【高考数学】圆锥曲线经典习题—抛物线大题合集4

【高考数学】圆锥曲线经典习题—抛物线大题合集4未命名一、解答题1．已知动圆M 恒过点(1,0)F ，且与直线l ：1x =-相切. （1）求动圆圆心M 的轨迹C 的方程；（2）探究在曲线C 上，是否存在异于原点的两点11(,)A x y ，22(,)B x y ，当1216y y =-时，直线AB 恒过定点？若存在，求出该定点坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）轨迹方程为24y x =；（2）直线AB 过定点(4,0). 【解析】(1)因为动圆M,过点F (1,0)且与直线:1l x =-相切, 所以圆心M 到F 的距离等于到直线l 的距离.根据抛物线的定义可以确定点M 的轨迹是抛物线，易求其方程.（II ）本小题属于存在性命题，先假设存在A,B 在24y x =上, 直线AB 的方程:211121()y y y y x x x x --=--,即AB 的方程为22121121()4y y y y y y x y +--=-,然后根据1216y y =-,∴AB 的方程为12()(164)0y y y x ++-=,从而可确定其所过定点.解：(1) 因为动圆M,过点F (1,0)且与直线:1l x =-相切, 所以圆心M 到F 的距离等于到直线l 的距离. …………2分 所以,点M 的轨迹是以F 为焦点,l 为准线的抛物线,且12p=,2p =, ……4分 所以所求的轨迹方程为24y x =……………6分 (2) 假设存在A,B 在24y x =上, …………7分 ∴直线AB 的方程:211121()y y y y x x x x --=--, …………9分即AB 的方程为:211124()4y y y x y y -=-+, …………10分 即22121121()4y y y y y y x y +--=-…………11分又∵1216y y =-∴AB 的方程为12()(164)0y y y x ++-=，…………12分令0y =,得4x =，所以,无论12,y y 为何值,直线AB 过定点(4,0) …………14分2．（Ⅰ）求以2220x y y +-=的圆心为焦点的抛物线方程；（Ⅱ）若00(,)P x y 为（Ⅰ）中所求抛物线上任意一点，求点P 到直线20x y --=的距离的最小值，并写出此时点P 的坐标． 【答案】（Ⅰ）24x y =（Ⅱ）()2,1P，最小值2【解析】 【分析】（Ⅰ）将圆的方程配成标准式，即可得出圆心坐标，利用抛物线的标准方程即可求解。

（Ⅱ）利用点到线的距离公式求最值。

【详解】 （Ⅰ）2220x y y +-=()2211x y ∴+-=故圆心坐标为(0,1)，同时抛物线焦点为(0,1)，故抛物线方程为24x y =；（Ⅱ）00(,)P x y 且在抛物线24x y =上，2004x y ∴=．从而点P 到直线20x y --=的距离为d ==≥，当02x = 即()2,1P 时，． 【点睛】本题考查圆的标准方程，求抛物线的标准方程及抛物线上的点到定直线的距离最值问题，属于一般题。

3．已知抛物线C 的顶点在原点，焦点在x 轴上，抛物线C 上一点(4,)M m 到其焦点的距离为6.（Ⅰ）求抛物线C 的标准方程；（Ⅱ）若抛物线C 与直线2y kx =-相交于不同的两点A 、B ，且线段AB 中点的横坐标为2，求实数k 的值. 【答案】（1）28y x =（2）2【解析】解：（Ⅰ）由题意设抛物线方程为，其准线方程为2px =-， （2分） ∵P （4，m ）到焦点的距离等于A 到其准线的距离,4642pp ∴+=∴= ∴抛物线C 的方程为（2分）（Ⅱ）由消去y ，得22(48)40k x k x -++=（2分）∵直线与抛物线相交于不同两点A 、B ，则有0,64(1)0k k ≠∆=+>，解得, （2分）又1222422x x k k++==，解得2,1k k ==-或（舍去） ∴所求k 的值为24．如图所示,已知点(,4)M a 是抛物线24y x =上一定点,直线AM BM 、的倾斜角互补,且与抛物线另交于A ，B 两个不同的点．(1)求点M 到其准线的距离； (2)求证：直线AB 的斜率为定值． 【答案】(1)5；(2)12- 【解析】 【分析】（1）把点M 的坐标代入抛物线的方程，求出点M 的坐标，然后根据抛物线的定义求出点M 到其准线的距离；（2）设出直线MA 的方程，与抛物线方程联立，得出A 的纵坐标，同理得出B 的纵坐标，由已知条件结合点差法推导出AB 的斜率表达式，把A ，B 的坐标代入，由此能证明直线AB 的斜率为定值． 【详解】（1）∵M （a ，4）是抛物线y 2＝4x 上一定点，∴42＝4a ，a ＝4，∵抛物线y 2＝4x 的准线方程为x ＝﹣1，故点M 到其准线的距离为5；（2）由题知直线MA 、MB 的斜率存在且不为0，设直线MA 的方程为：y ﹣4＝k （x ﹣4）；联立224(4)4161604y k x ky y k y x -=-⎧⇒--+=⎨=⎩，设(),A A A x y ，(),B B B x y ， 44A y k ∴+=，即44A y k=-， ∵直线AM BM 、的斜率互为相反数，∴直线MB 的方程为：4(4)y k x -=--， 同理可得：44B y k=--，由A ，B 两点都在抛物线y 2＝4x 上，∴ 2A A 4y x =，2B B 4y x =， 2241424A B A B AB A A B A B B y y y y k y y x x y y ∴====-+----，∴直线AB 的斜率为定值12-. 【点睛】本题考查了抛物线的定义,考查了直线与抛物线的位置关系,考查了一元二次方程根与系数关系，考查直线的斜率为定值的证明，属于中档题．5．已知1F ，2F 分别是椭圆E ：22221(0)x y a b a b +=＞＞的左，右焦点，点(P -在椭圆E 上，且抛物线24y x =的焦点是椭圆E 的一个焦点。

（1）求a ,b 的值：（2）过点2F 作不与x 轴重合的直线l ，设l 与圆2222x y a b +=+相交于A ，B 两点，且与椭圆E 相交于C ，D 两点，当111F A F B =⋅时，求△1F CD 的面积。

【答案】（1）1a b ==；（2）7.【解析】 【分析】（1）由已知根据抛物线和椭圆的定义和性质，可求出a ，b ；（2）设直线l 方程为1x ty =+，联立直线与圆的方程可以求出2t ，再联立直线和椭圆的方程化简，由根与系数的关系得到结论，继而求出面积． 【详解】（1）24y x ＝焦点为F （1，0），则F 1（1，0），F 2（1，0），122P F +P F a ＝＝，解得a =c ＝1，b ＝1，（Ⅱ）由已知，可设直线l 方程为1x ty =+，11(,)A x y ，22(,)B x y联立2213x ty x y =+⎧⎨+=⎩得22(1)220t y ty ++-=，易知△＞0，则1221222t t +12t +1y y y y ⎧+=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩11 F A F B ⋅＝1122(1)(1)x x y y +++＝1212(ty +2)(ty +2)+y y＝22121222-2t t +1y y +2t y +y +4t +1（）（）＝ 因为111F A F B =⋅，所以222-2t t +1＝1，解得21t 3＝ 联立22112x ty x y +⎧⎪⎨+⎪⎩＝＝ ，得22t +2y +2ty-10（）＝，△＝82t +1（）＞0 设3344C ,),(,)x y B x y （，则3423422t y +y t +21y y 2t -⎧⎪⎪⎨⎪-⎪+⎩＝＝1F CD 12341S F F y -y 23∆⋅＝＝ 【点睛】本题主要考查抛物线和椭圆的定义与性质应用，同时考查利用根与系数的关系，解决直线与圆，直线与椭圆的位置关系问题。

意在考查学生的数学运算能力。

6．如图，在平面直角坐标系xoy 中，设点1,04F ⎛⎫⎪⎝⎭，直线l :14x =-，点P 在直线l 上移动，R 是线段PF 与y 轴的交点,过R 、P 分别作直线1l 、2l ，使1l PF ⊥，2l l ⊥，12l l Q =.(1)求动点Q 的轨迹C 的方程；(2)已知⊙M ：22(4)1x y -+=，过抛物线C 上一点000(,)(1)H x y y ≥作两条直线与⊙M 相切于A 、B 两点，若直线AB 在y 轴上的截距为t ，求t 的最小值． 【答案】(1) 2y x =；(2)11-. 【解析】 【分析】(1)依题意知，得出PQ QF =，利用抛物线的定义，即可求得抛物线的方程； （2）设1122(,),(,)A x y B x y ，求得直线HA 与HB 的方程，进而得到直线AB 的方程，即可作出求解． 【详解】(1)依题意知，点R 是线段FP 的中点，且RQ ⊥FP ，所以RQ 是线段FP 的垂直平分线，即PQ QF =，由抛物线的定义，可得动点Q 的轨迹C 是以F 为焦点，l 为准线的抛物线，又由1,04F ⎛⎫⎪⎝⎭，直线l :14x =-，所以抛物线的方程为2y x =．（2）设1122(,),(,)A x y B x y ，因为114MA y k x =-，所以114HA x k y -=， 可得，直线HA 的方程为111(4)4150x x y y x --+-=， 同理，直线HB 的方程为222(4)4150x x y y x --+-=，所以210101(4)4150x y y y x --+-=，220202(4)4150x y y y x --+-=， 所以直线AB 的方程为200(4)4150x y yy x --+-=，令0x =，可得000154(1)t y y y =-≥， ∵t 关于0y 的函数在[1,)+∞单调递增，所以min 11t =-． 【点睛】本题主要考查了抛物线的定义，以及直线与圆的位置关系的应用，其中解答中合理利用抛物线的定义，以及直线与圆的位置关系求得直线的方程是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题．7．已知在平面直角坐标系xOy 中，抛物线()220y px p =>的准线方程是12x =-.（1）求抛物线的方程；（2）设直线()()20y k x k =-≠与抛物线相交于M N 、两点，O 为坐标原点，证明：以MN 为直径的圆过原点.【答案】（1）22y x =；（2）见解析 【解析】 【分析】（1）根据抛物线的性质，即可求得p 的值，求得抛物线方程；（2）将直线方程代入抛物线方程，利于韦达定理即可12x x ，由()212124y y x x =，即可求得12y y ，利用向量的坐标运算，即可求得OM ON ⊥,进而可得到结果． 【详解】解：（1）由抛物线()220y px p =>的准线方程为2px =-， 则122p -=-，则1p =， ∴抛物线方程为22y x =；（2）证明：设()()1122,,,M x y N x y ，由2(2)2y k x y x=-⎧⎨=⎩，消去y 整理得()222222140k x k x k -++=， 124x x ∴=，由2211222,2y x y x ==，两式相乘，得()212124y y x x =，注意到12,y y 异号，所以124y y =-，则12120,OM ON x x y y ⋅=+=OM ON ∴⊥， 90MON ∴∠=，所以以MN 为直径的圆过原点． 【点睛】本题考查抛物线的性质，直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理及向量的坐标运算，考查计算能力，属于基础题．8．已知定点()1,0F ，定直线l 的方程为1x =-，点P 是l 上的动点，过点P 与直线l 垂直的直线与线段PF 的中垂线相交于点Q ，设点Q 的轨迹为曲线C . （1）求曲线C 的方程:（2）点()(),0 0A a a >，点(),0B a -， 过点A 作直线1l 与曲线C 相交于G 、E 两点，求证：GBA EBA ∠=∠.【答案】（1）24y x =；（2）见解析【解析】 【分析】（1）根据垂直平分线的性质以及抛物线的定义，求得曲线C 的轨迹方程.（2）设出直线1l 的方程，联立直线1l 的方程和抛物线方程，消去x ，写出韦达定理，通过计算0BG BE k k +=，证得BG BE k k =-，从而证得GBA EBA ∠=∠. 【详解】（1）由题知QF QP d ==，∴点Q 的轨迹是以()1,0F 为焦点，直线1x =-为准线的抛物线， ∴曲线C 的方程为24y x =.（2）设直线1l 的方程为x my a =+，()11,G my a y +，()22,E my a y +，由24x my a y x=+⎧⎨=⎩得2440y my a --=， 124y y m +=， 124y y a =-，又112BG y k my a=+，222BE y k my a =+，∴121222BG BE y y k k my a my a+=+++()()()1212122222my y a y y my a my a ++=++()()()122424022m a a mmy a my a ⨯-+⨯==++∴BG BE k k =-∴GBA EBA ∠=∠ 【点睛】本小题主要考查抛物线的定义，考查直线和抛物线的位置关系，考查根与系数关系的运用，考查运算求解能力，属于中档题.9．设抛物线Γ的方程为22y px =，其中常数0p >，F 是抛物线Γ的焦点. （1）若直线3x =被抛物线Γ所截得的弦长为6，求p 的值； （2）设A 是点F 关于顶点O 的对称点，P 是抛物线Γ上的动点，求||||PA PF 的最大值；（3）设2p =，1l 、2l 是两条互相垂直，且均经过点F 的直线，1l 与抛物线Γ交于点A 、B ，2l 与抛物线Γ交于点C 、D ，若点G 满足4FG FA FB FC FD =+++，求点G 的轨迹方程. 【答案】（1）32p =；（2；（3）23y x =-. 【解析】 【分析】（1）当3x =时，代入抛物线方程，求得y ，可得弦长，解方程可得p ；（2）求得A 的坐标，设出过A 的直线为()2py k x =+，tan k α=，联立抛物线方程，若要使||||PA PF 取到最大值，则直线和抛物线相切，运用判别式为0，求得倾斜角，可得所求最大值；（3）求得(1,0)F ，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，3(C x ，3)y ，4(D x ，4)y ，()G x y ,，设1:(1)l y k x =-，联立抛物线方程，运用韦达定理和两直线垂直斜率之积为-1的条件，结合向量的坐标表示，和消元法，可求得轨迹方程 【详解】（1）由3x =可得y =6，解得32p =； （2）A 是点(2pF ，0)关于顶点O 的对称点，可得(2p A -，0)，设过A 的直线为()2py k x =+，tan k α=，联立抛物线方程可得22222(2)04k p k x k p p x +-+=， 由直线和抛物线相切可得△2242(2)0k p p k p =--=，解得1k =±， 可取1k =，可得切线的倾斜角为45︒，由抛物线的定义可得||11||sin(90)cos PA PF αα==︒-，而α的最小值为45︒， ||||PA PF ； （3）由24y x =，可得(1,0)F ，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，3(C x ，3)y ，4(D x ，4)y ，()G x y ,，设1:(1)l y k x =-，联立抛物线24y x =，可得2222(24)0k x k x k -++=，即有12242x x k +=+，12124()2y y k x x k k +=+-=， 由两直线垂直的条件，可将k 换为1k-，可得23424x x k +=+，344y y k +=-， 点G 满足4FG FA FB FC FD =+++，可得4(x ，1234)(4y x x x x =+++-，1234)y y y y +++，即为2123424444x x x x x k k =+++-=+①， 1234444y y y y y k k=+++=-+②， 联立①②式消元可得222211()22y k k x k k=-=+-=-，则G 的轨迹方程为22y x =- 【点睛】本题考查抛物线的定义、方程、性质，直线和抛物线的位置关系，判别式和韦达定理的具体运用，向量的坐标表示，运算及化简求值能力，属于中档题10．已知抛物线G 的顶点在原点，焦点在y 轴正半轴上，点P （m ，4）到其准线的距离等于5．（1）求抛物线G 的方程；（2）如图，过抛物线G 的焦点的直线依次与抛物线G 及圆x 2+（y ﹣1）2＝1交于A 、C 、D 、B 四点，试证明|AC |•|BD |为定值；（3）过A 、B 分别作抛物G 的切线l 1，l 2且l 1，l 2交于点M ，试求△ACM 与△BDM 面积之和的最小值．【答案】（1）x 2＝4y ；（2）详见解析；（3）2. 【解析】 【分析】（1）利用抛物线的焦半径公式求P ；（2）设直线AB 方y ＝kx +1，与抛物线联立消去x ，结合焦半径公式化简从而得到定值；（3）欲求面积之和的最小值，利用直线AB 的斜率作为自变量，建立函数模型，转化成求函数的最值问题． 【详解】（1）由题知，抛物线的准线方程为y +1＝0，故2p=1 所以抛物线C 的方程为x 2＝4y ．（2）当直线AB 的斜率不存在时，直线与抛物线只有一个交点， 故直线AB 的斜率一定存在，设直线AB 方y ＝kx +1交抛物线C 于点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）， 由抛物线定义知|AF |＝y 1+1，|BF |＝y 2+1， 所以|AC |＝y 1，|BD |＝y 2，由241x y y kx ⎧=⎨=+⎩得x 2﹣4kx ﹣4＝0，显然△＞0，则x 1+x 2＝4k ，x 1•x 2＝﹣4，所以y 1•y 2221216x x ⋅==1，所以|AC |•|BD |为定值1．（3）由x 2＝4y ，y 14=x 2， '12y =x ， 得直线AM 方程y 211142x -=x 1（x ﹣x 1）（1）， 直线BM 方程y 221142x -=x 2（x ﹣x 2）（2），由（2）﹣（1）得12（x 1﹣x 2）x 22121144x x =-，所以x 12=（x 1+x 2）＝2k ，∴y ＝﹣1 所以点M 坐标为（2k ，﹣1）， 点M 到直线AB 距离d ==弦AB 长为|AB|===4（1+k 2），△ACM 与△BDM 面积之和， S 12=（|AB |﹣2）•d 12=⨯（2+4k 2）×=2（1+2k 2， 当k ＝0时，即AB 方程为y ＝1时，△ACM 与△BDM 面积之和最小值为2． 【点睛】本题主要考查直线、圆、抛物线等基础知识，考查运算求解能力、探究能力、分析问题和解决问题的能力，求解定值与最值的基本策略有二：一是从几何角度考虑，当题目中的条件和结论明显体现几何特征及意义时，可用图形性质来解；二是从代数角度考虑，当题中的条件和结论体现出一种明显的函数关系时，可通过建立目标函数，求其目标函数的最值．11．如图，马路l 南边有一小池塘，池塘岸MN 长40米，池塘的最远端O 到l 的距离为400米，且池塘的边界为抛物线型，现要在池塘的周边建一个等腰梯形的环池塘小路,,AB BC CD ，且,,AB BC CD 均与小池塘岸线相切，记BAD θ∠=.（1）求小路的总长，用θ表示；（2）若在小路与小池塘之间（图中阴影区域）铺上草坪，求所需铺草坪面积最小时，tan θ的值.【答案】（1）tan 800(0tan 40)2sin AB BC CD θθθ++=+<<（2）当t a n 202θ=所需铺草坪面积最小 【解析】 【分析】（1）建立合适的平面直角坐标系，求出小池塘的边界抛物线方程，然后设出直线AB 的方程，和抛物线联立，可求出切点坐标， 同时可求出,B C 的坐标，表示出AB BC CD ++，变形即可得结果；（2）要所需铺草坪面积最小，需要梯形面积最小，利用（1）的结果表示出梯形面积，利用基本不等式求出最值． 【详解】解：（1）以O 为原点，BC 所在直线为x 轴，过点O 作垂直于x 轴的直线为y 轴，建立直角坐标系，所以(20,400),(20,400)M N -，因为小池塘的边界为抛物线型，设边界所在的抛物线方程为22(0)x py p =>，因为(20,400)M -是曲线上一点， 所以12p =，即抛物线方程为2y x =. 设AB 所在的直线方程：(tan )y kx t k θ=+=，联立2y kx t y x=+⎧⎨=⎩，即20x kx t --=， 因为AB 与抛物线相切， 所以240k t ∆=+=①. 记直线AB 与抛物线切于点Q ， 所以Q 点的横坐标为(0,20)2k∈，即(0,40)k ∈. 易得点,0t B k ⎛⎫-⎪⎝⎭，点400,400t A k -⎛⎫⎪⎝⎭，由对称性可知,0t C k ⎛⎫⎪⎝⎭，点400,400t D k -⎛⎫- ⎪⎝⎭.所以小路总长为2t AB BC CD k ++=-+，由①及tan θk =可知tan 800(0tan 40t 2an in )2s AB BC CD θθθθ++=+=+<<； （2）记草坪面积为S ，梯形面积为1S ，小池塘面积为2S ，所以12S S S =-，因为小池塘面积2S 为定值，要使得草坪面积最小，则梯形面积最小111400()400240022t t S BC AD k k -⎛⎫=+⋅=⋅-+⋅ ⎪⎝⎭，由①知1800200S k k ⎛⎫=+≥⎪⎝⎭“(0,40)k =”取得“＝”所以当tan θ=时，梯形面积最小，即草坪面积最小． 【点睛】本题考查抛物线的应用，建立适当坐标系，将长度，面积问题的计算都转化为坐标运算，是中档题．12．已知抛物线2:2G y px =（0p >），点()2,0M 在G 的焦点F 的右侧，且M 到G的准线的距离是M 到F 距离的3倍，经过点M 的直线与抛物线G 交于不同的A 、B 两点，直线OA 与直线2x =-交于点P ，经过点B 且与直线OA 垂直的直线l 交x 轴于点Q .（1）求抛物线G 的方程和F 的坐标；（2）判断直线PQ 与直线AB 的位置关系，并说明理由；（3）椭圆22143x y +=的两焦点为1F 、2F ，在椭圆22143x y +=外的抛物线G 上取一点E ，若1EF 、2EF 的斜率分别为1k 、2k ，求121k k 的取值范围. 【答案】（1）24y x =，()1,0F （2）//PQ AB ，详见解析（3）1215,24k k ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭【解析】 【分析】 （1）由题意得出22p <，以及23222p p ⎛⎫+=⨯- ⎪⎝⎭，可求出p 的值，从而得出抛物线G的方程以及焦点F 的坐标；（2）设点()11,A x y 、()22,B x y ，直线AB 的方程为2x my =+，将直线AB 的方程与抛物线G 的方程联立，并列出韦达定理，并求出P 、Q 两点的坐标，在0m =时，由PQ 与AB 同时与x 轴垂直得出//PQ AB ，在0m ≠时，由PQ AB k k =得出//PQ AB ，即可解答该问题； （3）设点()00,E x y ，得出01201114x k k x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，由点E 在抛物线G 上且在椭圆外得出023x >，由函数1y x x =-在2,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，可得出121k k 的取值范围.【详解】（1）由于点M 在抛物线G 的焦点,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭的右侧，所以，22p <，由于M 到G 的准线的距离是M 到F 距离的3倍，即23222p p ⎛⎫+=⨯- ⎪⎝⎭，解得2p =， 因此，抛物线G 的方程为24y x =，其焦点F 的坐标为()1,0；（2）//PQ AB ，理由如下：设()11,A x y ，()22,B x y :2AB x my =+，联立224x my y x=+⎧⎨=⎩， 得2480y my --=，121248y y my y +=⎧⎨=-⎩，()21212416y y x x ==；11:y OA y x x =，令2x =-得1122,y P x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭， ()1221:x BQ y y x x y --=-，令0y =得14,0Q x ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 当0m =时，直线AB 斜率不存在，此时(2,P --，()2,0Q -，直线PQ 斜率也不存在； 当0m ≠时，11111222PQ AB y y k k x my m====-+-，则//PQ AB ； （3）设点()00,E x y ，则001200,11y yk k x x ==+-，220002120001111144x x x k k y x x ⎛⎫--===- ⎪⎝⎭因为点E 在椭圆外，所以22200001,443x y y x +>=，即2004143x x +>，即200316120x x +->，00x >Q ，解得023x >，由于函数1y x x =-在2,+3⎛⎫∞ ⎪⎝⎭上单调递增，则01201111235443224x k k x ⎛⎫⎛⎫=->-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 1215,24k k ⎛⎫∴∈-+∞ ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查抛物线方程的求解，考查两直线的位置关系以及两直线斜率之积的取值范围的计算，解题时要根据已知条件的类型选择合适的方法进行计算，另外对于两直线的位置关系，可利用斜率关系来进行转化，考查化归与转化思想，属于难题. 13．如图，设抛物线()21:40C y mx m =->的准线l 与x 轴交于椭圆()22222:10x y C a b a b+=>>的右焦点21,F F 为2C 的左焦点.椭圆的离心率为12e =，抛物线1C 与椭圆2C 交于x 轴上方一点P ，连接1PF 并延长其交1C 于点Q ，M 为1C 上一动点，且在,P Q 之间移动.（1）当2a +取最小值时，求1C 和2C 的方程； （2）若12PF F ∆的边长恰好是三个连续的自然数，当MPQ ∆面积取最大值时，求面积最大值以及此时直线MP 的方程．【答案】（1）22143x y +=（2）MPQ ∆的面积最大值为12522⨯=．此时:MP y = 【解析】试题分析：（1）由椭圆的性质可得2,a m b ==，故可得1m =，故而可求得1C 和2C 的方程；（2）因为1,2c c m e a ===，则2,a m b ==，设椭圆的标准方程为2222143x y m m+=，联立抛物线与椭圆的方程可得22316120x mx m --=，得023x m =-代入抛物线方程得23m P ⎛- ⎝⎭，可得3m =，可得直线与抛物线的方程，联立得252PQ =，求出点到直线的距离，结合面积公式可得最值.试题解析：（1）因为1,2c c m e a ===，则2,a m b ==，所以2a +1m =，此时抛物线21:4C y x =-，此时22,3a b ==，所以椭圆2C 的方程为22143x y +=；（2）因为1,2c c m e a ===，则2,a mb ==，设椭圆的标准方程为2222143x y m m+=， ()()0011,,,P x y Q x y 由222221{434x y m m y mx +==-得22316120x mx m --=，所以023x m =-或06x m =（舍去），代入抛物线方程得0y =，即2,33m P ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭， 于是12112576,2,2333m m mPF PF a PF F F m ==-===，又12PF F ∆的边长恰好是三个连续的自然数，所以3m =．此时抛物线方程为212y x =-，()(13,0,F P --，则直线PQ的方程为)3y x =+．联立)23{12y x y x=+=-，得192x =-或12x =-（舍去），于是9,2Q ⎛-- ⎝．所以252PQ ==，设(()2,12t M t t ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭到直线PQ的距离为d，则2753022d t ⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭，当t =时，max 752d ==所以MPQ ∆的面积最大值为12522416⨯⨯=．此时:MP y =+ 14．已知动点P 到直线54y =-的距离比到定点10,4⎛⎫⎪⎝⎭的距离大1.（1）求动点P 的轨迹C 的方程.（2）若M 为直线2y x =-上一动点，过点M 作曲线C 的两条切线MA ，MB ，切点为A ，B ，N 为AB 的中点. ①求证：MN x ⊥轴；②直线AB 是否恒过一定点？若是，求出这个定点的坐标；若不是，请说明理由. 【答案】（1）2x y =；（2）①证明见解析；②1,22⎛⎫⎪⎝⎭. 【解析】【分析】（1）由题意知，动点P 到直线14y =-的距离等于到定点10,4⎛⎫⎪⎝⎭的距离，符合抛物线的定义，求轨迹C 的方程为2x y =；（2）①设动点(,2)M t t -，()211,A x x ，()222,B x x ，利用导数求出切线,MA MB 的方程分别为：()21112y x x x x -=-、()22222y x x x x -=-，从而有1x ，2x 为方程2220x tx t -+-=的两根，证明点N 的横坐标与点M 的横坐标相等，从而证得MN x ⊥轴；②由①中的结论，把直线AB 的方程写成含有参数t 的形式，即()2222()y t t t x t --+=-并把方程看成关于t 的一次函数，从而得到定点为1,22⎛⎫⎪⎝⎭。