全国卷高考数学圆锥曲线大题集大全
全国卷高考数学圆锥曲线大题(带答案)
全国卷高考数学圆锥曲线大题（带答案）1. 如图，直线l 1与l 2是同一平面内两条互相垂直的直线，交点是A ，点B 、D 在直线l 1上(B 、D 位于点A 右侧)，且|AB|=4，|AD|=1，M 是该平面上的一个动点，M 在l 1上的射影点是N ，且|BN|=2|DM|.(Ⅰ) 建立适当的坐标系，求动点M 的轨迹C 的方程．(Ⅱ)过点D 且不与l 1、l 2垂直的直线l 交(Ⅰ)中的轨迹C 于E 、F 两点；另外平面上的点G 、H 满足：①(R);AG AD λλ=∈②2;GE GF GH +=③0.GH EF ⋅= 求点G 的横坐标的取值范围．2. 设椭圆的中心是坐标原点，焦点在x 轴上，离心率23=e ，已知点)3,0(P 到这个椭圆上的点的最远距离是4，求这个椭圆的方程.3. 已知椭圆)0(1:22221>>=+b a b y a x C 的一条准线方程是,425=x 其左、右顶点分别 是A 、B ；双曲线1:22222=-b y a x C 的一条渐近线方程为3x －5y=0.（Ⅰ）求椭圆C1的方程及双曲线C2的离心率；（Ⅱ）在第一象限内取双曲线C2上一点P，连结AP交椭圆C1于点M，连结PB并延长交椭圆C1于点N，若=. 求证：.0=•4. 椭圆的中心在坐标原点O,右焦点F（c,0）到相应准线的距离为1，倾斜角为45°的直线交椭圆于A，B两点.设AB中点为M，直线AB与OM的夹角为αa.（1）用半焦距c表示椭圆的方程及tanα;（2）若2<tanα<3，求椭圆率心率e的取值范围.5. 已知椭圆2222byax+（a＞b＞0）的离心率36=e，过点A（0，-b）和B（a，0）的直线与原点的距离为23（1）求椭圆的方程（2）已知定点E（-1，0），若直线y＝kx＋2（k≠0）与椭圆交于C D两点问：是否存在k的值，使以CD为直径的圆过E点?请说明理由6. 在直角坐标平面中，ABC ∆的两个顶点B A ,的坐标分别为)0,1(-A ，)0,1(B ，平面内两点M G ,同时满足下列条件： ①0=++GC GB GA MCMB MA ==GM ∥AB（1）求ABC ∆的顶点C 的轨迹方程；（2）过点)0,3(P 的直线l 与（1）中轨迹交于F E ,两点，求PF PE ⋅的取值范围7. 设R y x ∈,，j i,为直角坐标平面内x 轴．y 轴正方向上的单位向量，若jy i x b j y i x a)2(,)2(-+=++=，且8||||=+b a（Ⅰ）求动点M(x,y)的轨迹C 的方程；（Ⅱ）设曲线C 上两点A ．B ，满足(1)直线AB 过点（0，3），(2)若OB OA OP +=，则OAPB 为矩形，试求AB 方程．8. 已知抛物线C ：)0,0(),(2>≠+=n m n x m y 的焦点为原点，C 的准线与直线 )0(02:≠=+-k k y kx l 的交点M 在x 轴上，l 与C 交于不同的两点A 、B ，线段AB 的垂直平分线交x 轴于点N （p ，0）．（Ⅰ）求抛物线C 的方程； （Ⅱ）求实数p 的取值范围；（Ⅲ）若C 的焦点和准线为椭圆Q 的一个焦点和一条准线，试求Q 的短轴的端点的轨迹方程．9. 如图，椭圆的中心在原点，长轴AA 1在x 轴上.以A 、A 1为焦点的双曲线交椭圆于C 、D 、D 1、C 1四点，且|CD|＝21|AA 1|.椭圆的一条弦AC 交双曲线于E ，设λ=EC AE ，当4332≤≤λ时，求双曲线的离心率e 的取值范围.x10. 已知三角形ABC 的三个顶点均在椭圆805422=+y x 上，且点A 是椭圆短轴的一个端点（点A 在y 轴正半轴上）.若三角形ABC 的重心是椭圆的右焦点，试求直线BC 的方程; 若角A 为090，AD 垂直BC 于D ，试求点D 的轨迹方程.11. 如图，过抛物线24x y =的对称轴上任一点(0,)(0)P m m >作直线与抛物线交于,A B两点，点Q 是点P 关于原点的对称点.(1) 设点P 分有向线段AB 所成的比为λ，证明:()QP QA QB λ⊥-;(2) 设直线AB 的方程是2120x y -+=，过,A B 两点的圆C 与抛物线在点A 处有共同的切线，求圆C 的方程.12. 已知动点P （p ，-1），Q （p ，212p +），过Q 作斜率为2p 的直线l ，P Q 中点M 的轨迹为曲线C.（1）证明：l 经过一个定点而且与曲线C 一定有两个公共点； （2）若（1）中的其中一个公共点为A ，证明：AP 是曲线C 的切线； （3）设直线AP 的倾斜角为α，AP 与l 的夹角为β，证明：βα+或βα-是定值.13. 在平面直角坐标系内有两个定点12F F 、和动点P ，12F F 、坐标分别为)0,1(1-F 、)0,1(F 2，动点P 满足22|PF ||PF |21=，动点P 的轨迹为曲线C ，曲线C 关于直线y x =的对称曲线为曲线'C ，直线3-+=m x y 与曲线'C 交于A 、B 两点，O 是坐标原点，△ABO 的面积为7，（1）求曲线C 的方程；（2）求m 的值。
(完整版)圆锥曲线大题20道(含标准答案)
1.已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为（2，0），右顶点为)0,3( （1）求双曲线C 的方程； （2）若直线2:+=kx y l 与双曲线C 恒有两个不同的交点A 和B ，且2>⋅OB OA （其中O 为原点）. 求k 的取值范围.解：（Ⅰ）设双曲线方程为12222=-by a x ).0,0(>>b a由已知得.1,2,2,32222==+==b b ac a 得再由故双曲线C 的方程为.1322=-y x （Ⅱ）将得代入13222=-+=y x kx y .0926)31(22=---kx x k 由直线l 与双曲线交于不同的两点得⎪⎩⎪⎨⎧>-=-+=∆≠-.0)1(36)31(36)26(,0312222k k k k即.13122<≠k k 且①设),(),,(B B A A y x B y x A ，则 ,22,319,312622>+>⋅--=-=+B A B A B A B A y y x x OB OA kx x k k x x 得由 而2)(2)1()2)(2(2++++=+++=+B A B A B A B A B A B A x x k x x k kx kx x x y y x x.1373231262319)1(22222-+=+-+--+=k k k k k k k于是解此不等式得即,01393,213732222>-+->-+k k k k .3312<<k ② 由①、②得.1312<<k故k 的取值范围为).1,33()33,1(⋃-- 2..已知椭圆C ：22a x ＋22by ＝1（a ＞b ＞0）的左．右焦点为F 1、F 2，离心率为e. 直线l ：y ＝e x ＋a 与x 轴．y 轴分别交于点A 、B ，M 是直线l 与椭圆C 的一个公共点，P 是点F 1关于直线l 的对称点，设＝λ.（Ⅰ）证明：λ＝1－e 2；（Ⅱ）确定λ的值，使得△PF 1F 2是等腰三角形.（Ⅰ）证法一：因为A 、B 分别是直线l ：a ex y +=与x 轴、y 轴的交点，所以A 、B 的坐标分别是2222222.,,1,).,0(),0,(b a c c b y c x b y ax a ex y a e a +=⎪⎩⎪⎨⎧=-=⎪⎩⎪⎨⎧=++=-这里得由. 所以点M 的坐标是（a b c 2,-）. 由).,(),(2a eaa b e a c AB AM λλ=+-=得即221e a ab e ac e a-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-λλλ解得证法二：因为A 、B 分别是直线l ：a ex y +=与x 轴、y 轴的交点，所以A 、B 的坐标分别是).,0(),0,(a ea-设M 的坐标是00(,),x y00(,)(,),a aAM AB x y a e eλλ=+=u u u u r u u u r 由得所以⎪⎩⎪⎨⎧=-=.)1(00a y e a x λλ因为点M 在椭圆上，所以,122220=+by a x即.11)1(,1)()]1([22222222=-+-=+-e e b a a e aλλλλ所以 ,0)1()1(2224=-+--λλe e解得.1122e e -=-=λλ即（Ⅱ）解法一：因为PF 1⊥l ，所以∠PF 1F 2=90°+∠BAF 1为钝角，要使△PF 1F 2为等腰三角形，必有|PF 1|=|F 1F 2|，即.||211c PF = 设点F 1到l 的距离为d ，由,1||1|0)(|||21221c eec a e a c e d PF =+-=+++-==得.1122e ee =+-所以.321,3122=-==e e λ于是即当,32时=λ△PF 1F 2为等腰三角形. 解法二：因为PF 1⊥l ，所以∠PF 1F 2=90°+∠BAF 1为钝角，要使△PF 1F 2为等腰三角形，必有|PF 1|=|F 1F 2|， 设点P 的坐标是),(00y x ，则0000010.22y x ce y x c e a -⎧=-⎪+⎪⎨+-⎪=+⎪⎩，2022023,12(1).1e x c e e a y e ⎧-=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩解得由|PF 1|=|F 1F 2|得,4]1)1(2[]1)3([2222222c e a e c e c e =+-+++- 两边同时除以4a 2，化简得.1)1(2222e e e =+- 从而.312=e 于是32112=-=e λ 即当32=λ时，△PF 1F 2为等腰三角形. 3.设R y x ∈,，j i ρρ、为直角坐标平面内x 轴、y 轴正方向上的单位向量，若j y i x b j y i x a ρρρρϖρ)3( ,)3(-+=++=，且4=+b a ϖϖ.（Ⅰ）求点),(y x P 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）若A 、B 为轨迹C 上的两点，满足MB AM =，其中M （0，3），求线段AB 的长. [启思]4.已知椭圆的中心为坐标原点O ，焦点在x 轴上，斜率为1且过椭圆右焦点F 的直线交椭圆于A 、B 两点，OB OA +与)1,3(-=a 共线. （Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）设M 为椭圆上任意一点，且),( R ∈+=μλμλ，证明22μλ+为定值. 解：本小题主要考查直线方程、平面向量及椭圆的几何性质等基本知识，考查综合运用数学知识解决问题及推理的能力. 满分12分.（1）解：设椭圆方程为)0,(),0(12222c F b a by a x >>=+ 则直线AB 的方程为c x y -=，代入12222=+b y a x ，化简得02)(22222222=-+-+b a c a cx a x b a .令A （11,y x ），B 22,(y x ），则.,22222222122221b a b a c a x x b a c a x x +-=+=+ 由OB OA a y y x x OB OA +-=++=+),1,3(),,(2121与共线，得,0)()(32121=+++x x y y 又c x y c x y -=-=2211,，.23,0)()2(3212121c x x x x c x x =+∴=++-+∴ 即232222cba c a =+，所以36.32222a b a c b a =-=∴=， 故离心率.36==a c e （II ）证明：（1）知223b a =，所以椭圆12222=+by a x 可化为.33222b y x =+设),(y x =，由已知得),,(),(),(2211y x y x y x μλ+=⎩⎨⎧+=+=∴.,2121x x y x x x μλμλ),(y x M Θ在椭圆上，.3)(3)(2221221b y y x x =+++∴μλμλ 即.3)3(2)3()3(221212222221212b y y x x y x y x =+++++λμμλ① 由（1）知.21,23,23222221c b c a c x x ===+ [变式新题型3]抛物线的顶点在原点，焦点在x 轴上，准线l 与x 轴相交于点A(–1，0)，过点A 的直线与抛物线相交于P 、Q 两点.（1）求抛物线的方程；（2）若FP •FQ =0，求直线PQ 的方程；（3）设=λAQ （λ>1），点P 关于x 轴的对称点为M ，证明：FM =-λFQ ..6.已知在平面直角坐标系xoy 中，向量32),1,0(的面积为OFP ∆=，且,3OF FP t OM j ⋅==+u u u r u u u r u u u u r u u ur r .（I ）设4t OF FP θ<<u u u r u u u r求向量与 的夹角的取值范围；（II ）设以原点O 为中心，对称轴在坐标轴上，以F 为右焦点的椭圆经过点M ，且||,)13(,||2c t c 当-==取最小值时，求椭圆的方程.7.已知(0,2)M -，点A 在x 轴上，点B 在y 轴的正半轴，点P 在直线AB 上，且满足，AP PB =-u u u r u u u r ，0MA AP ⋅=u u ur u u u r . （Ⅰ）当点A 在x 轴上移动时，求动点P 的轨迹C 方程；（Ⅱ）过(2,0)-的直线l 与轨迹C 交于E 、F 两点，又过E 、F 作轨迹C 的切线1l 、2l ，当12l l ⊥，求直线l 的方程.8.已知点C 为圆8)1(22=++y x 的圆心，点A （1，0），P 是圆上的动点，点Q 在圆的半径CP 上，且.2,0AM AP AP MQ ==⋅（Ⅰ）当点P 在圆上运动时，求点Q 的轨迹方程； （Ⅱ）若直线12++=k kx y 与（Ⅰ）中所求点Q的轨迹交于不同两点F ，H ，O 是坐标原点，且4332≤⋅≤OH OF ，求△FOH 的面积已知椭圆E 的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，且经过()2,0A -、()2,0B 、31,2C ⎛⎫ ⎪⎝⎭三点．（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）若直线l ：()1y k x =-（0k ≠）与椭圆E 交于M 、N 两点，证明直线AM 与直线BN 的交点在直线4x =上．10．如图,过抛物线x 2=4y 的对称轴上任一点P(0,m)(m>0)作直线与抛物线交于A 、B 两点，点Q 是点P 关于原点的对称点。
圆锥曲线高考真题专练(含答案)
（一）数学全国1卷设椭圆22:12x C y +=的右焦点为F ，过F 的直线l 与C 交于,A B 两点，点M 的坐标为(2,0).（1）当l 与x 轴垂直时，求直线AM 的方程； （2）设O 为坐标原点，证明：OMA OMB ∠=∠. 解：（1）由已知得(1,0)F ，l 的方程为x=1.由已知可得，点A 的坐标为或(1,.所以AM 的方程为y x =+y x =. （2）当l 与x 轴重合时，0OMA OMB ∠=∠=︒.当l 与x 轴垂直时，OM 为AB 的垂直平分线，所以OMA OMB ∠=∠.当l 与x 轴不重合也不垂直时，设l 的方程为(1)(0)y k x k =-≠，1221(,),(,)A y x y x B ，则12x x <<MA ，MB 的斜率之和为212122MA MB x x y yk k +=+--. 由1122,y k k x y k x k =-=-得121212(23()42)(2)MA MB x x x x k k x x kk k -+++=--.将(1)y k x =-代入2212x y +=得 2222(21)4220k x k x k +-+-=.所以，21221222422,2121x x x k k k x k -+==++.则3131322244128423()4021k k k k kk k k k x x x x --++-++==+. 从而0MA MB k k +=，故MA ，MB 的倾斜角互补，所以OMA OMB ∠=∠.综上，OMA OMB∠=∠.已知椭圆C：2222=1x ya b+（a>b>0），四点P1（1,1），P2（0,1），P3（–1，P4（1，C上.（1）求C的方程；（2）设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点.若直线P2A与直线P2B的斜率的和为–1，证明：l过定点.解：（1）由于3P，4P两点关于y轴对称，故由题设知C经过3P，4P两点.又由222211134a b a b+>+知，C不经过点P1，所以点P2在C上.因此222111314ba b⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得2241ab⎧=⎪⎨=⎪⎩.故C的方程为2214xy+=.（2）设直线P2A与直线P2B的斜率分别为k1，k2，如果l与x轴垂直，设l：x=t，由题设知0t≠，且||2t<，可得A，B的坐标分别为（t，），（t，）.则121k k+-=-，得2t=，不符合题设.从而可设l：y kx m=+（1m≠）.将y kx m=+代入2214xy+=得222(41)8440k x kmx m+++-=由题设可知22=16(41)0k m∆-+>.设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=2841kmk-+，x1x2=224441mk-+.而12121211y y k k x x --+=+121211kx m kx m x x +-+-=+ 1212122(1)()kx x m x x x x +-+=.由题设121k k +=-，故1212(21)(1)()0k x x m x x ++-+=.即222448(21)(1)04141m kmk m k k --+⋅+-⋅=++.解得12m k +=-.当且仅当1m >-时，0∆>，欲使l ：12m y x m +=-+，即11(2)2m y x ++=--，所以l 过定点（2，1-） 数学全国1卷设圆222150x y x ++-=的圆心为A ，直线l 过点B （1,0）且与x 轴不重合，l 交圆A 于C ，D 两点，过B 作AC 的平行线交AD 于点E. （I ）证明EA EB +为定值，并写出点E 的轨迹方程；（II ）设点E 的轨迹为曲线C1，直线l 交C1于M,N 两点，过B 且与l 垂直的直线与圆A 交于P ,Q 两点，求四边形MPNQ 面积的取值范围.【答案】（I ）13422=+y x （0≠y ）；（II ）)38,12[ 【解析】试题分析：（I ）利用椭圆定义求方程；（II ）把面积表示为关于斜率k 的函数，再求最值。
历年高考数学《圆锥曲线》真题集锦
以下题目全是经典的高考题目,希望对您有帮助!!圆锥曲线1．如图，设抛物线方程为x 2=2py (p ＞0)，M 为直线p y 2-=上任意一点，过M 引抛物线的切线，切点分别为A ，B .(1)求证：A ，M ，B 三点的横坐标成等差数列； (2)已知当M 点的坐标为（2，p 2-）时，AB = (3)是否存在点M ，使得点C 关于直线AB 的对称点D 在抛物线22(0)x py p =＞上，其中，点C 满足OC OA OB =+（O 为坐标原点）.若存在，求出所有适合题意的点M 的坐标；若不存在，请说明理由. 解:(1)证明：由题意设221212120(,),(,),,(,2).22x x A x B x x x M x p p p-＜由22x py =得22x y p =，则,x y p'= 所以12,.MA MB x x k k p p ==因此直线MA :102(),x y p x x p +=- 直线MB :202().xy p x x p+=-所以211102(),2x x p x x p p +=- ① 222202().2x x p x x p p+=- ② 由①、②得: 0122.x x x =+所以A 、M 、B 三点的横坐标成等差数列. (2)解：由(1)知，当x 0=2时， 将其代入①、②并整理得：2211440,x x p --= 2222440,x x p --=所以x 1、x 2是方程22440x x p --=的两根，因此212124,4,x x x x p +==-又22210122122,2ABx x x x x p p k x x p p-+===-所以2.AB k p =由弦长公式AB==又AB=p=1或p=2，因此所求抛物线方程为22x y=或24.x y=(3)解：设D(x3,y3)，由题意得C(x1+ x2, y1+ y2),则CD的中点坐标为123123(,),22x x x y y yQ++++设直线AB的方程为011(),xy y x xp-=-由点Q在直线AB上，并注意到点1212(,)22x x y y++也在直线AB上，代入得033.xy xp=若D（x3,y3）在抛物线上，则2330322,x py x x==因此x3=0或x3=2x0. 即D(0，0)或22(2,).xD xp(1’ 当x0=0时，则12020x x x+==，此时，点M(0,-2p)适合题意.(2’ 当x≠，对于D(0，0)，此时221222221212002(2,),,224CDx xx x x xpC x kp x px+++==又0,ABxkp=AB⊥CD，所以22220121221,44AB CDx x x x xk kp px p++===-即222124,x x p+=-矛盾.对于22(2,),xD xp因为2212(2,),2x xC xp+此时直线CD平行于y轴，又00,ABxkp=≠所以直线AB与直线CD不垂直，与题设矛盾，所以x≠时，不存在符合题意的M点. 综上所述，仅存在一点M(0，-2p)适合题意.2．已知曲线11(0)xyC a ba b+=>>：所围成的封闭图形的面积为1C的内切圆半径为3．记2C为以曲线1C与坐标轴的交点为顶点的椭圆．（O为坐标原点）（Ⅰ）求椭圆2C 的标准方程；（Ⅱ）设AB 是过椭圆2C 中心的任意弦，l 是线段AB 的垂直平分线．M 是l 上异于椭圆中心的点．（1）若MO OA λ=，当点A 在椭圆2C 上运动时，求点M 的轨迹方程； （2）若M 是l 与椭圆2C 的交点，求AMB △的面积的最小值．解：（Ⅰ）由题意得23ab ⎧=⎪⎨= 又0a b >>，解得25a =，24b =．因此所求椭圆的标准方程为22154x y +=． （Ⅱ）（1）假设AB 所在的直线斜率存在且不为零，设AB 所在直线方程为(0)y kx k =≠，()A A A x y ，．解方程组22154x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=⎩，，得222045A x k =+，2222045A k y k =+， 所以22222222202020(1)454545AAk k OA x y k k k +=+=+=+++．设()M x y ，由(0)MO OA λλ=≠，所以222MO OA λ=，即2222220(1)45k x y kλ++=+， 因为l 是AB 的垂直平分线，所以直线l 的方程为1y x k=-，即x k y =-，因此22222222222220120()4545x y x y x y x y x y λλ⎛⎫+ ⎪+⎝⎭+==++， 又220x y +≠，所以2225420x y λ+=，故22245x y λ+=． 又当0k =或不存在时，上式仍然成立．综上所述，M 轨迹222(0)45x y λλ+=≠． （2）当k 存在且0k ≠时，由（1）得222045Ax k =+，2222045A k y k =+，由221541x y y x k ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，，解得2222054M k x k =+，222054M y k =+， 所以2222220(1)45AAk OA x y k +=+=+，222280(1)445k AB OA k +==+，22220(1)54k OM k+=+． 解法一：由于22214AMBSAB OM =△2222180(1)20(1)44554k k k k ++=⨯⨯++ 2222400(1)(45)(54)k k k +=++22222400(1)45542k k k +⎛⎫+++ ⎪⎝⎭≥222221600(1)4081(1)9k k +⎛⎫== ⎪+⎝⎭， 当且仅当224554k k +=+时等号成立，即1k =±时等号成立，此时最小409AMB S =△．当0k =，140229AMB S =⨯=>△． 当k不存在时，140429AMB S ==>△．综上,AMB △的面积的最小值为409．解法二：因为222222111120(1)20(1)4554k k OAOMk k +=+++++2224554920(1)20k k k +++==+，又22112OA OMOAOM+≥，409OA OM ≥，当且仅当224554k k +=+时等号成立，即1k =±时等号成立，此时AMB △面积的最小值是409AMB S =△．下同解法一. 3．已知m ∈R ，直线l ：2(1)4mx m y m -+=和圆C ：2284160x y x y +-++=.（1）求直线l 斜率的取值范围；（2）直线l 能否将圆C 分割成弧长的比值为12的两段圆弧？为什么？解: （1）直线l 的方程可化为22411m m y x m m =-++，此时斜率21mk m =+ 因为()2112m m ≤+，所以2112m k m =≤+，当且仅当1m =时等号成立 所以，斜率k 的取值范围是11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦；（2）不能.由（1）知l 的方程为()4y k x =-，其中12k ≤； 圆Ｃ的圆心为()4,2C -，半径2r =；圆心Ｃ到直线l的距离d =由12k ≤，得1d ≥>，即2rd >，从而，若l 与圆Ｃ相交，则圆Ｃ截直线l 所得 的弦所对的圆心角小于23π，所以l 不能将圆Ｃ分割成弧长的比值为12的两段弧； 4．双曲线的中心为原点O ，焦点在x 轴上，两条渐近线分别为12l l ，，经过右焦点F 垂直于1l 的直线分别交12l l ，于A B ，两点．已知OA AB OB 、、成等差数列，且BF 与FA 同向．（Ⅰ）求双曲线的离心率；（Ⅱ）设AB 被双曲线所截得的线段的长为4，求双曲线的方程．解:（Ⅰ）设OA m d =-，AB m =，OB m d =+则由题有：222()()m d m m d -+=+ 得：14d m =，tan b AOF a ∠=，4tan tan 23AB AOB AOF OA ∠=∠== 由倍角公式∴22431ba b a =⎛⎫- ⎪⎝⎭，解得12b a =,则离心率e = （Ⅱ）过F 直线方程为()ay x c b=--,与双曲线方程22221x y a b -=联立将2a b =，c =代入，化简有22152104x x b b-+=124x =-=将数值代入，有4=解得3b = 故所求的双曲线方程为221369x y -=。
全国卷高考十年(2007-2016)圆锥曲线题目汇总
在平面直角坐标系 xOy 中， 椭圆 C 的中心为原点， 焦点 F1 , F2 在 x 轴上， 离心率为 两点，且 △ ABF2 的周长为 16，那么 C 的方程为 。
2 。 过 F1 的直线 L 交 C 于 A, B 2
31． ［2010 年高考全国新课标文数第 5 题］ 中心在原点，焦点在 x 轴上的双曲线的一条渐近线经过点（4,2） ，则它的离心率为 （ A） 6 （B） 5 （C）
∆ ABP 的面积为
（A）18 （B）24 （C）36 （D）48
29． ［2011 年高考全国新课标理数第 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 题］ 设直线 L 过双曲线 C 的一个焦点，且与 C 的一条对称轴垂直，L 与 C 交于 A ,B 两点， AB 为 C 的实轴长的 2 倍， 则 C 的离心率为 （A） 2 （B） 3 （C）2 30． ［2011 年高考全国新课标理数第 14 题］ （D）3
1 3
（B）
1 2
（C）
2 3
（D）
3 4
7． ［2015 年高考全国新课标Ⅱ卷文数第 15 题］
8． ［2015 年高考全国新课标Ⅱ卷理数第 11 题］
1
新课程标准（2007-2016）数学试卷分类汇编—圆锥曲线
2016 年 10 月 13 日
9． ［2015 年高考全国新课标Ⅰ卷文数第 5 题］
63 32
D. 9
4
15． ［2014 年高考全国新课标Ⅰ卷文数第 4 题］ 已知双曲线
x2 y2 − = 1(a > 0) 的离心率为 2，则 a = （ a2 3
）
16． ［2014 年高考全国新课标Ⅰ卷文数第 10 题］
2
新课程标准（2007-2016）数学试卷分类汇编—圆锥曲线
全国一卷圆锥曲线高考题汇编含答案#(精选.)
高二数学专题学案圆锥曲线部分高考试题汇编(椭圆部分)1、(2016全国I卷)(20)(本小题满分12分)设圆x2 + y2 + 2x—15 = 0的圆心为4直线l过点B (1,0)且与x轴不重合，l交圆A于C, D两点，过B作AC的平行线交AD于点E.(I)证明|EA| + |EB|为定值，并写出点E的轨迹方程；(II)设点E的轨迹为曲线C1,直线l交C1于M,N两点，过B且与l垂直的直线与圆A交于PQ两点，求四边形MPNQ面积的取值范围.x2 y22、（2015全国I卷）（14）一个圆经过椭圆7十一二1的三个顶点，且圆心在乂轴上，则该圆的标准方程16 4为。
3、（2014全国I卷）20.（本小题满分12分）已知点A（0，-2），椭圆E：上+ y2= 1（a > b > 0）的离心率为3，，F是椭圆a2 b2 2的焦点，直线AF的斜率为233，O为坐标原点.（I）求E的方程；（II）设过点A的直线l与E相交于P, Q两点，当A OPQ的面积最大时，求l的方程.4、（2016山东卷）（21）（本小题满分14分）平面直角坐标系g中，椭圆C：：喙=1（a>b>°）的离心率是浮，抛物线E3x=2'的焦点F是C的一个顶点.（I）求椭圆C的方程；（II）设P是E上的动点，且位于第一象限，E在点P处的切线l与C交与不同的两点A，B，线段AB的中点为D，直线OD与过P且垂直于x轴的直线交于点M.（i）求证：点M在定直线上；（ii）直线l与y轴交于点6，记^PFG的面积为S j ^PDM的面积为S2，求S-的最大值及取得最大值2时点P的坐标.八- x 2 Y 2 一，，〜5、（2015山东卷）（20）（本小题满分13分）平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C ：— + ） =1（a > b > 0）a 2 b2的离心率为*，左、右焦点分别是F , F ，以F 为圆心，以3为半径的圆与以F 为圆心，以1为半径的 2 1212圆相交，交点在椭圆C 上. （I ）求椭圆C 的方程；x 2 y 2（H ）设椭圆E ：江+而二1，P 为椭圆C 上的任意一点,过点P的直线厂"m 交椭圆E 于A,B 两点，射线PO 交椭圆E 于点Q.圆锥曲线部分高考试题汇编（双曲线部分）1、（2016全国I 卷）（5）已知方禾m 2+n--就工=1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4,则n的i ）求|OQ | | OP |的值；（ii ）求A ABQ 面积最大值.取值范围是（2、（2015全国I 卷）（5）已知M （x 0 丫0）是双曲线C ： --W= 1上的一点，F 1、F 2是C 上的两个焦点，若西 • MF 2 <0,则y 0的取值范围是（2J3(D )(一二33、（2014全国I 卷）4.已知F 是双曲线C ： x 2 - my 2 = 3m （m > 0）的一个焦点，则点F 到C 的一条渐近线的距离为（ ） A . <3B .3C . <3mD . 3mx 2 y 24、（2016山东卷）（13）已知双曲线E_,： ---= 1 （a >0, b >0）,若矩形ABCD 的四个顶点在E 上， 1a 2b 2AB , CD 的中点为E 的两个焦点，且21AB |=3|BC |,则E 的离心率是.x 2 y 25、（2015山东卷）（15）平面直角坐标系xOy 中，双曲线C : 一--—= 1（a > 0,b > 0）的渐近线与抛物线1a 2 b2C : x 2 = 2py （p > 0）交于点O , A , B ，若A OAB 的垂心为C 的焦点，则C 的离心率为. 2 21x 2 y 2 x 2 y 26、（2014山东卷）（10）已知a > b ，椭圆C 的方程为—+ -- = 1 ,双曲线C 的方程为——^- = 1, C1 a2 b 2 2 a 2 b 2 1与C 的离心率之积为二，则C 的渐近线方程为（）222（A ） x 土 <2y = 0 （B ） J2x 土 y = 0 （C ） x 土2y = 0 （D ） 2x 土 y = 0圆锥曲线部分高考试题汇编（抛物线部分）(A )(-1,3)(B )(-1八”)(C )(0,3)(D )(0,\与)2<2 (C )(-—— 32<31、（2016全国I卷）（10）以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A, B两点，交C的准线于D, E两点.已知| AB | = 4"；2 , | DEI= 2d5，则C的焦点到准线的距离为（）（A）2 （B）4 （C）6 （D）82、（2015全国I卷）（20）（本小题满分12分）x2在直角坐标系xoy中，曲线C：y =—与直线y = kx + a（a >0）交与M,N两点，（I）当k=0时，分别求C在点M和N处的切线方程；（II）y轴上是否存在点R使得当k变动时，总有N OPM =Z OPN ?说明理由。
（完整版）圆锥曲线高考真题
（完整版）圆锥曲线⾼考真题（1）求M 的⽅程（2）C ，D 为M 上的两点，若四边形ACBD 的对⾓线CD ⊥AB ，求四边形ACBD 的⾯积最⼤值.2.设1F ,2F 分别是椭圆()222210y x a b a b+=>>的左右焦点，M 是C 上⼀点且2MF 与x 轴垂直，直线1MF 与C 的另⼀个交点为N.（1）若直线MN 的斜率为34，求C 的离⼼率；（2）若直线MN 在y 轴上的截距为2，且15MN F N =，求a,b .3.已知椭圆C ：，直线不过原点O 且不平⾏于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M .(1) 证明：直线OM 的斜率与的斜率的乘积为定值；（2）若过点（）,延长线段OM 与C 交于点P ，四边形OAPB 能否平⾏四边⾏？若能，求此时的斜率，若不能，说明理由.4.已知抛物线C ：22y x = 的焦点为F ，平⾏于x 轴的两条直线12,l l 分别交C 于A ，B 两点，交C 的准线于P ，Q 两点.（1）若F 在线段AB 上，R 是PQ 的中点，证明AR ∥FQ ；（2）若△PQF 的⾯积是△ABF 的⾯积的两倍，求AB 中点的轨迹⽅程.5.已知抛物线C ：y 2=2x ，过点（2,0）的直线l 交C 与A ,B 两点，圆M 是以线段AB 为直径的圆．（1）证明：坐标原点O 在圆M 上；（2）设圆M 过点P （4，-2），求直线l 与圆M 的⽅程．6.已知斜率为k 的直线l 与椭圆22143x y C +=：交于A ，B 两点，线段AB 的中点为()()10M m m >，．（1）证明：12k <-；（2）设F 为C 的右焦点，P 为C 上⼀点，且FP FA FB ++=0u u u r u u u r u u u r ．证明：FA u u u r，FP u u u r ，FB u u u r 成等差数列，并求该数列的公差．7.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离⼼率为，且经过点(0,1)，圆22221:C x y a b +=+。
高考经典圆锥曲线习题(含答案)
高考圆锥曲线试题精选一、选择题：（每小题5分，计50分）1、(2008海南、宁夏文)双曲线22110x y -=的焦距为（ ）2.（2004全国卷Ⅰ文、理）椭圆1422=+y x 的两个焦点为F 1、F 2，过F 1作垂直于x 轴的 直线与椭圆相交，一个交点为P ，则||2PF = （ ）A ．23 B ．3 C ．27D ．4 3．（2006辽宁文）方程22520x x -+=的两个根可分别作为（ ）Ａ．一椭圆和一双曲线的离心率Ｂ．两抛物线的离心率 Ｃ．一椭圆和一抛物线的离心率Ｄ．两椭圆的离心率4．（2006四川文、理）直线ｙ＝ｘ－3与抛物线x y 42=交于A 、B 两点，过A 、B 两点向 抛物线的准线作垂线，垂足分别为P 、Q ，则梯形APQB 的面积为（ ） （A ）48. （B ）56 （C ）64 （D ）72.5.(2007福建理)以双曲线116922=-y x 的右焦点为圆心，且与其渐近线相切的圆的方程是( )A .B.C .D.6．（2004全国卷Ⅳ理）已知椭圆的中心在原点，离心率21=e ，且它的一个焦点与抛物线 x y 42-=的焦点重合，则此椭圆方程为（ ）A ．13422=+y xB ．16822=+y xC ．1222=+y x D ．1422=+y x 7．（2005湖北文、理）双曲线)0(122≠=-mn ny m x 离心率为2，有一个焦点与抛物线x y 42=的焦点重合，则mn 的值为（ ）A ．163B ．83C ．316D ．388. (2008重庆文)若双曲线2221613x y p-=的左焦点在抛物线y 2=2px 的准线上,则p 的值为 ( )(A)2(B)3(C)4(D)429．（2002北京文）已知椭圆1532222=+n y m x 和双曲线1322222=-n y m x 有公共的焦点，那么 双曲线的渐近线方程是（ ） A ．y x 215±= B ．x y 215±= C ．y x 43±= D ．x y 43±= 二、填空题：（每小题5分，计20分）11. （2005上海文）若椭圆长轴长与短轴长之比为2，它的一个焦点是()0,152，则椭圆的标准方程是_________________________12．(2008江西文)已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线方程为y x =， 若顶点到渐近线的距离为1，则双曲线方程为 ．13.（2007上海文）以双曲线15422=-y x 的中心为顶点，且以该双曲线的右焦点为焦点的 抛物线方程是 ．三、解答题：（15—18题各13分，19、20题各14分）15.（2006北京文）椭圆C:22221(0)x y a b a b +=>>的两个焦点为F 1,F 2,点P 在椭圆C 上，且11212414,||,||.33PF F F PF PF ⊥== （Ⅰ）求椭圆C 的方程；(Ⅱ)若直线l 过圆x 2+y 2+4x-2y=0的圆心M , 交椭圆C 于,A B 两点, 且A 、B 关于点M 对称,求直线l 的方程..16．（2005重庆文）已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为（2，0），右顶点为)0,3( （1）求双曲线C 的方程； （2）若直线2:+=kx y l 与双曲线C 恒有两个不同的交点A 和B ，且2>⋅OB OA （其中O 为原点）. 求k 的取值范围.17.(2007安徽文)设F 是抛物线G :x 2=4y 的焦点.(Ⅰ)过点P （0，-4）作抛物线G 的切线,求切线方程:(Ⅱ)设A 、B 为抛物线G 上异于原点的两点，且满足0·=FB FA ,延长AF 、BF 分别交抛物线G 于点C ,D ，求四边形ABCD 面积的最小值.18．(2008辽宁文) 在平面直角坐标系xOy 中，点P 到两点(0-，，(0的距离之和等于4，设点P 的轨迹为C ． （Ⅰ）写出C 的方程；（Ⅱ）设直线1y kx =+与C 交于A ，B 两点．k 为何值时OA ⊥OB ？此时AB 的值是多少？19. （2002广东、河南、江苏）A 、B 是双曲线x 2－y22＝1上的两点，点N(1,2)是线段AB 的中点(1)求直线AB 的方程；(2)如果线段AB 的垂直平分线与双曲线相交于C 、D 两点，那么A 、B 、C 、D 四点是否共圆？为什么？20.（2007福建理)如图，已知点F （1，0），直线l ：x ＝－1，P 为平面上的动点，过P 作直线l 的垂线，垂足为点Q ，且＝。
圆锥曲线高考题全国卷真题汇总
2 0 1 8 ( 新 课 标 全 国 卷 2 理 科 )5．双曲线 x 2 y 2= 1 (a > 0, b > 0) 的离心率为 3 ，则其渐近线方程为a 2b 22 3A ． y = 士 2xB ． y = 士 3xC ． y = 士 xD ． y = 士 x2 212．已知 F 1， F 2 是椭圆 C ：a x 22 +b y 22=1 (a > b > 0) 的左，右焦点， A 是 C 的左顶点，点 P 在过 A 且斜率为 63的直线上， △PF 1F 2 为等腰三角形， 三 1F F 2 P = 120O ，则 C 的离心率为2A ．3 1 B ．21 C ．31 D ．419．(12 分)设抛物线 C ： y 2 = 4x 的焦点为 F ，过 F 且斜率为 k(k > 0) 的直线 l 与 C 交于 A ， B 两点， | AB| = 8． (1)求 l 的方程；(2)求过点 A ， B 且与 C 的准线相切的圆的方程．2018 (新课标全国卷 2 文科)6．双曲线x 2 y 2= 1 (a > 0, b > 0) 的离心率为 3 ，则其渐近线方程为 a 2 b 2A ． y = 士 2xB ． y = 士 3x2C ． y = 士 x23D ． y = 士 x211．已知 F ， F 是椭圆 C 的两个焦点， P 是 C 上的一点，若 PF 」PF ， 且 三PF F = 60O ， 则 C 的离心率为3A ． 12B ． 2 3C ． 3 12D ． 3 120． ( 12 分) 设抛物线 C ： y 2 = 4x 的焦点为 F ， 过 F 且斜率为 k(k > 0) 的直线 l 与 C 交于 A ， B 两点，| AB | = 8．(1)求 l 的方程；(2)求过点 A ， B 且与 C 的准线相切的圆的方程．2018 (新课标全国卷 1 理科)28．设抛物线 C ： y 2=4x 的焦点为 F ，过点( –2， 0)且斜率为 的直线与 C 交于 M ， N 两点，则FM . FN =3A ． 5B ． 6C ． 7D ． 823为 M 、N.若△OMN 为直角三角形，则|MN|=3A ．B ． 3C ． 2 3D ． 4219． (12 分) 设椭圆 C : x 2+ y 2 = 1 的右焦点为 F ，过 F 的直线 l 与 C 交于 A, B 两点，点 M 的坐标为 (2,0) .2x 11．已知双曲线 C ： y 2 = 1， O 为坐标原点， F 为 C 的右焦点，过 F 的直线与 C 的两条渐近线的交点分别 1 2 1 2 2 1(1)当 l 与 x 轴垂直时，求直线 AM 的方程；(2)设 O 为坐标原点，证明： 三OMA = 三OMB .2018 (新课标全国卷 1 文科)4．已知椭圆 C ： x 2 + y 2= 1的一个焦点为(2，0) ，则 C 的离心率为a 2 41 A ．31 B ．2C ．2 22 2 D ．315．直线 y = x +1 与圆 x 2 + y 2 + 2y - 3 = 0 交于 A ， B 两点，则 AB = ________． 20．(12 分)设抛物线 C ： y 2 = 2x ，点 A (2， 0)， B (-2， 0) ，过点 A 的直线 l 与 C 交于 M ， N 两点． (1)当 l 与x 轴垂直时，求直线 BM 的方程；(2)证明： ∠ABM = ∠ABN ．2018 (新课标全国卷 3 理科)6．直线 x + y + 2 = 0 分别与 x 轴， y 轴交于 A ， B 两点，点 P 在圆 (x - 2)2 + y 2 = 2 上，则 △ABP 面积的取值范围是A ． [2， 6]B ． [4， 8]C ． 2，3 2D ． 2 2，3 2 11． 设 1F ， F 2 是双曲线 C ： a x 22 - b y 22= 1 ( a > 0，b > 0 ) 的左 、右焦点， O 是坐标原点． 过 F 2 作 C 的一条渐近线的垂线，垂足为 P ．若 PF = 6 OP ，则 C 的离心率为1A ． 5B ． 2C ． 3D ． 2 20．(12 分)已知斜率为 k 的直线 l 与椭圆C ：x 2+ y 2= 1交于 A ， B 两点，线段 AB 的中点为 M (1， m)(m > 0)． 4 3(1)证明： k < - 1；2(2) 设 F 为 C 的右焦点， P 为 C 上一点,且 FP+ FA+ FB = 0 ．证明： FA ， FP ， FB 成等差数列，并 求该数列的公差．2018 (新课标全国卷 3 文科)8． 直线 x + y +2 = 0 分别与 x 轴， y 轴交于 A ， B 两点， 点 P 在圆 (x - 2)2 + y 2 = 2 上， 则 △ABP 面积的取值范围是A ． [2,6]B ． [4,8]C ． [ 2, 3 2]D ． [2 2 ,3 2 ]10．已知双曲线 C ： x 2 一 y 2= 1(a > 0，b > 0) 的离心率为 2 ，则点 (4,0) 到C 的渐近线的距离为a 2b 23 2A ． 2B ． 2C ．D ． 2 2220．(12 分)已知斜率为 k 的直线 l 与椭圆C ： x 2 + y 2= 1 交于 A ， B 两点．线段 AB 的中点 为 M (1, m)(m > 0)．4 3 1(1)证明： k 想 一 ；2(2)设 F 为C 的右焦点， P 为C 上一点，且 FP + FA + FB = 0．证明： 2 | FP |=| FA |+ | FB |．2017 (新课标全国卷 2 理科)9.若双曲线 C : x 22一 1(a > 0,b > 0) 的一条渐近线被圆 (x 一 2)2 + y 2 = 4所截得的弦长为 2， 则 C 的离心率为( ) .2 3A ． 2B ． 3C ． 2D ．316.已知 F 是抛物线 C : y 2 = 8x 的焦点， M 是C 上一点， FM 的延长线交 y 轴于点 N ．若 M 为 FN 的中点，则 FN = ．20. 设 O 为 坐 标 原 点， 动 点 M 在 椭 圆 C : x 2 + y 2= 1 上， 过 M 做 x 轴 的 垂 线， 垂 足 为 N ， 点 P 满 足2NP = 2NM .(1)求点 P 的轨迹方程；(2)设点 Q 在直线 x = 一3 上，且OP . PQ = 1 .证明：过点 P 且垂直于 OQ 的直线 l 过 C 的左焦点 F .2017 (新课标全国卷 2 文科)x 2 2A. ( 2，+w)B. ( 2，2)C. (1, 2)D. (1，2)12.过抛物线 C : y 2 = 4x 的焦点 F ，且斜率为 3 的直线交 C 于点 M ( M 在 x 轴上方)， l 为 C 的准线，点N 在 l 上且 MN 」l ，则 M 到直线 NF 的距离为( ) .A. 5B. 2 2C. 2 3D. 3 320.设 O 为坐标原点，动点 M 在椭圆 C :x 2+ y 2 = 1 上，过 M 作 x 轴的垂线，垂足为 N ， 25.若 a >1 ，则双曲线 a2 一 y = 1 的离心率的取值范围是( ) .a b点 P 满足 NP = 2NM . (1)求点 P 的轨迹方程；(2)设点 Q 在直线 x = 一3 上，且 OP . PQ = 1 .证明：过点 P 且垂直于 OQ 的直线 l 过 C 的左焦点 F .2017 (新课标全国卷 1 理科)10.已知 F 为抛物线C ： y 2 = 4x 的焦点， 过 F 作两条互相垂直的直线l 1， l 2， 直线l 1 与 C 交于 A ， B 两点， 直线 l 2 与 C 交于 D ， E 两点，则 AB + DE 的最小值为( ) .A ． 16B ． 14C ． 12D ． 10 15.已知双曲线 C :x 2 一 y 2= 1(a > 0,b > 0) 的右顶点为 A ， 以 A 为圆心， b 为半径做圆 A ， 圆 A 与双曲线 C a 2 b 2的一条渐近线交于 M ， N 两点.若 三MAN = 60 ，则 C 的离心率为________.20.已知椭圆 C : a x 22 + b y 22=1(a > b > 0)， 四点 1P (1，1)， 2P (0，1)， 3P (||( – 1， 23 ))||， 4P (||(1， 23 ))|| 中恰有三点在椭圆 C 上. (1)求 C 的方程；(2) 设直线 l 不经过 P 2 点且与 C 相交于 A ， B 两点.若直线 P 2 A 与直线 P 2 B 的斜率的和为 – 1， 证明： l 过定.2017 (新课标全国卷 1 文科)5.已知 F 是双曲线 C : x 2一 y 2= 1 的右焦点， P 是 C 上一点， 且 PE 与 x 轴垂直， 点 A 的坐标是(1, 3)， 则3△APF 的面积为( ) .1 12 3A ．B ．C ．D ．3 2 3 2x 2 y 2围是( ) .A 20.设 A ，B 为曲线C : y = x 2上两点， A 与 B 的横坐标之和为 4.4(1)求直线 AB 的斜率；(2)设 M 为曲线 C 上一点， C 在 M 处的切线与直线 AB 平行，且 AM 」BM ，求直线 AB 的方程. . (0,1] [9, +w ) B. (0, 3 [9, +w ) C. (0,1] [4, +w) D. (0, 3 [4, +w )点 12.设 A ， B 是椭圆C : + = 1 长轴的两个端点， 若C 上存在点 M 满足三AMB = 120 ， 则 m 的取值范3 m2017 (新课标全国卷 3 理科)5.已知双曲线 C ： C :x 2 y 2 = 1(a > 0, b > 0) 的一条渐近线方程为 y = 5x ，且与椭圆 a 2 b 2 2x 2 y 2+ = 1 有公共焦点，则 C 的方程为( 12 3) .x 2 y 2A ． = 18 10x 2 y 2B ． = 14 5x 2 y 2C ． = 15 4x 2 y 2D ． = 14 310. 已知椭圆 C : a x 22 + b y 22= 1(a > b > 0) 的左 、 右顶点分别为 A 1， A 2， 且以线段 A 1A 2 为直径的圆与直线bx ay + 2ab = 0 相切，则 C 的离心率为( ) .A ．6 3 B ．3 3 C ．2 31 D ．320．已知抛物线 C ： y 2 = 2x ，过点(2，0) 的直线 l 交 C 与A ， B 两点，圆 M 是以线段 AB 为直径的圆． (1)证明：坐标原点 O 在圆 M 上； (2)设圆 M 过点 P(4，2) ，求直线 l 与圆 M 的方程．2017 (新课标全国卷 3 文科)11.已知椭圆 C : a x 22 + b y 22= 1(a > b > 0) 的左 、 右顶点分别为 A 1， A 2， 且以线段 A 1A 2 为直径的圆与直线bx ay + 2ab = 0 相切，则 C 的离心率为( ) .2 313x 2 y 2 3a 2 9 520． 在直角坐标系 xOy 中， 曲线 y = x 2 + mx – 2 与 x 轴交于 A ， B 两点， 点 C 的坐标为(0，1) . 当 m 变化 时，解答下列问题：(1)能否出现 AC 」BC 的情况？说明理由；(2)证明过 A ， B ， C 三点的圆在 y 轴上截得的弦长为定值 .2016 (新课标全国卷 2 理科)(4)圆 x 2 + y 2 2x 8y +13 = 0 的圆心到直线 ax + y 1 = 0 的距离为 1，则 a= ( )3 36 314.双曲线 = 1(a > 0) 的一条渐近线方程为 y = x ，则 a = .D ． C ．B ． A ．|DE|= 2 5 ，则 C 的焦点到准线的距离为(C ) 3 (D ) 24x 2 y 2a bsin 三MF 2 F 1 = 3, 则 E 的离心率为( )3220. (本小题满分 12 分)已知椭圆 E: x 2 + y 2= 1 的焦点在 x 轴上， A 是 E 的左顶点， 斜率为 k (k > 0) 的直线交 E 于 A , M 两点， 点t 3N 在 E 上， MA 」NA ．(Ⅰ)当 t = 4,| AM |=| AN | 时，求 编AMN 的面积； (Ⅱ)当 2 AM = AN 时，求 k 的取值范围．2016 (新课标全国卷 2 文科)(5) 设 F 为抛物线 C ： y 2=4x 的焦点，曲线 y= (k> 0)与 C 交于点 P ， PF ⊥x 轴，则 k= ( )x1 3(A) (B) 1 (C) (D) 22 2(6) 圆 x 2+y 2?2x?8y+13=0 的圆心到直线 ax+y?1=0 的距离为 1，则 a= ( )4(A) ?3 3(B) ?4(C)3(D) 2(21)(本小题满分 12 分)已知 A 是椭圆 E ： + = 1 的左顶点，斜率为 k (k ＞0) 的直线交 E 与 A ， M 两点，点 N 在 E 上，4 3MA 」NA .(Ⅰ)当 AM = AN 时，求 编AMN 的面积； (Ⅱ)当 AM = AN 时，证明： 3 < k < 2 .2016 (新课标全国卷 1 理科)(5)已知方程–3m yn =1 表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为 4，则 n 的取值范围是(A) ( – 1,3) (B) ( – 1, 3) (C) (0,3) (D) (0, 3)(10)以抛物线 C 的顶点为圆心的圆交 C 于 A 、B 两点， 交 C 的标准线于 D 、E 两点 . 已知|AB|= 4 2 ， (11) 已知 F 1 , F 2 是双曲线 E : 2 _ 2= 1 的左， 右焦点， 点 M 在 E 上， MF 1 与 x 轴垂直，(A ) 2 (B ) (C ) 3 (D ) 2 (A ) _(B ) _x 2 y 2 k 4331(A)2 (B)4 (C)6 (D)820. (本小题满分 12 分)理科设圆x2 + y2 + 2x 15 = 0 的圆心为 A，直线 l 过点 B (1,0) 且与 x 轴不重合， l 交圆 A 于 C， D 两点，过 B 作AC 的平行线交 AD 于点 E.(I)证明EA + EB 为定值，并写出点 E 的轨迹方程；(II)设点 E 的轨迹为曲线 C1 ，直线 l 交 C1 于 M,N 两点，过 B 且与 l 垂直的直线与圆 A 交于 P,Q 两点，求四边形 MPNQ 面积的取值范围 .2016 (新课标全国卷 1 文科)1(5)直线 l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到 l 的距离为其短轴长的4，则该椭圆的离心率为1 12 3(A) (B) (C) (D)(15)设直线 y=x+2a 与圆 C： x2+y2-2ay-2=0 相交于 A， B 两点，若，则圆 C 的面积为 . (20)(本小题满分 12 分)在直角坐标系xOy 中，直线l:y=t(t≠0)交 y 轴于点 M，交抛物线 C：y2 = 2px(p > 0) 于点 P， M 关于点 P 的对称点为 N，连结 ON 并延长交 C 于点 H.OH(I)求；ON(II)除 H 以外，直线 MH 与 C 是否有其它公共点？说明理由 .2016 (新课标全国卷 3 理科)(11)已知 O 为坐标原点， F 是椭圆 C：x2a2+y2b2= 1(a > b > 0) 的左焦点， A， B 分别为 C 的左，右顶点 .P 为 C上一点，且PF 」x 轴.过点 A 的直线 l 与线段PF 交于点 M，与 y 轴交于点 E.若直线 BM 经过 OE 的中点，则 C 的离心率为1 (A)31(B)22(C)33(D)4(16)已知直线l：mx + y + 3m 3 = 0 与圆x2 + y2 = 12 交于A, B 两点，过A, B 分别做l 的垂线与x 轴交于C, D 两点，若AB = 2 3 ，则| CD |= __________________.(20)(本小题满分 12 分)已知抛物线C：y2 = 2x 的焦点为F，平行于x 轴的两条直线l1 , l2 分别交C 于A， B 两点，交C 的准线于P， Q 两点．(I)若F 在线段AB 上，R 是PQ 的中点，证明AR FQ；(II)若PQF 的面积是ABF 的面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程 .2016 (新课标全国卷 3 文科)3 2 3 4(12)已知 O 为坐标原点， F 是椭圆 C ： x 2 + y 2= 1(a > b > 0) 的左焦点， A ， B 分别为 C 的左，右顶点 .P 为a 2b 2C 上一点，且 PF 」x 轴.过点 A 的直线 l 与线段 PF 交于点 M ， 与 y 轴交于点 E.若直线 BM 经过 OE 的中 点，则 C 的离心率为1 (A)31 (B)22 (C)33 (D)4( 15) 已知直线 l ： x 3y + 6 = 0 与圆x 2 + y 2 = 12 交于 A, B 两点， 过 A, B 分别作l 的垂线与x 轴交于C, D 两点，则 | CD |= _____________ .(20)(本小题满分 12 分)已知抛物线 C ： y 2 = 2x 的焦点为 F ， 平行于 x 轴的两条直线 l 1 , l 2 分别交 C 于 A ， B 两点， 交 C 的准线 于 P ， Q 两点．(I)若 F 在线段 AB 上， R 是 PQ 的中点，证明 AR FQ ； (II)若PQF 的面积是 ABF 的面积的两倍，求 AB 中点的轨迹方程 .2015 (新课标全国卷 2)(11) 已知 A ， B 为双曲线 E 的左，右顶点，点 M 在 E 上， ?ABM 为等腰三角形，且顶角为 120°，则 E 的离心 率为(A ) √ 5 (B) 2 (C ) √3 (D ) √2(15)已知双曲线过点(4， ,3)，且渐近线方程为 y = 士 x ，则该双曲线的标准方程为 2。
历年高考圆锥曲线大题精选
1.（2018全国I理19）
设椭圆C： +y²=1的右焦点为F，过F的直线l与C交于A，B两点，点M的坐标为（2，0）.
（1）当l与x轴垂直时，求直线AM的方程；
（2）设O为坐标原点，证明：∠OMA=∠OMB.
2.(2018全国II理）
3.(2018全国III理）
4.（2018全国I文）
5.(2018浙江）
6.（2017全国I理20）
7.
8.
9.(2017全国III理）
10.（2017全国I文20）
11.（2016全国I理20）
12.(2016全国III理20）
13.（2016山东理）平面直角坐标系中，椭圆C：的离心率是
，抛物线E：的焦点F是C的一个顶点.
（1）求椭圆C的方程；
（2）设P是E上的动点，且位于第一象限，E在点P处的切线与C交与不同的两点A，B，线段AB的中点为D，直线OD与过P且垂直于x轴的直线交于点M.
①求证：点M在定直线上;
②直线与y轴交于点G，记△PFG的面积为，△PDM的面积为，求的最大值及取得最大值时点P的坐标.
14.（2015全国I理）
15.(2015全国II理）
16.
17.
18.。
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全国卷高考数学圆锥曲线大题集大全-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN高考二轮复习专项：圆锥曲线大题集1. 如图，直线l 1与l 2是同一平面内两条互相垂直的直线，交点是A ，点B 、D 在直线l 1上(B 、D 位于点A 右侧)，且|AB|=4，|AD|=1，M 是该平面上的一个动点，M 在l 1上的射影点是N ，且|BN|=2|DM|. (Ⅰ) 建立适当的坐标系，求动点M 的轨迹C 的方程．(Ⅱ)过点D 且不与l 1、l 2垂直的直线l 交(Ⅰ)中的轨迹C 于E 、F 两点；另外平面上的点G 、H 满足：(R);AG AD λλ=∈2;GE GF GH +=0.GH EF ⋅=求点G 的横坐标的取值范围．2. 设椭圆的中心是坐标原点，焦点在x 轴上，离心率23=e ，已知点)3,0(P 到这个椭圆上的点的最远距离是4，求这个椭圆的方程.3. 已知椭圆)0(1:22221>>=+b a b y a x C 的一条准线方程是,425=x 其左、右顶点分别B AD MB Nl 2l 1是A 、B ；双曲线1:22222=-b y a x C 的一条渐近线方程为3x －5y=0.（Ⅰ）求椭圆C 1的方程及双曲线C 2的离心率；（Ⅱ）在第一象限内取双曲线C 2上一点P ，连结AP 交椭圆C 1于点M ，连结PB 并延长交椭圆C 1于点N ，若MP AM =. 求证：.0=•AB MN4. 椭圆的中心在坐标原点O,右焦点F （c,0）到相应准线的距离为1，倾斜角为45°的直线交椭圆于A ，B 两点.设AB 中点为M ，直线AB 与OM 的夹角为αa. （1）用半焦距c 表示椭圆的方程及tan α; （2）若2<tan α<3，求椭圆率心率e 的取值范围.5. 已知椭圆2222b y ax +（a ＞b ＞0）的离心率36=e ，过点A （0，-b ）和B （a ，0）的直线与原点的距离为23（1）求椭圆的方程（2）已知定点E （-1，0），若直线y ＝kx ＋2（k≠0）与椭圆交于C D 两点 问：是否存在k 的值，使以CD 为直径的圆过E 点请说明理由6. 在直角坐标平面中，ABC ∆的两个顶点B A ,的坐标分别为)0,1(-A ，)0,1(B ，平面内两点M G ,同时满足下列条件： ①0=++GC GB GA MCMB MA ==GM ∥AB（1）求ABC ∆的顶点C 的轨迹方程；（2）过点)0,3(P 的直线l 与（1）中轨迹交于F E ,两点，求PF PE ⋅的取值范围7. 设R y x ∈,，j i,为直角坐标平面内x 轴．y 轴正方向上的单位向量，若jy i x b j y i x a)2(,)2(-+=++=，且8||||=+b a（Ⅰ）求动点M(x,y)的轨迹C 的方程；（Ⅱ）设曲线C 上两点A ．B ，满足(1)直线AB 过点（0，3），(2)若OB OA OP +=，则OAPB 为矩形，试求AB 方程．8. 已知抛物线C ：)0,0(),(2>≠+=n m n x m y 的焦点为原点，C 的准线与直线)0(02:≠=+-k k y kx l 的交点M 在x 轴上，l 与C 交于不同的两点A 、B ，线段AB 的垂直平分线交x 轴于点N （p ，0）． （Ⅰ）求抛物线C 的方程； （Ⅱ）求实数p 的取值范围；（Ⅲ）若C 的焦点和准线为椭圆Q 的一个焦点和一条准线，试求Q 的短轴的端点的轨迹方程．x9. 如图，椭圆的中心在原点，长轴AA 1在x 轴上.以A 、A 1为焦点的双曲线交椭圆于C 、D 、D 1、C 1四点，且|CD|＝21|AA 1|.椭圆的一条弦AC 交双曲线于E ，设λ=EC AE ，当4332≤≤λ时，求双曲线的离心率e 的取值范围.10. 已知三角形ABC 的三个顶点均在椭圆805422=+y x 上，且点A 是椭圆短轴的一个端点（点A 在y 轴正半轴上）.若三角形ABC 的重心是椭圆的右焦点，试求直线BC 的方程;若角A 为090，AD 垂直BC 于D ，试求点D 的轨迹方程.11. 如图，过抛物线24x y =的对称轴上任一点(0,)(0)P m m >作直线与抛物线交于,A B 两点，点Q 是点P 关于原点的对称点.(1) 设点P 分有向线段AB 所成的比为λ，证明:()QP QA QB λ⊥-;(2) 设直线AB 的方程是2120x y -+=，过,A B 两点的圆C 与抛物线在点A 处有共同的切线，求圆C 的方程.12. 已知动点P （p ，-1），Q （p ，212p +），过Q 作斜率为2p 的直线l ，P Q 中点M 的轨迹为曲线C.（1）证明：l 经过一个定点而且与曲线C 一定有两个公共点； （2）若（1）中的其中一个公共点为A ，证明：AP 是曲线C 的切线；（3）设直线AP 的倾斜角为α，AP 与l 的夹角为β，证明：βα+或βα-是定值.13. 在平面直角坐标系内有两个定点12F F 、和动点P ，12F F 、坐标分别为)0,1(1-F 、)0,1(F 2，动点P 满足22|PF ||PF |21=，动点P 的轨迹为曲线C ，曲线C 关于直线y x =的对称曲线为曲线'C ，直线3-+=m x y 与曲线'C 交于A 、B 两点，O 是坐标原点，△ABO 的面积为7， （1）求曲线C 的方程；（2）求m 的值。
14. 已知双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的左右两个焦点分别为21F F 、,点P 在双曲线右支上.（Ⅰ）若当点P 的坐标为)516,5413(时,21PF PF ⊥,求双曲线的方程； （Ⅱ）若||3||21PF PF =,求双曲线离心率e 的最值,并写出此时双曲线的渐进线方程.15. 若F 1、F 2为双曲线122=-b y a x 的左右焦点，O 为坐标原点，P 在双曲线的左支上，点M在右准线上，且满足；)0,1 λλOM OF OP PM O F +==.（1）求该双曲线的离心率；（2）若该双曲线过N （2，3），求双曲线的方程；（3）若过N （2，3）的双曲线的虚轴端点分别为B 1、B 2（B 1在y 轴正半轴上），点A 、B 在双曲线上，且B B A B B B A B 1122,⊥=求λ时，直线AB 的方程.16. 以O 为原点，OF 所在直线为x 轴，建立如 所示的坐标系。
设1OF FG •=，点F 的坐标为(,0)t ，[3,)t ∈+∞，点G 的坐标为00(,)x y 。
（1）求x 关于t 的函数0()x f t =的表达式，判断函数()f t 的单调性，并证明你的判断；（2）设ΔOFG 的面积S =，若以O 为中心，F 为焦点的椭圆经过点G ，求当||OG 取最小值时椭圆的方程；（3）在（2）的条件下，若点P 的坐标为9(0,)2，C 、D 是椭圆上的两点，且(1)PC PD λλ=≠，求实数λ的取值范围。
17. 已知点C 为圆8)1(22=++y x 的圆心，点A （1，0），P 是圆上的动点，点Q 在圆的半径CP 上，且.2,0AM AP AP MQ ==⋅（Ⅰ）当点P 在圆上运动时，求点Q 的轨迹方程；（Ⅱ）若直线12++=k kx y 与（Ⅰ）中所求点Q 的轨迹交于不同两点F ，H ，O 是坐标原点， 且4332≤⋅≤OH OF ，求△FOH 的面积的取值范围。
18. 如图所示，O 是线段AB 的中点，|AB|＝2c ，以点A 为圆心，2a 为半径作一圆，其中c a <。
（1）若圆A 外的动点P 到B 的距离等于它到圆周的最短距离，建立适当坐标系，求动点P 的轨迹方程，并说明轨迹是何种曲线；（2）经过点O 的直线l 与直线AB 成60°角，当c ＝2，a ＝1时，动点P 的轨迹记为E ，设过点B 的直线m 交曲线E 于M 、N 两点，且点M 在直线AB 的上方，求点M 到直线l 的距离d 的取值范围。
A O B19. 设O 为坐标原点,曲线016222=+-++y x y x 上有两点P 、Q 满足关于直线04=++my x 对称，又以PQ 为直径的圆过O 点.（1）求m 的值; （2）求直线PQ 的方程.20. 在平面直角坐标系中，若(3,),(3,)a x y b x y =-=+，且4a b +=，（1）求动点(,)Q x y 的轨迹C 的方程；（2）已知定点(,0)(0)P t t >，若斜率为1的直线l 过点P 并与轨迹C 交于不同的两点,A B ，且对于轨迹C 上任意一点M ，都存在[0,2]θπ∈，使得cos sin OM OA OB θθ=⋅+⋅成立，试求出满足条件的实数t 的值。
21. 已知双曲线12222=-b y a x （a>0,b>0）的右准线与2l 一条渐近线l 交于两点P 、Q ，F 是双曲线的右焦点。
（I ）求证：PF ⊥l ；（II）若△PQF为等边三角形，且直线y=x+b交双曲线于A，B两点，且AB30，求双曲线的方程；（III）延长FP交双曲线左准线1l和左支分别为点M、N，若M为PN的中点，求双曲线的离心率e。
22. 已知又曲线在左右顶点分别是A，B，点P是其右准线上的一点，若点A关于点P的对称点是M，点P关于点B的对称点是N，且M、N 都在此双曲线上。
（I）求此双曲线的方程；（II）求直线MN的倾斜角。
23. 如图，在直角坐标系中，点A （-1，0），B （1，0），P （x ，y ）（y ≠0）。
设AP OP BP →→→、、与x 轴正方向的夹角分别为α、β、γ，若αβγπ++=。
（I ）求点P 的轨迹G 的方程；（II ）设过点C （0，-1）的直线l 与轨迹G 交于不同两点M 、N 。
问在x 轴上是否存在一点()E x 00，，使△MNE 为正三角形。
若存在求出x 0值；若不存24. 设椭圆()2222x y C :1a b 0a b +=>>过点)M 1，且焦点为()1F ,0。
（1）求椭圆C 的方程；（2）当过点()P 4,1的动直线与椭圆C 相交与两不同点A 、B 时，在线段AB 上取点Q ， 满足AP QB AQ PB =，证明：点Q 总在某定直线上。
25. 平面直角坐标系中，O 为坐标原点，给定两点A （1，0）、B （0，－2），点C 满足αβα其中,OB OA OC +=、12,=-∈βαβ且R（1）求点C 的轨迹方程；（2）设点C 的轨迹与双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 交于两点M 、N ，且以MN 为直径的圆过原点，求证：为定值2211b a -.26. 设)0,1(F ，M 、P 分别为x 轴、y 轴上的点，且PM •0=PF ，动点N 满足：NP MN 2-=.（1）求动点N 的轨迹E 的方程；（2）过定点)0)(0,(>-c c C 任意作一条直线l 与曲线E 交与不同的两点A 、B ，问在x 轴上是否存在一定点Q ，使得直线AQ 、BQ 的倾斜角互补？若存在，求出Q 点的坐标；若不存在，请说明理由.27. 如图，直角梯形ABCD 中，∠︒=90DAB ，AD ∥BC ，AB=2，AD=23，BC=21椭圆F 以A 、B 为焦点，且经过点D ，（Ⅰ）建立适当的直角坐标系，求椭圆F 的方程；（Ⅱ）是否存在直线l 与M 、F 交于椭圆N 两点，且线段C MN 的中点为点，若存在，求直线l 的方程；若不存在，说明理由.C BD28. 如图所示，B （– c ，0），C （c ，0），AH ⊥BC ，垂足为H ，且HC BH 3=．（1）若AC AB ⋅= 0，求以B 、C 为焦点并且经过点A 的椭圆的离心率；（2）D 分有向线段AB 的比为λ，A 、D 同在以B 、C 为焦点的椭圆上， 当 ―5≤λ≤27- 时，求椭圆的离心率e 的取值范围．29. 在直角坐标平面中，ABC ∆的两个顶点B A ,的坐标分别为)0,1(-A ，)0,1(B ，平面内两点M G ,同时满足下列条件：①0=++GC GB GA ==GM ∥AB（1）求ABC ∆的顶点C 的轨迹方程；（2）过点)0,3(P 的直线l 与（1）中轨迹交于F E ,两点，求PF PE ⋅的取值范围答案：1.解：(Ⅰ) 以A 点为坐标原点，l1为x 轴，建立如图所示的坐标系，则D(1，0)，B(4，0)，设M （x ，y ），则N （x ，0）.∵|BN|=2|DM|，∴|4－x|=2(x －1)2+y2 ,整理得3x2+4y2=12,∴动点M 的轨迹方程为x24+ y23 =1 .(Ⅱ)∵(R),AG AD λλ=∈∴A 、D 、G 三点共线，即点G 在x 轴上；又∵2,GE GF GH +=∴H 点为线段EF 的中点；又∵0,GH EF ⋅=∴点G 是线段EF 的垂直平分线GH 与x 轴的交点。