圆锥曲线常用公式
圆锥曲线的标准方程公式
圆锥曲线的标准方程公式
圆锥曲线的标准方程公式是数学中用于描述圆锥曲线几何性质的方程形式。
圆锥曲线包括圆、椭圆、双曲线和抛物线。
每种曲线都有其独特的标准方程形式。
1. 圆的标准方程公式:
圆的标准方程公式是(x - h)² + (y - k)² = r²，其中圆心坐标为(h, k)，半径为r。
这个方程描述了平面上所有到圆心距离等于半径的点的集合。
2. 椭圆的标准方程公式:
椭圆的标准方程公式是(x²/a²) + (y²/b²) = 1，其中a和b分别代表椭圆的长轴
和短轴的半长。
这个方程描述了平面上到椭圆两个焦点的距离之和等于常数2a的
点的集合。
3. 双曲线的标准方程公式:
双曲线的标准方程公式可以分为两种形式：(x²/a²) - (y²/b²) = 1和(y²/a²) - (x²/b²) = 1，其中a和b分别代表双曲线的焦点到中心的距离和横轴/纵轴的半长。
这个方
程描述了平面上到双曲线两个焦点的距离之差等于常数2a的点的集合。
4. 抛物线的标准方程公式:
抛物线的标准方程公式可以分为两种形式：y² = 4ax和x² = 4ay，其中a为抛物线的焦点到顶点的距离。
这个方程描述了平面上到抛物线焦点的距离等于焦点到顶点距离的某个倍数的点的集合。
通过这些标准方程公式，我们可以方便地描述和理解圆锥曲线的形状和性质。
它们在几何、物理、工程等领域中都有广泛的应用。
圆锥曲线公式大全
圆锥曲线公式大全(总7页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--圆锥曲线知识考点一、直线与方程1、倾斜角与斜率：1212180＜α≤0(tan x x y y --==）α 2、直线方程：⑴点斜式：直线l 经过点),(000y x P ，且斜率为k ： ()00x x k y y -=- ⑵斜截式：已知直线l 的斜率为k ，且与y 轴的交点为),0(b ：b kx y += ⑶两点式：已知两点),(),,(222211y x P x x P 其中),(2121y y x x ≠≠：121121y y y y x x x x --=-- ⑷截距式：已知直线l 与x 轴的交点为A )0,(a ，与y 轴的交点为B ),0(b ：1x y a b+= ⑸一般式：0=++C By Ax （A 、B 不同时为0， 斜率BAk -=，y 轴截距为BC -） (6)k 不存在⇔a x b a x o=⇔⇔=）的直线方程为过（轴垂直,90α3、直线之间的关系：222111:,:b x k y l b x k y l +=+=⑴平行：{⇔⇔≠=21212121//b b k k k k l l 且都不存在，212121C C B B A A ≠=⑵垂直：{⇔⇔⊥-=⇔-==21212111.021k k k k k k l l 不存在，02121=+B B A A⑶平行系方程：与直线0=++C By Ax 平行的方程设为：0=++m By Ax⑷垂直系方程：与直线0=++C By Ax 垂直的方程设为：0=++n Ay Bx⑸定点(交点)系方程：过两条直线:,0:22221111=++=++C y B x A l C y B x A l 的交点的方程设为：0)(222111=+++++C y B x A C y B x A λ反之直线0)(222111=+++++C y B x A C y B x A λ中，λ取任何一切实数R ，则直线一定过定点),(00y x ，即0:,0:22221111=++=++C y B x A l C y B x A l 两条直线的交点),(0y x4、距离公式：（1）两点间距离公式：两点),(),,(222211y x P x x P ：()()21221221y y x x P P -+-=（2）点到直线距离公式:点),(00y x P 到直线0:=++C By Ax l 的距离为2200BA CBy Ax d +++=（3）两平行线间的距离公式：1l ：01=++C By Ax 与2l ：02=++C By Ax 平行，则2221BA C C d +-=二、圆与方程 1、圆的方程：⑴标准方程：()()222r b y a x =-+- 其中圆心为(,)a b ，半径为r .⑵一般方程：022=++++F Ey Dx y x (0422>-+F E D )其中圆心为(,)22D E --，半径为r =2、直线与圆的位置关系 点),(00y x 和圆222)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种：222222222)()()(rb y a x r b y a x rb y a x >-+-⇔=-+-⇔<-+-⇔）（点在圆外）（点在圆上）（点在圆内直线0=++C By Ax 与圆222)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种:0<∆⇔⇔>相离r d ; 0=∆⇔⇔=相切r d ;0>∆⇔⇔<相交r d .切线方程：（1）当点),(00y x P 在圆222r y x =+上⇔200r y y x x =+ 圆222)()(r b y a x =-+-⇔200))(())((r b y b y a x a x =--+-- （2）当点),(00y x P 在圆222r y x =+外，则设直线方程()00x x k y y -=-，并利用d=r 求出斜率，即可求出直线方程【备注：切线方程一定是两条，考虑特殊直线k 不存在】④弦长公式：222||d r AB -=2212121()4k x x x x =+-- 3、两圆位置关系：21O O d =⑴外离：r R d +> ⇔有4条公切线 ⑵外切：r R d += ⇔有3条公切线 ⑶相交：r R d r R +<<- ⇔有2条公切线 ⑷内切：r R d -= ⇔有1条公切线 ⑸内含：r R d -< ⇔有0条公切线三、圆锥曲线与方程1．椭圆焦点的位置 焦点在x 轴上 焦点在y 轴上图形标准方程()222210x y a b a b+=>> ()222210y x a b a b+=>> 第一定义到两定点21F F 、的距离之和等于常数2a ，即21||||2MF MF a +=（212||a F F >）第二定义 与一定点的距离和到一定直线的距离之比为常数e ，即(01)MFe e d=<< 范围a x a -≤≤且b y b -≤≤ b x b -≤≤且a y a -≤≤2．双曲线顶点 ()1,0a A -、()2,0a A ()10,b B -、()20,b B ()10,a A -、()20,a A()1,0b B -、()2,0b B轴长 长轴的长2a = 短轴的长2b = 对称性 关于x 轴、y 轴对称，关于原点中心对称焦点 ()1,0F c -、()2,0F c ()10,F c -、()20,F c焦距 222122()F F c c a b ==-离心率 22222221(01)c c a b b e e a a a a-====-<<准线方程 2a x c=±2a y c=±焦半径 0,0()M x y 左焦半径：10MF a ex =+ 右焦半径：20MF a ex =-下焦半径：10MF a ey =+ 上焦半径：20MF a ey =-焦点三角形面积12212tan()2MF F S b F MF θθ∆==∠021s 21y c in PF PF •=••=θ 通径过焦点且垂直于长轴的弦叫通径： ab 22焦点的位置焦点在x 轴上 焦点在y 轴上图形标准方程()222210,0x y a b a b -=>> ()222210,0y x a b a b -=>> 第一定义到两定点21F F 、的距离之差的绝对值等于常数2a ，即21||||2MF MF a -=（2102||a F F <<） 第二定义 与一定点的距离和到一定直线的距离之比为常数e ，即(1)MFe e d=>【备注】1、双曲线和其渐近线得关系：由双曲线求渐进线：x a b y a x b y a x b y b y a x b y a x ±=⇒±=⇒=⇒=-⇒=-22222222222201由渐进线求双曲线：λ=-⇒=-⇒=⇒±=⇒±=2222222222220by a x b y a x a x b y a x b y x a b y2．等轴双曲线⇔实轴和虚轴等长的双曲线⇔其离心率e ＝2⇔渐近线x ±=y⇔方程设为λ=-22y x2、求弦长的方法： ①求交点，利用两点间距离公式求弦长； ②弦长公式 ） （消y x x x x k x x k l ]4))[(1(1212212212-++=-+=五、.直线与圆锥曲线的关系1、直线与圆锥曲线的关系如：直线y ＝kx ＋b 与椭圆x 2a 2+y 2b2＝1 (a >b >0)的位置关系：图形标准方程 22y px = ()0p >22y px =- ()0p >22x py = ()0p >22x py =- ()0p >开口方向 向右 向左 向上 向下定义 与一定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线(定点F 不在定直线l 上)顶点 ()0,0离心率 1e =对称轴 x 轴y 轴范围0x ≥0x ≤0y ≥0y ≤焦点 ,02p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭ ,02p F ⎛⎫- ⎪⎝⎭ 0,2p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭0,2p F ⎛⎫- ⎪⎝⎭准线方程 2px =-2px =2p y =-2p y =焦半径 0,0()M x y 02pMF x =+02pMF x =-+02pMF y =+02p MF y =-+通径 过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦称为通径：2HH p '=焦点弦长 公式 12AB x x p =++参数p几何意义参数p 表示焦点到准线的距离，p 越大，开口越阔直线与椭圆相交?⎩⎨⎧ y ＝kx ＋bx 2a 2＋y2b 2＝1⇔有2组实数解，即Δ>0.直线与椭圆相切?⎩⎨⎧ y ＝kx ＋bx 2a 2＋y2b 2＝1⇔有1组实数解，即Δ=0，直线与椭圆相离⎩⎨⎧y ＝kx ＋bx 2a 2＋y2b 2＝1⇔没有实数解，即Δ<【备注】（1）韦达定理（根与系数的关系）{AB x AC x C By Ax x -=+=⇔=++2121x .x 210x 的两根方程和则有21221214)(||xx x x x x -+=-（2）{b kx y bkx y +=+=1122则有下列结论b x x k y y ++=+)(2121)(2121x x k y y -=-22121221)(b x x k x x k y y +++=③、与弦的中点有关的问题常用“点差法”：把弦的两端点坐标代入圆锥曲线方程，作差→弦的斜率与中点的关系；0202y a x b k -=（椭圆） 0202y a x b k =（双曲线）3、关于抛物线焦点弦的几个结论（了解）设AB 为过抛物线22(0)y px p =>焦点的弦，1122(,)(,)A x y B x y 、，直线AB 的倾斜角为θ，则⑴ 221212,;4p x x y y p ==- ⑵ 22;sin p AB θ=⑶ 以AB 为直径的圆与准线相切；π；⑸112. ||||FA FB P+=⑷焦点F对A B、在准线上射影的张角为2。
圆锥曲线常用公式
7.双曲线的标准方程：
若焦点在X轴上：
x2 y 2 2 1 a 0, b 0 2 a b
焦点坐标为： 渐近线方程：
F1 c, 0 F2 c, 0
c a b
2 2
2
e
c a
b y x a
x2 y 2 若焦点在Y轴上： 2 2 1 a 0, b 0 b a
x2 y 2 6..弦长公式（椭圆与直线）设椭圆 2 2 1 a b 0 ，直线的斜率为 K , 其 a b
与椭圆有两个交点 A x1 , y1 B x2 , y2 ，则弦
AB 的长为
AB 1 K 2 x1 x2 1
1 y1 y2 2 K
焦点坐标为： F1 c, 0 F2 c, 0
a b c
2 22Biblioteka ec ax2 y 2 若焦点在Y轴上： 2 2 1 a b 0 b a
焦点坐标为： F1 0, c
F2 0, c
a 2 b2 c 2
e
c a
5.求两条曲线交点的坐标（联立方程组）
焦点坐标为： F1
0, c
a y x b
F2 0, c
c a b
2 2
2
e
c a
渐近线方程：
8.抛物线的标准方程： 若焦点在X轴上：
y 2 2 px p 0
焦点坐标为：
p ,0 2
2
若焦点在Y轴上： x 焦点坐标为：
2 py p 0
圆锥曲线常用知识
1.点到点的距离公式：设A
x1 , y1
， B x2 , y2 ，则A到B距离为：
圆锥曲线基本公式
圆锥曲线基本公式圆锥曲线是数学中重要的几何概念之一，它由圆锥与一个平面相交而形成。
圆锥曲线的基本公式包括椭圆、双曲线和抛物线。
首先，我们来看椭圆。
椭圆是圆锥和平面相交时，平面与圆锥轴线之间的夹角小于圆锥的母线夹角的情况。
椭圆的基本公式可以表示为：（x-h）^2/a^2 +（y-k）^2/b^2 = 1其中，（h，k）为椭圆的中心点坐标，a为椭圆长轴的半长，b为椭圆短轴的半长。
这个公式是椭圆的标准方程，通过改变参数a和b的值可以调整椭圆的形状和大小。
其次，我们来看双曲线。
双曲线是圆锥与平面相交时，平面与圆锥轴线之间的夹角大于圆锥的母线夹角的情况。
双曲线的基本公式可以表示为：（x-h）^2/a^2 -（y-k）^2/b^2 = 1或（y-k）^2/b^2 -（x-h）^2/a^2 = 1其中，（h，k）为双曲线的中心点坐标，a和b分别为双曲线的长轴半长和短轴半长。
这两个公式分别对应于双曲线的横轴和纵轴方向，通过改变参数a和b的值可以调整双曲线的形状和大小。
最后，我们来看抛物线。
抛物线是圆锥与平面相交时，平面与圆锥轴线之间的夹角等于圆锥的母线夹角的情况。
抛物线的基本公式可以表示为：y = ax^2 + bx + c其中，a、b和c为常数，通过改变这些常数的值可以调整抛物线的形状，例如改变a的正负可以使抛物线开口朝上或朝下。
除了基本公式，圆锥曲线还有许多性质和特点值得研究。
例如，椭圆的离心率小于1，而双曲线的离心率大于1。
离心率是描述圆锥曲线形状的一个重要指标，它是与圆锥曲线焦点之间的距离比上椭圆长轴或双曲线的实际距离的比值。
离心率越接近于0，圆锥曲线越接近于圆形；离心率越大，圆锥曲线的形状越扁平。
此外，圆锥曲线还有许多重要的性质和应用，例如在天文学中描述行星轨道、在物理学中描述抛物线运动等。
总之，圆锥曲线是数学中重要且有趣的概念，它的基本公式包括椭圆、双曲线和抛物线。
通过这些公式及其性质，我们可以研究和描述各种各样的曲线形状和特点。
圆锥曲线全部公式及概念
1. 椭圆l τ + ∑- = i(a>b>O)的参数方程是V Cr Zr 2,2»2准线到中心的距离为L ,焦点到对应准线的距离(焦准距)p =—・通径的一半(焦参数)：丄.C Ca2 22. 椭圆∆τ + l τ = l(rt >∕7>θ)焦半径公式及两焦半径与焦距构成三角形的面积： Cr Zr| PF l | = e(x + —) = a+ ex , ∖PF 21 = e(-— X) = U-ex ↑ S 斗严；=b 2 tan '丫 F22 223.椭圆的的内外部：(1)点PesyO)在椭圆丄v + L = l(α>b>0)的内部O⅛- + ⅛<l. Cr 泸Cr b'2 2 2 2(2)点 P(X o o to)在椭圆上τ +丄r = l(α>b>O)的外部 <≠>⅛ + ⅛>ι.Cr Zr Cr Zr的距离(焦准距)P = — •通径的一半(焦参数)：— C a5. 双曲线的内外部：(1)点P(X o o tO)在双曲线=Cr Ir/2 2 2 2 ⑵点P(X (P y 0)在双曲线一一二~ = l(α > 0,b > 0)的外部o —⅛■-汙V1・Cr IrCr Zr6. 双曲线的方程与渐近线方程的关系：(1)若双曲线方程为二一二=1二>渐近线方程：Δ1-22 = O^> y = ±-χ・α~ Ir Cr 少a-> 2A χ∙ V r β,V*⑵若渐近线方程为y = ±-x<=>-±- = O=>¾曲线可设为r — — = λ・ a a b Cr Zr2 22 2⑶若双曲线与亠一亠=1有公共渐近线，可设为=T 一亠=λCr XCr Ir(λ>0,焦点在X 轴上；九<0,焦点在y 轴上)・ (4)焦点到渐近线的距离总是b ∙7. 抛物线y 2= 2px 的焦半径公式：拋物线y 2=2px(p>0)焦半径ICFI = X O + -^・ 过焦点弦长IcQl = “+上+心+ £ = “+“ + 〃 . 2 2 28. 拋物线y 2 = IPX JL 的动点可设为P(±-,儿)或P(2∕"[2p∕) P(x , V ),其中y 2= 2PX ・2 P '•、 b A ,ac — b~9. 二次函数y = ax 1 +bx + c = a(x + —)2+ ------------- (a ≠ 0)的图象是抛物线：(1 )顶点坐标为Ia 4aZb 4“C — b~ z. .. ... I . . h ^CIC — /?" +1、 Z -S Λ /V ∙ z t , CT^CIC — b~ — 1 ,—:——)：(2)焦点的坐标为,——； ---------------- ):(3)准线万程是y = IABl = 5J(1+^2)(X 2 "ΛI )2 =I 比 _兀21 Vl +tan 2 a =I y l _y 21 √l + c^t 2ay = kx + b . .α(弦端点ACv 1,y 1X B(X^y 2),由方程<消去y 得到αL +bx + c = O 9 Δ>0, α为直线AB 的圆锥曲线X = Cl COS θ 亠 亠 C• 离心率£ =—= y = bs ∖nθ aV»*■ C 4. 双曲线亠一 — = 1(« > 0.Z? > 0)的离心^e =— a ∕Γa • 2ι2 「，准线到中心的距离为∙，焦点到对应准线 焦半径公式\PF }\ =I e(x + —) I=I a + <?xI, ∖PF 2∖ =I e(-^x) I=I a-ex ∖9 C 两焦半径与焦距构成三角形的面积S λj.ιp l .y = b 2 COt 'F'] F .2 22L = l(">0d>0)的内部 o ⅛-4>l. • - Cr Zr2a 4a2a 4a" 4a10. 以抛物线上的点为圆心，焦半径为半径的圆必与准线相切：以拋物线焦点弦为直径的圆，必与准线相切; 以抛物线的焦半径为直径的圆必与过顶点垂直于轴的直线相切・11. 直线与圆锥曲线相交的弦长公式：IABI = √(x 1-x 2)2+(y 1-y 2)2或F(x,y) = O倾斜角，&为直线的斜率，I召I= J(XI +心)‘ _4召心・12.圆锥曲线的两类对称问题：(1)曲线F(X,y) = O关于点P(X o,儿)成中心对称的曲线是F(2x0-x t2y0 -y)=0.(2)曲线F(X,y) = 0关于直线Av + Bv + C = O成轴对称的曲线是—2A(Ar + By+ C) 2B(Ax + By + C)x CFa ------ —R——、y --------- -V———)=0・√Γ+歹A" + B'特别地，曲线F(X9 y) = 0关于原点O成中心对称的曲线是F(-x,-y) = 0・曲线F(X9 y) = 0关于直线X轴对称的曲线是F(X^y) = 0.曲线F(X9 y) = 0关于直线y轴对称的曲线是F(-x, y) = 0・曲线F(X9 y) = 0关于直线y = x轴对称的曲线是F{y.x) = 0.曲线F(X,y) = 0关于直线y = -x轴对称的曲线是F(-y,-x) = 0・13 •圆锥曲线的第二定艾：动点M到定点F的距离与到定直线/的距离之比为常数£,若0 VfVl, M的轨迹为椭圆；若e = ∖9 M的轨迹为抛物线；若e>∖9 M的轨迹为双曲线.注意：J还记得圆锥曲线的两种定义吗解有关题是否会联想到这两个定狡2、还记得圆锥曲线方程中的：2(1)在椭圆中：α是长半轴，〃是短半轴，C是半焦距，其中b2 =a2-C29 f = (Ovwvl)是离心率，—a C• 2. 2是准心距，-L是准焦距，-L是半通径.C a2(2)在双曲线中："是实半轴，b是虚半轴，C是半焦距，其中b2 =c2-a29 e = -∖e>l)是离心率，L是a C准心距，伫是准焦距，冬是半通径.C a(3)在抛物线中：0是准焦距，也是半通径.3、在利用圆锥曲线统一定狡解题吋，你是否注意到定艾中的定比的分子分母的顺序(到定点的距离比到定直线的距离)4、离心率的大小与曲线的形状有何关系(圆扁程度，张口大小)等轴双曲线的离心率是多少(0 = √Σ)5、在用圖锥曲线与直线联立求解时，消元后得到的方程中要注意：二次项的系数是否为零判别式A 2 0的限制. (求交点，弦长，中点，斜率，对称，存在性问题都在Δ >0下进行).注意：尤其在求双曲线与直线的交点时：当A>0时：直线与双曲线有两个交点(包括直线与双曲线一支交于两点和直线与双曲线两支各交于一点两种情况)：当A = O时，直线与双曲线有且只有一个交点(此时称指向与双曲线相切)，反之，当直线与双曲线只有一个交点时，直线与双曲线不一定相切，此时直线与双曲线的一条渐近线平行，当AvO时，直线与双曲线没有交点.6、椭圆中，注意焦点.中心.短轴端点所组成的直角三角形•此时Cr =b2+c2・7、通径是抛物线的所有焦点弦中最短的弦.(想一想在双曲线中的结论)8、你知道椭圆、双曲线标准方程中aj∖c之间关系的差异吗9、如果直线与双曲线的渐近线平行吋，直线与双曲线相交，只有一个交点；如果直线与拋扬线的轴平行时，直线与抛物线相交，只有一个交点•此时两个方程联立，消元后为方程变为一次方程.椭圆练习1・过椭圆二+二=1 (a>b>O)的左焦点F I任做一条不与长轴重合的弦AB, F2为椭圆的右焦点，則AABA的周长是/ b^( )(A)2a (B)4a (C)2b (D) 4b2•设a,beR.a2+2b2 =6,则α + b 的最小值是( )(A) - 2√2 (B)-垃(0-3 (D)-2323. 椭圆的两个焦点和短轴的两个顶点，是一个含60°角的菱形的四个顶点，则椭圆的离心率为( )(A)丄 (B)遇 (C)遇 (D)丄或遇2 23 2 24. 设常数m>0,椭圆x 2+m 2y 2=m 2的长轴是短轴的两倍，則m 的值等于( )(A) 2(B) √2(C) 2 或丄 (D) √Σ 或空2 22 25. 过椭圆二+ L = l(°>b> 0)的左焦点片作X 轴的垂线交椭圆于点P,化为右焦点，若ZF i PF. = 60 ,则Cr "椭圆的离心率为()(A)^⑻迟 (C)I(D)I23236. 如果椭圆的两个焦点将长轴分成三等份，那么这个椭圆的两条准线间的距离是焦距的() (A) 18 倍 (B) 12 倍 (C) 9 倍 (D) 4 倍7. 当关于X, y 的方程X 2Sin^ -y 2COSCr=I 表示的曲线为椭圆时，方程(x+cos α)'+(y+ Sinaf)Jl 所表示的圆的國心在()(A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限8. 已知椭圆的焦点为F b F 2,P 是椭圆上的一个动点，如果延长F 卩到Q,使得I PQ I=I PF 2I,那么动点Q 的轨迹是( )(A)圆 (B)椭圆 (C)直线 (D)其它9. 已知椭圆—÷-= 1与圆(χ-a)⅛Λ=9有公共点，则a 的取值范围是()9 4 (A)-6<a<6(B)0<a≤5(C)a 2<25(D) ∣a∣≤610•设椭圆的两个焦点分别为F-、F 2,过F?作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P,若AFPFz 为等腰直角三角形，则椭 圆的离心率是()(A)YZ(B)幺二！ (C) 2-√2(D) √2-l2 2SS11. 在椭圆—÷γ-≈ 1上取三点，其横坐标满足X I +×3=2X 2,三点依次与某一焦点连结的线段长为r b r 2, r 3,则有 α∙ b・I I 7()(A) r b r 2, r 3成等差数列 (B)丄+丄=二 (C) r b r 2,r 3^等比数列 (C)以上都不对 12•已知椭圆C ι- + y 2= 1的右焦点为F,右准线为/,点Ae/ ,线段4F 交C 于点B,若FA = 3FB, »■]2伍若椭圆之+「I 的离心率是、则W*16 •椭圆X 2COs 2 α +y 2=1 (0< a <ΛR, a≠ y )的半长轴= ------- ,半短轴= -------- ,半焦距= -------- ,离心率= ----------------- = --------- ,則该椭圆的离心率的取值范围为 ____________________ ・(A) (0.1)(B) (0.1)(0(0,#)(D)哼,1)13.已知片、耳是椭國的两个焦点，满足・"庁=0的点M 总在椭圆内部•则椭圆离心率的取值范围是()14. 一个椭圆中心在原点，焦点斤、C 在X 轴上，P (2, √J)是椭圆上一点，且1卩斤1、1斥巴I 、IP 耳I 成等差数列，則椭圆方程为()(A) ⅞4- ⑻护汀<C) ⅜÷⅞ = ∙ I 丽二()(A) √2 (B) 2 (C)^(D) 317.已知椭圆⅛4= ↑(a>b>O)的左、 右焦点分别为斤(一c,0),耳(c,0), 若椭圆上存在一点P 使Sin PI71F2 Sin PF l F X是椭圆二+ 2_ = i上的一A,F I,F2是椭圆的焦点，且ZF I MF2=9O o,则ZkFNF?的面积等于9 419•与圆(x+1)2+y2=1相外切，且与IS(X-I)2÷y2=9相内切的动圆圆心的轨迹方程是X = 4COSa , …Ir20•设椭圆( L (□为参数)上一点P与X轴正向所成角ZPOx=-, 点P的坐标是y = 2√3 Sin a 321.在平面直角坐标系.9y中，椭E)4÷4 = 1G∕>∕7>O)的焦距为2c,以0为圆心，为半径作圆M ,若过P(Qe) Cr Iy C作圆M的两条切线相互垂直，则椭圆的离心率为 _________________22•已知直线/ : y=mx+b,椭圆C: (A ^.I)÷y2=1,若对任意实数叫/与C总有公共点，則a, b应满足的条件“是 _________ •23•椭圆F=4cos0 (。
圆锥曲线公式及知识点总结
圆锥曲线公式及知识点总结圆锥曲线的统一定义：到定点的距离与到定直线的距离的商是常数e的点的轨迹。
数学里有很多公式，为了帮助大家更好的学习数学，小编特地为大家整理了圆锥曲线公式及知识点总结，希望对大家的数学学习有帮助。
圆锥曲线公式：椭圆1、中心在原点，焦点在x轴上的椭圆标准方程：其中x²/a²+y²/b²=1,其中a>b>0,c²=a²-b²2、中心在原点，焦点在y轴上的椭圆标准方程：y²/a²+x²/b²=1,其中a>b>0,c²=a²-b²参数方程：x=acosθ;y=bsinθ(θ为参数，0≤θ≤2π)圆锥曲线公式：双曲线1、中心在原点，焦点在x轴上的双曲线标准方程：x²/a-y²/b²=1,其中a>0，b>0，c²=a²+b².2、中心在原点，焦点在y轴上的双曲线标准方程：y²/a²-x²/b²=1,其中a>0，b>0，c²=a²+b².参数方程：x=asecθ;y=btanθ(θ为参数)圆锥曲线公式：抛物线参数方程:x=2pt²；y=2pt(t为参数)t=1/tanθ(tanθ为曲线上点与坐标原点确定直线的斜率)特别地，t可等于0直角坐标:y=ax²+bx+c(开口方向为y轴，a≠0)x=ay²+by+c(开口方向为x轴，a≠0)离心率椭圆，双曲线，抛物线这些圆锥曲线有统一的定义：平面上，到定点的距离与到定直线的距离的比e是常数的点的轨迹叫做圆锥曲线。
且当01时为双曲线。
圆锥曲线公式知识点总结圆锥曲线椭圆双曲线抛物线标准方程x²/a²+y²/b²=1(a>b>0)x²/a²-y²/b²=1(a>0,b>0)y²=2px(p>0)范围x∈[-a,a]x∈(-∞，-a]∪[a,+∞)x∈[0,+∞)y∈[-b,b]y∈Ry∈R对称性关于x轴，y轴，原点对称关于x轴，y轴，原点对称关于x轴对称顶点(a,0),(-a,0),(0,b),(0,-b)(a,0),(-a,0)(0,0)焦点(c,0),(-c,0)(c,0),(-c,0) (p/2,0)【其中c²=a²-b²】【其中c²=a²+b²】准线x=±a²/cx=±a²/cx=-p/2渐近线——————y=±(b/a)x—————离心率。
高中数学易错点及数学圆锥曲线公式大全
高中数学易错点及数学圆锥曲线公式大全在每年的高考中,有关圆锥曲线的试题约占全卷总分的13%，是相当重要的考点。
下面小编整理了《高中数学圆锥曲线公式大全》，欢迎阅读。
高中数学圆锥曲线公式大全1.焦半径公式，P为椭圆上任意一点，则│PF1│= a + eXo│PF2│= a - eXo(F1 F2分别为其左，右焦点)2.通径长 = 2b?/a3.焦点三角形面积公式S⊿PF1F2 = b?tan(θ/2) (θ为∠F1PF2)(这个可能有点难理解，不过结合第一定义可以较快的推，双曲线的也是同样方法)4.(左)准点Q (自己取的名字方便叙述，准线与X轴的焦点)过左焦点F1的任意一条线与椭圆交与A ，B 那么一定有：X轴平分∠AQB(在右边也是一样)1.通径就不说了2.焦半径公式(有8个，很难打符号的，不过可以根据极坐标方程来直接解答，比焦半径公式还快一些)3.焦点三角形面积公式S⊿PF1F2 =b?cot(θ/2) (左右支都是它)y?=2px (p>0)过焦点的直线交它于A(X1,Y1),B(X2,Y2)两点1.│AB│=X1 + X2 + p =2p/sin?θ (θ为直线AB的倾斜角)2. Y1*Y2 = -p? ， X1*X2 = p?/43.1/│FA│ + 1/│FB│ = 2/p4.结论：以AB 为直径的圆与抛物线的准线线切5.焦半径公式：│FA│= X1 + p/2 = p/(1-cosθ)直线与圆锥曲线 y= F(x) 相交于A ，B，则│AB│=√(1+k?) * [√Δ/│a│]圆锥曲线包括椭圆(圆为椭圆的特例)，抛物线，双曲线。
圆锥曲线(二次曲线)的统一定义：到定点(焦点)的距离与到定直线(准线)的距离的商是常数e(离心率)的点的轨迹。
当e>1时，为双曲线的一支，当e=1时，为抛物线，当0有途网小编建议还是先研究书本的基本概念，掌握相关公式，图形特点，利用这些概念解决题目，之后再做习题。
极点极线及高中圆锥曲线必备公式
极点极线定义 已知圆锥曲线С: A x+B y+C x +D y +E=0与一点P(x 0,y 0) [其中A+B ≠0,点．P ．不在曲线中心和渐近线上．．．．．．．．．．．].则称点P 和直线L: A ∙x 0x +B ∙y 0y +C ∙x 0+x 2+D ∙y 0+y 2+E=0是圆锥曲线С的一对极点和极线.即在圆锥曲线方程中,以x 0x 替换x，以x 0+x 2替换x ，以y 0y 替换y,以y 0+y2替换y 则可得到极点P(x 0,y 0)的极线方程L.特别地：(1)对于圆(x-a)+(y-b)=r ,与点P(x 0,y 0)对应的极线方程为(x 0-a)(x-a)+(y 0-b)(y-b)=r ；(2)对于椭圆x a +y b=1，与点P(x 0,y 0)对应的极线方程为x 0x a +y 0yb=1 ；(3)对于双曲线xa-yb=1，与点P(x0,y0)对应的极线方程为x0xa-y0yb=1；(4)对于抛物线y=2px，与点P(x0,y0)对应的极线方程为y0y=p(x0+x)；性质一般地,有如下性质[焦点所在区域为曲线内部．．．．．．．．．．．]:①若极点P在曲线С上,则极线L是曲线С在P点的切线；②若极点P在曲线С外,则极线L是过极点P作曲线С的两条切线的切点连线；③若极点P在曲线С内,则极线L在曲线С外且与以极点P为中点的弦平行[仅是斜率相等]( 若是圆,则此时中点弦的方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=(x0-a)+(y0-b)；若是椭圆,则此时中点弦的方程为x0xa +y0yb=x0a+y0b；若是双曲线,则此时中点弦的方程为x0xa-y0yb=x0a-y0b；若是抛物线,则此时中点弦的方程为y0y-p(x0+x)=y0-2px0)；④当P(x 0,y 0)为圆锥曲线的焦点F(c,0)时，极线恰为该圆锥曲线的准线．．；⑤极点极线的对偶性:Ⅰ.已知点P 和直线L 是关于曲线С的一对极点和极线,则L 上任一点Pn 对应的极线Ln 必过点P,反之亦然,任意过点P 的直线Ln 对应的极点Pn 必在直线L 上[图．中点．．P ．n ．与．直线．．Ln ．．是一对极点极线．．．．．．．]；Ⅱ.过点P 作曲线C 的两条割线L 1、L 2，L 1交曲线C 于AB ，L 2交曲线C 于MN ，则直线AM 、BN 的交点T ，直线AN 、BM 的交点S 必都落在点P 关于曲线C 的极线L 上 [图中点．．．P ．与．直线．．ST ．．是一对极点极线；点．．．．．．．．．T ．与直线．．．SP ．．是一对极点极线．．．．．．．] ；Ⅲ. 点P 是曲线C 的极点，它对应的极线为L ，则有: 1)若C 为椭圆或双曲线，O 是C 的中心，直线OP 交C 与R ，交L 于Q ，则OP ∙OQ=OR 即OP OR = OR OQ 椭圆如图双曲线如图2) 若曲线为抛物线，过点P 作对称轴的平行线交C 于R ，交L 于Q ，则PR=QR 如图中学数学中极点与极线知识的现状与应用虽然中学数学中没有提到极点极线,但事实上,它的身影随处可见,只是没有点破而已.教材内改名换姓,“视”而不“见”.由④可知椭圆xa+yb=1的焦点的极线方程为: x=ac.焦点与准线是圆锥曲线一章中的核心内容,它揭示了圆锥曲线的统一定义,更是高考的必考知识点.正是因为它太常见了,反而往往使我们“视”而不“见”.圆锥曲线基础必备极点极线例题。
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圆锥曲线常用公式
圆锥曲线常用公式是解析几何中经常用到的数学公式，用于描述圆锥曲线的形状和性质。
以下是关于几种常见圆锥曲线的公式：
1. 椭圆（Ellipse）：
一个椭圆可以用一个平面上的点P到两个固定点F1和F2的距离之和等于常数2a来定义，其中2a是椭圆的长轴长度。
该椭圆的公式可以表示为： x²/a² + y²/b² = 1
2. 双曲线（Hyperbola）：
双曲线可以用一个平面上的点P到两个固定点F1和F2的距离之差等于常数2a来定义，其中2a是双曲线的长轴长度。
该双曲线的公式可以表示为： x²/a² - y²/b² = 1
3. 抛物线（Parabola）：
抛物线可以用一个平面上的点P到一个固定点F的距离等于点P到一条直线l的距离来定义，其中F是焦点，l是准线。
该抛物线的公式可以表示为： y² = 4ax
这些是关于椭圆、双曲线和抛物线的常用公式，可以用于推导和解决与圆锥曲线相关的问题。
请注意，这些公式只给出了圆锥曲线的基本特征，实际问题中可能需要根据具体情况进行调整或应用其他相关公式。