2015赢在高考第一轮复习数学 课后作业11

第8讲 函数与方程
基础巩固
1.下列函数图象与x 轴均有公共点,其中能用二分法求零点的是( )
答案:C
解析:能用二分法求零点的函数必须在给定区间[a,b]上连续不断,并且有f(a)·f(b)<0,A ,B 选项中不存在f(x)<0,D 选项中零点两侧函数值同号,故选C . 2.函数f(x)=lg x-1
x 的零点所在的区间是( ) A.(0,1] B.(1,10] C.(10,100] D.(100,+∞)
答案:B
解析:由于f(1)·f(10)=(-1)×9
10<0,根据二分法得函数f(x)=lg x-1
x 在区间(1,10]内存在零点.
3.(2014届湖南长沙检测)已知函数f(x)= 2x -1,x ≤1,1+log 2x ,x >1,则函数f(x)的零点为( )
A.1
2,0 B.-2,0
C.1
2
D.0
答案:D
解析:当x ≤1时,由f(x)=2x -1=0,解得x=0;
当x>1时,由f(x)=1+log 2x=0,解得x=1
2, 又因为x>1,所以此时方程无解. 综上,可知函数f(x)的零点只有0. 4.函数f(x)=x 3-2x 2-x+2的零点个数为( )
A.0
B.1
C.2
D.3
答案:D
解析:∵f(x)=x2(x-2)-(x-2)=(x-2)(x2-1),
∴函数f(x)有三个零点1,-1,2.
5.根据表格中的数据,可以断定函数f(x)=e x-x-2的一个零点所在的区间是()
A.(-1,0)
B.(1,2)
C.(0,1)
D.(2,3)
答案:B
解析:∵f(1)=2.72-3<0,f(2)=7.39-4>0,
∴f(1)f(2)<0.
故由零点存在性定理知函数f(x)的一个零点所在的区间是(1,2).
6.设函数f(x)=x3+bx+c(b>0,-1≤x≤1),且f-1
2·f1
2
<0,则方程f(x)=0在区间[-1,1]内()
A.可能有3个实数根
B.可能有2个实数根
C.有唯一的实数根
D.没有实数根
答案:C
解析:∵f(x)=x3+bx+c(b>0),∴f'(x)=3x2+b>0.
故函数f(x)在区间[-1,1]上为增函数.
又∵f-1
2·f1
2
<0,
∴方程f(x)=0在区间[-1,1]上有实数根且只有一个.
7.方程|x2-2x|=a2+1(a>0)的解的个数是()
A.1
B.2
C.3
D.4
答案:B
解析:∵a>0,∴a2+1>1.
而函数y=|x2-2x|的图象如图,∴y=|x2-2x|的图象与y=a2+1的图象总有两个交点.
∴方程|x 2-2x|=a 2+1(a>0)有两解.
8.定义在R 上的奇函数f(x)满足:当x>0时,f(x)=2 014x +log 2 014x,则在R 上,函数f(x)零点的个数为 . 答案:3
解析:函数f(x)为R 上的奇函数,因此f(0)=0,当x>0时,函数f(x)=2 014x +log 2 014x 在区间 0,1
2 014 内存在一个零点,又f(x)为增函数,因此其在(0,+∞)内有且仅有一个零点.
根据对称性可知函数f (x )在(-∞,0)内有且仅有一个零点,从而函数f (x )在R 上的零点的个数为3.
9.已知函数f(x)=x+2x ,g(x)=x+ln x,h(x)=x- x -1的零点分别为x 1,x 2,x 3,则x 1,x 2,x 3的大小关系是 . 答案:x 1<x 2<x 3
解析:令x+2x =0,即2x =-x,设y=2x ,y=-x;
令x+ln x=0,即ln x=-x, 设y=ln x,y=-x.
在同一平面直角坐标系内画出函数y=2x ,y=ln x,y=-x 的图象,如图,易知x 1<0<x 2<1. 令x- x -1=0,则( x )2- x -1=0, 解得 x =
1+ 52
,即x 3=
3+ 52
>1,所以x 1<x 2<x 3.
10.已知方程2x-1+2x 2-a=0有两根,则a 的取值范围是 .
答案:1
2
,+∞
解析:原方程可化为2x-1=-2x2+a,在同一平面直角坐标系内作出函数y=2x-1和y=-2x2+a的图象,如右图,要使方程有两根,必须两个函数的图象有两个交点.由于函数y=2x-1的图象
与y轴的交点是0,1
2,所以,当a=1
2
时,抛物线的顶点与指数函数在y轴的交点重合;当a>1
2
时,它们必有两个交点.故所求a的取值范围是1
2
,+∞.
11.判断函数f(x)=4x+x2-2
3
x3在区间[-1,1]上零点的个数,并说明理由.
解:因为f(-1)=-4+1+2
3=-7
3
<0,f(1)=4+1-2
3
=13
3
>0,所以f(x)在区间[-1,1]上有零点.
又f'(x)=4+2x-2x2=9
2-2x-1
2
2
,
当-1≤x≤1时,0≤f'(x)≤9
2
,
所以f(x)在区间[-1,1]上单调递增.
所以f(x)在区间[-1,1]上有且只有一个零点.
12.已知函数f(x)=4x+m·2x+1有且仅有一个零点,求m的取值范围,并求出该零点. 解:∵函数f(x)=4x+m·2x+1有且仅有一个零点,
即方程(2x)2+m·2x+1=0仅有一个实根.
设2x=t(t>0),则t2+mt+1=0.
当Δ=0,即m2-4=0,
∴m=-2时,t=1;m=2时,t=-1(不合题意,舍去),
∴2x=1,x=0符合题意.
当Δ>0,即m>2或m<-2时,t2+mt+1=0有两正根或两负根,即函数f(x)有两个零点或没有零点.
∴这种情况不符合题意.
综上可知,m=-2时,函数f(x)有唯一零点,该零点为x=0.
13.m为何值时,函数f(x)=x2+2mx+3m+4:
(1)有且仅有一个零点;
(2)有两个零点且均比-1大.
解:(1)函数f(x)=x2+2mx+3m+4有且仅有一个零点⇔方程f(x)=0有两个相等实根⇔Δ=0,即4m2-4(3m+4)=0,即m2-3m-4=0,解之可得m=4或m=-1.
(2)方法一:设函数f(x)的两个零点分别为x1,x2,则x1+x2=-2m,x1·x2=3m+4.
由题意,知Δ=4m2-4(3m+4)>0
(x1+1)+(x2+1)>0
(x1+1)(x2+1)>0
⇔
m2-3m-4>0
-2m+2>0
3m+4-2m+1>0
⇔
m>4或m<-1,
m<1,
m>-5,
因此-5<m<-1.故m的取值范围为(-5,-1).
方法二:由题意,知
Δ>0, -m>-1, f(-1)>0,
即
m2-3m-4>0,
m<1,
1-2m+3m+4>0.
解之可得-5<m<-1.
故m的取值范围为(-5,-1).
拓展延伸14.若函数f(x)=x3-3x+2,
(1)求函数f(x)的零点;
(2)求分别满足f(x)<0,f(x)=0,f(x)>0的x的取值范围;
(3)画出函数f(x)的大致图象.
解:f(x)=x3-3x+2=x(x-1)(x+1)-2(x-1)
=(x-1)(x2+x-2)=(x-1)2(x+2).
(1)令f(x)=0,得函数f(x)的零点为x=1或x=-2.
(2)令f(x)<0,得x<-2;
令f(x)>0,得-2<x<1或x>1,
所以满足f(x)<0的x的取值范围是(-∞,-2);
满足f(x)=0的x的取值范围是{1,-2};
满足f(x)>0的x的取值范围是(-2,1)∪(1,+∞).
(3)函数f(x)的大致图象如图所示.。