圆锥曲线历年高考题附答案解析
理科历年高考圆锥曲线题目
圆锥曲线9.已知双曲线中心在原点且一个焦点为 F (、、7 , 0),直线y = X 一1与其相交于M、N两点，MN中点的横坐标为_ -,则此双曲线的方程是32 222A∙X一y =1 B.X一y =13 4432 222C∙X一y=I D.X一y=I5 22521.(本小题满分14分)已知常数a • 0，向量C = (0,a)，i =(1，0),经过原点O以c：：；-u i为方向向量线与经过定点A(0, a)以i -2弋为方向向量的直线相交于点P ,其中■ ∙R.试问：是否存在两个定点E、F ,使得I PE I ∙I PF |为定值.若存在，求出E、F的坐标；若不存在，说明理由•2 24.设P是双曲线笃一丫1上一点，双曲线的一条渐近线方程为3x-2y=0, F1、F2a 9分别是双曲线的左、右焦点，若| PF1 |=3 ,则| PF2 I=A.1 或5B.6C.7D.922.(本小题满分14分)椭圆的中心是原点0,它的短轴长为2..2 ,相应于焦点F(c, 0)(c . 0)的准线I与X轴相交于点A, |0F ^2| FA| ,过点A的直线与椭圆相交于P、Q两点•⑴求椭圆的方程及离心率；⑵若OPOQ=O ,求直线PQ的方程；⑶设AP= ∙AQ (，∙1),过点P且平行于准线I的直线与椭圆相交于另一点M ,证明：FM - - FQ.2 25.设双曲线以椭圆—=1长轴的两个端点为焦点，其准线过椭圆的焦点，则双曲线25 9的渐近线的斜率为4 1 3A. -2B.C.D.3 2 421.（本小题满分14分）抛物线C的方程为y = ax （a ：：：0），过抛物线C上一点P（X o，y°）（x° = 0）作斜率为«，k2的两条直线分别交抛物线C于A（X1，yj、B（X2，y2）两点（P、A、B三点互不相同），且满足k2：：；'^k1= 0（人0且■謚-1）.⑴求抛物线C的焦点坐标和准线方程；⑵设直线AB上一点M ,满足B^^ ■ MA ,证明线段PM的中点在y轴上；⑶当怎=1时，若点P的坐标为（1，-1）,求.PAB为钝角时点A的纵坐标y1的取值范围.2.如果双曲线的两个焦点分别为F i(-3 , 0)、F2(3 , 0),一条渐近线方程为Y= F2x ,那么它的两条准线间的距离是A6、3 B. 4 C. 2 D. 122.(本题满分14分)2 2如图，以椭圆务 a b 0的中心O为圆心，分别以a和b为半径作大圆和小a b圆•过椭圆右焦点F(C，0)(c ∙b)作垂直于X轴的直线交大圆于第一象限内的点 A •连结OA交小圆于点B •设直线BF是小圆的切线.⑴证明c2 ab ,并求直线BF与y轴的交点M的坐标；——∙==J. ———≡⅛A⑵设直线BF交椭圆于P、Q两点，证明OPOQ= 1b2•22 24.设双曲线 W =1(a 0 , b 0)的离心率为 .3 ,且它的一条准线与抛物线a by 2=4x 的准线重合，则此双曲线的方程为1AF 2丄F 1F 2 ,原点O 到直线AF 1的距离为一 OR .3⑴证明a = ■... 2b ； ⑵设Q 1，Q 2为椭圆上的两个动点， OQ-OQ 2 ,过原点O 作直线Q 1Q 2的垂线OD ,垂足为D ,求点D 的轨迹方程.2 2A .X ■一12 2422.（本小题满分 2 2 设椭圆x2■爲a 2b 2 B.14分）2 2 ⅛48 96C.2 2X ■一空=1 3 3D.2 2—13 6= 1(a b 0)的左、右焦点分别为F I 、F 2 ,2 25.设椭圆笃•一y 1 m 1上一点P到其左焦点的距离为 3 ,到右焦点的距离为1,m m -1则P点到右准线的距离为1 2万A.6B.2C. -D. ——2 713.已知圆C的圆心与抛物线y2=4x的焦点关于直线y=x对称，直线4x-3y-2 = 0 与圆C相交于A，B两点，且AB =6,则圆C的方程为____________________________ .21.（本小题满分14分）已知中心在原点的双曲线C的一个焦点是F1（-3，0），一条渐近线的方程是5x -2^—0.⑴求双曲线C的方程；⑵若以k k = 0为斜率的直线I与双曲线C相交于两个不同的点M , N ,且线段MN的81 ,求k的取值范围.垂直平分线与两坐标轴围成的二角形的面积为22 29.设抛物线V 2=2x 的焦点为F ,过点M(、. 3，0)的直线与抛物线相交于A ，B 两点,S 「BCF _ 与抛物线的准线相交于 C , BF =2 ,则ΔBCF 与AACF 的面积之比S ACF1 2 A. 4 521.(本小题满分14分)2 2X V 已知椭圆 — 2 -1(a b 0)的两个焦点分别为 F I (-c , 0)和F 2(c , O)(C 0),过 a ba2点E( ，0)的直线与椭圆相交于 A ，B 两点，且F 1A∕∕F 2B ， F 1A =2 F 2B .C ⑴求椭圆的离心率； ⑵求直线AB 的斜率； ⑶设点C 与点A 关于坐标原点对称，直线 F 2B 上有一点H(m , n )(m = 0)在 AF 1C 的B. C. D. 外接圆上，求—的值.m5.已知双曲线χ^--y2 ≡1（a0 , b .0）的一条渐近线方程是 a b在抛物线y 2=24x 的准线上，则双曲线的方程为2A. X- 2一 y =1B.2X2y =1 36 1089 27222 2C. X 丄=1D.X y =1 108 3627 920.（本小题满分12分）2 2⑴求椭圆的方程；⑵设直线l 与椭圆相交于不同的两点 A ， B .已知点A 的坐标为（-a ， 0）,点Q （0， y 0） 在线段AB 的垂直平分线上，且 QAQB= 4 ,求y 。
高考数学最新真题专题解析—圆锥曲线综合(新高考卷)
高考数学最新真题专题解析—圆锥曲线综合（新高考卷）【母题来源】2022年新高考I卷【母题题文】已知点A(2,1)在双曲线C:x2a2−y2a2−1=1(a>1)上，直线l交C于P，Q两点，直线AP，AQ的斜率之和为0．(1)求l的斜率;(2)若tan∠PAQ=2√2，求△PAQ的面积．【答案】解：(1)将点A代入双曲线方程得4a2−1a2−1=1，化简得a4−4a2+4=0得：a2=2，故双曲线方程为x22−y2=1;由题显然直线l的斜率存在，设l:y=kx+m，设P(x1,y1)，Q(x2,y2)，则联立直线与双曲线得：(2k2−1)x2+4kmx+2m2+2=0，△>0，故x1+x2=−4km2k2−1，x1x2=2m2+22k2−1，k AP+k AQ=y1−1x1−2+y2−1x2−2=kx1+m−1x1−2+kx2+m−1x2−2=0，化简得：2kx1x2+(m−1−2k)(x1+x2)−4(m−1)=0，故2k(2m2+2)2k2−1+(m−1−2k)(−4km2k2−1)−4(m−1)=0，即(k+1)(m+2k−1)=0，而直线l不过A点，故k=−1．(2)设直线AP的倾斜角为α，由tan∠PAQ=2√2，得tan∠PAQ2=√22，由2α+∠PAQ=π，得k AP=tanα=√2，即y1−1x1−2=√2，联立y 1−1x1−2=√2，及x 122−y 12=1得x 1=10−4√23，y 1=4√2−53， 同理，x 2=10+4√23，y 2=−4√2−53， 故x 1+x 2=203，x 1x 2=689而|AP|=√3|x 1−2|，|AQ|=√3|x 2−2|， 由tan∠PAQ =2√2，得sin∠PAQ =2√23， 故S △PAQ =12|AP||AQ|sin∠PAQ =√2|x 1x 2−2(x 1+x 2)+4|=16√29． 【母题来源】2022年新高考II 卷【母题题文】.设双曲线C:x 2a 2−y2b2=1(a >0,b >0)的右焦点为F(2,0)，渐近线方程为y =±√3x. (1)求C 的方程;(2)经过F 的直线与C 的渐近线分别交于A ，B 两点，点P(x 1,y 1)，Q(x 2,y 2)在C 上，且x 1>x 2>0，y 1>0.过P 且斜率为−√3的直线与过Q 且斜率为√3的直线交于点M ，从下面三个条件 ① ② ③中选择两个条件，证明另一个条件成立： ①M 在AB 上; ②PQ//AB; ③|AM|=|BM|．【答案】解：(1)由题意可得ba =√3，√a 2+b 2=2，故a =1，b =√3． 因此C 的方程为x 2−y 23=1．(2)设直线PQ 的方程为y =kx +m(k ≠0)，将直线PQ 的方程代入C 的方程得(3−k 2)x 2−2kmx −m 2−3=0， 则x 1+x 2=2km3−k 2，x 1x 2=−m 2+33−k 2，x 1−x 2=√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=2√3(m 2+3−k 2)3−k 2．不段点M 的坐标为(x M ,y M )，则{y M −y 1=−√3(x M −x 1)y M −y 2=√3(x M −x 2)．两式相减，得y 1−y 2=2√3x M −√3(x 1+x 2)，而y 1−y 2=(kx 1+m)−(kx 2+m)=k(x 1−x 2)，故2√3x M =k(x 1−x 2)+√3(x 1+x 2)，解得x M =k√m 2+3−k 2+km3−k 2．两式相加，得2y M −(y 1+y 2)=√3(x 1−x 2)，而y 1+y 2=(kx 1+m)+(kx 2+m)=k(x 1+x 2)+2m ，故2y M =k(x 1+x 2)+√3(x 1−x 2)+2m ，解得y M =3√m 2+3−k 2+3m3−k 2=3k x M ⋅因此，点M 的轨迹为直线y =3k x ，其中k 为直线PQ 的斜率． 若选择 ① ②:设直线AB 的方程为y =k(x −2)，并设A 的坐标为(x A ,y A )，B 的坐标为(x B ,y B ). 则{y A =k(x A −2)y A =√3x A，解得x A =k−√3，y A =√3kk−√3．同理可得x B =k+√3，y B =√3kk+√3．此时x A +x B =4k 2k 2−3，y A +y B =12kk 2−3．而点M 的坐标满足{y M =k(x M −2)y M =3k x M ， 解得x M =2k 2k 2−3=x A +x B2，y M =6kk 2−3=y A +y B2，故M 为AB 的中点，即|MA|=|MB|． 若选择 ① ③:当直线AB 的斜率不存在时，点M 即为点F(2,0)，此时M 不在直线y =3k x 上，矛盾．故直线AB 的斜率存在，设直线AB 的方程为y =p(x −2)(p ≠0)， 并设A 的坐标为(x A ,y A )，B 的坐标为(x B ,y B ). 则{y A =p(x A −2)y A =√3x A，解得x A =p−√3，y A =√3pp−√3．同理可得x B =p+√3，y B =−√3pp+√3．此时x M =x A +x B2=2p 2p 2−3，y M =y A +y B2=6pp 2−3．由于点M 同时在直线y =3k x 上，故6p =3k ·2p 2，解得k =p.因此PQ//AB ． 若选择 ② ③:设直线AB 的方程为y =k(x −2)，并设A 的坐标为(x A ,y A )，B 的坐标为(x B ,y B ). 则{y A =k(x A −2)y A =√3x A解得x A =k−√3，y A =√3kk−√3．同理可得x B =k+√3，y B =√3kk+√3，设AB 的中点为C(x C ,y C )，则x C =x A +x B2=2k 2k 2−3，y C =y A +y B2=6kk 2−3．由于|MA|=|MB|，故M 在AB 的垂直平分线上，即点M 在直线y −y C =−1k (x −x C )上．将该直线与y =3k x 联立，解得x M =2k 2k 2−3=x C ，y M =6kk 2−3=y C ，即点M 恰为AB 中点，故点而在直线AB 上． 【命题意图】本题考查双曲线的标准方程和几何性质，考查直线与双曲线的位置关系，考查开放探究能力，属于压轴题．主要考查直线与双曲线的位置关系及双曲线中面积问题，属于难题【命题方向】圆锥曲线综合大题是属于高考历年的压轴题之一，难度较大，对学生的综合要求较高。
圆锥曲线大题20道(含答案解析)
1.已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为〔2,0,右顶点为)0,3( 〔1求双曲线C 的方程； 〔2若直线2:+=kx y l 与双曲线C 恒有两个不同的交点A 和B,且2>⋅OB OA 〔其中O 为原点. 求k 的取值范围.解：〔Ⅰ设双曲线方程为12222=-by a x ).0,0(>>b a由已知得.1,2,2,32222==+==b b ac a 得再由故双曲线C 的方程为.1322=-y x 〔Ⅱ将得代入13222=-+=y x kx y .0926)31(22=---kx x k 由直线l 与双曲线交于不同的两点得⎪⎩⎪⎨⎧>-=-+=∆≠-.0)1(36)31(36)26(,0312222k k k k即.13122<≠k k 且①设),(),,(B B A A y x B y x A ,则 而2)(2)1()2)(2(2++++=+++=+B A B A B A B A B A B A x x k x x k kx kx x x y y x x于是解此不等式得即,01393,213732222>-+->-+k k k k .3312<<k ② 由①、②得.1312<<k故k 的取值范围为).1,33()33,1(⋃-- 2..已知椭圆C ：22a x ＋22by ＝1〔a ＞b ＞0的左．右焦点为F 1、F 2,离心率为e. 直线l ：y ＝e x ＋a 与x 轴．y 轴分别交于点A 、B,M 是直线l 与椭圆C 的一个公共点,P 是点F 1关于直线l 的对称点,设AM ＝λAB .〔Ⅰ证明：λ＝1－e 2；〔Ⅱ确定λ的值,使得△PF 1F 2是等腰三角形.〔Ⅰ证法一：因为A 、B 分别是直线l ：a ex y +=与x 轴、y 轴的交点,所以A 、B 的坐标分别是2222222.,,1,).,0(),0,(b a c c b y c x b y ax a ex y a e a +=⎪⎩⎪⎨⎧=-=⎪⎩⎪⎨⎧=++=-这里得由. 所以点M 的坐标是〔a b c 2,-. 由).,(),(2a eaa b e a c AB AM λλ=+-=得即221e a ab e ac e a-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-λλλ解得证法二：因为A 、B 分别是直线l ：a ex y +=与x 轴、y 轴的交点,所以A 、B 的坐标分别是).,0(),0,(a ea-设M 的坐标是00(,),x y所以⎪⎩⎪⎨⎧=-=.)1(00a y e a x λλ因为点M 在椭圆上,所以,122220=+by a x即.11)1(,1)()]1([22222222=-+-=+-ee b a a e aλλλλ所以 解得.1122e e -=-=λλ即〔Ⅱ解法一：因为PF 1⊥l ,所以∠PF 1F 2=90°+∠BAF 1为钝角,要使△PF 1F 2为等腰三角形,必有|PF 1|=|F 1F 2|,即.||211c PF = 设点F 1到l 的距离为d,由,1||1|0)(|||21221c eec a e a c e d PF =+-=+++-==得.1122e ee =+-所以.321,3122=-==e e λ于是 即当,32时=λ△PF 1F 2为等腰三角形. 解法二：因为PF 1⊥l ,所以∠PF 1F 2=90°+∠BAF 1为钝角,要使△PF 1F 2为等腰三角形,必有|PF 1|=|F 1F 2|, 设点P 的坐标是),(00y x ,则0000010.22y x ce y x c e a -⎧=-⎪+⎪⎨+-⎪=+⎪⎩,2022023,12(1).1e x c e e a y e ⎧-=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩解得由|PF 1|=|F 1F 2|得,4]1)1(2[]1)3([2222222c e a e c e c e =+-+++- 两边同时除以4a 2,化简得.1)1(2222e e e =+- 从而.312=e 于是32112=-=e λ 即当32=λ时,△PF 1F 2为等腰三角形. 3.设R y x ∈,,j i、为直角坐标平面内x 轴、y 轴正方向上的单位向量,若j y i x b j y i x a )3( ,)3(-+=++=,且4=+b a.〔Ⅰ求点),(y x P 的轨迹C 的方程；〔Ⅱ若A 、B 为轨迹C 上的两点,满足MB AM =,其中M 〔0,3,求线段AB 的长. [启思]4.已知椭圆的中心为坐标原点O,焦点在x 轴上,斜率为1且过椭圆右焦点F 的直线交椭圆于A 、B 两点,OB OA +与)1,3(-=a 共线. 〔Ⅰ求椭圆的离心率；〔Ⅱ设M 为椭圆上任意一点,且),( R OB OA OM ∈+=μλμλ,证明22μλ+为定值. 解：本小题主要考查直线方程、平面向量及椭圆的几何性质等基本知识,考查综合运用数学知识解决问题及推理的能力. 满分12分.〔1解：设椭圆方程为)0,(),0(12222c F b a by a x >>=+则直线AB 的方程为c x y -=,代入12222=+b y a x ,化简得02)(22222222=-+-+b a c a cx a x b a .令A 〔11,y x ,B 22,(y x ,则.,22222222122221b a b a c a x x b a c a x x +-=+=+ 由OB OA a y y x x OB OA +-=++=+),1,3(),,(2121与a 共线,得,0)()(32121=+++x x y y 又c x y c x y -=-=2211,,即232222c ba c a =+,所以36.32222ab ac b a =-=∴=, 故离心率.36==a c e 〔II 证明：〔1知223b a =,所以椭圆12222=+by a x 可化为.33222b y x =+设),(y x OM =,由已知得),,(),(),(2211y x y x y x μλ+=⎩⎨⎧+=+=∴.,2121x x y x x x μλμλ),(y x M 在椭圆上,.3)(3)(2221221b y y x x =+++∴μλμλ 即.3)3(2)3()3(221212222221212b y y x x y x y x =+++++λμμλ① 由〔1知.21,23,23222221c b c a c x x ===+ [变式新题型3]抛物线的顶点在原点,焦点在x 轴上,准线l 与x 轴相交于点A<–1,0>,过点A 的直线与抛物线相交于P 、Q 两点. 〔1求抛物线的方程；〔2若FP •FQ =0,求直线PQ 的方程；〔3设AP =λAQ 〔λ>1,点P 关于x 轴的对称点为M,证明：FM =-λFQ ..6.已知在平面直角坐标系xoy 中,向量32),1,0(的面积为OFP j ∆=,且3,OF FP t OM OP j ⋅==+ .〔I 设4t OF FP θ<<求向量与 的夹角的取值范围；〔II 设以原点O 为中心,对称轴在坐标轴上,以F 为右焦点的椭圆经过点M,且||,)13(,||2OP c t c OF 当-==取最小值时,求椭圆的方程.7.已知(0,2)M -,点A 在x 轴上,点B 在y 轴的正半轴,点P 在直线AB 上,且满足,AP PB =-,0MA AP ⋅=. 〔Ⅰ当点A 在x 轴上移动时,求动点P 的轨迹C 方程；〔Ⅱ过(2,0)-的直线l 与轨迹C 交于E 、F 两点,又过E 、F 作轨迹C 的切线1l 、2l ,当12l l ⊥,求直线l 的方程. 8.已知点C 为圆8)1(22=++y x 的圆心,点A 〔1,0,P 是圆上的动点,点Q 在圆的半径CP 上,且.2,0AM AP AP MQ ==⋅〔Ⅰ当点P 在圆上运动时,求点Q 的轨迹方程； 〔Ⅱ若直线12++=k kx y 与〔Ⅰ中所求点Q的轨迹交于不同两点F ,H ,O 是坐标原点,且4332≤⋅≤OH OF ,求△FOH 的面积 已知椭圆E 的中心在坐标原点,焦点在坐标轴上,且经过()2,0A -、()2,0B 、31,2C ⎛⎫⎪⎝⎭三点．〔Ⅰ求椭圆E 的方程；〔Ⅱ若直线l ：()1y k x =-〔0k ≠与椭圆E 交于M 、N 两点,证明直线AM 与直线BN 的交点在直线4x =上．10．如图,过抛物线x 2=4y 的对称轴上任一点P<0,m><m>0>作直线与抛物线交于A 、B 两点,点Q 是点P 关于原点的对称点。
历年上海高考试题(圆锥曲线)
历年上海高考试题（圆锥曲线）班级 _________ 学号_____ 姓名___________1. （01上海）若双曲线的一个顶点坐标为（3, 0）,焦距为10,则它的标准方程为_______x t2 12. （02上海）曲线（t为参数）的焦点坐标是y 2t 13. （02上海）抛物线（y-1）2=4（x+1）的焦点坐标是_______24. （03上海春）直线y x 1被抛物线y 4x截得线段的中点坐标是 _____________ .5. （03上海理）在极坐标系中，定点A（1,—）,点B在直线COS sin 0上运动，2当线段AB最短时，点B的极坐标是_________________ .6. （04上海春）过抛物线y2=4x的焦点F作垂直于x轴的直线，交抛物线于A、B两点，则以F为圆心、AB为直径的圆方程是_________________________7. （04上海）设抛物线的顶点坐标为（2,0）,准线方程为x= —1,则它的焦点坐标为___8. （04上海理）在极坐标系中，点M（4,）到直线I: p （2cos 0 +sin的距=4 d= ________ .32 29. （03上海）给出问题：F1、F2是双曲线- —=1的焦点，点P在双曲线上若点P到焦16 20点F1的距离等于9，求点P到焦点F2的距离.某学生的解答如下：双曲线的实轴长为8，由||PF1 —|PF2||=8，即|9—|PF2||=8,得|PF2|=1 或17.该学生的解答是否正确？若正确，请将他的解题依据填在下面空格内，若不正确，将正确的结果填在下面空格内.10. （04上海）教材中坐标平面上的直线”与圆锥曲线”两章内容体现出解析几何的本质是_____________________________________________ .11. （05上海文）若椭圆长轴长与短轴长之比为2，它的一个焦点是（2门5,0）,则椭圆的标2 2准方程是—L 180 2012. （05上海理）若双曲线的渐近线方程为y 3x，它的一个焦点是（门0,0），则双曲2线的方程是 _______ x 2 J 1913. （06上海文）已知双曲线中心在原点，一个顶点的坐标为 （3,0），且焦距与虚轴长之比为5:4，则双曲线的标准方程是 ________________________ .14. （ 06上海理）已知椭圆中心在原点，一个焦点为 F （— 2j 3 , 0）,且长轴长是短轴长 的2倍，则该椭圆的标准方程是 __________________________________ .515. （ 06上海理）在极坐标系中，O 是极点，设点A （4, 一），B （5,———）,则厶OAB36的面积是 _________ .16. （07上海春）在平面直角坐标系 xOy 中，若抛物线y 2 4x 上的点P 到该抛物线的焦 点的距离为6,则点P 的横坐标x _____________抛物线方程是 ______________________________ 18. （06上海春）抛物线y 2=4x 的焦点坐标为 （）A. （0,1）B.（1,0）C. （0,2）D. （2,0）219. （05上海）过抛物线 y 4x 的焦点作一条直线与抛物线相交于A 、B 两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线（B ）A .有且仅有一条B .有且仅有两条C .有无穷多条D .不存在2x20. （01上海）设F 1、F 2为椭圆 一92 2xy21. （02上海春）已知 F 1、F 2为双曲线 — 21（a>0,b>0）的焦点，过F 2作垂直于x轴17. （ 07上海文）以双曲线1的中心为顶点，且以该双曲线的右焦点为焦点的1的两个焦点，P 为椭圆上的一点.已知P 、F 1、F 2是一个直角三角形的三个顶点，且|PF 1|> |PF 2|,求匹PF 2 的值.a b的直线交双曲线点P且/ PF1 F2=30。
高考数学复习历年压轴题归类专题讲解： 圆锥曲线解答题突破(解析版)
高考数学复习历年压轴题归类专题讲解 圆锥曲线解答题突破（解析版）1．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，其离心率12e =，点P为椭圆上的一个动点，12PF F △面积的最大值为（1）求椭圆的标准方程；（2）若A ，B ，C ，D 是椭圆上不重合的四个点，AC 与BD 相交于点1F ，0AC BD ⋅=，求+AC BD 的取值范围.【答案】（1）2211612x y +=；（2）96,147⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 解：(1）由题意得，当点P 是椭圆的上、下顶点时，12PF F △的面积取最大值此时121212PF F S F F OP bc ∆=⋅⋅=所以bc = 因为12e =，所以b =4a = 所以椭圆方程为2211612x y +=（2）由（1）得椭圆方程为2211612x y +=，则1F 的坐标为(2,0)-因为0AC BD ⋅=，所以AC BD ⊥①当直线AC 与BD 中有一条直线斜率不存在时，易得6814AC BD +=+= ②当直线AC 斜率k 存在且0k ≠，则其方程为(2)y k x =+，设11(,)A x y ，22(,)C x y则点A 、C 的坐标是方程组22(2)11612y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩的两组解所以2222(34)1616480k x k x k +++-=所以212221221634164834k x x k k x x k ⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪⋅=⎪+⎩所以212224(1)134k AC x k+=+-=+ 此时直线BD 的方程为()12y x k=-+ 同理由221(2)11612y x k x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩可得2224(1)43k BD k +=+ 2222222224(1)24(1)168(1)3443(34)(43)k k k AC BD k k k k ++++=+=++++令21(0)t k k =+≠，则1t >，2168112AC BD t t+=-+ 因为1t >，所以21104t t -<≤ 所以96[,14)7AC BD +∈ 综上96[,14]7AC BD +∈2．已知椭圆C ：2212x y +=.（1）曲线D ：3y x =与C 相交于A ，B 两点，H 为C 上异于A ，B 的点，若直线HA 的斜率为1，求直线HB 的斜率；（2）若C 的左焦点为F ，右顶点为E ，直线l ：4x =.过F 的直线l '与C 相交于P ，Q （P 在第一象限）两点，与l 相交于M ，是否存在l '使PFE △的面积等于△MPE 的面积与QFE △的面积之和.若存在，求直线l '的方程；若不存在，请说明理由.【答案】（1）12-；（2）直线l '不存在，理由见解析(1)由已知设(),H x y ,()11,A x y ,()11,B x y --, 因为点,H A 均在椭圆C 上,所以2222x y +=,221122x y +=,两式相减得()2222112x x y y -=-,又221112211112HA HBy y y y y y k k x x x x x x -+-⋅=⋅==--+-,且1HA k =, ∴12HB k =-;(2)设()04,M y ,()33,P x y ,()44,Q x y ,则()0303111222MPE S FE y FE y FE y y =⋅⋅-⋅⋅=⋅⋅-△,312PFESFE y =⋅⋅, ()412QFESFE y =⋅⋅-, 假设存在l '使得PFE △的面积等于△MPE 的面积与QFE △的面积之和,则PFE MPE QFE S S S =+△△△,即0342y y y =+①, 设l :1x my =-,令4x =,得05y m =,∴3452y y m+=②, 把1x my =-,将之代入2212x y +=,整理得()222210m y my +--=,∴34222my y m +=+③, 34212y y m =-+④,②③联立得32522m y m m =-+,42452m y m m=-+⑤, 把⑤代入④得22252451222m m m m m m m ⎛⎫⎛⎫--=- ⎪⎪+++⎝⎭⎝⎭, 化简得4219500m m ++=,由于此方程无解,故所求直线l '不存在.3．如图，已知椭圆2214y x +=，点()1,0F 是抛物线()220y px p =>的焦点，过点F 作直线l 交抛物线于,M N 两点，延长,MO NO 分别交椭圆于,A B 两点，记OMN ，OAB 的面积分别是12,S S .（Ⅰ）求p 的值及抛物线的准线方程；（Ⅱ）求12S S 的最小值及此时直线l 的方程. 【答案】（Ⅰ）2p =，准线方程1x =-；（2）12S S 的最小值为2，此时:1l x =. （Ⅰ）因为点()1,0F 是抛物线()220y px p =>的焦点，所以12p=，即2p =，因此该抛物线的准线方程为：1x =-； （Ⅱ）由（Ⅰ）得抛物线方程为：24y x =，根据题意，不妨令点M 在第一象限，点N 在第四象限，则点A 在第三象限，点B 在第二象限；若直线l 的斜率不存在，则:1l x =，代入24y x =可得2y =±，即()1,2M ，()1,2N -，则1122OMNS SOF MN ==⋅=；2OM k =，2ON k =-， 则直线:2OM y x =，直线:2ON y x =-，由22214y x y x =⎧⎪⎨+=⎪⎩得22122AA x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩，所以2A A x y ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，即A ⎛ ⎝；同理：B ⎛ ⎝，则AB x ⊥轴，因此21122OABS S==⨯⨯=； 此时122S S =，:1l x =；若直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为()1y k x =-，(1,M x，(2,N x -，由()214y k x y x⎧=-⎨=⎩得()2214k x x -=，整理得()2222240k x k x k -++=， 则212224k x x k++=，121=x x ；()224224416160k k k ∆=+-=+>，所以11sin 2OMNS SOM ON MON MON ==⋅∠=∠MON MON =∠=∠；又1OM k==，2ON k ==， 所以直线:OM y x=，:ON y x =， 由2214y x y x ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得1221x x x +=，即2111A x x x =+，则2211441A y x x x ==+，所以OA ==；同理OB =，所以21sin 2OABS SOA OB AOB AOB ==∠=∠A OB ∠=又AOB MON ∠=∠，所以12S S MON ===∠2==>=； 综上，12S S 的最小值为2，此时:1l x =.4．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆2222:1(0,0)x y C a ba b +=>>短轴的两个顶点与右焦点的连线构成等边三角形，两准线之间的距离为.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）直线:(0,0)l y kx m k m =+>≠与椭圆C 交于P ，Q 两点，设直线OP ，OQ 的斜率分别为1k ，2k .已知212·k k k =. ①求k 的值；②当OPQ △的面积最大时，求直线PQ 的方程.【答案】（1）2214x y +=；（2）①12k =；②112y x =±.解：（1）设椭圆的焦距为2c ，则222c a b =-.因为短轴的两个顶点与右焦点的连线构成等边三角形，所以=c .，则22a c = 所以2a =，1b =，所以椭圆C 的标准方程为2214x y +=.（2）①设1(P x ，1)y ，2(Q x ，2)y ，联立22,1,4y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 得222(41)8440k x kmx m +++-=， 2222644(41)(44)0k m k m ∆=-+->，化简得2241m k <+，所以122841km x x k -+=+，212244·41m x x k -=+， 又OP 的斜率111y k x =，OQ 的斜率222y k x =，所以2221212121212121212()()()·y y kx m kx m k x x km x x m k k k x x x x x x +++++====，化简得212()0km x x m ++=，所以228·041kmkm m k -+=+.又因为0m ≠，即241k =， 又0k >，所以12k =. ②由①得12k =，直线PQ 的方程为12y x m =+， 且122x x m +=-，212·22x x m =-，22m <. 又0m ≠，所以0m <<所以12PQ x ==-== 点O 到直线PQ的距离d ==，所以221(2)·122OPQm m SPQ d +-===≤=， 当且仅当222m m =-，即1m =±时，OPQ △的面积最大， 所以，直线PQ 的方程为112y x =±. 5．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的两焦点为1(F，2F ，且椭圆上一点P ，满足12|||4|PF PF +=，直线:l y kx m =+与椭圆C 交于A 、B 两点，与x 轴、y 轴分别交于点G 、H ，且OA OB OM λ+=.（1）求椭圆C 的方程；（2）若k =||2AB λ==，求||||HG HM ⋅的值；（3）当△OAB 面积取得最大值，且点M 在椭圆C 上时，求λ的值.【答案】（1）2214x y +=（2）3（3）λ=（1）由题意可得2,1a c b ==⇒=，∴椭圆方程为2214x y +=（2）由题意得，此时直线方程为y m =+，将其代入椭圆方程整理可得229440x m ++-=，其中()222212836441441609m m m m ∆=--=->⇒<设()()1122,,,A x y B x y ，则2121244,99m x x x x -+=-=∴12322AB x m =-==⇒=±，由椭圆具有对称性，∴不妨取32m =，则310,,,26H G M ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，∴3HG HM ⋅ （3）将直线方程y kx m =+代入椭圆方程整理可得()222418440k x kmx m +++-=，其中()()222222644414464160k m k m k m ∆=-+-=-+16＞，设()()1122,,,A x y B x y ，则2121222844,4141km m x x x x k k -+=-=++，∴12AB x=-=原点到直线的距离d=，∴()222241141ABCm k mSk∆++-=≤=+，当且仅当22412k m+=时等号成立，又()()121211,M x x y yλλ⎛⎫++⎪⎝⎭代入椭圆方程可得()()2212122214x x y yλλ+++=，其中221114xy+=，222214xy+=，∴整理得212128284x x y yλ++=再将1122,kx m y kx my=+=+代入，()()122128284kx mx m kxxλ+=+++整理得()()2221212828884k x x km x x mλ+++++=，()2222224488288844141m kmk km mk kλ-⎛⎫++-++=⎪++⎝⎭，整理得22λ=，λ=6．已知椭圆2222:1(0)x yC a ba b+=>>的焦距为2，过点(-.（1）求椭圆C的标准方程；（2）设椭圆的右焦点为F，定点()2,0P，过点F且斜率不为零的直线l与椭圆交于A，B两点，以线段AP为直径的圆与直线2x=的另一个交点为Q，证明：直线BQ恒过一定点，并求出该定点的坐标.【答案】（1）2212x y +=；（2）证明见解析，3(,0)2.（1）由题知2211112c a b =⎧⎪⎨+=⎪⎩ ， 解得22a =，21b =， 所以椭圆C 的方程为2212x y +=；（2）设11(,)A x y ，22(,)B x y 因为直线l 的斜率不为零，令l 的方程为：1x my =+，由22112x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得22(2)210m y my ++-=， 则12222m y y m +=-+，12212y y m ⋅=-+， 因为以AP 为直径的圆与直线2x =的另一个交点为Q ,所以AQ PQ ⊥，则1(2,)Q y ，则2122BQ y y k x -=-，故BQ 的方程为：2112(2)2y y y y x x --=-- ， 由椭圆的对称性，则定点必在x 轴上，所以令0y =，则1212121212121(2)(1)222y x y my my y y x y y y y y y -----+=+=+=+---，而12222m y y m +=-+，12212y y m ⋅=-+，12122y y my y +-=-， 所以121211322222y y y x y y +-+=+=-+=-，故直线BQ 恒过定点，且定点为3(,0)2.7．已知()()1122,,,A x y B x y 是抛物线()2:20C x py p =>上不同两点.（1）设直线:4p l y =与y轴交于点M ，若,A B 两点所在的直线方程为1y x =-，且直线:4pl y =恰好平分AMB ∠，求抛物线C 的标准方程. （2）若直线AB 与x 轴交于点P ，与y 轴的正半轴交于点Q ，且2124p y y =，是否存在直线AB ，使得113PA PB PQ+=？若存在，求出直线AB 的方程；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）28x y =（2）AB 方程为122py x =±+．（1）设()()1122p A x ,y ,B x ,y ,M 0,4⎛⎫⎪⎝⎭，由2x 2{1py y x ==-，消去y 整理得2x 2px 2p 0-+=，则212124p 80{x x 2x x 2p pp∆=->+==， ∵直线py 4=平分AMB ∠， ∴k k 0AM BM +=， ∴1212p p y y 440x x --+=，即：12121212p px 1x 1x x p 44210x x 4x x ----+⎛⎫+=-+= ⎪⎝⎭，∴p 4=，满足Δ0>，∴抛物线C 标准方程为2x 8y =． （2）由题意知，直线AB 的斜率存在，且不为零， 设直线AB 的方程为：y kx b(k 0b 0)=+≠>，，由2{x 2y kx bpy=+=，得2x 2pkx 2pb 0--=， ∴2212124p k 80{x x 2x x 2pb pkpb∆=+>+==-，∴()2222121222pb x x y y ?b 2p 2p 4p -===， ∵212p y y 4=， ∴22p b 4=， ∵b 0>， ∴p b 2=．∴直线AB 的方程为：p y kx 2=+． 假设存在直线AB ，使得113PA PB PQ +=，即PQ PQ 3PA PB+=， 作AA x '⊥轴，BB x '⊥轴，垂足为A B ''、，∴121212p pPQ PQ OQ OQ y y p 22·PA PB AA BB y y 2y y ++=+'=+='， ∵()21212y y k x x p 2pk p +=++=+，212p y y 4=，∴222PQ PQp 2pk p·4k 2pPA PB 24++==+，由24k 23+=，得1k 2=±， 故存在直线AB ，使得113PA PB PQ +=，直线AB 方程为1p y x 22=±+． 8．已知椭圆E ：22221(0)x y a b a b +=>>的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点，直线l ：3y x =-+与椭圆E 有且只有一个公共点T ．（Ⅰ）求椭圆E 的方程及点T 的坐标；（Ⅱ）设O 是坐标原点，直线l '平行于OT ，与椭圆E 交于不同的两点A 、B ，且与直线l 交于点P ，证明：存在常数λ，使得2||||||PT PA PB λ=⋅，并求λ的值．【答案】（Ⅰ）22163x y +=，点T 坐标为（2,1）；（Ⅱ）45λ=. 【解析】（Ⅰ）由已知，a =，则椭圆E 的方程为222212x y b b+=.由方程组得22312(182)0x x b -+-=.①方程①的判别式为2=24(3)b ∆-，由=0∆，得2=3b ， 此时方程①的解为=2x ，所以椭圆E 的方程为22163x y +=.点T 坐标为（2,1）.（Ⅱ）由已知可设直线l '的方程为1(0)2y x m m =+≠， 由方程组1{23y x m y x =+=-+，， 可得223{21.3mx my =-=+， 所以P 点坐标为（222,133m m -+），2289PT m =. 设点A ，B 的坐标分别为1122(,)(,)A x y B x y ，.由方程组22163{12x y y x m +==+，，可得2234(412)0x mx m ++-=.②方程②的判别式为2=16(92)m ∆-，由>0∆，解得m <<. 由②得212124412=,33m m x x x x -+-=.所以123m PA x ==--，同理223m PB x =--， 所以12522(2)(2)433m mPA PB x x ⋅=---- 21212522(2)(2)()433m mx x x x =---++ 225224412(2)(2)()43333m m m m -=----+ 2109m =. 故存在常数45λ=，使得2PT PA PB λ=⋅. 9．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左，右焦点分别为1F ，2F ，若椭圆经过点)1P-，且12PF F △的面积为2．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设斜率为1的直线l 与圆22:O x y b +=交于A ，B 两点，与椭圆C 交于C ，D 两点，且()R CD AB λλ=∈，当λ取得最小值时，求直线l 的方程并求此时λ的值．【答案】（1）22184x y +=；（2）3，y x =． 解：（1）由12PF F △的面积可得12122c ⨯⨯=．即2c =，∴224a b -=．①又椭圆C 过点)1P，∴22611a b +=．②由①②解得a =2b =．故椭圆C 的标准方程为22184x y +=．（2）由题知圆221:2O x y +=，设直线l 的方程为y x m =+，则原点到直线l的距离d =，由弦长公式可得AB ==．将y x m =+代入椭圆方程22184x y+=，得2234280x mx m ++-=，由判别式()221612280m m ∆=-->，解得m -<由直线和圆相交的条件可得d r <<，也即22m -<<，综上可得m 的取值范围是()2,2-． 设()11,C x y ，()22,D x y ，则1243m x x +=-，212283m x x -=，由弦长公式，得CD === 由CD AB λ=，得CD AB λ===∵22m -<<，∴2044m <-≤，则当0m =时，λ取得最小值3，此时直线l 的方程为y x =．10．在平面直角坐标系中，已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>，直线():,R,0l y kx t k t k =+∈≠．（1）若椭圆C 的一条准线方程为4x =，且焦距为2，求椭圆C 的方程；（2）设椭圆C 的左焦点为F ，上顶点为A ，直线l 过点F ，且与FA 垂直，交椭圆C 于M ，N （M 在x 轴上方），若2NF FM =，求椭圆C 的离心率；（3）在（1）的条件下，若椭圆C 上存在相异两点P ，Q 关于直线l 对称，求2t 的取值范围（用k 表示）．【答案】（1）22143x y +=；（2）e =（3）220,34k k ⎡⎫⎪⎢+⎣⎭.（1）设椭圆C 的半焦距为c ，因为椭圆C 的一条准线方程为4x =，且焦距为2，所以22224,22a c c a b c ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得2,1a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩C 的方程为22143x y +=．（2）如图，因为()0,A b ，(),0F c -，所以AF b k c=， 因为直线l 过点F ，且与FA 垂直，所以直线l 的方程为bx y c c=--，与椭圆C 的方程联立得()4222324220b a c y b c y b c ++-=，因为l 过左焦点F ， 所以>0∆恒成立，设()11,M x y ，()22,N x y ，则321242242124222,b c y y b a cb c y y b a c ⎧+=-⎪⎪+⎨⎪=-⎪+⎩（*）， 因为2NF FM =， 所以212y y =-，代入（*）得32142242214222,2b c y b a cb cy b a c ⎧-=-⎪⎪+⎨⎪-=-⎪+⎩， 消去1y 并化简得4222280b a c b c +-=， 因为222b a c =-， 所以()()2222222280a ca c a a c c -+--=，即4224990c a c a -+=， 因为c e a=，所以429910e e -+=，解得2e =，所以6e ==．（3）如图，设()11,P x y ，()22,Q x y ，PQ 的中点()00,x y ，则221122221,43143x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式相减并化简得 2121212134y y y y x x x x -+⋅=--+，即0034PQ y k x ⋅=-，因为1PQ k k=-，所以0034ky x =， 又00y kx t =+，所以004,3t x k y t⎧=-⎪⎨⎪=-⎩， 因为点()00,x y 在椭圆C 的内部，所以()2243143t t k ⎛⎫- ⎪-⎝⎭+<，化简得22234k t k <+．故2t 的取值范围为220,34kk ⎡⎫⎪⎢+⎣⎭．11．已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左､右焦点分别为12,F F，离心率为2，P 是椭圆上一点，且△12PF F 面积的最大值为1.（1）求椭圆C 的方程；（2）过2F 且不垂直坐标轴的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，在x 轴上是否存在一点(,0)N n ，使得22||:||:AN BN AF BF =，若存在，求出点(,0)N n ，若不存在，说明理由.【答案】（1）2212x y +=;（2）(1,0)N ,过程见解析（1）121212PF F P SF F y =，由椭圆性质知当=P y b 时，△12PF F 面积最大. 由题得：22212122c b c a a b c ⎧⨯⨯=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=+⎪⎩解得1a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩所以椭圆方程为：2212x y +=（2）设直线方程为(1)y k x =-，1122(,),(,)A x y B x y22(1)21y x x y k =-+=⎧⎪⎨⎪⎩ 化简得2222(21)4220k x k x k +-+-= 22121222422,2121k k x x x x k k -+==++ 22||:||:AN BN AF BF =，如图，作//AM BN 交2NF 延长线与M 点， 易证得22||||AF AM BN BF =,22||:||:AN BN AF BF = AM AN ∴= 22ANF BNF ∴∠=∠所以2F N 是ANB ∠的角平分线,则有0NB NA k k +=12120y yx n x n+=-- ，1221(1)(1)0y x y x ∴-+-= 1122,y kx k y kx k =-=-1221()(1)()(1)0kx k x kx k x ∴--+--= 12212()(+)20kx x kn k x x kn ∴+++=22222242()202121k k k kn k kn k k -∴⨯+++=++ 化简得1n =所以存在点(1,0)N 满足题意.12．已知椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>的上顶点为P ，4,33b Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭是椭圆E 上的一点，以PQ 为直径的圆经过椭圆E 的右焦点F .（1）求椭圆E 的方程；（2）过椭圆E 右焦点F 且与坐标轴不垂直的直线l 与椭圆E 交于A ，B 两点，在直线2x =上是否存在一点D ，使得ABD △为等边三角形？若存在，求出等边三角形ABD △的面积；若不存在，请说明理由.【答案】（1）2212x y +=；（2.解：依据题意得22224331b a b⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+=，得22a =，()0,P b ，(),0F c 又2220a b c PF QF ⎧=+⎨⋅=⎩， 22224033b cb c c ⎧=+⎪⎨⎛⎫---= ⎪⎪⎝⎭⎩， 1b c ∴==， ∴椭圆的方程为2212x y +=.（2）假设在直线2x =上存在一点D 使得ABD ∆为等边三角形，设直线():1l y k x =-由()22112y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩得，()2222214220k x k x k +-+-= ()()()42221642122810k k k k ∆=-+-=+>，设()11,A x y ，()22,B x y ，AB 的中点为()00,M x y则2122421k x x k ，21222221k x x k -=+ 202221k x k =+，()002121k y k x k -=-=+ )22121k AB k +∴=+.DBA △为等边三角形，所以MD 的斜率为1k-，又D 点的横坐标为2，2022221D k x k MD +∴=-=+DBA △为等边三角形，DM B ∴=)222212221221k k k k ++=++，得22k =.AB ∴=，DBA ∴△的面积为2513．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的短轴长为13．（1）求椭圆C 的标准方程;（2）设椭圆C 的左，右焦点分别为1F ，2F 左，右顶点分别为A ，B ，点M ，N ，为椭圆C 上位于x 轴上方的两点，且12//F M F N ，记直线AM ，BN 的斜率分别为1k ，2k ，若12320k k +=，求直线1F M 的方程.【答案】（1）22198x y （2）0y -+=（1）由题意，得2b =c 1a 3=.又222a c b -=，∴a 3=，b =c 1=.∴椭圆C 的标准方程为22x y 198+=（2）由（1），可知()A 3,0-，()B 3,0，()1F 1,0-. 据题意，直线1F M 的方程为x my 1=-记直线1F M 与椭圆的另一交点为M '，设()()111M x ,y y 0>，()22M x ,y '.∵12FM //F N ，根据对称性，得()22N x ,y --. 联立228x 9y 721x my ⎧+=⎨=-⎩，消去x ，得()228m 9y 16my 640+--=，其判别式Δ0>，∴12216m y y 8m 9+=+，12264y y 8m 9=-+.① 由123k 2k 0+=，得12123y 2y 0my 2my 2+=++，即12125my y 6y 4y 0++=.② 由①②，解得12128m y 8m 9=+，22112my 8m 9-=+ ∵1y 0>，∴m 0>.∴()()12222128m?112m 64y y 8m 98m 9--==++.∴m = ∴直线1F M的方程为x y 1=-，即y 0-+=. 14．已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的右焦点为F ，T 为椭圆上一点，O 为坐标原点，椭圆的离心率为，且TFO △面积的最大值为12.（1）求椭圆的方程；（2）设点()0,1A ，直线l ：(1)y kx t t =+≠±与椭圆C 交于两个不同点P ，Q ；直线AP 与x 轴交于点M ，直线AQ 与x 轴交于点N ，若2OM ON ⋅=，求证：直线l 经过定点.【答案】（1）2212x y +=；（2）证明见解析.（1）设()00,T x y ，(c,0)F，由2c a =，可得222a c =， 依题意max 1122S cb =⋅=，所以a =1b =，所以椭圆C 的方程为2212x y +=.（2）设()11,P x y ，()22,Q x y .联立2212(1)x y y kx t t ⎧+=⎪⎨⎪=+≠⎩得()222124220k x ktx t +++-=，>0∆，122412kt x x k +=-+，21222212t x x k -=+，直线AP ：1111y y x x --=，令0y =得111x x y -=-，即111x OM y -=-；同理可得221x ON y -=-. 因为2OM ON =，所以()12121212122111x x x x y y y y y y --==---++化简得221121t t t -=-+，解得只有0t =满足题意， 所以直线方程为y kx =，所以直线l 恒过定点（0，0）.15．已知抛物线C ：24y x =的焦点为F ，过F 的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，其中点A 在第一象限，AD DB =.（1）若49OD k =（O 为坐标原点），求直线l 的方程； （2）点P 在x 轴上运动，若0,2FAP π⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭，求点P 横坐标的取值范围.【答案】(1) 210x y --=或440x y --=；(2) [)()0,11,9;解：（1）由题意得(1,0)F ，设直线l 的方程为：1x ty =+，设()()1122,,,A x y B x y ，线段MN 的中点()00,D x y ，联立直线与抛物线的方程：214x ty y x=+⎧⎨=⎩，整理可得：2440y ty --=，可得124y y t +=，124y y =-，所以02y t =，200121x ty t =+=+，即()221,2D t t +，所以2221OD t k t =+，由题意可得224219t t =+，解得2t =或14t =， 所以直线l 的方程为：210x y --=或440x y --=；（2）0,2FAP π⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭,即FAP ∠恒为锐角，等价于0AF AP ⋅>，设()2110,,(1,0),,0,4y A y F P x ⎛⎫⎪⎝⎭2211011,,1,44y y AP x y AF y ⎛⎫⎛⎫=--=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则224222111101103110441644y y y y AP AF x y y x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅=--+=++-> ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭恒成立， 令214y t =，则0t >，原式等价于203(1)0t t t x ++->，对任意的0t >恒成立，令200()(3)h t t x t x =+-+，①△220000(3)41090x x x x =--=-+<，解得:019x <<，②00302(0)0x h ⎧⎪-⎪⎨⎪⎪⎩，解得：001x ， 又01x ≠，故001x <， 综上所述：0x 的取值范围[)()0,11,9．16．已知()1,0F -，Q 是圆K ：222150x x y -+-=上的任意一点，线段FQ 的垂直平分线交QK 于点P .（1）求动点P 的轨迹E 的方程；（2）过F 作E 的不垂直于y 轴的弦AB ，M 为AB 的中点，O 为坐标原点，直线OM 与E 交于点C 、D ，求四边形ABCD 面积的取值范围.【答案】（1）22143x y +=；（2）6S ≤< （1）由题意可知42PF PK PQ PK FK +=+=>=， 所以动点P 的轨迹是以F 、K 为焦点且长轴长为4的椭圆.因此E 的方程为22143x y +=.（2）由题意可设AB 的方程为1x ky =-，代入2234120x y +-=，得()2234690k y ky +--=，设()11,A x y ，()22,B x y ， 则122634k y y k +=+，122934y y k =-+.设1200023(,),234y y kM x y y k +==+， 2002234113434k x ky k k =-=-=-++， 所以2243,3434k M k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，OM 的斜率为34k -. 直线OM 的方程为34ky x =-， 代入2234120x y +-=，解得221634x k =+，所以CD ==， 设点A ，B 到OM 的距离分别为1d ，2d ，则1d =，2d =()1212ACBDS CD d d =+===12y =-==== 所以，6S ≤<（当且仅当0k =等号成立）.17．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左､右焦点分别为12,F F ，且12F F =过椭圆的右焦点2F 作长轴的垂线与椭圆，在第一象限交于点P ，且满足127PF PF =.（1）求椭圆的标准方程；（2）若矩形ABCD 的四条边均与椭圆相切，求该矩形面积的取值范围.【答案】（1）2214x y +=（2）[]8,10（1）由12F F =c =设2PF x =，因为127PF PF =，所以17PF x =，在Rt △12PF F 中，2221212PF PF F F =+，即224912x x =+，所以12x =， 所以284a x ==，解得2222,1a b a c ==-=，所以椭圆的标准方程为2214x y +=.（2）记矩形面积为S ，当矩形一边与坐标轴平行时，易知8S =.当矩形的边与坐标轴不平行时，根据对称性，设其中一边所在直线方程为y kx m =+，则对边所在直线方程为y kx m =-，另一边所在的直线方程为1y x n k =-+，则对边所在直线方程为1y x n k=--， 联立2244x y y kx m⎧+=⎨=+⎩，得()()222148410k x kmx m +++-=，由题意知()()222264161140k m m k ∆=--+=，整理得2241k m +=，矩形的一边长为1d =，同理2241n k +=，矩形的另一边长为2d =，122|4|1mnkS d dk=⋅==+44==44==因为0k≠，所以20k>，所以2212kk+≥(当且仅当21k=时等号成立)，所以22990,142kk⎛⎤∈ ⎥⎝⎦++52,2⎛⎤⎥⎝⎦，所以(8,10]S∈.综上所述，该矩形面积的取值范围为[]8,10.18．已知椭圆2214yx+=，直线1l y kx=+：分别与x轴y轴交于,M N两点，与椭圆交于,A B两点.（1）若AM NB=，求直线l的方程;（2）若点P的坐标为()0,2,-求PAB△面积的最大值.【答案】（1）21y x=±+；（2(1)设()()1122,,,A x yB x y联立直线方程与椭圆方程有22141yxy kx⎧+=⎪⎨⎪=+⎩有()224230,k x kx++-=有12224x x kk+=-+，()1212224224k x xy yk+++==+，所以AB 中点坐标为224,44k k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭,(0)k ≠ 由1,0M k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，()0,1N ，MN 中点坐标为11,22k ⎛⎫- ⎪⎝⎭.因为AM NB =，所以线段MN 的中点与AB 的中点重合，有221241424k k k k ⎧-=-⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩ 解得：2k =± (2)12|3|21PABSx x =⨯⨯-=由（1）中可知12224kx x k +=-+，12243x x k =-+⋅故PABS=661==因为3,43所以6331PAB S ∆=，当0k =时PAB △面积最大.19．如图所示，椭圆()222210x y a b a b +=>>的左､右顶点分别为1A 、2A ，上、下顶点分别为1B 、2B ，右焦点为F ，13A F =，离心率为12.（1）求椭圆的方程；（2）过点()0,1E 作不与y 轴重合的直线l 与椭圆交于点M 、N ，直线1MB 与直线2NB 交于点T ，试讨论点T 是否在某条定直线上，若存在，求出该直线方程，若不存在，请说明理由.【答案】（1）22143x y +=；（2）存在，且定直线方程为3y =. （1）由题意可得1123c e a A F a c ⎧==⎪⎨⎪=+=⎩，解得2a =，1c =，b ∴==因此，椭圆的标准方程为22143x y +=；（2）由题意可知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为1y kx =+，设点()11,M x y 、()22,N x y ，联立2213412y kx x y =+⎧⎨+=⎩，消去x 并整理得()2243880k x kx ++-=， ()()22264324396210k k k ∆=++=+>， 由韦达定理得122843k x x k +=-+，122843x x k =-+.易知点(1B、(20,B ，直线1MB的斜率为(11111kx k x +==，直线1MB的方程为1y k x = 直线2NB的斜率为(222221kx y k x x ++==，直线2NB的方程为2y k x =由1y k x =，2y k x =(112212211kx kx x x k k x ++-===，其中12122843kkx x x x k =-=++，((121221222122x x x x x x x ⎡⎤-+++++====解得3y =.因此，点T 在定直线3y =上.20．如图，焦点在x 轴上的椭圆1C 与焦点在y 轴上的椭圆2C 都过点(0,1)M ，中心都在坐标原点，且椭圆1C 与2C.（1）求椭圆1C 与椭圆2C 的标准方程；（2）过点M 且互相垂直的两直线分别与椭圆1C ，2C 交于点A ，B （点A 、B 不同于点M ），当MAB △的面积取最大值时，求直线MA ，MB 斜率的比值.【答案】（1）2213x y +=，22+31y x =；（2.（1）设椭圆2212211:1x y C a b +=，2222222:1y x C a b +=，依题意得对1C ：11b =，222112123a b e e a -=⇒==，得213a ，1C ∴：2213x y +=，同理对2C ：21a =，2222222233a b e e a -=⇒==，得2213b ， 2C ∴：22+311x y =，即22+31y x=；（2）设直线MA MB ，的斜率分别为12k k ，， 则MA ：11y k x =+，与椭圆方程联立得：2222111313031x y x k x y k x ⎧+=⎪⇒++-=⎨⎪=+⎩（）， 得22113160k x k x （）++=，得1216=31A k x k -+,212131=31A k y k -++，所以2112211631(,)3131k k A k k -+-++,同理可得222222223,33k k B k k ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭, 所以221122222211226622=(,),,313133k k k k MA MB k k k k ⎛⎫----= ⎪++++⎝⎭,MA MB ⊥，从而可以求得611=22S MA MB ⎛⋅=- 112222222242436412334163k k k k k k 121=2313k k ++， 因为121k k =-，所以()()3112216+=31k k S k+，不妨设()()31111221+031k k k f k k >=+，，()()2341112136131k k f kk'--+=+，令()0f k '=，即4211361=0k k --+，解得2113=,3k k -=当1111()0,),(0)k f k k f k ∈'>∈+∞'<，当1k =时，1()f k 取得极大值也是最大值，即S 取得最大值， 此时两直线MA ，MB斜率的比值21123==3k k k --. 21．已知椭圆D ：22221x y a b +=（0a b >>）的短轴长为2（1）求椭圆D 的方程；（2）点()0,2E ，轨迹D 上的点A ，B 满足EA EB λ=，求实数λ的取值范围.【答案】（1）2214x y +=（2）1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦（1）由已知2221a b c b c a⎧⎪=+⎪⎪=⇒⎨⎪⎪=⎪⎩ 2a =，1b =，c =所以D 的方程为2214x y +=（2）过()0,2E 的直线若斜率不存在，则13λ=或3.设直线斜率k 存在()11,A x y ，()22,B x y222440y kx x y =+⎧⇒⎨+-=⎩ ()221416120k x kx +++=则()()()()122122120,116,21412,314,4k x x k x x kx x λ⎧∆≥⎪-⎪+=⎪+⎨⎪=⎪+⎪=⎩由（2）（4）解得1x ，2x 代入（3）式得()2222161214141k k k λλ-⎛⎫⋅= ⎪++⎝⎭+ 化简得()22314641k λλ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭+ 由（1）0∆≥解得234k ≥代入上式右端得 ()2311641λλ<≤+ 解得133λ<<综上实数λ的取值范围是1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦.点睛:解析中出现EA EB λ=属于 λ问题，由EA EB λ=得出12x x λ=，结合韦达定理找到λ与k的关系，再利用0∆≥建立不等关系即得解.22．已知点F 是抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点，点00(3,)(1)P y y >是抛物线C 上一点，且134PF =，Q 的方程为22(3)6x y +-=，过点F 作直线l ，与抛物线C 和Q 依次交于.（如图所示）（1）求抛物线C 的方程； （2）求()MB NA AB +的最小值.【答案】（1）；（2）．由在抛物线上得，又由得，解得，，又，故.所以抛物线的方程为.由题知直线的斜率一定存在，设直线的方程为.则圆心到直线的距离为，.设，，由得，则，由抛物线定义知，.设，则，，函数在上都是单调递增函数，当时即时，有最小值.23．已知椭圆方程为22163x y +=．（1）设椭圆的左右焦点分别为1F 、2F ，点P 在椭圆上运动，求1122PF PF PF PF +⋅的值；（2）设直线l 和圆222x y +=相切，和椭圆交于A 、B 两点，O 为原点，线段OA 、OB 分别和圆222x y +=交于C 、D 两点，设AOB ∆、COD ∆的面积分别为1S 、2S ，求12S S 的取值范围．【答案】（1）6；（2）2,2⎡⎢⎣⎦.（1）由已知，())12,F F ，设(),P x y ，由1PF x ⎫===⎪⎪⎭，同理22PF x ⎫=⎪⎪⎭，可得21216222PF PF x x x ⎫⋅==-⎪⎪⎭，())2212,,3x y x y x PF y PF ⋅=--⋅-=+-．结合22163x y +=，得22132y x =-，故221212116622PF PF PF PF x x ⋅+⋅=-+=；（2）当直线l 的斜率不存在时，其方程为x=由对称性，不妨设x =，此时()(),,1,1,1,1ABC D -，故12221S S ==． 若直线l 的斜率存在，设其方程为y kx m =+，由已知可得=()2221m k =+，设()11,A x y 、()22,B x y ，将直线l 与椭圆方程联立，得()222214260k x kmx m +++-=，由韦达定理得122421km x x k +=-+，21222621m x x k -=+．结合OC OD ==22221122113,322x y y x =-=-，可知121sin 1212sin 2OA OB AOBS OA OB S OC OD COD ⋅⋅∠==⋅=⋅⋅∠==将根与系数的关系代入整理得：12S S = 结合()2221m k =+，得12S S = 设2211t k =+≥，(]10,1u t=∈，则122,2S S ⎡===⎢⎣⎦． 12S S ∴的取值范围是⎡⎢⎣⎦．.24．如图在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22122:1x y C a b+=，()22222:1044x y C a b a b+=>>，椭圆2C 的右顶点和上顶点分别为A 和B ，过A ，B 分别引椭圆1C 的切线1l，2l ，切点为C ，D .（1）若2a =，1b =，求直线1l 的方程； （2）若直线1l 与2l 的斜率之积为916-，求椭圆1C 的离心率. 【答案】（1）)4y x =±-；（2（1）当2a =，1b =，221:14x C y +=，222:1164x y C +=.()4,0A ， 设过()4,0A 处的切线方程为()4y k x =-，代入1C ，得()222214326440k x k x k +-+-=.令()()()2222324146440k k k ∆=-+-=，得2112k =，k =， 所以1l的方程为：)4y x =-. （2）设1l ，2l 的斜率分别为1k ，2k ，则12916k k =-， 1l ，2l 的方程分别：()12y k x a =-，22y b k x -=.联立()1222221y k x a x y ab ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩，消去y ，得()2222324222111440b a k x a k x a k a b +-+-=. 由()()64222422211116440a k b a k a k a b ∆=-+-=，得22213a k b =.联立2222221y b k x x y ab -=⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y ，得()222222222430b a k x a bk x a b +++=.由()422222222216120a b k b a k a b '∆=-+=，得22223a k b =.故422412a k k b =，344a b e ⇒=⇒=.25．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>1)2M -是椭圆C 上的一点.（1）求椭圆C 的方程；（2）过点(4,0)P -作直线l 与椭圆C 交于不同两点A 、B ，A 点关于x 轴的对称点为D ，问直线BD 是否过定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由.【答案】（1）2214x y +=；（2）是，(1,0)-.（1）∵c a =，222a b c =+，∴224a b =，∴222214x y b b+=，将1)2M -代入椭圆C ，∴21b =，∴22:14xC y +=.（2）显然AB 斜率存在，设AB 方程 为：(4)y k x =+，2222221(14)3264404(4)x y k x k x k y k x ⎧+=⎪⇒+++-=⎨⎪=+⎩， 2161920k ∆=->，∴2112k <. 设11(,)A x y ，22(,)B x y ，11(,)D x y -，∴21223214k x x k +=-+，212264414k x x k -=+，∵()211121:y y BD y y x x x x ++=--，∴0y =时211112*********()()8x y x y kx x k x x x x y y k x x k -++=+=+++2233222332644322()4()1288128141413232832()814k k k k k k k k k k k k k k kk -+---++===--++-++，∴直线BD 过定点(1,0)-.26．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F ，2F，离心率为2，过2F 且与x 轴不重合的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，1ABF ∆的周长为8.（1）求椭圆C 的方程；（2）已知直线1l 的方程为y kx m =+，直线2l 的方程为2()y kx m =+，其中01m <<.设1l 与椭圆C 交于M ，N 两点，2l 与圆22:4O x y +=交于P ，Q 两点，求MONPOQS S ∆∆的值.【答案】（1）2214x y +=；（2）12.（1）由题意，椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，且1ABF 的周长为8，根据椭圆的定义，可得1ABF 的周长为12124AF AF BF BF a ，即48a =，即2a =，又因为c e a ==c =1b ==， 所以椭圆C 的标准方程为2214x y +=.（2）设()11,M x y ，()22,N x y ，联立方程组2214x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去y 得()()222418410k x kmx m +++-=.由()()222264164110k m k m ∆=-+->，可得2241k m +>，且2121222844,1414km m x x x x k k-+=-+=++由弦长公式，可得12214MN x k=-=⋅+ 又因为点O 到直线1l的距离1d ==所以112MONS MN d =⋅=△.因为圆O 的方程为224x y +=，所以圆O 的圆心到直线2l的距离2d =所以PQ ==，所以212POQS PQ d =⋅=△，所以12MON POQ S S =△△. 27．已知椭圆C ：22221x y a b +=（0a b >>）的离心率为2，(,0)A a ，(0,)B b ，(0,0)O ，OAB ∆的面积为1.（1）求椭圆C 的方程；（2）设P 是椭圆C 上一点，直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N ，求证：||||AN BM ⋅为定值.【答案】（1）2214x y +=；（2）证明见解析.（Ⅰ）由题意得解得.所以椭圆的方程为.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，设，则.当时，直线的方程为.令，得，从而.直线的方程为.令，得，从而.所以. 当时，，所以. 综上，为定值.28．已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的左焦点()1F ，点1,2Q ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭在椭圆C 上. （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）经过圆O ：225x y +=上一动点P 作椭圆C 的两条切线，切点分别记为A ，B ，直线PA ，PB 分别与圆O 相交于异于点P 的M ，N 两点.（i ）当直线PA ，PB 的斜率都存在时，记直线PA ，PB 的斜率分别为1k ，2k .求证：121k k =-；（ii ）求ABMN的取值范围.。
历年高考数学《圆锥曲线》真题集锦
以下题目全是经典的高考题目,希望对您有帮助!!圆锥曲线1．如图，设抛物线方程为x 2=2py (p ＞0)，M 为直线p y 2-=上任意一点，过M 引抛物线的切线，切点分别为A ，B .(1)求证：A ，M ，B 三点的横坐标成等差数列； (2)已知当M 点的坐标为（2，p 2-）时，AB = (3)是否存在点M ，使得点C 关于直线AB 的对称点D 在抛物线22(0)x py p =＞上，其中，点C 满足OC OA OB =+（O 为坐标原点）.若存在，求出所有适合题意的点M 的坐标；若不存在，请说明理由. 解:(1)证明：由题意设221212120(,),(,),,(,2).22x x A x B x x x M x p p p-＜由22x py =得22x y p =，则,x y p'= 所以12,.MA MB x x k k p p ==因此直线MA :102(),x y p x x p +=- 直线MB :202().xy p x x p+=-所以211102(),2x x p x x p p +=- ① 222202().2x x p x x p p+=- ② 由①、②得: 0122.x x x =+所以A 、M 、B 三点的横坐标成等差数列. (2)解：由(1)知，当x 0=2时， 将其代入①、②并整理得：2211440,x x p --= 2222440,x x p --=所以x 1、x 2是方程22440x x p --=的两根，因此212124,4,x x x x p +==-又22210122122,2ABx x x x x p p k x x p p-+===-所以2.AB k p =由弦长公式AB==又AB=p=1或p=2，因此所求抛物线方程为22x y=或24.x y=(3)解：设D(x3,y3)，由题意得C(x1+ x2, y1+ y2),则CD的中点坐标为123123(,),22x x x y y yQ++++设直线AB的方程为011(),xy y x xp-=-由点Q在直线AB上，并注意到点1212(,)22x x y y++也在直线AB上，代入得033.xy xp=若D（x3,y3）在抛物线上，则2330322,x py x x==因此x3=0或x3=2x0. 即D(0，0)或22(2,).xD xp(1’ 当x0=0时，则12020x x x+==，此时，点M(0,-2p)适合题意.(2’ 当x≠，对于D(0，0)，此时221222221212002(2,),,224CDx xx x x xpC x kp x px+++==又0,ABxkp=AB⊥CD，所以22220121221,44AB CDx x x x xk kp px p++===-即222124,x x p+=-矛盾.对于22(2,),xD xp因为2212(2,),2x xC xp+此时直线CD平行于y轴，又00,ABxkp=≠所以直线AB与直线CD不垂直，与题设矛盾，所以x≠时，不存在符合题意的M点. 综上所述，仅存在一点M(0，-2p)适合题意.2．已知曲线11(0)xyC a ba b+=>>：所围成的封闭图形的面积为1C的内切圆半径为3．记2C为以曲线1C与坐标轴的交点为顶点的椭圆．（O为坐标原点）（Ⅰ）求椭圆2C 的标准方程；（Ⅱ）设AB 是过椭圆2C 中心的任意弦，l 是线段AB 的垂直平分线．M 是l 上异于椭圆中心的点．（1）若MO OA λ=，当点A 在椭圆2C 上运动时，求点M 的轨迹方程； （2）若M 是l 与椭圆2C 的交点，求AMB △的面积的最小值．解：（Ⅰ）由题意得23ab ⎧=⎪⎨= 又0a b >>，解得25a =，24b =．因此所求椭圆的标准方程为22154x y +=． （Ⅱ）（1）假设AB 所在的直线斜率存在且不为零，设AB 所在直线方程为(0)y kx k =≠，()A A A x y ，．解方程组22154x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=⎩，，得222045A x k =+，2222045A k y k =+， 所以22222222202020(1)454545AAk k OA x y k k k +=+=+=+++．设()M x y ，由(0)MO OA λλ=≠，所以222MO OA λ=，即2222220(1)45k x y kλ++=+， 因为l 是AB 的垂直平分线，所以直线l 的方程为1y x k=-，即x k y =-，因此22222222222220120()4545x y x y x y x y x y λλ⎛⎫+ ⎪+⎝⎭+==++， 又220x y +≠，所以2225420x y λ+=，故22245x y λ+=． 又当0k =或不存在时，上式仍然成立．综上所述，M 轨迹222(0)45x y λλ+=≠． （2）当k 存在且0k ≠时，由（1）得222045Ax k =+，2222045A k y k =+，由221541x y y x k ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，，解得2222054M k x k =+，222054M y k =+， 所以2222220(1)45AAk OA x y k +=+=+，222280(1)445k AB OA k +==+，22220(1)54k OM k+=+． 解法一：由于22214AMBSAB OM =△2222180(1)20(1)44554k k k k ++=⨯⨯++ 2222400(1)(45)(54)k k k +=++22222400(1)45542k k k +⎛⎫+++ ⎪⎝⎭≥222221600(1)4081(1)9k k +⎛⎫== ⎪+⎝⎭， 当且仅当224554k k +=+时等号成立，即1k =±时等号成立，此时最小409AMB S =△．当0k =，140229AMB S =⨯=>△． 当k不存在时，140429AMB S ==>△．综上,AMB △的面积的最小值为409．解法二：因为222222111120(1)20(1)4554k k OAOMk k +=+++++2224554920(1)20k k k +++==+，又22112OA OMOAOM+≥，409OA OM ≥，当且仅当224554k k +=+时等号成立，即1k =±时等号成立，此时AMB △面积的最小值是409AMB S =△．下同解法一. 3．已知m ∈R ，直线l ：2(1)4mx m y m -+=和圆C ：2284160x y x y +-++=.（1）求直线l 斜率的取值范围；（2）直线l 能否将圆C 分割成弧长的比值为12的两段圆弧？为什么？解: （1）直线l 的方程可化为22411m m y x m m =-++，此时斜率21mk m =+ 因为()2112m m ≤+，所以2112m k m =≤+，当且仅当1m =时等号成立 所以，斜率k 的取值范围是11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦；（2）不能.由（1）知l 的方程为()4y k x =-，其中12k ≤； 圆Ｃ的圆心为()4,2C -，半径2r =；圆心Ｃ到直线l的距离d =由12k ≤，得1d ≥>，即2rd >，从而，若l 与圆Ｃ相交，则圆Ｃ截直线l 所得 的弦所对的圆心角小于23π，所以l 不能将圆Ｃ分割成弧长的比值为12的两段弧； 4．双曲线的中心为原点O ，焦点在x 轴上，两条渐近线分别为12l l ，，经过右焦点F 垂直于1l 的直线分别交12l l ，于A B ，两点．已知OA AB OB 、、成等差数列，且BF 与FA 同向．（Ⅰ）求双曲线的离心率；（Ⅱ）设AB 被双曲线所截得的线段的长为4，求双曲线的方程．解:（Ⅰ）设OA m d =-，AB m =，OB m d =+则由题有：222()()m d m m d -+=+ 得：14d m =，tan b AOF a ∠=，4tan tan 23AB AOB AOF OA ∠=∠== 由倍角公式∴22431ba b a =⎛⎫- ⎪⎝⎭，解得12b a =,则离心率e = （Ⅱ）过F 直线方程为()ay x c b=--,与双曲线方程22221x y a b -=联立将2a b =，c =代入，化简有22152104x x b b-+=124x =-=将数值代入，有4=解得3b = 故所求的双曲线方程为221369x y -=。
高三数学圆锥曲线试题
高三数学圆锥曲线试题1.过抛物线的焦点且倾斜角为的直线与抛物线在第一、四象限分别交于两点，则等于（）A．5B．4C．3D． 2【答案】C【解析】如图，过作准线的垂线，垂足分别为，过作于，由垂直及抛物线的定义可知，所以，所以,所以.【考点】抛物线的定义.2.已知椭圆的右焦点为,过点的直线交椭圆于两点.若的中点坐标为,则的方程为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由题意知，，利用点差法，设过点的直线（显然，斜率存在）为，交点联立椭圆方程得：，则，又的中点坐标为，即，，故，又，所以，，联立得，所以椭圆方程为，选D.【考点】直线点斜式方程、椭圆方程.3.抛物线的准线截圆所得弦长为2，则= .【答案】2【解析】抛物线的准线为，而圆化成标准方程为，圆心，，圆心到准线的距离为，所以，即.【考点】1.抛物线的准线方程；2.勾股定理.4.如图, 在等腰梯形ABCD中, AB//CD, 且AB="2CD," 设∠DAB=, ∈（0, ）, 以A, B为焦点且过点D的双曲线的离心率为e1, 以C, D为焦点且过点A的椭圆的离心率为e2, 设的大致图像是（）【答案】D【解析】根据题意，由于等腰梯形ABCD中, AB//CD, 且AB="2CD," 设∠DAB=, ∈（0, ）,那么结合双曲线的定义，以A, B为焦点且过点D的双曲线的离心率为e1, 以C, D为焦点且过点A的椭圆的离心率为e2,BD-DA=2a,AB=2c,AD+DC=2a’,且，因为a在增大，c不变可知离心率e1增大，而对于离心率e2，不变，那么可知正确的图象为D。
【考点】双曲线的性质，椭圆的性质点评：主要是考查了双曲线以及椭圆性质的运用，属于中档题。
5.在平面直角坐标系中，设点为圆：上的任意一点，点(2，) ()，则线段长度的最小值为．【答案】【解析】根据题意，由于点为圆：上的任意一点，由于圆心（1,0），且点(2，) ()，则线段长度的最小值为圆心到Q的距离减去圆的半径2，那么可知，故可知答案为。
圆锥曲线的高考题总汇编(带详细解析汇报)
第八章 圆锥曲线方程●考点阐释圆锥曲线是解析几何的重点内容，这部分内容的特点是：（1）曲线与方程的基础知识要求很高，要求熟练掌握并能灵活应用.（2）综合性强．在解题中几乎处处涉及函数与方程、不等式、三角及直线等内容，体现了对各种能力的综合要求．（3）计算量大．要求学生有较高的计算水平和较强的计算能力． ●试题类编 一、选择题1.（2003京春文9，理5）在同一坐标系中，方程a 2x 2+b 2y 2=1与ax +b y 2=0（a ＞b ＞0）的曲线大致是（ ）2.（2003京春理，7）椭圆⎩⎨⎧=+=ϕϕsin 3cos 54y x （ϕ为参数）的焦点坐标为（ ）A.（0，0），（0，－8）B.（0，0），（－8，0）C.（0，0），（0，8）D.（0，0），（8，0）3.（2002京皖春，3）已知椭圆的焦点是F 1、F 2，P 是椭圆上的一个动点．如果延长F 1P 到Q ，使得|PQ |＝|PF 2|，那么动点Q 的轨迹是（ ）A.圆B.椭圆C.双曲线的一支D.抛物线4.（2002全国文，7）椭圆5x 2＋ky 2＝5的一个焦点是（0，2），那么k 等于（ ）A.－1B.1C.5D. －55.（2002全国文，11）设θ∈（0，4π），则二次曲线x 2cot θ－y 2tan θ＝1的离心率的取值范围为（ ）A.（0，21） B.（22,21） C.（2,22） D.（2，＋∞）6.（2002北京文，10）已知椭圆222253n y m x +和双曲线222232ny m x -＝1有公共的焦点，那么双曲线的渐近线方程是（ ）A.x ＝±y 215B.y ＝±x 215 C.x ＝±y 43D.y ＝±x 43 7.（2002天津理，1）曲线⎩⎨⎧==θθsin cos y x （θ为参数）上的点到两坐标轴的距离之和的最大值是（ ）A.21B.22 C.1 D.28.（2002全国理，6）点P （1，0）到曲线⎩⎨⎧==ty t x 22（其中参数t ∈R ）上的点的最短距离为（ ）A.0B.1C.2 D.29.（2001全国，7）若椭圆经过原点，且焦点为F 1（1，0），F 2（３，0），则其离心率为（ ） A.43B.32 C.21 D.41 10.（2001广东、河南，10）对于抛物线y 2=4x 上任意一点Q ，点P （a ，0）都满足|PQ |≥|a |，则a 的取值范围是（ ）A.（－∞，0）B.（－∞，2]C.［0，2］D.（0，2）11.（2000京皖春，9）椭圆短轴长是2，长轴是短轴的2倍，则椭圆中心到其准线距离是（ ） A.43B.554C.358D.334 12.（2000全国，11）过抛物线y =ax 2（a ＞0）的焦点F 用一直线交抛物线于P 、Q 两点，若线段PF 与FQ 的长分别是p 、q ，则qp 11+等于（ ） A.2aB.a21C.4aD.a4 13.（2000京皖春，3）双曲线2222ay b x -＝1的两条渐近线互相垂直，那么该双曲线的离心率是（ ）A.2B.3C.2D.2314.（2000上海春，13）抛物线y =－x 2的焦点坐标为（ ）A.（0，41） B.（0，－41） C.（41，0）D.（－41，0） 15.（2000上海春，14）x =231y -表示的曲线是（ ）A.双曲线B.椭圆C.双曲线的一部分D.椭圆的一部分 16.（1999上海理，14）下列以t 为参数的参数方程所表示的曲线中，与xy =1所表示的曲线完全一致的是（ ）A.⎪⎩⎪⎨⎧==-2121t y t xB.⎪⎩⎪⎨⎧==||1||t y t xC.⎩⎨⎧==ty tx sec cosD.⎩⎨⎧==ty tx cot tan17.（1998全国理，2）椭圆31222y x +=1的焦点为F 1和F 2，点P 在椭圆上.如果线段PF 1的中点在y 轴上，那么|PF 1|是|PF 2|的（ ）A.7倍B.5倍C.4倍D.3倍18.（1998全国文，12）椭圆31222y x +=1的一个焦点为F 1，点P 在椭圆上.如果线段PF 1的中点M 在y 轴上，那么点M 的纵坐标是（ ）A.±43 B.±23 C.±22D.±43 19.（1997全国，11）椭圆C 与椭圆4)2(9)3(22-+-y x ，关于直线x +y =0对称，椭圆C 的方程是（ ） A.19)3(4)2(22=+++y xB.19)3(4)2(22=++-y xC.14)3(9)2(22=+++y xD.19)3(4)2(22=-+-y x20.（1997全国理，9）曲线的参数方程是⎪⎩⎪⎨⎧-=-=2111t y t x （t 是参数，t ≠0），它的普通方程是（ ）A.（x －1）2（y －1）＝1B.y ＝2)1()2(x x x --C.y ＝1)1(12--x D.y ＝21xx-＋1 21.（1997上海）设θ∈（43π，π），则关于x 、y 的方程x 2csc θ－y 2sec θ=1所表示的曲线是（ ） A.实轴在y 轴上的双曲线 B.实轴在x 轴上的双曲线 C.长轴在y 轴上的椭圆 D.长轴在x 轴上的椭圆22.（1997上海）设k ＞1，则关于x 、y 的方程（1－k ）x 2+y 2=k 2－1所表示的曲线是（ ） A.长轴在y 轴上的椭圆 B.长轴在x 轴上的椭圆 C.实轴在y 轴上的双曲线 D.实轴在x 轴上的双曲线 23.（1996全国文，9）中心在原点，准线方程为x =±4，离心率为21的椭圆方程是（ ） A.3422y x +＝1B.4322y x +＝1 C.42x ＋y 2＝1D.x 2＋42y ＝124.（1996上海，5）将椭圆92522y x +＝1绕其左焦点按逆时针方向旋转90°，所得椭圆方程是（ ） A.19)4(25)4(22=-++y xB.19)4(25)4(22=+++y xC.125)4(9)4(22=-++y xD.125)4(9)4(22=+++y x25.（1996上海理，6）若函数f （x ）、g （x ）的定义域和值域都为R ，则f （x ）>g （x ）（x ∈R ）成立的充要条件是（ ）A.有一个x ∈R ，使f （x ）>g （x ）B.有无穷多个x ∈R ，使得f （x ）>g （x ）C.对R 中任意的x ，都有f （x ）>g （x ）+1D.R 中不存在x ，使得f （x ）≤g （x ）26.（1996全国理，7）椭圆⎩⎨⎧+-=+=ϕϕsin 51cos 33y x 的两个焦点坐标是（ ）A.（－3，5），（－3，－3）B.（3，3），（3，－5）C.（1，1），（－7，1）D.（7，－1），（－1，－1）27.（1996全国文，11）椭圆25x 2－150x +9y 2+18y +9=0的两个焦点坐标是（ ） A.（－3，5），（－3，3） B.（3，3），（3，－5） C.（1，1），（－7，1） D.（7，－1），（－1，－1）28.（1996全国）设双曲线2222by a x -=1（0＜a ＜b ）的半焦距为c ，直线l 过（a ，0），（0，b ）两点.已知原点到直线l 的距离为43c ，则双曲线的离心率为（ ） A.2B.3C.2D.332 29.（1996上海理，7）若θ∈［0，2π］，则椭圆x 2+2y 2－22x cos θ+4y sin θ=0的中心的轨迹是（ ）30.（1995全国文6，理8）双曲线3x 2－y 2＝3的渐近线方程是（ ） A.y =±3xB.y ＝±31x C.y ＝±3xD.y ＝±x 33 31.（1994全国，2）如果方程x 2＋ky 2＝2表示焦点在y 轴上的椭圆，那么实数k 的取值范围是（ ） A.（0，＋∞） B.（0，2） C.（1，＋∞） D.（0，1）32.（1994全国，8）设F 1和F 2为双曲线-42x y 2＝1的两个焦点，点P 在双曲线上，且满足∠F 1PF 2＝90°，则△F 1PF 2的面积是（ ）A.1B.25 C.2 D.533.（1994上海，17）设a 、b 是平面α外任意两条线段，则“a 、b 的长相等”是a 、b 在平面α内的射影长相等的（ ） A.非充分也非必要条件 B.充要条件 C.必要非充分条件 D.充分非必要条件34.（1994上海，19）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的方程是y =cos x ，现在平移坐标系，把原点移到O ′（2π，－2π），则在坐标系x ′O ′y ′中，曲线C 的方程是（ ）A.y ′=sin x ′+2πB.y ′=－sin x ′+2πC.y ′=sin x ′－2π D.y ′=－sin x ′－2π二、填空题35.（2003京春，16）如图8—1，F 1、F 2分别为椭圆2222by a x +=1的左、右焦点，点P 在椭圆上，△POF 2是面积为3的正三角形，则b 2的值是_____.36.（2003上海春，4）直线y =x －1被抛物线y 2=4x 截得线段的中点坐标是_____.37.（2002上海春，2）若椭圆的两个焦点坐标为F 1（－1，0），F 2（5，0），长轴的长为10，则椭圆的方程为 ．38.（2002京皖春，13）若双曲线m y x 224-＝1的渐近线方程为y ＝±23x ，则双曲线的焦点坐标是 ． 39.（2002全国文，16）对于顶点在原点的抛物线，给出下列条件：①焦点在y 轴上； ②焦点在x 轴上；③抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6； ④抛物线的通径的长为5；⑤由原点向过焦点的某条直线作垂线，垂足坐标为（2，1）． 能使这抛物线方程为y 2＝10x 的条件是 ．（要求填写合适条件的序号） 40.（2002上海文，8）抛物线（y －1）2＝4（x －1）的焦点坐标是 ． 41.（2002天津理，14）椭圆5x 2－ky 2＝5的一个焦点是（0，2），那么k ＝ ．42.（2002上海理，8）曲线⎩⎨⎧+=-=1212t y t x （t 为参数）的焦点坐标是_____.43.（2001京皖春，14）椭圆x 2＋4y 2＝4长轴上一个顶点为A ，以A 为直角顶点作一个内接于椭圆的等腰直角三角形，该三角形的面积是 ．44.（2001上海，3）设P 为双曲线-42x y 2＝1上一动点，O 为坐标原点，M 为线段OP 的中点，则点M 的轨迹方程是 ．45.（2001上海，5）抛物线x 2－4y －3＝0的焦点坐标为 ．46.（2001全国，14）双曲线16922y x -＝1的两个焦点为F 1、F 2，点P 在双曲线上，若PF 1⊥PF 2，则点P 到x 轴的距离为 .47.（2001上海春，5）若双曲线的一个顶点坐标为（3，0），焦距为10，则它的标准方程为_____.48.（2001上海理，10）直线y =2x －21与曲线⎩⎨⎧==ϕϕ2cos sin y x （ϕ为参数）的交点坐标是_____.49.（2000全国，14）椭圆4922y x +＝1的焦点为F 1、F 2，点P 为其上的动点，当∠F 1PF 2为钝角时，点P 横坐标的取值范围是_____.图8—150.（2000上海文，3）圆锥曲线916)1(22y x --＝1的焦点坐标是_____.51.（2000上海理，3）圆锥曲线⎩⎨⎧=+=θθtan 31sec 4y x 的焦点坐标是_____.52.（1999全国，15）设椭圆2222by a x +=1（a ＞b ＞0）的右焦点为F 1，右准线为l 1，若过F 1且垂直于x 轴的弦的长等于点F 1到l 1的距离，则椭圆的离心率是 .53.（1999上海5）若平移坐标系，将曲线方程y 2+4x －4y －4=0化为标准方程，则坐标原点应移到点O ′ ( ) .54.（1998全国，16）设圆过双曲线16922y x -=1的一个顶点和一个焦点，圆心在此双曲线上，则圆心到双曲线中心的距离是 .55.（1997全国文，17）已知直线x －y =2与抛物线y 2=4x 交于A 、B 两点，那么线段AB 的中点坐标是_____.56.（1997上海）二次曲线⎩⎨⎧==θθsin 3cos 5y x （θ为参数）的左焦点坐标是_____.57.（1996上海，16）平移坐标轴将抛物线4x 2－8x ＋y ＋5＝0化为标准方程x ′2＝ay ′（a ≠0），则新坐标系的原点在原坐标系中的坐标是 ．58.（1996全国文，16）已知点（－2，3）与抛物线y 2=2px （p ＞0）的焦点的距离是5，则p =_____. 59.（1996全国理，16）已知圆x 2+y 2－6x －7=0与抛物线y 2=2px （p ＞0）的准线相切，则p =_____. 60.（1995全国理，19）直线L 过抛物线y 2＝a （x +1）（a >0）的焦点，并且与x 轴垂直，若L 被抛物线截得的线段长为4，则a = .61.（1995全国文，19）若直线L 过抛物线y 2＝4（x +1）的焦点，并且与x 轴垂直，则L 被抛物线截得的线段长为 .62.（1995上海，15）把参数方程⎩⎨⎧+==1cos sin ααy x （α是参数）化为普通方程，结果是 ．63.（1995上海，10）双曲线98222y x -=8的渐近线方程是 . 64.（1995上海，14）到点A （－1，0）和直线x =3距离相等的点的轨迹方程是 .65.（1994全国，17）抛物线y 2＝8－4x 的准线方程是 ，圆心在该抛物线的顶点且与其准线相切的圆的方程是 ．66.（1994上海，7）双曲线22y －x 2=1的两个焦点的坐标是 .三、解答题67.（2003上海春，21）设F 1、F 2分别为椭圆C ：22228by a x + =1（a ＞b ＞0）的左、右两个焦点.（1）若椭圆C 上的点A （1，23）到F 1、F 2两点的距离之和等于4，写出椭圆C 的方程和焦点坐标； （2）设点K 是（1）中所得椭圆上的动点，求线段F 1K 的中点的轨迹方程；（3）已知椭圆具有性质：若M 、N 是椭圆C 上关于原点对称的两个点，点P 是椭圆上任意一点，当直线PM 、PN 的斜率都存在，并记为k PM 、k PN 时，那么k PM 与k PN 之积是与点P 位置无关的定值.试对双曲线12222=-by a x 写出具有类似特性的性质，并加以证明. 68.（2002上海春，18）如图8—2，已知F 1、F 2为双曲线12222=-by a x （a ＞0，b ＞0）的焦点，过F 2作垂直于x 轴的直线交双曲线于点P ，且∠PF 1F 2＝30°．求双曲线的渐近线方程．69.（2002京皖文，理，22）已知某椭圆的焦点是F 1（－4，0）、F 2（4，0），过点F 2并垂直于x 轴的直线与椭圆的一个交点为B ，且|F 1B |＋|F 2B |＝10．椭圆上不同的两点A （x 1，y 1）、C （x 2，y 2）满足条件：|F 2A |、|F 2B |、|F 2C |成等差数列．（Ⅰ）求该椭圆的方程；（Ⅱ）求弦AC 中点的横坐标；（Ⅲ）设弦AC 的垂直平分线的方程为y ＝kx ＋m ，求m 的取值范围． 70.（2002全国理，19）设点P 到点M （－1，0）、N （1，0）距离之差为2m ，到x 轴、y 轴距离之比为2．求m 的取值范围．71.（2002北京，21）已知O （0，0），B （1，0），C （b ，c ）是△OBC 的三个顶点．如图8—3.（Ⅰ）写出△OBC 的重心G ，外心F ，垂心H 的坐标，并证明G 、F 、H 三点共线； （Ⅱ）当直线FH 与OB 平行时，求顶点C 的轨迹．72.（2002江苏，20）设A 、B 是双曲线x 222y -＝1上的两点，点N （1，2）是线段AB的中点．（Ⅰ）求直线AB 的方程；（Ⅱ）如果线段AB 的垂直平分线与双曲线相交于C 、D 两点，那么A 、B 、C 、D 四点是否共圆，为什么?73.（2002上海，18）已知点A （3-，0）和B （3，0），动点C 到A 、B 两点的距离之差的绝对值为2，点C 的轨迹与直线y =x －2交于D 、E 两点，求线段DE 的长．74.（2001京皖春，22）已知抛物线y 2＝2px （p ＞0）.过动点M （a ，0）且斜率为1的直线l 与该抛物线交于不同的两点A 、B ，|AB |≤2p .（Ⅰ）求a 的取值范围；（Ⅱ）若线段AB 的垂直平分线交x 轴于点N ，求△NAB 面积的最大值.75.（2001上海文，理，18）设F 1、F 2为椭圆4922y x +＝1的两个焦点，P 为椭圆上的一点．已知P 、F 1、F 2是一个直角三角形的三个顶点，且|PF 1|＞|PF 2|，求||||21PF PF 的值．76.（2001全国文20，理19）设抛物线y 2＝2px （p ＞0）的焦点为F ，经过点F 的直线交抛物线于A 、B 两点，点C 在抛物线的准线上，且BC ∥x 轴.证明直线AC 经过原点O.图8— 2图8—377.（2001上海春，21）已知椭圆C 的方程为x 2+22y =1，点P （a ，b ）的坐标满足a 2+22b ≤1，过点P 的直线l 与椭圆交于A 、B 两点，点Q 为线段AB 的中点，求：（1）点Q 的轨迹方程；（2）点Q 的轨迹与坐标轴的交点的个数.78.（2001广东河南21）已知椭圆22x +y 2=1的右准线l 与x 轴相交于点E ，过椭圆右焦点F 的直线与椭圆相交于A 、B 两点，点C 在右准线l 上，且BC ∥x 轴.求证：直线AC 经过线段EF 的中点.79.（2000上海春，22）如图8—4所示，A 、F 分别是椭圆12)1(16)1(22-++x y ＝1的一个顶点与一个焦点，位于x 轴的正半轴上的动点T （t ，0）与F 的连线交射影OA 于Q ．求：（1）点A 、F 的坐标及直线TQ 的方程；（2）△OTQ 的面积S 与t 的函数关系式S =f （t ）及其函数的最小值；（3）写出S =f （t ）的单调递增区间，并证明之．80.（2000京皖春，23）如图8—5，设点A 和B 为抛物线y 2＝4px （p ＞0）上原点以外的两个动点，已知OA ⊥OB ，OM ⊥AB ，求点M 的轨迹方程，并说明它表示什么曲线．81.（2000全国理，22）如图8—6，已知梯形ABCD 中，|AB |＝2|C Ｄ|，点E 分有向线段AC 所成的比为λ，双曲线过C 、D 、E 三点，且以A 、B 为焦点．当32≤λ≤43时，求双曲线离心率e 的取值范围．图8—5 图8—6 图8—782.（2000全国文，22）如图8—7，已知梯形ABCD 中|AB |＝2|CD |，点E 分有向线段AC 所成的比为118，双曲线过C 、D 、E 三点，且以A 、B 为焦点．求双曲线离心率．83.（2000上海，17）已知椭圆C 的焦点分别为F 1（22-，0）和F 2（22，0），长轴长为6，设直线y =x +2交椭圆C 于A 、B 两点，求线段AB 的中点坐标．84.（1999全国，24）如图8—8，给出定点A （a ，0）（a ＞0）和直线l ：x =－1.B 是直线l上的动点，∠BOA 的角平分线交AB 于点C.求点C 的轨迹方程，并讨论方程表示的曲线类型与a 值的关系.注：文科题设还有条件a ≠185.（1999上海，22）设椭圆C 1的方程为2222by a x +=1（a ＞b ＞0），曲线C 2的方程为图8— 4图8—8y =x1，且C 1与C 2在第一象限内只有一个公共点P . （Ⅰ）试用a 表示点P 的坐标.（Ⅱ）设A 、B 是椭圆C 1的两个焦点，当a 变化时，求△ABP 的面积函数S （a ）的值域；（Ⅲ）设min ｛y 1，y 2，…，y n ｝为y 1，y 2，…，y n 中最小的一个.设g （a ）是以椭圆C 1的半焦距为边长的正方形的面积，求函数f （a ）=min ｛g （a ），S （a ）｝的表达式.86.（1998全国理，24）设曲线C 的方程是y =x 3－x ，将C 沿x 轴、y 轴正向分别平行移动t 、s 单位长度后得曲线C 1.（Ⅰ）写出曲线C 1的方程；（Ⅱ）证明曲线C 与C 1关于点A （2,2st ）对称； （Ⅲ）如果曲线C 与C 1有且仅有一个公共点，证明s =43t －t 且t ≠0.87.（1998全国文22，理21）如图8—9，直线l 1和l 2相交于点M ，l 1⊥l 2，点N ∈l 1.以A 、B 为端点的曲线段C 上的任一点到l 2的距离与到点N 的距离相等.若△AMN 为锐角三角形，|AM |=17，|AN |=3，且|BN |=6.建立适当的坐标系，求曲线段C 的方程.88.（1998上海理，20）（1）动直线y =a 与抛物线y 2=21（x －2）相交于A 点，动点B的坐标是（0，3a ），求线段AB 中点M 的轨迹C 的方程；（2）过点D （2，0）的直线l 交上述轨迹C 于P 、Q 两点，E 点坐标是（1，0），若△EPQ 的面积为4，求直线l 的倾斜角α的值.89.（1997上海）抛物线方程为y 2=p （x +1）（p ＞0），直线x +y =m 与x 轴的交点在抛物线的准线的右边. （1）求证：直线与抛物线总有两个交点；（2）设直线与抛物线的交点为Q 、R ，OQ ⊥OR ，求p 关于m 的函数f （m ）的表达式；（3）（文）在（2）的条件下，若抛物线焦点F 到直线x +y =m 的距离为22，求此直线的方程； （理）在（2）的条件下，若m 变化，使得原点O 到直线QR 的距离不大于22，求p 的值的范围. 90.（1996全国理，24）已知l 1、l 2是过点P （－2，0）的两条互相垂直的直线，且l 1、l 2与双曲线y 2－x 2＝1各有两个交点，分别为A 1、B 1和A 2、B 2.（Ⅰ）求l 1的斜率k 1的取值范围；（Ⅱ）（理）若|A 1B 1|＝5|A 2B 2|，求l 1、l 2的方程.（文）若A 1恰是双曲线的一个顶点，求|A 2B 2|的值.91.（1996上海，23）已知双曲线S 的两条渐近线过坐标原点，且与以点A （2，0）为圆心，1为半径的圆相切，双曲线S 的一个顶点A ′与点A 关于直线y =x 对称.设直线l 过点A ，斜率为k .图8—9（1）求双曲线S 的方程；（2）当k =1时，在双曲线S 的上支上求点B ，使其与直线l 的距离为2；（3）当0≤k ＜1时，若双曲线S 的上支上有且只有一个点B 到直线l 的距离为2，求斜率k 的值及相应的点B 的坐标，如图8—10.92.（1995全国理，26）已知椭圆如图8—11，162422y x +＝1，直线L ：812y x +＝1，P是L 上一点，射线OP 交椭圆于点R ，又点Q 在OP 上且满足|OQ |·|OP |＝|OR |2.当点P 在L上移动时，求点Q 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线.93.（1995上海，24）设椭圆的方程为2222ny m x +＝1（m ，n >0），过原点且倾角为θ和π－θ（0＜θ＜2π＝的两条直线分别交椭圆于A 、C 和B 、D 两点，（Ⅰ）用θ、m 、n 表示四边形ABCD 的面积S ； （Ⅱ）若m 、n 为定值，当θ在（0，4π］上变化时，求S 的最小值u ；（Ⅲ）如果μ>mn ，求nm的取值范围.94.（1995全国文，26）已知椭圆162422y x +=1，直线l ：x =12.P 是直线l 上一点，射线OP 交椭圆于点R .又点Q在OP 上且满足|OQ |·|OP |=|OR |2.当点P 在直线l 上移动时，求点Q 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线.95.（1994全国理，24）已知直线L 过坐标原点，抛物线C 的顶点在原点，焦点在x 轴正半轴上，若点A （－1，0）和点B （0，8）关于L 的对称点都在C 上，求直线L 和抛物线C 的方程.96.（1994上海，24）设椭圆的中心为原点O ，一个焦点为F （0，1），长轴和短轴的长度之比为t ． （1）求椭圆的方程；（2）设经过原点且斜率为t 的直线与椭圆在y 轴右边部分的交点为Q 、点P 在该直线上，且1||||2-=t t OQ OP ，当t 变化时，求点P 的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形.答案解析1.答案：D解析一：将方程a 2x 2+b 2y 2=1与ax +by 2=0转化为标准方程：x b ay b y a x -==+22222,111.因为a ＞b ＞0，因此，ab 11>＞0，所以有：椭圆的焦点在y 轴，抛物线的开口向左，得D 选项. 图8—11解析二：将方程ax +by 2=0中的y 换成－y ，其结果不变，即说明：ax +by 2=0的图形关于x 轴对称，排除B 、C ，又椭圆的焦点在y 轴.故选D.评述：本题考查椭圆与抛物线的基础知识，即标准方程与图形的基本关系.同时，考查了代数式的恒等变形及简单的逻辑推理能力.2.答案：D解析：利用三角函数中的平方和关系消参，得925)4(22y x +-=1，∴c 2=16，x －4=±4，而焦点在x 轴上，所以焦点坐标为：（8，0），（0，0），选D.如果画出925)4(22y x +-=1的图形，则可以直接“找”出正确选项. 评述：本题考查将参数方程化为普通方程的思想和方法，以及利用平移变换公式进行逻辑推理，同时也考查了数形结合的思想方法.3.答案：A解析：由第一定义得，|PF 1|+|PF 2|为定值 ∵|PQ |=|PF 2|，∴|PF 1|+|PQ |为定值，即|F 1Q |为定值. 4.答案：B解析：椭圆方程可化为：x 2+ky 52=1∵焦点（0，2）在y 轴上，∴a 2=k5，b 2=1， 又∵c 2=a 2－b 2=4，∴k =1 5.答案：D 解析：∵θ∈（0，4π），∴sin θ∈（0，22）， ∴a 2=tan θ，b 2=c ot θ ∴c 2=a 2+b 2=tan θ+c ot θ，∴e 2=θθθθ222sin 1tan cot tan =+=a c ，∴e =θsin 1， ∴e ∈（2，+∞）6.答案：D解析：由双曲线方程判断出公共焦点在x 轴上 ∴椭圆焦点（2253n m -，0），双曲线焦点（2232n m +，0）∴3m 2－5n 2=2m 2+3n 2∴m 2=8n 2又∵双曲线渐近线为y =±||2||6m n ⋅·x∴代入m 2=8n 2，|m |=22|n |，得y =±43x 7.答案：D解析：设曲线上的点到两坐标轴的距离之和为d ∴d =|x |+|y |=|co s θ|+|sin θ| 设θ∈［0，2π］∴d =sin θ+cos θ=2sin （θ+4π） ∴d max =2.8.答案：B解法一：将曲线方程化为一般式：y 2=4x ∴点P （1，0）为该抛物线的焦点由定义，得：曲线上到P 点，距离最小的点为抛物线的顶点. 解法二：设点P 到曲线上的点的距离为d ∴由两点间距离公式，得d 2=（x －1）2+y 2=（t 2－1）2+4t 2=（t 2+1）2 ∵t ∈R ∴d min 2=1 ∴d min =1 9.答案：C解析：由F 1、F 2的坐标得2c ＝3－1，c ＝1， 又∵椭圆过原点a －c ＝1，a ＝1＋c ＝2， 又∵e ＝21=a c ，∴选C. 10.答案：B解析：设点Q 的坐标为（420y，y 0），由 |PQ |≥|a |，得y 02+（420y－a ）2≥a 2.整理，得：y 02（y 02+16－8a ）≥0， ∵y 02≥0，∴y 02+16－8a ≥0.即a ≤2+820y 恒成立.而2+820y的最小值为2.∴a ≤2.选B.11.答案：D解析：由题意知a =2，b =1，c =3，准线方程为x =±ca 2，图8—12∴椭圆中心到准线距离为334． 12.答案：C解析：抛物线y =ax 2的标准式为x 2＝a1y ， ∴焦点F （0，a41）. 取特殊情况，即直线PQ 平行x 轴，则p =q .如图8—13，∵PF ＝PM ，∴p ＝a21，故a pp p q p 421111==+=+． 13.答案：C解析：渐近线方程为y =±b a x ，由b a ·（－ba ）＝－1，得a 2＝b 2， ∴c ＝2a ，e ＝2．14.答案：B解析：y =－x 2的标准式为x 2＝－y ，∴p ＝21，焦点坐标F （0，－41）． 15.答案：D 解析：x =231y -化为x 2＋3y 2＝1（x ＞0）．16.答案：D解析：由已知xy =1可知x 、y 同号且不为零，而A 、B 、C 选项中尽管都满足xy =1，但x 、y 的取值范围与已知不同.17.答案：A解析：不妨设F 1（－3，0），F 2（3，0）由条件得P （3，±23），即|PF 2|=23，|PF 1|=2147，因此|PF 1|=7|PF 2|，故选A.评述：本题主要考查椭圆的定义及数形结合思想，具有较强的思辨性，是高考命题的方向. 18.答案：A解析：由条件可得F 1（－3，0），PF 1的中点在y 轴上，∴P 坐标（3，y 0），又P 在31222y x +=1的椭圆上得y 0=±23，图8—13∴M 的坐标（0，±43），故选A. 评述：本题考查了椭圆的标准方程及几何性质，中点坐标公式以及运算能力. 19.答案：A解析：将已知椭圆中的x 换成－y ，y 换成－x 便得椭圆C 的方程为9)3(4)2(22+++y x ＝1，所以选A. 评述：本题考查了椭圆的方程及点关于直线的对称问题.20.答案：B 解法一：由已知得t ＝x -11，代入y ＝1－t 2中消去t ，得y ＝122)1()2()1(1x x x x --=--，故选B. 解法二：令t ＝1，得曲线过（0，0），分别代入验证，只有B 适合，故选B.评述：本题重点考查参数方程与普通方程的互化，考查等价转化的能力． 21.答案：C解析：由已知得方程为θθcos sin 22y x -=1 由于θ∈（43π，π），因此sin θ＞0，cos θ＜0，且|sin θ|＜|cos θ| ∴原方程表示长轴在y 轴上的椭圆. 22.答案：C解析：原方程化为11222+--k x k y =1 由于k ＞1，因此它表示实轴在y 轴上的双曲线. 23.答案：A解析：由已知有⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==2142a c c a a ＝2，c ＝1，b 2＝3,于是椭圆方程为3422y x +＝1,故选A. 评述：本题考查了椭圆的方程及其几何性质，以及待定系数法和运算能力.24.答案：C解析：如图8—14，原点O 逆时针方向旋转90°到O ′，则O ′（－4，4）为旋转后椭圆的中心，故旋转后所得椭圆方程为25)4(9)4(22-++y x ＝1．所以选C. 25.答案：D 解析：R 中不存在x ，使得f （x ）≤g （x ），即是R 中的任意x 都有f （x ）>g （x ）， 故选D.26.答案：B解析：可得a ＝3，b ＝5，c ＝4，椭圆在新坐标系中的焦点坐标为（0，±4），在原坐标系中的焦点坐标为（3，3），（3，－5），故选B.图8—14评述：本题重点考查椭圆的参数方程、坐标轴的平移等基本知识点，考查数形结合的能力． 27.答案：B解析：把已知方程化为25)1(9)3(22++-y x =1，∴a =5，b =3，c =4 ∵椭圆的中心是（3，－1），∴焦点坐标是（3，3）和（3，－5）. 28.答案：A解析：由已知，直线l 的方程为ay +bx －ab =0，原点到直线l 的距离为43c ，则有c ba ab 4322=+， 又c 2=a 2+b 2，∴4ab =3c 2，两边平方，得16a 2（c 2－a 2）=3c 4，两边同除以a 4，并整理，得3e 4－16e 2+16=0∴e 2=4或e 2=34. 而0＜a ＜b ，得e 2=222221aba b a +=+＞2，∴e 2=4.故e =2. 评述：本题考查点到直线的距离，双曲线的性质以及计算、推理能力.难度较大，特别是求出e 后还须根据b ＞a 进行检验.29.答案：D解析：把已知方程化为标准方程，得2)cos 2(2θ-x +（y +sin θ）2=1.∴椭圆中心的坐标是（2cos θ，－sin θ）.其轨迹方程是⎩⎨⎧-==θθsin cos 2y x θ∈［0，2π］.即22x +y 2=1（0≤x ≤2，－1≤y ≤0）.30.答案：C解法一：将双曲线方程化为标准形式为x 2－32y ＝1，其焦点在x 轴上，且a =1，b =3，故其渐近线方程为y＝±abx ＝±3x ，所以应选C. 解法二：由3x 2－y 2＝0分解因式得y ＝±3x ，此方程即为3x 2－y 2＝3的渐近线方程，故应选C.评述：本题考查了双曲线的标准方程及其性质. 31.答案：D解析：原方程可变为ky x 2222+＝1，因为是焦点在y 轴的椭圆，所以⎪⎩⎪⎨⎧>>220k k ，解此不等式组得0<k <1，因而选D.评述：本题考查了椭圆的方程及其几何意义以及解不等式的方法，从而考查了逻辑思维能力和运算能力.32.答案：A解法一：由双曲线方程知|F 1F 2|＝25，且双曲线是对称图形，假设P （x ，142-x ），由已知F 1P ⊥F 2 P ，有151451422-=+-⋅--x x x x ，即1145221,52422=-⋅⋅==x S x ，因此选A. 解法二：S △=b 2cot221PF F =1×cot45°=1. 评述：本题考查了双曲线的标准方程及其性质、两条直线垂直的条件、三角形面积公式以及运算能力. 33.答案：A 解析：a 、b 长相等a 、b 在平面α内的射影长相等，因此选A. 34.答案：B解析：由已知得平移公式⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-'=+'=22ππy y x x 代入曲线C 的方程，得y ′－2π=cos （x ′+2π）.即y ′=－sin x ′+2π. 35.答案：23解析：因为F 1、F 2为椭圆的焦点，点P 在椭圆上，且正△POF 2的面积为3，所以S =21|OF 2|·|PO |sin60°=43c 2，所以c 2=4.∴点P 的横、纵坐标分别为23,2c c ，即P （1，3）在椭圆上，所以有2231b a +=1，又b 2+c 2=a 2，⎩⎨⎧+==+22222243ba b a a b 解得b 2=23.评述：本题主要考查椭圆的基本知识以及基本计算技能，体现出方程的思想方法. 36.答案：（3，2）解法一：设直线y =x －1与抛物线y 2=4x 交于A (x 1，y 1),B （x 2，y 2）,其中点为P （x 0，y 0）.由题意得⎩⎨⎧=-=x y x y 412，（x －1）2=4x ，x 2－6x +1=0.∴x 0=221x x +=3.y 0=x 0－1=2.∴P （3，2）.解法二：y 22=4x 2，y 12=4x 1，y 22－y 12=4x 2－4x 1121212))((x x y y y y -+-=4.∴y 1+y 2=4，即y 0=2，x 0=y 0+1=3.故中点为P （3，2）.评述：本题考查曲线的交点与方程的根的关系.同时应注意解法一中的纵坐标与解法二中的横坐标的求法.37.答案：1625)2(22y x +- =1 解析：由两焦点坐标得出椭圆中心为点（2，0），焦半径c =3∵长轴长为10，∴2a =10， ∴a =5，∴b =22c a -=4∴椭圆方程为1625)2(22y x +-=1 38.答案：（±7，0）解析：由双曲线方程得出其渐近线方程为y =±2mx ∴m =3，求得双曲线方程为3422y x -=1，从而得到焦点坐标. 39.答案：②，⑤解析：从抛物线方程易得②，分别按条件③、④、⑤计算求抛物线方程，从而确定⑤. 40.答案：（2，1）解析：抛物线（y －1）2=4（x －1）的图象为抛物线y 2=4x 的图象沿坐标轴分别向右、向上平移1个单位得来的. ∵抛物线y 2=4x 的焦点为（1，0）∴抛物线（y －1）2=4（x －1）的焦点为（2，1） 41.答案：－1解析：椭圆方程化为x 2+ky52-=1∵焦点（0，2）在y 轴上， ∴a 2=k-5，b 2=1 又∵c 2=a 2－b 2=4，∴k =－142.答案：（0，1）解析：将参数方程化为普通方程：（y －1）2=4（x +1） 该曲线为抛物线y 2=4x 分别向左，向上平移一个单位得来. 43.答案：2516 解析：原方程可化为42x ＋y 2＝1，a 2＝4，b 2＝1∴a ＝2，b ＝1，c ＝3 当等腰直角三角形，设交点（x ，y ）（y ＞0）可得2－x ＝y ， 代入曲线方程得：y ＝54 ∴S ＝21×2y 2＝2516 44.答案：x 2－4y 2＝1解析：设P （x 0，y 0） ∴M （x ，y ） ∴2,200yy x x ==∴2x ＝x 0，2y ＝y 0 ∴442x －4y 2＝1⇒x 2－4y 2＝145.答案：（0，41） 解析：x 2＝4y ＋3⇒x 2＝4（y ＋43） ∴y ＋43＝1，y ＝41，∴坐标（0，41） 46.答案：516解析：设|PF 1|＝M ，|PF 2|＝n （m ＞n ） a ＝3 b ＝4 c ＝5∴m －n ＝６ m 2＋n 2＝4c 2m 2＋n 2－（m －n ）2＝m 2＋n 2－（m 2＋n 2－2mn ）＝2mn ＝4×25－36＝64 mn ＝32.又利用等面积法可得：2c ·y ＝mn ，∴y ＝516 47.答案：16922y x -=1解析：由已知a =3，c =5，∴b 2=c 2－a 2=16又顶点在x 轴，所以标准方程为16922y x -=1. 48.答案：（21,21） 解析：⎩⎨⎧-=-==⇒⎩⎨⎧==ϕϕϕϕϕ22sin 211cos 2sin 2cos sin y x y x ①代入②得y ＝1－2x 2⇒2x 2＋y ＝1 ⎪⎩⎪⎨⎧=+-=122122y x x y解方程得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==2121y x∴交点坐标为（21,21） 49.答案：5353<<-x 解析：已知a 2＝9，b 2＝4，∴c ＝5，∵x PF x ex a PF 353||,353||21+=-=-= 由余弦定理，)959(195||||2||||||cos 2221221222121x x PF PF F F PF PF PF F --=⋅⋅-+=，∵∠F 1PF 2是钝角，∴－1＜cos F 1PF 2＜0，即0)959(195122<--<-x x ，解得5353<<-x ． 评述：本题也可以通过PF 1⊥PF 2时，找到P 点的横坐标的值.类似问题，在高考命题中反复出现，本题只是改变了叙述方式.50.答案：（6，0），（－4，0）①②解析：令⎩⎨⎧'='=-y y x x 1原方程化为标准形式191622='-'y x ．∵a 2＝16，b 2＝9，∴c 2＝25，c ＝5，在新坐标系下焦点坐标为（±5，0）．又由⎩⎨⎧='=±='=-051y y x x 解得⎩⎨⎧==06y x 和⎩⎨⎧=-=04y x所以焦点坐标为（6，0），（－4，0）．51.答案：（－4，0），（6，0）解析：由⎩⎨⎧=+=θθtan 31sec 4y x得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-θθtan 3sec 41y x由③2－④2，得916)1(22yx --＝1．令⎩⎨⎧'='=-y y x x 1把上式化为标准方程为91622y x '-'＝1． 在新坐标系下易知焦点坐标为（±5，0），又由⎩⎨⎧='=±='=-051y y x x解得⎩⎨⎧==06y x 和⎩⎨⎧=-=04y x ，所以焦点坐标为（6，0），（－4，0）. 52.答案：21解析：由题意知过F 1且垂直于x 轴的弦长为a b 22∴c ca ab -=222 ∴c a 12=∴21=a c ，即e =21① ② ③ ④评述：本题重点考查了椭圆的基本性质. 53.答案：（2，2）解析：将曲线方程化为（y －2）2=－4（x －2）.令x ′=x －2，y ′=y －2，则y ′2=－4x ′，∴h =2，k =2 ∴坐标原点应移到（2，2）. 54.答案：316 解析：如图8—15所示，设圆心P （x 0，y 0）则|x 0|＝2352+=+a c ＝4，代入16922y x -＝1，得y 02＝9716⨯ ∴|OP |＝3162020=+y x ． 评述：本题重点考查双曲线的对称性、两点间距离公式以及数形结合的思想. 55.答案：（4，2）解析：将x －y =2代入y 2＝4x 得y 2－4y －8＝0，由韦达定理y 1＋y 2＝4，AB 中点纵坐标 y ＝221y y +＝2，横坐标x ＝y ＋2＝4．故AB 中点坐标为（4，2）． 评述：本题考查了直线与曲线相交不解方程而利用韦达定理、中点坐标公式以及代入法等数学方法. 56.答案：（－4，0）解析：原方程消去参数θ，得92522y x +=1 ∴左焦点为（－4，0）. 57.答案：（1，－1）解析：将4x 2－8x ＋y ＋5＝0配方，得（x －1）2＝41-（y ＋1）， 令⎩⎨⎧'=+'=-y y x x 11则⎩⎨⎧-'=+'=.1,1y y x x 即新坐标系的原点在原坐标系中的坐标为（1，－1）.58.答案：4解析：∵抛物线y 2=2px （p ＞0）的焦点坐标是（2p ，0），由两点间距离公式，得223)22(++p =5. 解得p =4.59.答案：2解析：已知圆的方程为（x －3）2+y 2=42，∴圆心为（3，0），半径r =4. ∴与圆相切且垂直于x 轴的两条切线是x =－1，x =7（舍）而y 2=2px （p ＞0）的准线方程是x =－2p.图8—15∴由－2p=－1，得p =2，∴p =2. 60.答案：4解析：如图8—16，抛物线的焦点坐标为F （4a－1，0），若l 被抛物线截得的线段长为4，则抛物线过点A （4a －1，2），将其代入方程y 2＝a （x ＋1）中得 4＝a （4a －1＋1），a ＝±4，因a >0，故a =4.评述：本题考查了抛物线方程及几何性质，由对称性设焦点坐标以及数形结合法、待定系数法、代入法等基本方法.61.答案：4解析：如图8—17，抛物线y 2＝4（x ＋1）中，p =2，2p=1，故可求抛物线的焦点坐标为（0，0），于是直线L 与y 轴重合，将x =0代入y 2＝4（x ＋1）中得y =±2，故直线L 被抛物线截得的弦长为4.62.答案：x 2+（y －1）2=163.答案：y =±43x 解析：把原方程化为标准方程，得91622y x=1 由此可得a =4，b =3，焦点在x 轴上， 所以渐近线方程为y =±ab x ，即y =±43x .64.答案：y 2=－8x +8解析：由抛物线定义可知点的轨迹为抛物线，焦点为A （－1，0），准线为x =3.所以顶点在（1，0），焦点到准线的距离p =4，开口向左.∴y 2=－8（x －1），即y 2=－8x +8. 65.答案：x =3 （x －2）2+y 2=1解析：原方程可化为y 2=－4（x －2），p =2，顶点（2，0），准线x =2p+3， 即x =3，顶点到准线的距离为1，即为半径，则所求圆的方程是（x －2）2+y 2=1.66.答案：（0，－3），（0，3） 67.解：（1）椭圆C 的焦点在x 轴上，由椭圆上的点A 到F 1、F 2两点的距离之和是4，得2a =4，即a=2.图8—16图8—17又点A （1，23）在椭圆上，因此222)23(21b +=1得b 2=3，于是c 2=1.所以椭圆C 的方程为3422y x +=1，焦点F 1（－1，0），F 2（1，0）. （2）设椭圆C 上的动点为K （x 1，y 1），线段F 1K 的中点Q （x ，y ）满足：2,2111yy x x =+-=， 即x 1=2x +1，y 1=2y . 因此3)2(4)12(22y x ++=1.即134)21(22=++y x 为所求的轨迹方程. （3）类似的性质为：若M 、N 是双曲线：2222by a x -=1上关于原点对称的两个点，点P 是双曲线上任意一点，当直线PM 、PN 的斜率都存在，并记为k PM 、k PN 时，那么k PM 与k PN 之积是与点P 位置无关的定值.设点M 的坐标为（m ，n ），则点N 的坐标为（－m ，－n ），其中2222bn a m -=1.又设点P 的坐标为（x ，y ），由mx ny k m x n y k PN PM ++=--=,， 得k PM ·k PN =2222m x n y m x n y m x n y --=++⋅--，将22222222,ab n b x a b y =-=m 2－b 2代入得k PM ·k PN =22a b . 评述：本题考查椭圆的基本知识，求动点轨迹的常用方法.第（3）问对考生的逻辑思维能力、分析和解决问题的能力及运算能力都有较高的要求，根据提供的信息，让考生通过类比自己找到所证问题，这是高考数学命题的方向，应引起注意.68.解：（1）设F 2（c ，0）（c ＞0），P （c ，y 0），则2222b y a c -=1.解得y 0=±a b 2∴|PF 2|=ab 2在直角三角形PF 2F 1中，∠PF 1F 2=30°解法一：|F 1F 2|=3|PF 2|，即2c =ab 23将c 2=a 2+b 2代入，解得b 2=2a 2 解法二：|PF 1|=2|PF 2|由双曲线定义可知|PF 1|－|PF 2|=2a ，得|PF 2|=2a .∵|PF 2|=a b 2，∴2a =ab 2，即b 2=2a 2，∴2=a b故所求双曲线的渐近线方程为y =±2x .69.（Ⅰ）解：由椭圆定义及条件知2a =|F 1B |+|F 2B |=10，得a =5，又c =4 所以b =22c a -=3.故椭圆方程为92522y x +=1. （Ⅱ）由点B （4，y B ）在椭圆上，得 |F 2B |=|y B |=59.（如图8—18） 因为椭圆右准线方程为x =425，离心率为54 根据椭圆定义，有|F 2A |=54（425－x 1），|F 2C |=54（425－x 2）由|F 2A |，|F 2B |，|F 2C |成等差数列，得54（425－x 1）+54（425－x 2）=2×59由此得出x 1+x 2=8.设弦AC 的中点为P （x 0，y 0） 则x 0=28221=+x x =4. （Ⅲ）由A （x 1，y 1），C （x 2，y 2）在椭圆上，得⎪⎩⎪⎨⎧⨯=+⨯=+25925925925922222121y x y x 由④－⑤得9（x 12－x 22）+25（y 12－y 22）=0. 即)))(2(25)2(921212121x x y y y y x x --+++=0（x 1≠x 2） 将kx x y y y y y x x x 1,2,422121021021-=--=+==+（k ≠0）代入上式，得 9×4+25y 0（－k1）=0（k ≠0）. 图8—18④⑤由上式得k =3625y 0（当k =0时也成立）. 由点P （4，y 0）在弦AC 的垂直平分线上，得y 0=4k +m . 所以m =y 0－4k =y 0－925y 0=－916y 0. 由P （4，y 0）在线段BB ′（B ′与B 关于x 轴对称，如图8—18）的内部，得－59＜y 0＜59. 所以－516＜m ＜516. 注：在推导过程中，未写明“x 1≠x 2”“k ≠0”“k =0时也成立”及把结论写为“－516≤m ≤516”的均不扣分. 70.解：设点P 的坐标为（x ，y ），依题设得||||x y =2，即 y =±2x ，x ≠0 ① 因此，点P （x ，y ）、M （－1，0）、N （1，0）三点不共线，得 ||PM |－|PN ||＜|MN |=2 ∵||PM |－|PN ||=2|m |＞0 ∴0＜|m |＜1因此，点P 在以M 、N 为焦点，实轴长为2|m |的双曲线上，故112222=--m y m x ②将①式代入②，并解得x 2=mm m 51)1(22--∵1－m 2＞0 ∴1－5m 2＞0 解得0＜|m |＜55. 即m 的取值范围为（－55，0）∪（0，55）. 71.（Ⅰ）解：由△OBC 三顶点坐标O （0，0），B （1，0），C （b ，c ）（c ≠0），可求得重心G （3,31cb +），外心F （cb c b 2,2122-+），垂心H （b ，c b b 2-）.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
数学圆锥曲线测试高考题一、选择题：1. （2006全国II ）已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的一条渐近线方程为y ＝43x ，则双曲线的离心率为（ ）（A ）53 (B )43 (C )54 (D )322. （2006全国II ）已知△ABC 的顶点B 、C 在椭圆x 23＋y 2＝1上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则△ABC 的周长是（ ）（A ）2 3 （B ）6 （C ）4 3 （D ）123.（2006全国卷I ）抛物线2y x =-上的点到直线4380x y +-=距离的最小值是（ ）A ．43 B ．75 C ．85D ．3 4．（2006高考卷）已知双曲线2239x y -=，则双曲线右支上的点P 到右焦点的距离与点P 到右准线的距离之比等于（ ）B.C. 2D. 4 5.（2006卷）方程22520x x -+=的两个根可分别作为（ ） Ａ．一椭圆和一双曲线的离心率 Ｂ．两抛物线的离心率 Ｃ．一椭圆和一抛物线的离心率Ｄ．两椭圆的离心率6.（2006卷）曲线221(6)106x y m m m +=<--与曲线221(59)59x y m m m+=<<--的（ ） (A)焦距相等 (B) 离心率相等 (C)焦点相同 (D)准线相同7．（2006高考卷）若抛物线22y px =的焦点与椭圆22162x y +=的右焦点重合，则p 的值为（ ） A ．2- B ．2 C ．4- D ．48.（2006卷）直线2y k =与曲线2222918k x y k x += (,)k R ∈≠且k 0的公共点的个数为（ ）(A)1 (B)2 (C)3 (D)4二、填空题：9. （2006全国卷I ）双曲线221mx y +=的虚轴长是实轴长的2倍，则m = 。
10. (2006卷)已知在平面直角坐标系xOy 中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为(F ,右顶点为(2,0)D ,设点11,2A ⎛⎫⎪⎝⎭，则求该椭圆的标准方程为 。
11. (2011年高考全国新课标卷理科14) 在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心为原点，焦点12,F F 在 x 轴上，离22。
过l 的直线 交于,A B 两点，且2ABF 的周长为16，那么C 的方程为 。
12. (2011年高考卷理科14)双曲线22x y =1P 46436-上一点到双曲线右焦点的距离是，那么点P 到左准线的距离是 .13. (卷)已知双曲线中心在原点，一个顶点的坐标为(3,0),且焦距与虚轴长之比为5:4，则双曲线的标准方程是____________________.14. (2011年高考全国卷理科15)已知F 1、F 2分别为双曲线C : 29x - 227y =1的左、右焦点，点A 为C 上一点，点M 的坐标为(2，0)，AM 为∠F 1AF 2的角平分线．则|AF 2| = .三 、解答题：15.已知抛物线关于y 轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点M （32,3-），求它的标准方程。
16.（2010理数）已知m ＞1，直线2:02m l x my --=，椭圆222:1x C y m+=，1,2F F 分别为椭圆C 的左、右焦点。
（Ⅰ）当直线l 过右焦点2F 时，求直线l 的方程；（Ⅱ）设直线l 与椭圆C 交于,A B 两点，12AF F ，12BF F 的重心分别为,G H .若原点O 在以线段GH 为直径的圆，数m 的取值围.17.（2010卷）在平面直角坐标系xoy 中，如图，已知椭圆15922=+y x 的左、右顶点为A 、B ，右焦点为F 。
设过点T （m t ,）的直线TA 、TB 与椭圆分别交于点M ),(11y x 、),(22y x N ，其中m>0,0,021<>y y 。
（1）设动点P 满足422=-PB PF ,求点P 的轨迹； （2）设31,221==x x ，求点T 的坐标； （3）设9=t ,求证：直线MN 必过x 轴上的一定点（其坐标与m 无关）。
18.中心在原点，焦点在x 轴上的一个椭圆与一双曲线有共同的焦点F 1,F 2,且13221=F F ,椭圆的长半轴与双曲线的半实轴之差为4，离心率之比为3：7。
求这两条曲线的方程。
19. (2011年高考卷理科20)（本小题满分12分）如图，已知椭圆C1的中心在原点O，长轴左、右端点M，N在x轴上，椭圆C2的短轴为MN，且C1，C2的离心率都为e，直线l⊥MN，l与C1交于两点，与C2交于两点，这四点按纵坐标从大到小依次为A，B，C，D.（I）设12e ，求BC与AD的比值；（II）当e变化时，是否存在直线l，使得BO∥AN，并说明理由20. (2006卷)已知在平面直角坐标系xOy 中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为(F ,右顶点为(2,0)D ,设点11,2A ⎛⎫⎪⎝⎭. （1）求该椭圆的标准方程；（2）若P 是椭圆上的动点，求线段PA 中点M 的轨迹方程； （3）过原点O 的直线交椭圆于点,B C ，求ABC ∆面积的最大值。
高二数学圆锥曲线高考题选讲答案1.双曲线焦点在x 轴,由渐近线方程可得45,33b c e a a ====可得,故选A2. (数形结合)由椭圆的定义椭圆上一点到两焦点的距离之和等于长轴长2a,可得ABC ∆的周长为4a=所以选C3.设抛物线2y x =-上一点为(m ，－m 2)，该点到直线4380x y +-=的距离为2|438|5m m --，当m=32时，取得最小值为43，选A. 4.依题意可知 3293,322=+=+==b a c a ，2332===a c e ，故选C. 5.方程22520x x -+=的两个根分别为2，12，故选A 6.由221(6)106x y m m m +=<--知该方程表示焦点在x 轴上的椭圆，由221(59)59x y m m m+=<<--知该方程表示焦点在y 轴上的双曲线，故只能选择答案A 。
7.椭圆22162x y +=的右焦点为(2,0)，所以抛物线22y px =的焦点为(2,0)，则4p =，故选D 。
8.将2y k =代入2222918k x y k x +=得：22229418k x k k x +=29||1840x x ⇒-+=，显然该关于||x 的方程有两正解，即x 有四解，所以交点有4个，故选择答案D 。
9.双曲线221mx y +=的虚轴长是实轴长的2倍，∴ m<0，且双曲线方程为2214x y -+=，∴ m=14-。
10.椭圆的标准方程为1422=+y x 11. 答案:181622=+y x解析：由椭圆的的定义知，4,164=∴==∆a a C ，又因为离心率22,22=∴=c a c ，8222=-=∴c a b 因此，所求椭圆方程为：181622=+y x ；12. 答案：16解析：由双曲线第一定义，|PF 1|-|PF 2|=±16，因|PF 2|=4，故|PF 1|=20，（|PF 1|=-12舍去），设P 到左准线的距离是d ，由第二定义，得20108d =，解得16d =. 13.双曲线中心在原点，一个顶点的坐标为(3,0),则焦点在x 轴上，且a=3，焦距与虚轴长之比为5:4，即:5:4c b =，解得5,4c b ==，则双曲线的标准方程是221916x y -=. 14. 【答案】6 【解析】：12(6,0),(6,0)F F -，由角平分线的性质得1122824AF F M AF MF === 又12236AF AF -=⨯= 26AF ∴=15.解：因为抛物线关于y 轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点M （32,3-），所以可设它的标准方程为：)0(22>=p px y ，又因为点M 在抛物线上，所以 )32(2)3(2--=x p即43=p ，因此所求方程是y x 232-=。
16. （Ⅰ）解：因为直线:l 202m x my --=经过22(1,0)F m -，2212m m -=,得22m =， 又因为1m >，所以2m =，故直线l 的方程为22202x -=。
（Ⅱ）解：设1122(,),(,)A x y B x y 。
由222221m x my x y m ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，消去x 得222104m y my ++-=则由2228(1)804m m m ∆=--=-+>，知28m <，且有212121,282m m y y y y +=-=-。
由于12(,0),(,0),F c F c -， 故O 为12F F 的中点， 由2,2AG GO BH HO ==， 可知1121(,),(,),3333x y x y G h 2221212()()99x x y y GH --=+设M 是GH 的中点，则1212(,)66x x y y M ++， 由题意可知2,MO GH <即222212121212()()4[()()]6699x x y y x x y y ++--+<+ 即12120x x y y +<而2212121212()()22m m x x y y my my y y +=+++ 221(1()82m m =+-） 所以21082m -< 即24m <又因为1m >且0∆>所以12m <<。
所以m 的取值围是(1,2)。
17. [解析] 本小题主要考查求简单曲线的方程，考查方直线与椭圆的方程等基础知识。
考查运算求解能力和探究问题的能力。
满分16分。
（1）设点P （x ，y ），则：F （2，0）、B （3，0）、A （-3，0）。
由422=-PB PF ，得2222(2)[(3)]4,x y x y -+--+= 化简得92x =。
故所求点P 的轨迹为直线92x =。
（2）将31,221==x x 分别代入椭圆方程，以及0,021<>y y 得：M （2，53）、N （13，209-） 直线MTA 方程为：0352303y x -+=+-，即113y x =+， 直线NTB 方程为：032010393y x --=---，即5562y x =-。
联立方程组，解得：7103x y =⎧⎪⎨=⎪⎩，所以点T 的坐标为10(7,)3。
（3）点T 的坐标为(9,)m直线MTA 方程为：03093y x m -+=-+，即(3)12my x =+，直线NTB 方程为：03093y x m --=--，即(3)6my x =-。