《平面的法向量与平面的向量表示》
高二数学选修课件：3-2-2平面的法向量与平面的向量表示
人 教 B 版 数 学
第三章
空间向量与立体几何
[例 1]
如图， ABCD 是直角梯形， ∠ABC＝90° SA⊥ ，
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1 平面 ABCD，SA＝AB＝BC＝1，AD＝2，求平面 SCD 与平 面 SAB 的法向量．
第三章
空间向量与立体几何
[分析] 解答本题可先建立空间直角坐标系，写出每
个平面内两个不共线向量的坐标，再利用待定系数法求出 平面的法向量．
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[解析]
∵AD、AB、AS 是三条两两垂直的线段，
→ → → ∴以 A 为原点，以AD、AB、AS的方向为 x 轴，y 轴， 1 z 轴的正方向建立坐标系， A(0,0,0)， 2， 则 D( 0,0)， C(1,1,0)， → ＝(1，0,0)，是平面 SAB 的法向量， S(0,0,1)，AD 2 设平面 SCD 的法向量 n＝(1，λ，μ)，
第三章
空间向量与立体几何
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第三章
空间向量与立体几何
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第三章
空间向量与立体几何
1．知识与技能
掌握平面的法向量的概念及性质． 理解平面的向量表示． 2．过程与方法 用向量的观点认识平面、利用平面的法向量证明平行人ຫໍສະໝຸດ 教 B 版 数 学或垂直问题．
3．情感态度与价值观 培养学生转化的数学思想，增强应用意识．
第三章
空间向量与立体几何
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第三章
空间向量与立体几何
重点：平面法向量的概念及性质． 难点：利用法向量法解决几何问题．
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空间向量与立体几何
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平面的法向量定义
平面的法向量定义平面的法向量是指垂直于该平面的矢量。
在数学和物理学中，法向量是研究平面性质和解决与平面相关问题的重要工具。
本文将介绍平面的法向量的概念、性质和应用。
一、概念平面的法向量是指与该平面垂直的矢量，它垂直于平面的每一个点。
平面上的每个点都有一个唯一的法向量。
法向量可以用有序数对或坐标表示，也可以用矢量符号表示。
通过法向量，我们可以确定平面的方向和倾斜程度。
二、性质1. 平面的法向量与平面上的任意两个不重合的向量都垂直。
2. 平面的法向量与平面上的任意两个平行的向量也平行。
3. 平面的法向量的模长等于平面上任意两个不重合向量的模长的乘积再乘以它们的夹角的正弦值。
三、求法向量的方法1. 已知平面上的三个点A、B、C，可以通过向量运算求出平面的法向量。
设向量AB=a，向量AC=b，则平面的法向量n=a×b，其中“×”表示向量的叉乘。
2. 已知平面的一般方程Ax+By+Cz+D=0，可以用系数A、B、C构成的向量作为平面的法向量。
四、应用1. 判断平面的位置关系：通过比较两个平面的法向量可以判断它们的位置关系，如平行、垂直或相交。
2. 求直线与平面的交点：直线与平面相交时，可以使用平面的法向量和直线的方向向量求解交点的坐标。
3. 求平面的方程：已知平面上的一点和法向量，可以利用点法式或一般方程求解平面的方程。
4. 求平面的倾斜度：平面的法向量可以用来表示平面的倾斜程度，根据法向量的大小可以判断平面的倾斜程度。
总结：平面的法向量是垂直于该平面的矢量，它可以用来描述平面的方向和倾斜程度。
通过法向量，我们可以判断平面的位置关系、求解直线与平面的交点、求解平面的方程以及判断平面的倾斜程度。
熟练掌握平面的法向量的概念、性质和应用，对于解决与平面相关的问题具有重要意义。
平面向量的平面方程与法向量
平面向量的平面方程与法向量平面向量是指在平面内既有大小又有方向的向量，通过平面向量可以确定平面上的一些特征，其中包括平面方程和法向量。
本文将详细介绍平面向量的平面方程与法向量的相关概念和性质。
1. 平面向量的表示与性质平面向量通常用箭头表示，箭头的方向表示向量的方向，而箭头的长度表示向量的大小。
平面向量的表示可以用两点表示，即从一个点A指向另一个点B得到的向量，记作AB。
根据平行四边形法则，平面向量的大小等于其对应的对角线的大小。
对于平面向量$\vec{a}$和$\vec{b}$，其性质如下：- 加法性质：$\vec{a}+\vec{b}=\vec{b}+\vec{a}$，即向量的加法满足交换律；- 数乘性质：$k(\vec{a}+\vec{b})=k\vec{a}+k\vec{b}$，即数与向量的加法满足分配律；- 数乘性质：$(k+l)\vec{a}=k\vec{a}+l\vec{a}$，即不同数与向量相乘满足分配律。
2. 平面向量的平面方程平面向量的平面方程表示了该向量所在平面的特征。
平面方程的一般形式为$Ax+By+Cz+D=0$，其中A、B和C是方程的系数，D是常数。
需要注意的是，A、B和C不全为0。
以平面上一点P(x, y, z)为例，该点到平面上已知点Q的向量为$\vec{n}$，若平面上的任意一点M(x', y', z')到点Q的向量为$\vec{p}$，则平面方程可以表示为$\vec{np}=0$。
3. 平面向量的法向量对于平面向量的平面方程而言，平面的法向量起着重要的作用。
法向量是垂直于给定平面的向量，可以用来描述平面的方向和倾斜度。
对于平面的法向量，有以下性质：- 若$\vec{n}$是平面方程$Ax+By+Cz+D=0$的法向量，则$\vec{n}(A, B, C)$；- 若平面有一个与$\vec{n}$同向的法向量，其中$\vec{n}$有大小和方向，$\vec{m}=k\vec{n}$，其中k是一个实数。
平面向量的法向量和单位向量
平面向量的法向量和单位向量平面向量的法向量和单位向量是数学中常见的概念。
在本文中，将详细介绍平面向量的法向量和单位向量的定义、性质以及求解方法。
通过对这两个概念的深入理解，能够在解决相关问题时做出正确的判断和计算。
1. 平面向量的法向量平面向量的法向量是指与给定向量垂直的向量。
对于一个平面向量[a, b]，其法向量可以表示为[-b, a]或[b, -a]，其中a和b分别表示平面向量的分量。
根据这个定义，可以得到法向量与原向量垂直的性质。
2. 单位向量单位向量是指模长为1的向量。
对于平面向量[a, b]，其单位向量可以表示为[a/|a|, b/|a|]或[a/|b|, b/|b|]，其中|a|和|b|分别表示平面向量的模长。
单位向量的定义使得它可以用来表示方向而不考虑具体的大小。
3. 平面向量的法向量和单位向量的性质平面向量的法向量和原向量垂直，即两个向量的点积为零。
设向量[a, b]和其法向量[-b, a]，则有a*(-b) + b*a = 0。
这可以从向量的乘法和点积的定义出发进行推导。
平面向量的单位向量与原向量的方向相同或相反，即两个向量的夹角为0或π。
设向量[a, b]和其单位向量[a/|a|, b/|a|]，则有acos(a/|a|*a) +bcos(b/|a|*b) = |a||a|/|a| = |a|，其中acos和bcos分别表示两个向量的夹角的余弦值。
4. 求解平面向量的法向量和单位向量的方法平面向量的法向量可以通过简单的计算得到。
对于向量[a, b]，其法向量为[-b, a]或[b, -a]。
通过交换分量的位置并改变其中一个分量的符号即可求得。
单位向量的求解需要先计算出平面向量的模长，然后将分量除以模长即可得到。
对于向量[a, b]，其单位向量为[a/|a|, b/|a|]或[a/|b|, b/|b|]。
分别用向量的分量除以模长即可得到单位向量。
5. 实例应用平面向量的法向量和单位向量在几何学、物理学等领域都有广泛的应用。
法向量1
A
B
x
F E
Dy
C
小结：
想想看，这节课我们都学到了什么？ 1、怎么求法向量？ 2、利用法向量证明平行与垂直问题
作业：练习册：47-48页
目标：
会求法向 量并用法 向量解题
请各位老师批评指正 谢谢
课前小测答案：
1、 a b x1x2 y1 y2 z1z2
2、a b 0
3、 E(1, 1 ,2) F 1 ,1,1
2、线面垂直性质定理： （1）垂直于同一平面的直线互相平行 （2）垂直面的直线，垂直面内所有直线
目标：
会求法向 量并用法 向量解题
3、线面平行判定定理：不在面内直线平行面内一条直线， 则线面平行
4、面面平行判定定理：两条相交直线平行于同一个 平面，则两个平面平行
新知教学
1、已知平面 ，如果向量 n 的基线与
即xy
y z
赋值：x 1 n (1,1,1)
步骤1-2-1
目标：
会求法向
（1）设 n x, y, z
量并用法 向量解题
（2）找出平面内不共
线向量 v1,v2
n
v1
0
n v2 0
（3）解方程组，赋值
应用1 ：ABCD是直角梯形，ABC SA 平面ABCD SA AB BC 1 AD
x2 y2 z2 1 法向量是否
n (1,1,1)
唯一？
思考：求平面ABC的单位法向量坐标
求法向量方法
设法向量 n x, y, z
AB （1，1，0） BC 0，1，1
n AB 0 n BC 0
x y 0 y z 0
平面的法向量和方向向量
平面的法向量和方向向量平面的法向量和方向向量是平面几何中的重要概念，它们在描述平面的性质和运动方向时起到了关键作用。
本文将分别介绍平面的法向量和方向向量，并探讨它们的应用和相关性质。
一、平面的法向量平面的法向量是指垂直于该平面的向量。
设平面P上有一条直线L，经过L上的两点A和B可以确定一条向量AB。
如果向量AB垂直于平面P，那么向量AB就是平面P的法向量。
平面的法向量有以下性质：1. 法向量与平面上任意两个垂直向量的内积为零。
设向量a和向量b是平面P上的两个垂直向量，向量n是平面P的法向量，则有a·n=0，b·n=0。
2. 平面上的两个垂直向量的内积为零时，它们是平面的法向量的倍数关系。
设向量a和向量b是平面P上的两个垂直向量，向量n是平面P的法向量，则有a·n=0，b·n=0，因此存在实数k，使得a=k·n，b=k·n。
3. 平面上的两个非零向量的叉积是平面的法向量的倍数。
设向量a 和向量b是平面P上的两个非零向量，向量n是平面P的法向量，则有向量a×b=k·n，其中k为实数。
平面的法向量在几何和物理学中有广泛的应用。
例如，在计算平面上的点到另一平面的距离时，可以利用平面的法向量来求解。
同时，在力学中，平面的法向量也被用来描述平面上的压力和力的作用方向。
二、平面的方向向量平面的方向向量是指平面上的一个非零向量，它表示了平面上的一个方向。
设平面P上有一条直线L，经过L上的两点A和B可以确定一条向量AB。
如果向量AB不是平面P的法向量，那么向量AB 就是平面P的方向向量。
平面的方向向量有以下性质：1. 平面上的两个非零向量的线性组合是平面的方向向量。
设向量a 和向量b是平面P上的两个非零向量，向量c=k1·a+k2·b，其中k1和k2为实数，则向量c是平面P的方向向量。
2. 平面上的两个方向向量的叉积是平面的法向量。
法向量与平面的向量表示
3.2.2平面的法向量与平面的向量表示
A 组
1.已知四面体ABCD ，棱AB AC =，棱DB DC =，点M 为棱BC 的中点，在图中指出，哪两点确定的位置向量是平面ADM 的法向量？哪两个平面互相垂直？为什么？
2.已知正方体''''ABCD A B C D -，写出平面ABC 和平面'AB C 的一个法向量。
4.如图，已知PO ⊥平面ABC ，AC BC =,D 为AB 的中点，求证：AB PC ⊥。
5.如图，已知四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是平行四边形，且PA ⊥底面AC ，如果BC PB ⊥，求证ABCD 是矩形。
6.已知(3A ，0，0)，(0B ，4，0)，(0C ，0，5)，求平面ABC 的单位法向量。
7.已知正方体''''ABCD A B C D -，分别写出两个对角面的一个法向量，并证明两个对角面互相垂直。
8.已知四面体ABCD 的棱AB CD ⊥，AC BD ⊥，求证：AD BC ⊥。
B 组
9.直四棱柱1111ABCD A BC D -中，底面ABCD 是矩形，121 3.AB AD AA ===，， M 是BC 的中点.在1DD 上是否存在一点N ，使1MN DC ⊥？。
平面向量的法向量和单位向量
平面向量的法向量和单位向量平面向量是二维空间中的线段，它具有方向和大小。
在平面向量中，存在着一些特殊的向量，比如法向量和单位向量。
本文将从法向量和单位向量两个方面进行探讨。
一、法向量在平面向量中，法向量是与给定向量垂直的向量，通常用n表示。
对于平面向量a=(a1,a2)，其法向量可以表示为n=(-a2,a1)，或者n=(a2,-a1)。
法向量的方向垂直于给定向量，并且具有相同的大小。
法向量在几何学中有着重要的应用，比如在计算两个向量的夹角时，常常使用法向量来进行计算。
法向量还可以用来表示平面的法线方向，从而帮助求解平面几何中的问题。
二、单位向量单位向量是指长度为1的向量，表示为u。
在二维空间中，单位向量通常表示为u=(cosθ,sinθ)，其中θ为向量与x轴的夹角。
单位向量的大小为1，表示方向而不表示大小。
单位向量在向量运算中起着非常重要的作用。
在计算两个向量的夹角时，可以使用单位向量来表示向量的方向，从而简化计算。
单位向量还常用于表示力的方向，以及在物理学中描述物体的位移和速度方向。
结论平面向量中的法向量和单位向量是非常重要的概念，它们在几何学和向量运算中都具有重要的应用价值。
法向量可以帮助我们求解向量的垂直方向，单位向量则可以帮助我们统一向量的方向，并简化向量运算的复杂度。
深入理解和应用法向量和单位向量，有助于提升数学和物理学等相关学科的学习成绩，同时也为解决实际问题提供了便利。
愿本文对读者有所启发，帮助大家更好地理解平面向量的法向量和单位向量。
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例:(试用向量方法证明直线与平面垂直的判定定理)
已知直线m ,n是平面 内的两条相交直线,
如果 l⊥m, l ⊥n,求证: l ⊥ .
l
分析：要证明一条直线与一个平面
垂直,由直线与平面垂直的定义可 知,就是要证明这条直线与平面内 的任意一条直线都垂直.
gl
m
m n mg
取已知平面内的任一条直线 g ,拿相关直线的方 向向量来分析,看条件可以转化为向量的什么条件?要 证的目标可以转化为向量的什么目标?怎样建立向量 的条件与向量的目标的联系?
5.求平面法向量的方法： ⑴设平面的法向量为 n ( x, y, z) ⑵找出(求出)平面内的两个不共线的向量的
坐标 a (a1,b1,c1),b (a2,b2,c2 ) ⑶根据法向量的定义建立关于 x, y, z 的方程
组
n
a
0
n b 0
待定系数法
⑷解方程组,取其中的一个解,即得法向量.
是PO在平面α内的射
影. 如果a α, a⊥AO，
思考a与PO的位置关 系如何？
例题分析： 1、判定下列命题是否正确
三垂线定理
(1)若a是平面α 的斜线、直线b垂直于a在平面
α 内的射影，则a⊥b。
(×)
(2)若a是平面α 的斜线，b是平面α 内的直线，
且b垂直于a在β 内的射影，则a⊥b。 (×)
N
基底，建立如图所示空间坐标系， A
D
设AB,AD,AF长分别为3a，3b，3c，
y
则可得各点坐标，从而有
B
M
x
C
NM NA AB BM (2a,0,c)
又平面CDE的一个法向量是 AD (0,3b,0) 由NM AD 0 得到NM AD
因为MN不在平面CDE内 所以MN//平面CDE
例:已知直线m ,n是平面 内的两条相交直线, 如果 l⊥m, l ⊥n,求证: l⊥ .
解: 在 内作不与m ,n重合的任一直线g,在l, m, n, g
上取非零向量 l, m, n, g,因m与n相交,故向量m ,n
不平行,由共面向量定理,存在唯一实数(x, y),使
g xm yn , l g xl m yl n , l
(1， 2，2）或 ( 1，2， 2）.
3 33
33 3
练习 1：已知 AB (2, 2,1), AC (4, 5, 3), 求平面 ABC 的
单位法向量.
解:设平面 ABC 的一个法向量为 n ( x, y, z)
则 n AB ，n AC .
∴
( (
x, x,
y, y,
答：a⊥PO
为什么呢？
三垂线定理
三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的
一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
教材未提
l
e1
n1
l1 1 e1 // n1 e1 n1
教材未提
n1
1
n2
2
1
//
2或1与
重合
2
n1 // n2 n1 n2
2 n2
n1
1
1 2 n1 n2 n1 n1 0
已知不共线的三点坐标,如何求经过这三点的平面的
高中数学选修2－1
3.2.向量方程
提问：A，B，C，三点不线，四点A，B，C，M 共面的充要条件是：
AM x AB y AC,(x, y R)
图示：
M
C AB
OM (1 x y)OA xOB yOC
1.直线与平面垂直的定义
2. 平面的法向量：
∴
( (
x, x,
y, y,
z) z)
(3, (3,
4, 0,
0) 2)
0 0
即
3 3
x x
4y 2z
0 0
∴
y z
3 4 3 2
x x
取 x 4,则 n (4, 3, 6) ∴ n (4, 3, 6) 是平面 ABC 的一个法向量.
一个法向量?
在空间直角坐标系中,已知 A(3,0,0), B(0,4,0) ,
C(0,0, 2) ,试求平面 ABC 的一个法向量.
解:设平面 ABC 的一个法向量为 n ( x, y, z)
则 n AB ，n AC .∵ AB (3, 4, 0) , AC (3, 0, 2)
l
A,以向量n 为法向量的平面是完全
确定的.
n
M
A
因为方向向量与法向量可以确定直线和 平面的位置，上节我们用直线的方向向量表 示了空间直线、平面间的平行
如何用平面的法向量表示空间两平面平 行、垂直的位置关系呢？
4. 两平面平行或重合、垂直的充要条件
e1
l1
n1
l1 // 1或l1在1内 e1 n1 e1 n1 0
l m 0, l n 0 ,
gl
m
l g 0,即l g.
m n ng
l g,即l垂直于平面内任一直线.l .
6.有关平面的斜线概念， 三垂线定理及其逆定理 P104
什么叫平面的斜线、垂线、射影？
P
oa
α
A
PO是平面α的斜线,
O为斜足; PA是平面α 的垂线, A为垂足; AO
z) z)
(2, 2,1) (4,5, 3)
0 0
即
2 4
x x
2 5
y y
z0 3z 0
∴
y
z
2 2x
x
①
∵ x2 y2 z2 1 ②∴由①②得 x 1 3
∴平面 ABC 的单位法向量为(1， 2，2）或( 1，2， 2）.
3 33
33 3
例 如图，已知矩形 ABCD和矩形 ADEF所在平面互相垂直，点
M , N 分别在对角线 BD, AE上，且 BM 1 BD, AN 1 AE，
求证：MN // 平面CDE
3
3
简证：因为矩形ABCD和矩形ADEF 所在平面互相垂直，所以AB，AD，
Fz
E
AF互相垂直。以 AB，AD，AF 为正交
如果向量n 的基线与平面 垂直，则向量 n
叫平面 的法向量。 几点注意：
1.法向量一定是非零向量; 2.一个平面的所有法向量都 互相平行;
3.向量n 是平面的法向量，向 量m 与平面平行或在平面内，
则有 n m 0
3. 平面的向量表示： AM n 0
给定一点A和一个向量 n,那么过点