥→a且→n⊥→b。
- 根据向量垂直的性质，若两个向量垂直，则它们的数量积为0。
- 可得<=ft{begin{array}{l}→n·→a = 0 →n·→b=0end{array}right.，即<=ft{begin{array}{l}x_1x + y_1y+z_1z = 0 x_2x + y_2y + z_2z=0end{array}right.。
- 为了求解x,y,z，我们可以采用赋值法。
例如，先令z = 1（当z_1和z_2不全为0时），然后解关于x和y的二元一次方程组<=ft{begin{array}{l}x_1x + y_1y=-z_1 x_2x + y_2y=-z_2end{array}right.。
- 由二元一次方程组的求解方法，先计算x的值：- 对于方程组<=ft{begin{array}{l}x_1x + y_1y=-z_1 x_2x + y_2y=-z_2end{array}right.，x=(<=ftbegin{array)/(ll)-z_1y_1 -z_2y_2end{array}}{<=ftbegin{array}{ll}x_1y_1 x_2y_2end{array}}=(-z_1y_2 +z_2y_1)/(x_1y_2 - x_2y_1)（当x_1y_2 - x_2y_1≠0时）。
- 再计算y的值：- y=(<=ftbegin{array)/(ll)x_1-z_1 x_2-z_2end{array}}{<=ftbegin{array}{ll}x_1y_1 x_2y_2end{array}}=(-x_1z_2 +x_2z_1)/(x_1y_2 - x_2y_1)（当x_1y_2 - x_2y_1≠0时）。
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(2)含0速算法
例2、 )已知平面的两个向量a (1,3,0), b (0,2,7), (1
则平面的一个法向量为 .
(2)已知平面的两个向量 a (1,3,0), b (3,2,7), 则平面的一个, b,0), C (0,0, c),
数学专题二
平面法向量的求法
您 迎 欢 中 一 丰 南
练习：已知平面的两个向量为 a=(1,3,4),b=(2,5,9),
求此平面的一个法向量. 解：设m=(x,y,z)为平面的法向量，则有
a m 0 x 3 y 4 z 0 x 7 z , 即 , 解得： b m 0 2 x 5 y 9 z 0 y z . 令z 1, m (7,1,1)
又 面A' EF 面AEF 于EF , A' H 面ABCD , A' (2,2,2 2 ), FA' (2,2,2 2 ), FD (6,0,0), DC (0,8,0)
设n ( x , y , z )为面A' FD的法向量，则
n (0, 1) n A' F n (0, 2 ,1) 0 令z 1， n FD 0
.
(1)方程法 第一步(设):设出平面法向量的坐标为n=(x,y,z). 第二步(列):根据n· = 0且n· = 0可列出方程组 a b
x1 x y1 y z1 z 0 x2 x y2 y z2 z 0 第三步(解):把z看作常数,用z表示x、y. 第四步(取):取z为任意一个正数(当然取得越特殊越好), 便得到平面法向量n的坐标.
解 :以A为坐标原点，以 , AB所在直线分别为 y轴，建系如图： AD x, 2 AE EB AF FD 4 A(0,0,0), F (4,0,0), D(10,0,0), C (10,8,0) 3 取EF 中 点H， 连 接 ' H， AE AF A' H EF , A
(3)矢量积公式法：
已 知 平 面 的 两 个 非 零 不 共 向 ( x1, y1, z1 ), b ( x2 , y2 , z2 ), a 量
则面 的一个法向量n ( y1z2 y2 z1 , z1 x2 z2 x1 , x1 y2 x2 y1 ),
1 1 1 n 则面ABC 的一个法向量为 ( a , b , c .)
[应用训练]
1:（2010浙江理数）如图,在矩形ABCD中,点
2 E,F分别在线段AB,AD上， EB AF FD 4 AE 3 ' '
（Ⅰ）求二面角A’-FD-C的余弦值；
沿直线EF将 AEF 翻成 A EF ,使平面 A EF 平面BEF .
mn mn
m (0,0,1)为面FDC的法向量，
则 cos m, n
3 3 , 设 二 面 角 的 大 小 为, 则 cos . 3 3
如图，已知正三棱柱ABC A1B1C1 的棱长均为4， E是BC 的中点，动点F在侧棱CC1上，且不与 点C重合。设二面角C AF E的大小为， 求 tan 的最小值。 .