建立适当的坐标系求平面的法向量
专题：平面的法向量
总结反思
在空间直角坐标系下，如何求平面的法向量？ 在空间直角坐标系下，如何求平面的法向量？
1.用常用方法求平面的法向量 1.用常用方法求平面的法向量 设平面法向量的方法： 设平面法向量的方法：
r r 跟向量a =(m,0,0)垂直的法向量 n = (0, y, z ) 垂直的法向量
r r 跟向量a =(n,m,0)垂直的法向量 n = (− 1 , 1 , z) 垂直的法向量 n m 2.利用特殊平面的法向量结论 利用特殊平面的法向量结论： 2.利用特殊平面的法向量结论：
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探究规律
问题4：平面 是原点， 在 轴上 问题 ：平面AOBD，O是原点，A在z轴上 ， 是原点 则平面AOBD的一个法向量为 点B(a,b,0),则平面 则平面 的一个法向量为 1 1 (− , ,0) z a b ____________
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D E(0, 3 ,0) y
C(1,0,0)
随堂练习
2.在棱长为 的正方体 1中，P、 Q、R分别为棱 在棱长为3的正方体 的正方体AC 、 、 分别为棱
A1D1、AB、BC的一个三等分点，A1P=AQ=BR=1， 的一个三等分点， 、 的一个三等分点 ， 、 求平面PQR的一个法向量 z 的一个法向量. 求平面 的一个法向量 D1 C1 1 1 (1, , ) P (2,0,3) 2 2 A1 B1
D O
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C y R(2,3,0) B
x
A
Q (3,1,0)
随堂练习
3.已知 已知ABCD是上下底边长分别为 和6，高为 3 的 是上下底边长分别为2和 ， 是上下底边长分别为
用向量的方法证明平行与垂直关系
用向量的方法证明平行与垂直关系用向量的方法证明平行与垂直关系知识点一：求平面的法向量例1.已知平面α经过三点A(1,2,3)，B(2,0，－1)，C(3，－2，0)，试求平面α的一个法向量． 解: ∵A(1,2,3)，B(2,0，－1)，C(3，－2,0)，AB＝(1，－2，－4)，AC →＝(1，－2，－4)，设平面α的法向量为n ＝(x ，y ，z)． 依题意，应有n ·AB = 0， n ·AC → = 0.即⎩⎨⎧x －2y －4z ＝02x －4y －3z ＝0，解得⎩⎨⎧x ＝2yz ＝0.令y ＝1，则x ＝2.∴平面α的一个法向量为n ＝(2,1,0)． 【反思】用待定系数法求平面的法向量，关键是在平面内找两个不共线向量，列出方程组，取其中一组解(非零向量)即可．“用向量法”求法向量的解题步骤：（1）设平面的一个法向量为),,(z y x n =； （2）找出（或求出）平面内的两个不共线的向量的坐标),,(),,,(222111c b a b c b a a ==；（3）根据法向量的定义列出方程组⎪⎪⎨⎧=•0a n ；练习：， 如图所示，已知点(,0,0),(0,,0),(0,0,)A a B b C c ，求平面ABC 的一个法向量。
知识点二：利用向量方法证平行关系（1）线线平行：设直线1l 、2l 的方向向量分别为、，则ll λ=⇔⇔////21（2）线面平行：①由线面平行的判定定理，只要证明已知直线的方向向量与平面内的某一向量平行即可；②设直线l 的方向向量为，平面α的法向量为，则0//=⋅⇔⊥⇔μμαl ；③由共面向量定理知，只要证已知直线的方向向量能够用平面内两个不共线向量表示即可. （3）面面平行：①证明两个平面的法向量平行，即两个平面的法向量νμ//；②证明一个平面内两条相交直线的方向向量分别和另一个平面内的两条相交直线的方向向量平行.例2在正方体1111D C B A ABCD -中，O 是11D B 的中点，求证：11//ODC C B 面.证方法一：∵1B C =1A D ，∴D A C B 11//，又11ODC D A 面⊂,11ODC C B 面⊄∴11//ODC C B 面证法二： ∵1B C =11B C +1B B =1B O +1OC +1D O +OD=1OC +OD .∴1B C，1OC ，OD 共面.又B 1C ⊄面ODC 1，∴B 1C ∥面ODC 1.证法三: 如图建系空间直角坐标系xyz D -，设正方体的棱长为1，则可得B 1(1,1,1)，C(0,1,0)，O ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，1，C 1(0,1,1)，1B C＝(－1,0，－1)，OD ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－12，－1，1OC ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12，0.设平面ODC 1的法向量为n ＝(x 0，y 0，z 0)， 则10,0,n OD n OC ⎧⨯=⎪⎨⨯=⎪⎩ 得⎩⎪⎨⎪⎧－12x 0－12y 0－z 0＝0 ①－12x 0＋12y 0＝0 ②令x 0＝1，得y 0＝1，z 0＝－1，∴n ＝(1,1，－1)．又 1B C ·n ＝－1×1＋0×1＋(－1)×(－1)＝0，∴1B C ⊥n ，∴B 1C∥平面ODC 1.【反思】 证明线面平行问题，可以有三个途径，一是在平面ODC 1内找一向量与1B C 共线；二是说明1B C 能利用平面ODC 1内的两不共线向量线性表示，三是证明1B C 与平面的法向量垂直．练习：如图所示，矩形ABCD 和梯形BEFC所在平面互相垂直，CF BE //，︒=∠=∠90CEF BCF ，3=AD ，2=EF .求证：//AE 平面DCF .证明：如图所示，以点C 为坐标原点，以CB 、CF和CD 所在直线分别作为x 轴、y 轴和z 轴，建立空间直角坐标系C —xyz.设AB ＝a ，BE ＝b ，CF ＝c ， 则C(0,0,0)，A(3，0，a)，B(3，0,0)，E(3，b,0)，F(0，c,0)． AE →＝(0，b ，－a)， CB ＝(3，0,0)，BE＝(0，b,0)，所以CB·AE → = 0，CB·BE = 0，从而CB⊥AE ，CB ⊥BE.所以CB⊥平面ABE.因为CB⊥平面DCF ，所以平面ABE∥平面DCF.故AE∥平面DCF. 知识点三 利用向量方法证明垂直关系（1）线线垂直：设直线1l 、2l 的方向向量分别为、，则021=⋅⇔⊥⇔⊥l l（2）线面垂直：①设直线l 的方向向量为，平面α的法向量为，则αk a a l =⇔⇔⊥//；②由线面垂直的判定定理，只要证明已知直线的方向向量与平面内两个不共线向量垂直。
平面法向量的求法法向量怎么求
方法指导：如图2-5,若点B为平面α外一点，点A
1
ab
adcb；2、适合右手定则。
cd
二、平面法向量的应用
1、求空间角
为平面α内任一点，平面的法向量为，则点B到平面α的距离公式为d
三、高考真题新解
例1、已知如图3-1,四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形，
AB∥DC，DAB90,PA底面ABCD，且PA=AD=DC=
mn0,mn,即平面A1MC平面A1BD1.
(III).设点A到平面A1MC的距离为d,
mMCMA1(a2,
又MA(
2222
a,a)是平面A1MC的法向量, 22
2|mMA|1
a,0,0),A点到平面A1MC的距离为:da.22|m|
四、用空间向量解决立体几何的“三步曲”
(1)、建立空间直角坐标系(利用现有三条两两垂直的直线，注意已有的正、直条件,相关几何知识的综合运用，建立右手系)，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；、通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题；、把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义。
3|m||n|
22
面AMC与面BMC所成二面角的大小为arccos().
33
例2、(本题满分12分)如图3-2，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，已知AB＝AA1＝a，BC，M是AD的中点。(Ⅰ)求证：AD∥平面A1BC；
(Ⅱ)求证：平面A1MC⊥平面A1BD1；(Ⅲ)求点A到平面A1MC的距离。
线线、线面、面面间的位置关系与向量运算的关系设直线l,m的方向向量分别为,，平面,的法向量分别为,。
1.平行关系
高中数学选择性必修一课件：用空间向量研究直线、平面的位置关系(第1课时)
(3)如图，在四棱锥 P－ABCD 中，平面 PAB⊥平面 ABCD，△ PAB 是边长为 1 的正三角形，四边形 ABCD 是菱形，∠ABC＝60°， E 是 PC 的中点，F 是 AB 的中点，试建立恰当的空间直角坐标系， 求平面 DEF 的一个法向量．
1.4.1
1.4 空间向量的应用 用空间向量研究直线、平面的位置关系(第1课时)
空间中点、直线和平面的向量表示
要点 1 点的位置向量 如图，在空间中，我们取一定点 O 作为基点，那么空间中任意一点 P 就可 以用向量O→P来表示．我们把向量O→P称为点 P 的位置向量．
要点 2 直线的方向向量 用向量表示直线 l，就是要利用点 A 和直线 l 的方向向量表示直线上的任意 一点．如图 1，a 是直线 l 的方向向量，在直线 l 上取A→B＝a，设 P 是直线 l 上的 任意一点，由向量共线的条件可知，点 P 在直线 l 上的充要条件是存在实数 t， 使得A→P＝ta，即A→P＝tA→B.
【解析】 以点 A 为原点，AD，AB，AS 所在的直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则 A(0，0，0)， C(1，1，0)，D(12，0，0)，S(0，0，1)．
(1)∵SA⊥平面 ABCD， ∴A→S＝(0，0，1)是平面 ABCD 的一个法向量． (2)∵AD⊥AB，AD⊥SA，AB∩SA＝A，AB，SA⊂平面 SAB， ∴AD⊥平面 SAB， ∴A→D＝12，0，0是平面 SAB 的一个法向量．
平面的法向量
g = xm + yn , l g = xl m + yl n , l
∵ l m = 0, l n = 0 , ∴ l g = 0, 即l ⊥ g .
g l m
m
n
n g
l ∴ l ⊥ g , 即 l 垂 直 于 平 面 α内 任 一 直 线 . ⊥ α .
6.有关平面的斜线概念， 6.有关平面的斜线概念， 有关平面的斜线概念 三垂线定理及其逆定理 P104
答：a⊥PO
为什么呢？ 为什么呢？
三垂线定理
三垂线定理：在平面内的一条直线， 三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的 一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。 一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
PA⊥α a α
P
PA⊥a ② a⊥平面PAO
AO⊥a PO 平面PAO
①
③
a⊥PO
a α A o
数式板书
三垂线定理
对三垂线定理的说明： 对三垂线定理的说明： 1、三垂线定理描述的是PO(斜线)、AO(射 三垂线定理描述的是PO(斜线) AO(射 PO(斜线 影)、a(直线)之间的垂直关系。 a(直线 之间的垂直关系。 直线) 2、a与PO可以相交，也可以异面。 PO可以相交，也可以异面。 可以相交 3、三垂线定理的实质是平面的一条斜线和 平面内的一条直线垂直的判定定理。 平面内的一条直线垂直的判定定理。 4、三垂线定理的图形是由“四线一面”五 三垂线定理的图形是由“四线一面” 个部件组成——垂线 斜线、射影、面内一线、 垂线、 个部件组成——垂线、斜线、射影、面内一线、 平面
高中数学选修2 高中数学选修2－1
3.2.2平面的法向量与 3.2.2平面的法向量与 平面的向量表示
关于平面法向量的问答
关于平面法向量的问答324100 浙江省江山中学 杨作义提问：在立体几何的求解（夹角、距离的计算）中，若用坐标法，常要求平面的法向量，教材对此介绍不多，只有一个定义：直线l α⊥，取直线l 的方向向量a ，则向量a 叫做平面α的法向量.没有涉及应用研究.请问：怎样求平面的法向量？回答：根据平面法向量的定义，求平面的法向量的方法通常有两个： 一是尽量在图中找出垂直于平面的向量作为法向量 ；二是如果找不到，那么就设向量(,,)n x y z = 为平面α的法向量，在平面α内取两个不共线向量,a b ，因为法向量n 垂直于平面α，所以,n a n b ⊥⊥，则由方程组00a nb n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩可列出两个含有,,x y z 的方程，两个方程中有三个未知数，求不出唯一的解，但是可以根据题目情况、计算的方便，取z （或x 或y ）等于一个具体的数，就变成了两个未知量、两个方程的方程组了，解出唯一的解，就是所求的平面法向量n .提问：在平面法向量的求法中，设平面法向量为(,,)n x y z =，列出含有三个未知数,,x y z 的两个方程后，用赋值法令,,x y z 之一为一简单的数（例如0,1或-1要视情况而定），但到底设哪个呢？这样求得的法向量可能不同，那么，最后求夹角、距离等的答案岂不要不一样？回答：这主要涉及对平面法向量的概念和相关计算公式的理解问题.法向量是空间解析几何的一个概念，垂直于平面的直线所表示的向量为该平面的法向量.由于空间内有无数条直线垂直于已知平面，而且每条直线可以存在不同的方向向量.因此，一个平面存在无数个法向量，而且这些法向量之间相互平行（共线）.我们在求平面法向量时，把法向量和平面内的两个不共线的向量做数量积，得到含有三个未知数的两个方程，其实有无数组解，这也验证了一个平面的法向量有无数个.我们做题时只取其中比较简单的一个即可，具体让,,x y z 之一哪个等于多少，可以怎么简单怎么取.下面再看看我们是如何应用法向量来计算相关空间角和距离的.1．求直线和平面所成的角如图1，已知PA 为平面α的一条斜线，n 为平面α的一个法向量，过P 作平面α的垂线PO 于O ，连结OA ，则∠PAO 为斜线PA 和平面α所成的角记为θ，易得： ||sin |cos ,||cos ,|||||n PA OP PA n PA n PA θ∙===. nPO图12．求二面角的大小在二面角βα--l 中，1n 和2n 分别为平面α和β的法向量，若二面角βα--l 的大小为θ，则12|cos ||cos ,|n n θ==1212||||||n n n n ∙(依据两平面法向量的方向或实际图形来确定θ是锐角或是钝角).3．求点到平面的距离如图2，点P 为平面α外一点，点A 为平面α内的任一点，平面α的法向量为n ,过点P 作平面α的垂线PO 于O ，记∠OPA=θ，则点P 到平面α的距离为：||cos d PO PA θ==||||||||||||n PA n PA PA n PA n ∙∙==. 看来无论你取的平面法向量方向怎样，大小如何，最后算出来的角是一样的，最多只有互余或互补之分.平面法向量的大小、方向也不会影响距离的计算.提问：在求二面角时，一个平面的法向量与另一个平面的法向量可能因为坐标取值不同方向相同、方向相反或者不清楚方向，那么，我们怎样决定求出向量的夹角大小是二面角的大小还是二面角的补角的大小呢？回答：通过建立空间坐标系将几何问题代数化，把求二面角的大小转化为求平面法向量的夹角的大小，使原本繁琐的推理论证，变得思路清晰，操作程序化的运算，优越性显而易见.但是两个半平面的法向量所成的角与二面角“相等”或“互补”，确实是个学习难点.一般地，我们可以结合“图”观察决定取锐角或钝角（一般适用于图形便于观察的题），然而在二面角比较接近90或者图形放置的位置不适宜时，容易估错.下面介绍一个比较便于理解和使用的方法：若两个法向量的方向同时指向二面角的内部（或外部），则二面角的大小与法向量的夹角互补；若两个法向量的方向一个指向二面角的内部，一个指向外部，则二面角的大小与法向量的夹角相等。
(完整版)平面的法向量
∴平面 ABC 的单位法向量为(1， 2，2）或( 1，2， 2）.
3 33
33 3
例 如图，已知矩形 ABCD和矩形 ADEF所在平面互相垂直，点
M , N 分别在对角线 BD, AE上，且 BM 1 BD, AN 1 AE，
求证：MN // 平面CDE
3
3
简证：因为矩形ABCD和矩形ADEF 所在平面互相垂直u，uur所uuu以r uAuuBr，AD，
解: 在 内作不r与urm r,nu重r 合的任一直线g,在l, m, n, g
上取非零向量 l, m, n, g,因m与n相交,故向量m ,n
不平行,由共面向量定理,存在唯一实数(x, y),使
ur ur r r ur r ur r r
g xm yn , l g xl m yl n , l
3.
平面的向量表示：
AMgn
r
0
给定一点rA和一个向量 n,那么过点
l
r
A,以向量n 为法向量的平面是完全
确定的.
n
M
A
因为方向向量与法向量可以确定直线和 平面的位置，上节我们用直线的方向向量表 示了空间直线、平面间的平行
如何用平面的法向量表示空间两平面平 行、垂直的位置关系呢？
4. 两平面平行或重合、垂直的充要条件
则 n AB ，n AC .∵ AB (3, 4, 0) , AC (3, 0, 2)
∴
( x, ( x,
∴
yห้องสมุดไป่ตู้
z
y, z)
y, z)
3x 4
3x 2
(3, (3,
4, 0,
0) 2)
高二数学新教材选择性必修第一册1.4.1 空间向量的应用(一)(精讲)(解析版)
1.4.1 空间向量应用（一）考法一 平面的法向量【例1】（2020年广东潮州）如图已知ABCD 是直角梯形，∠ABC ＝90°，SA ⊥平面ABCD ，SA ＝AB ＝BC ＝1，AD ＝12，试建立适当的坐标系． (1)求平面ABCD 的一个法向量； (2)求平面SAB 的一个法向量； (3)求平面SCD 的一个法向量．【答案】见解析【解析】以点A 为原点，AD 、AB 、AS 所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A (0,0,0)，B (0,1,0)，C (1,1,0)，D ⎝⎛⎭⎫12，0，0，S (0,0,1)． (1)∵SA ⊥平面ABCD ，∴AS →＝(0,0,1)是平面ABCD 的一个法向量．(2)∵AD ⊥AB ，AD ⊥SA ，∴AD ⊥平面SAB ，∴AD →＝⎝⎛⎭⎫12，0，0是平面SAB 的一个法向量． (3)在平面SCD 中，DC →＝⎝⎛⎭⎫12，1，0，SC →＝(1,1，－1)．设平面SCD 的法向量是n ＝(x ，y ，z )， 则n ⊥DC →，n ⊥SC →，所以⎩⎪⎨⎪⎧ n ·DC →＝0，n ·SC →＝0，得方程组⎩⎪⎨⎪⎧12x ＋y ＝0，x ＋y －z ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2y ，z ＝－y ，令y＝－1，得x＝2，z＝1，∴n＝(2，－1,1)．【一隅三反】1．（2020年广东惠州）正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别为棱A1D1、A1B1的中点，在如图所示的空间直角坐标系中，求：(1)平面BDD1B1的一个法向量；(2)平面BDEF的一个法向量．【答案】见解析【解析】设正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的棱长为2，则D (0,0,0)，B (2,2,0)，A (2,0,0)，C (0,2,0)，E (1,0,2)． (1)连接AC (图略)，因为AC ⊥平面BDD 1B 1，所以AC →＝(－2,2,0)为平面BDD 1B 1的一个法向量． (2)DB →＝(2,2,0)，DE →＝(1,0,2)．设平面BDEF 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )．∴⎩⎪⎨⎪⎧n ·DB →＝0，n ·DE →＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋2y ＝0，x ＋2z ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ，z ＝－12x . 令x ＝2，得y ＝－2，z ＝－1.∴n ＝(2，－2，－1)即为平面BDEF 的一个法向量.2．（2019·涟水县第一中学高二月考）四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，,AC BD 为正方形ABCD 的对角线，给出下列命题：①BC 为平面P AD 的法向量； ②BD 为平面P AC 的法向量； ③CD 为直线AB 的方向向量；④直线BC 的方向向量一定是平面P AB 的法向量． 其中正确命题的序号是______________ 【答案】②，③，④【解析】①因为底面ABCD 是正方形，所以//BC AD ，由AD ⊂平面P AD 知BC 不是平面P AD 的法向量； ②由底面ABCD 是正方形知BD AC ⊥，因为PA ⊥底面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以PA BD ⊥，又PA AC A =，PA ⊂平面P AC ，AC ⊂平面P AC ，所以BD ⊥平面P AC ，BD 为平面P AC 的法向量，②正确；③因为底面ABCD 是正方形，所以//AB CD ，则CD 为直线AB 的方向向量，③正确； ④易知BC AB ⊥，因为PA ⊥底面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，所以PA BC ⊥，又PA AB A =，PA ⊂平面P AB ，AB平面P AB ，所以BC ⊥平面P AB ，故④正确.故答案为：②，③，④考点二 空间向量证明平行【例2】（2019年广东湛江二中周测）如图所示，平面P AD ⊥平面ABCD ，ABCD 为正方形，△P AD 是直角三角形，且P A ＝AD ＝2，E ，F ，G 分别是线段P A ，PD ，CD 的中点．（1）求证：PB ∥平面EFG . （2）证明平面EFG ∥平面PBC 【答案】见解析 【解析】证明 ∵平面P AD ⊥平面ABCD ，ABCD 为正方形，△P AD 是直角三角形，且P A ＝AD ，∴AB ，AP ，AD 两两垂直，以A 为坐标原点，AB ，AD ，AP 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz ，则A (0，0，0)，B (2，0，0)，C (2，2，0)， D (0，2，0)，P (0，0，2)，E (0，0，1)，F (0，1，1)，G (1，2，0)．∴PB →＝(2，0，－2)，FE →＝(0，－1，0)，FG →＝(1，1，－1)，设PB →＝sFE →＋tFG →， 即(2，0，－2)＝s (0，－1，0)＋t (1，1，－1)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧t ＝2，t －s ＝0，－t ＝－2，解得s ＝t ＝2，∴PB →＝2FE →＋2FG →，又∵FE →与FG →不共线，∴PB →，FE →与FG →共面．∵PB ⊄平面EFG ，∴PB ∥平面EFG . （2）证明 ∵EF →＝(0，1，0)，BC →＝(0，2，0)，∴BC →＝2EF →，∴BC ∥EF .又∵EF ⊄平面PBC ，BC ⊂平面PBC ，∴EF ∥平面PBC ，同理可证GF ∥PC ，从而得出GF ∥平面PBC .又EF ∩GF ＝F ，EF ，GF ⊂平面EFG ， ∴平面EFG ∥平面PBC .【一隅三反】1.在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是CC 1，B 1C 1的中点．求证：MN ∥平面A 1BD ． 【答案】见解析【解析】 法一 如图，以D 为原点，DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则D (0,0,0)，A 1(1,0,1)，B (1,1,0)，M ⎝⎛⎭⎫0，1，12，N ⎝⎛⎭⎫12，1，1，于是DA 1→＝(1,0,1)，DB →＝(1,1,0)，MN →＝⎝⎛⎭⎫12，0，12.设平面A 1BD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧n ⊥DA 1→，n ⊥DB →，即⎩⎪⎨⎪⎧n ·DA 1→＝x ＋z ＝0，n ·DB →＝x ＋y ＝0，取x ＝1，则y ＝－1，z ＝－1，∴平面A 1BD 的一个法向量为n ＝(1，－1，－1)．又MN →·n ＝⎝⎛⎭⎫12，0，12·(1，－1，－1)＝0，∴MN →⊥n .∴MN ∥平面A 1BD ． 法二 MN →＝C 1N →－C 1M →＝12C 1B 1→－12C 1C →＝12(D 1A 1→－D 1D →)＝12DA 1→，∴MN →∥DA 1→，∴MN ∥平面A 1BD ．法三 MN →＝C 1N →－C 1M →＝12C 1B 1→－12C 1C →＝12DA →－12A 1A →＝12()DB →＋BA →－12()A 1B →＋BA →＝12DB →－12A 1B →. 即MN →可用A 1B →与DB →线性表示，故MN →与A 1B →，DB →是共面向量，故MN ∥平面A 1BD ．2．（2020·上海杨浦.复旦附中高二期中）已知平面α的一个法向量为(1,2,2),(2,1,0)n AB ==-，则直线AB 与平面α的位置关系为_______.【答案】直线AB 在平面α上或直线AB 与平面α平行【解析】由()12+21+200n AB ⋅=⨯-⨯⨯=，所以n AB ⊥.又向量n 为平面α的一个法向量. 所以直线AB 在平面α上或直线AB 与平面α平行. 故答案为：直线AB 在平面α上或直线AB 与平面α平行.3．（2019·江苏海陵.泰州中学高二月考）已知直线//l 平面α，且l 的一个方向向量为()2,,1a m =，平面α的一个法向量为11,,22n ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则m =______. 【答案】8-【解析】由题意，知a n ⊥，∴0a n ⋅=，即()12,,11,,202m ⎛⎫⋅= ⎪⎝⎭，∴8m =-. 故答案为：8-考法三 空间向量证垂直【例3】（2020.广东.田家炳中学）如图所示，正三棱柱(底面为正三角形的直三棱柱)ABC —A 1B 1C 1的所有棱长都为2，D 为CC 1的中点．求证：AB 1⊥平面A 1BD .【答案】见解析【解析】方法一 设平面A 1BD 内的任意一条直线m 的方向向量为m .由共面向量定理，则存在实数λ，μ，使m ＝λBA 1→＋μBD →.令BB 1→＝a ，BC →＝b ，BA →＝c ，显然它们不共面，并且|a |＝|b |＝|c |＝2，a ·b ＝a·c ＝0，b·c ＝2，以它们为空间的一个基底，则BA 1→＝a ＋c ，BD →＝12a ＋b ，AB 1→＝a －c ，m ＝λBA 1→＋μBD →＝⎝⎛⎭⎫λ＋12μa ＋μb ＋λc ， AB 1→·m ＝(a －c )·⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫λ＋12μa ＋μb ＋λc ＝4⎝⎛⎭⎫λ＋12μ－2μ－4λ＝0.故AB 1→⊥m ，结论得证． 方法二 取BC 的中点O ，连接AO . 因为△ABC 为正三角形，所以AO ⊥BC .因为在正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，平面ABC ⊥平面BCC 1B 1，且平面ABC ∩平面BCC 1B 1＝BC ，AO ⊂平面ABC ，所以AO ⊥平面BCC 1B 1.取B 1C 1的中点O 1，以O 为原点，分别以OB ，OO 1，OA 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系， 如图所示，则B (1，0，0)，D (－1，1，0)，A 1(0，2，3)，A (0，0，3)，B 1(1，2，0)． 设平面A 1BD 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，BA 1→＝(－1，2，3)，BD →＝(－2，1，0)． 因为n ⊥BA 1→，n ⊥BD →，故⎩⎪⎨⎪⎧n ·BA 1→＝0，n ·BD →＝0，即⎩⎨⎧－x ＋2y ＋3z ＝0，－2x ＋y ＝0，令x ＝1，则y ＝2，z ＝－3，故n ＝(1，2，－3)为平面A 1BD 的一个法向量， 而AB 1→＝(1，2，－3)，所以AB 1→＝n ，所以AB 1→∥n ，故AB 1⊥平面A 1BD .【一隅三反】1．（2018·浙江高三其他）已知平面α的法向量为(2,2,4)n =-，(1,1,2)AB =--，则直线AB 与平面α的位置关系为（ ） A ．AB α⊥ B ．AB α⊂C ．AB 与α相交但不垂直D ．//AB α【答案】A 【解析】()()1,1,2,2,2,4,2,//,AB n n AB n AB AB α=--=-∴=-∴∴⊥.本题选择A 选项.2．（2020·安徽池州。
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rr
组
n r
a r
0
n ab
n b 0
⑷解方程组,取其中的一个解,即得法向量.
z 2.如图, ABCD是边长为 3 的正方形， DE 平面 ABCD， AF // DE ， DE 3AF ， BE
与平面 ABCD所成角为 600 .(Ⅰ)平面 BDE ；(Ⅱ)平面 ACE；(Ⅲ) 面 BDE⊥面 ACE
求平面的法向量
直线的方向向量
空间中任意一条直线 l 的位置可以由 l 上一 个定点 A 以及一个定方向确定.
P
r a
B
A
向量
r a
uuur uuur AB，AP
称为直线ｌ的方向向量
r 平面的法向量：如果表示向量 n的有向线段所在
直线垂直于r平面 ，则称r这个向量垂直于平r
面 ,记作 n⊥ ，如果 n⊥ ，那 么 向 量n
E
FD
Ax
C
y
B
4.如图，在四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 为直角梯形，AD//BC，∠ADC=90°，
平面 PAD⊥底面 ABCD，Q 为 AD 的中点，M 是棱 PC 上的点，PA=PD=2， BC= 1 AD=1，CD= 3 ．
2
（Ⅰ）若点 M 是棱 PC 的中点，求平面 BMQ 的法向量；
叫做平面 的法向量.
l
r
几点注意：
n
1.法向量一定是非零向量;
2.一个平面的所有法向量都
A
互相平行;
z 1. 如 图 ， 在 四 棱 锥 P ABCD 中 ， 底 面 ABCD 为 直 角 梯 形 ， 且 AD // BC ， ABC PAD 90 ，侧面 PAD 底面 ABCD . 若 PA AB BC 1 AD . 2
z
（Ⅱ）求证：平面 PQB⊥平面 PAD；
P
D Q A
x
M
C B
y
rr
设直线 l, m 的方向向量分别为 a, b ，平面 ,
rr 的法向量分别为 u, v ，则
r r rr
线线垂直 l ⊥ m a ⊥ b a b 0 ；
rr r r
线线平行 l ∥ m ra ∥ br ar kbr；来自ADE
F
B
G
C
2013年全国新课标Ⅰ卷 18题
如 图 ， 直 棱 柱ABC A1B1C1中 ，D, E分 别 是AB, BBz 1的
中点，AA1 AC CB
2 AB. 2
(1)证 明 ：BC1 //平 面A1CD;
x
y
2013年全国新课标Ⅰ卷 18题
如图，直棱柱ABC
A1B1C1中，D,
E分别是AB,
z
BB1的
中点，AA1 AC CB
2 AB. 2
y
x
感谢下 载
线面垂直 l ⊥ ar ∥ ur ar rku ；
线面平行 l ∥ a u a u 0 ；
面面垂直 ⊥ ur⊥ vr ur v r0. 面面平行 ∥ u ∥ v u kv.
注意：这里的线线平行包括线线重合，线面平行 包括线在面内，面面平行包括面面重合.
5.在如图的多面体中，EF ⊥平面 AEB ，AE EB , AD // EF ，EF // BC ，BC 2AD 4 ， EF 3， AE BE 2， G 是 BC 的中点． (Ⅰ)求平面 DEG 的法向量；(Ⅱ) 求证： BD EG ；
（Ⅰ）平面 ABCD
(2)平面 PAC ； （3）平面 PCD
.
P
A
B
x
C
Dy
问题:如何求平面的法向量? r
⑴设平面的法向量为 n ( x, y, z)
⑵找出(求出)平面内的两个不共线的向量的
r
r
坐标 a (a1,b1,c1),b (a2,b2,c2 )
⑶根据法向量的定义建立关于 x, y, z 的方程