北京近五年高考圆锥曲线大题上课讲义
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(北京专用)高考数学一轮复习第九章平面解析几何第十节圆锥曲线的综合问题课件理
1 故可设直线(zhí2xiàn)l的方2 程为y=k(x2+1)(k≠0),代入椭圆G的方程并化简,得(2k2+ 1)x2+4k2x+2(k2-1)=0,
第二十一页，共29页。
设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x24k=2- ,x1x2=2( k 2,1)
所点以M的 y1坐=2k标y· 2 为= k· ,x1 2= x2 ,1
3
化简,得B ,x02
y02 2 y0
9
0,
x02
y02 2 y0
9
所= 以x6×02四3y边×202 形|y0O|+P Ax02B×的3×面y积02 S四边形OPAB=S△OAP+S△OAB
0,
2 y02 2 y0
3
1
1
2 y02 3
2
2
2 y0
第十三页，共29页。
== 32 ×× | y0≥ | ×222 yy020
定点、定值问题
典例1 (2016北京,19,14分)已知椭圆C: +x 2 =1y(2a>b>0)的离心率为 ,A(a,0),B(0,b),O(0,0),△OAB的面积为1. a2 b2 (13)求椭圆C的方程; 2 (2)设P是椭圆C上一点(yī diǎn),直线PA与y轴交于点M,直线PB与x轴交于点N.
第十九页，共29页。
解析(jiě xī) (1)由已知可得F1(-1,0),又直线l的斜率为1,所以直线l的方程为y=x+1,
由 解得
所所以以 yxA直22B线的xOy中2M1,点的1M,斜 率, 为 xy11=- 10,, .
x2 y2
4 3 1 3
, ,
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设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x24k=2- ,x1x2=2( k 2,1)
所点以M的 y1坐=2k标y· 2 为= k· ,x1 2= x2 ,1
3
化简,得B ,x02
y02 2 y0
9
0,
x02
y02 2 y0
9
所= 以x6×02四3y边×202 形|y0O|+P Ax02B×的3×面y积02 S四边形OPAB=S△OAP+S△OAB
0,
2 y02 2 y0
3
1
1
2 y02 3
2
2
2 y0
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== 32 ×× | y0≥ | ×222 yy020
定点、定值问题
典例1 (2016北京,19,14分)已知椭圆C: +x 2 =1y(2a>b>0)的离心率为 ,A(a,0),B(0,b),O(0,0),△OAB的面积为1. a2 b2 (13)求椭圆C的方程; 2 (2)设P是椭圆C上一点(yī diǎn),直线PA与y轴交于点M,直线PB与x轴交于点N.
第十九页，共29页。
解析(jiě xī) (1)由已知可得F1(-1,0),又直线l的斜率为1,所以直线l的方程为y=x+1,
由 解得
所所以以 yxA直22B线的xOy中2M1,点的1M,斜 率, 为 xy11=- 10,, .
x2 y2
4 3 1 3
, ,
2025年新人教版高考数学一轮复习讲义 第八章 §8.13 圆锥曲线中定点与定值问题
2025年新人教版高考数学一轮复习讲义
第八章
§8.13 圆锥曲线中定点与定值问题
题型一 定点问题
例 1 (2023·全国乙卷)已知椭圆 C：ay22＋bx22＝1(a>b>0)的离心率是 35， 点 A(－2,0)在 C 上. (1)求C的方程；
b＝2， 由题意可得a2＝b2＋c2，
e＝ac＝ 35，
思维升华
求解直线或曲线过定点问题的基本思路 (1)把直线或曲线方程中的变量x，y当作常数看待，把方程一端化为零， 既然是过定点，那么这个方程就要对任意参数都成立，这时参数的系数 就要全部等于零，这样就得到一个关于x，y的方程组，这个方程组的解 所确定的点就是直线或曲线所过的定点. (2)由直线方程确定其过定点时，若得到了直线方程的点斜式y－y0＝k(x－ x0)，则直线必过定点(x0，y0)；若得到了直线方程的斜截式y＝kx＋m，则 直线必过定点(0，m).
1234
y＝kx＋m， 联立x32－y62＝1， 得(2－k2)x2－2kmx－m2－6＝0， 2－k2≠0， Δ＝2km2＋42－k2m2＋6>0， 所以 x1＋x2＝22－kmk2，x1x2＝－m2－2＋k62 ， 因为 kAF＋kBF＝0，所以x1y－1 3＋x2y－2 3＝0，
1234
所以kxx11－＋3m＋kxx22－＋3m＝0， 所以(kx1＋m)(x2－3)＋(kx2＋m)(x1－3)＝0， 整理得2kx1x2＋(m－3k)(x1＋x2)－6m＝0. 所以－2k·m2－2＋k62 ＋(m－3k)·22－kmk2－6m＝0， 化简得k＋m＝0，即m＝－k， 所以直线l的方程为y＝kx－k＝k(x－1)，恒过点(1,0)，所以直线l过 定点.
1234
因为双曲线 C：ax22－by22＝1(a>0，b>0)的渐近线为 y＝±bax， 又因为双曲线 C 的右焦点 F(c,0)到其渐近线的距离为 6， 所以 ab2＋c b2＝b＝ 6， 又 e＝ac＝ 3，a2＋b2＝c2，联立解得 a＝ 3， 所以双曲线 C 的方程为x32－y62＝1.
第八章
§8.13 圆锥曲线中定点与定值问题
题型一 定点问题
例 1 (2023·全国乙卷)已知椭圆 C：ay22＋bx22＝1(a>b>0)的离心率是 35， 点 A(－2,0)在 C 上. (1)求C的方程；
b＝2， 由题意可得a2＝b2＋c2，
e＝ac＝ 35，
思维升华
求解直线或曲线过定点问题的基本思路 (1)把直线或曲线方程中的变量x，y当作常数看待，把方程一端化为零， 既然是过定点，那么这个方程就要对任意参数都成立，这时参数的系数 就要全部等于零，这样就得到一个关于x，y的方程组，这个方程组的解 所确定的点就是直线或曲线所过的定点. (2)由直线方程确定其过定点时，若得到了直线方程的点斜式y－y0＝k(x－ x0)，则直线必过定点(x0，y0)；若得到了直线方程的斜截式y＝kx＋m，则 直线必过定点(0，m).
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y＝kx＋m， 联立x32－y62＝1， 得(2－k2)x2－2kmx－m2－6＝0， 2－k2≠0， Δ＝2km2＋42－k2m2＋6>0， 所以 x1＋x2＝22－kmk2，x1x2＝－m2－2＋k62 ， 因为 kAF＋kBF＝0，所以x1y－1 3＋x2y－2 3＝0，
1234
所以kxx11－＋3m＋kxx22－＋3m＝0， 所以(kx1＋m)(x2－3)＋(kx2＋m)(x1－3)＝0， 整理得2kx1x2＋(m－3k)(x1＋x2)－6m＝0. 所以－2k·m2－2＋k62 ＋(m－3k)·22－kmk2－6m＝0， 化简得k＋m＝0，即m＝－k， 所以直线l的方程为y＝kx－k＝k(x－1)，恒过点(1,0)，所以直线l过 定点.
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因为双曲线 C：ax22－by22＝1(a>0，b>0)的渐近线为 y＝±bax， 又因为双曲线 C 的右焦点 F(c,0)到其渐近线的距离为 6， 所以 ab2＋c b2＝b＝ 6， 又 e＝ac＝ 3，a2＋b2＝c2，联立解得 a＝ 3， 所以双曲线 C 的方程为x32－y62＝1.
线与圆锥曲线的位置关系(八大题型)(课件)-2025年高考数学一轮复习(新教材新高考)
−
，两式相减得
+ −
+
−
+
=
+
−
=
− ，故
=
−
=
知识梳理·基础回归
知识点3：点差法
（2）运用类似的方法可以推出；若是双曲线
, ，则 =
= 1，①
= 1②
①-②得
1 +2 1 −2
16
+
1 +2 1 −2
12
= 0，
−
3
1
2
∵ 1 + 2 = 4，1 + 2 = 2，∴ = − = − 2，
1
∴此弦所在的直线方程为 − 1 =
【方法技巧】
点差法
3
− (
2
2
− 2)，即3 + 2 − 8 = 0．
2
2
2
【解析】当 ≥ 0时，曲线 −
= 1，即 − =
9
4
9
4
3
一条渐近线方程为： = 2 ，直线与渐近线平行；
当 <
2
0时，曲线
9
−
4
=
2
1，即
9
2
+
4
画出曲线和直线的图像，如图所示：
根据图像知有2个公共点．
故选：B
1，双曲线右半部分；
= 1，椭圆的左半部分；
）．
题型突破·考法探究
16
弦所在的直线方程为
2
+
12
2020年高三总复习数学人教旧版(北京专用)[第17讲 圆锥曲线基础]讲义(教师版)
![2020年高三总复习数学人教旧版(北京专用)[第17讲 圆锥曲线基础]讲义(教师版)](https://img.taocdn.com/s3/m/789eecff581b6bd97e19ea6f.png)
y2 x2 ＋ ＝1(a>b>0)
a2 b2
图形
范围
对称性 顶点
性 轴
质 焦距
离心率
a，b，c 的关系
－a≤x≤a
－b≤x≤b
－b≤y≤b
－a≤y≤a
对称轴：坐标轴 对称中心：原点
A1(－a,0)，A2(a,0)
A1(0，－a)，A2(0，a)
B1(0，－b)，B2(0，b)
B1(－b,0)，B2(b,0)
第 1页
（备注：学生版目录只到三级，可以给学生强调下四级目录）
第 2页
椭圆 一、椭圆的概念 （1）平面内与两个定点 F1，F2 的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两 个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距． 集合 P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中 a>0，c>0，且 a，c 为常数： (1)若 a>c，则集合 P 为椭圆； (2)若 a＝c，则集合 P 为线段； (3)若 a<c，则集合 P 为空集．
【解析】解：由题意，焦点在 x 轴上，且渐近线方程为 y=±2x 的双曲线的方程是 x2﹣ y2 =1， 4
故选 A．
(1)利用双曲线的定义判定平面内动点与两定点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求 出双曲线方程； (2)在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，经常结合||PF1|－|PF2||＝2a，运用 平方的方法，建立与|PF1|·|PF2|的联系． (3)待定系数法求双曲线方程具体过程中先定形，再定量，即先确定双曲线标准方程的形式， 然后再根据 a，b，c，e 及渐近线之间的关系，求出 a，b 的值，如果已知双曲线的渐近线方
高考数学大一轮复习第九章平面解析几何高考专题突破五高考中的圆锥曲线问题课件理北师大版
两点，则|AB|＋|DE|的最小值为
√A.16
B.14
C.12
D.10
12345 第八页，共95页。
解析 答案
4.(2017·北京)若双曲线 x2－ym2＝1 的离心率为 3，则实数 m＝___2___. 解析 由双曲线的标准方程知 a＝1，b2＝m，c＝ 1＋m， 故双曲线的离心率 e＝ac＝ 1＋m＝ 3， ∴1＋m＝3，解得m＝2.
第十六页，共95页。
跟踪训练 1 已知双曲线xa22－yb22＝1(a＞0，b＞0)的一个焦点为 F(2,0)，且双
曲线的渐近线与圆(x－2)2＋y2＝3 相切，则双曲线的方程为
A.x92－1y32 ＝1
B.1x32 －y92＝1
C.x32－y2＝1
√D.x2－y32＝1
第十七页，共95页。
解析 答案
解 由题设得|PM|＋|PN|＝4>|MN|＝2， ∴点P的轨迹C是以M，N为焦点的椭圆，
∵2a＝4,2c＝2，∴b＝ a2－c2＝ 3，
∴点 P 的轨迹 C 的方程为x42＋y32＝1.
第四十页，共95页。
解答
(2)设G(m,0)为轨迹C内的一个(yī ɡè)动点，过点G且斜率为k的直线l交轨迹C于A， B两点，当k为何值时，ω＝|GA|2＋|GB|2是与m无关的定值，并求出该定值.
√A.x42＋y32＝1
B.x32＋y2＝1
C.x22＋y2＝1
D.x42＋y2＝1
解析 ∵|BF2|＝|F1F2|＝2，∴a＝2c＝2， ∴a＝2，c＝1，∴b＝ 3，∴椭圆的方程为x42＋y32＝1.
第十五页，共95页。
解析 答案
思维升华 求圆锥曲线的标准方程是高考的必考题型，主要利用圆锥曲线的定义、 简单性质(xìngzhì)，解得标准方程中的参数，从而求得方程.
高考数学一轮复习高考大题专项五直线与圆锥曲线压轴大题课件理北师大版
2
3
=1;
(2)设 A(x1,y1),B(x2,y2),直线 AB 的方程为 x=my+1,
= + 1,
由 2 2
可得 3(my+1)2+4y2=12,
+ = 1,
4
3
即(3m2+4)y2+6my-9=0,Δ=36m2+36(3m2+4)=144(m2+1)>0,所以方程
-6
9
有两个不相等的实根,设为 y1,y2,y1+y2=3 2 +4,y1y2=-3 2 +4.
+
1
2
2 =1(a>b>0)的离心率为 e= ,椭圆 C 上一点 M 到左右两个焦点
F1,F2 的距离之和是 4.
(1)求椭圆的方程;
(2)已知过 F2 的直线与椭圆 C 交于 A,B 两点,且两点与左右顶
点不重合,若1 = 1 + 1 ,求四边形 AMBF1 面积的最大值.
难点突破第一问根据题中条件,利用椭圆的定义以及性质,求得
考情分析
必备知识
5.通径:过椭圆、双曲线、抛物线的焦点垂直于焦点所在坐标轴
22
的弦称为通径,椭圆与双曲线的通径长为
,过椭圆焦点的弦中通
径最短;抛物线通径长是2p,过抛物线焦点的弦中通径最短.椭圆上
点到焦点的最长距离为a+c,最短距离为a-c.
6.定值、定点问题必然是在变化中所表现出来的不变的量,那么
交集得结论.
-18题型一
题型二
题型三
对点训练2(2018贵州黔东南州一模,20)已知椭圆C:(a>b>0)的左、
第3讲 大题专攻——圆锥曲线中的最值、范围、证明问题 2023高考数学二轮复习课件
当t∈(2，3)时，u′＞0，u＝4t3－t4单调递增，
当t∈(3，4)时，u′＜0，u＝4t3－t4单调递减，
所以当
t＝3
时，u
取得最大值，则
S
也取得最大值，最大值为3 4
3.
目录
圆锥曲线中的范围问题
【例2】 已知抛物线E：x2＝2py(p＞0)的焦点为F，点P在抛物线E上，点P 的横坐标为2，且|PF|＝2. (1)求抛物线E的标准方程； 解 法一：依题意得 F0，2p，设 P(2，y0)，则 y0＝2－p2，因为点 P 是抛 物线 E 上一点，所以 4＝2p2－2p，即 p2－4p＋4＝0，解得 p＝2.所以抛物 线 E 的标准方程为 x2＝4y. 法二：依题意，设 P(2，y0)，代入抛物线 E 的方程 x2＝2py 可得 y0＝2p，由 抛物线的定义可得|PF|＝y0＋p2，即 2＝2p＋p2，解得 p＝2.所以抛物线 E 的 标准方程为 x2＝4y.
4 1＋k2· k2＋b.
因为x2＝4y，即y＝x42，所以y′＝x2，则抛物线在点A处的切线斜率为
x1 2
，在
点A处的切线方程为y－x421＝x21(x－x1)，即y＝x21x－x421，
目录
同理得抛物线在点B处的切线方程为y＝x22x－x422，
联立得yy＝ ＝xx2212xx－－xx442212， ，则xy＝＝xx114x＋22＝x2－＝b2，k， 即P(2k，－b)．
＋ 2， 圆心O(0，0)到MN的距离d＝ m22＋1＝1⇒m2＝1.
联立xx＝ 2＋m3yy＋2＝32，⇒(m2＋3)y2＋2 2my－1＝0⇒4y2＋2 2my－1＝0，
|MN|＝
1＋m2·
8m2＋16＝ 4
2025年新人教版高考数学一轮复习讲义 第八章 §8.11 圆锥曲线中求值与证明问题
(2)记C的左、右顶点分别为A1，A2，过点(－4,0)的直线与C的左支交于M， N两点，M在第二象限，直线MA1与NA2交于点P.证明：点P在定直线上.
由(1)可得A1(－2,0)，A2(2,0)， 设M(x1，y1)，N(x2，y2)， 显然直线MN的斜率不为0， 设直线 MN 的方程为 x＝my－4，且－12<m<12， 与x42－1y62 ＝1 联立可得(4m2－1)y2－32my＋48＝0，
a＝2，
⇒b＝1， c＝ 3，
∴椭圆 C 的方程为y42＋x2＝1.
(2)若点P为椭圆C上的动点，且在第一象限运动，直线AP的斜率为k，
且与y轴交于点M，过点M与AP垂直的直线交x轴于点N，若直线PN的 斜率为－25k ，求k值.
由题意知A(－1,0)，kAP＝k，
则直线lAP：y＝k(x＋1)，∴M(0，k)，
1234
若以AB为直径的圆经过坐标原点， 则O→A·O→B＝0，即 xAxB＋yAyB＝1－3－2 a2＝0， 所以a＝±1，满足要求.
1234
2.(2023·宁德模拟)若
A－1，－
22，B1，
22，C(0,1)，D
23，21四点中
恰有三点在椭圆 T：ax22＋by22＝1(a>b>0)上.
(1)求椭圆T的方程；
1234
由于
A－1，－
22，B1，
22两点关于原点对称，必在椭圆上，
则a12＋21b2＝1，且43a2＋41b2<1，
∴C(0,1)必在椭圆上，
即有b12＝1，则 b＝1，a2＝2， ∴椭圆 T 的方程为x22＋y2＝1.
1234
(2)动直线y＝
2 2x
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北京近五年高考圆锥
曲线大题
北京近五年高考圆锥曲线大题
1.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>
3x = （Ⅰ）求双曲线C 的方程；
（Ⅱ）设直线l 是圆
22:2O x y +=上动点0000(,)(0)P x y x y ≠处的切线，l 与双曲线C 交于不同的两点,A B ，证明AOB ∠的大小为定值
2.在平面直角坐标系x O y 中，点B 与点A （-1,1）关于原点O 对称，P 是动点，
且直线AP 与BP 的斜率之积等于13
-. (Ⅰ)求动点P 的轨迹方程；
(Ⅱ)设直线AP 和BP 分别与直线x=3交于点M,N ，问：是否存在点P 使得△
PAB 与△PMN 的面积相等？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由。
3.已知椭圆2
2:14
x G y +=.过点（m ,0）作圆221x y +=的切线I 交椭圆G 于A ，B 两点.
（I ）求椭圆G 的焦点坐标和离心率；
（II ）将AB 表示为m 的函数，并求AB 的最大值.
4.已知曲线C ：22(5)(2)8m x m y -+-=()m ∈R ．
（Ⅰ）若曲线C 是焦点在x 轴点上的椭圆，求m 的取值范围；
（Ⅱ）设4m =，曲线C 与y 轴的交点为A 、B （点A 位于点B 的上方），直线4y kx =+ 与曲线C 交于不同的两点M 、N ，直线1y =与直线BM 交于点G ．
求证：,,A G N 三点共线．
5.已知,,
A B C是椭圆
2
2
:1
4
x
W y
+=上的三个点，O是坐标原点.
（Ⅰ）当点B是W的右顶点，且四边形OABC为菱形时，求此菱形的面积;
（Ⅱ）当点B不是W的顶点时，判断四边形OABC是否可能为菱形，并说明理由.。