江苏历年高考数学试题及答案汇编十圆锥曲线

江苏历年高考理科数学试题及答案汇编十圆锥曲线

（2008-2018）试题

1、9．（5分）（2008江苏）如图，在平面直角坐标系xoy中，设三角形ABC的顶点分别为A （0，a），B（b，0），C（c，0），点P（0，p）在线段AO上的一点（异于端点），这里a，b，c，p均为非零实数，设直线BP，CP分别与边AC，AB交于点E，F，某同学已正确求得直线

OE的方程为，请你完成直线OF的方程：．

2、12．（5分）（2008江苏）在平面直角坐标系xOy中，椭圆的焦距为2c，以O为圆心，a为半径作圆M，若过作圆M的两条切线相互垂直，则椭圆的离心率为．

3、13．（5分）（2009江苏）如图，在平面直角坐标系xoy中，A1，A2，B1，B2为椭圆

的四个顶点，F为其右焦点，直线A1B2与直线B1F相交于点T，线段OT与椭圆的交点M恰为线段OT的中点，则该椭圆的离心率为．

4、6．（5分）（2010江苏）在平面直角坐标系xOy 中，双曲线上一点M ，点M

的横坐标是3，则M 到双曲线右焦点的距离是 ．

5、8．（5分）（2010江苏）函数y=x 2（x ＞0）的图象在点（a k ，a k 2

）处的切线与x 轴交点的横坐标为a k+1，k 为正整数，a 1=16，则a 1+a 3+a 5= ．

6、9．（5分）（2010江苏）在平面直角坐标系xOy 中，已知圆x 2+y 2

=4上有且仅有四个点到直线12x ﹣5y+c=0的距离为1，则实数c 的取值范围是 ． 7、14．（5分）（2011江苏）设集合

222{(,)|

(2),,},{(,)|221,,}

2

m

A x y x y m x y

B x y m

x y m x y =-+∈=++∈R R 若,A

B ≠? 则实数m 的取值范围是______________．

8、8．（5分）（2012江苏）在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线

的离心率为

，则m 的值为 ．

9、12．（5分）（2012江苏）在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为x 2+y 2

﹣8x+15=0，若直线y=kx ﹣2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的最大值是 ．

10、3．（5分）（2013江苏）双曲线

的两条渐近线方程为 ．

11、12．（5分）（2013江苏）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的标准方程为（a

＞b ＞0），右焦点为F ，右准线为l ，短轴的一个端点为B ，设原点到直线BF 的距离为d 1，F 到l 的距离为d 2，若d 2=

，则椭圆C 的离心率为 ．

12、9．（5分）（2014江苏）在平面直角坐标系xOy 中，直线x+2y ﹣3=0被圆（x ﹣2）2

+（y+1）2

=4截得的弦长为 ． 13、10．（5分）（2015江苏）在平面直角坐标系xOy 中，以点（1，0）为圆心且与直线mx ﹣y ﹣2m ﹣1=0（m ∈R ）相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为 ．

14、12．（5分）（2015江苏）在平面直角坐标系xOy 中，P 为双曲线x 2﹣y 2

=1右支上的一个动点，若点P 到直线x ﹣y+1=0的距离大于c 恒成立，则实数c 的最大值为 ． 15、3．（5分）（2016江苏）在平面直角坐标系xOy 中，双曲线

﹣

=1的焦距是 ．

16、10．（5分）（2016江苏）如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 是椭圆+=1（a ＞b

＞0）的右焦点，直线y=与椭圆交于B ，C 两点，且∠BFC=90°，则该椭圆的离心率是 ．

17、8．（5分）（2017江苏）在平面直角坐标系xOy 中，双曲线

﹣y 2

=1的右准线与它的

两条渐近线分别交于点P ，Q ，其焦点是F 1，F 2，则四边形F 1PF 2Q 的面积是 ．

18、8. （5分）（2018江苏）在平面直角坐标系xOy 中,若双曲线22221(0,0)

x y a b a b

-=>>

的右焦点(,0)F c ,则其离心率的值是__________. 19、12. （5分）（2018江苏）在平面直角坐标系xOy 中, A 为直线:2l y x =上在第一象限内的点, ()5,0B 以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D ,若0AB CD ?=,则点A 的横坐标为__________. 解答题

1、18．（15分）（2008江苏）在平面直角坐标系xOy 中，记二次函数f （x ）=x 2

+2x+b （x ∈R ）与两坐标轴有三个交点．经过三个交点的圆记为C ． （1）求实数b 的取值范围； （2）求圆C 的方程；

（3）问圆C 是否经过定点（其坐标与b 的无关）？请证明你的结论．

2、18．（16分）（2009江苏）在平面直角坐标系xoy 中，已知圆C 1：（x+3）2+（y ﹣1）2

=4

和圆C 2：（x ﹣4）2+（y ﹣5）2

=4 （I ）若直线l 过点A （4，0），且被圆C 1截得的弦长为，求直线l 的方程；

（II ）设P （a ，b ）为平面上的点，满足：存在过点P 的两条互相垂的直线l 1与l 2，l 1的斜率为2，它们分别与圆C 1和圆C 2相交，且直线l 1被圆C 1截得的弦长与直线l 2被圆C 2截得的弦长相等，试求满足条件的a ，b 的关系式．

3、18．（16分）（2010江苏）在平面直角坐标系xoy 中，如图，已知椭圆=1的左、

右顶点为A 、B ，右焦点为F ．设过点T （t ，m ）的直线TA 、TB 与椭圆分别交于点M （x 1，y 1）、N （x 2，y 2），其中m ＞0，y 1＞0，y 2＜0．

（1）设动点P 满足PF 2﹣PB 2

=4，求点P 的轨迹； （2）设x 1=2，x 2=，求点T 的坐标；

（3）设t=9，求证：直线MN 必过x 轴上的一定点（其坐标与m 无关）．

4、18、（本小题满分16分）（2011江苏）如图，在平面直角坐标系xOy 中，M 、N 分别是椭

圆12

42

2=+y x 的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于P 、A 两点，其中P 在第一象限，过P 作x 轴的垂线，垂足为C ，连接AC ，并延长交椭圆于点B ，设直线PA 的斜率为k （1）当直线PA 平分线段MN 时，求k 的值；

（2）当k =2时，求点P 到直线AB 的距离d ； （3）对任意k >0，求证：PA ⊥PB

5、19．（16分）（2012江苏）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆

（a ＞b ＞0）

的左、右焦点分别为F 1（﹣c ，0），F 2（c ，0）．已知（1，e ）和（e ，）都在椭圆上，其

中e 为椭圆的离心率． （1）求椭圆的方程；

（2）设A ，B 是椭圆上位于x 轴上方的两点，且直线AF 1与直线BF 2平行，AF 2与BF 1交于点P ．

（i ）若AF 1﹣BF 2=

，求直线AF 1的斜率；

（ii ）求证：PF 1+PF 2是定值．

6、17．（14分）（2013江苏）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（0，3），直线l：y=2x ﹣4．设圆C的半径为1，圆心在l上．

（1）若圆心C也在直线y=x﹣1上，过点A作圆C的切线，求切线的方程；

（2）若圆C上存在点M，使MA=2MO，求圆心C的横坐标a的取值范围．

7、17．（14分）（2014江苏）如图，在平面直角坐标系xOy中，F1，F2分别为椭圆+=1

（a＞b＞0）的左、右焦点，顶点B的坐标为（0，b），连接BF2并延长交椭圆于点A，过点A作x轴的垂线交椭圆于另一点C，连接F1C．

（1）若点C的坐标为（，），且BF2=，求椭圆的方程；

（2）若F1C⊥AB，求椭圆离心率e的值．

8、18．（16分）（2014江苏）如图，为保护河上古桥OA，规划建一座新桥BC，同时设立一个圆形保护区，规划要求：新桥BC与河岸AB垂直；保护区的边界为圆心M在线段OA上并与BC相切的圆，且古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均不少于80m，经测量，点A

位于点O正北方向60m处，点C位于点O正东方向170m处（OC为河岸），tan∠BCO=．

（1）求新桥BC的长；

（2）当OM多长时，圆形保护区的面积最大？

9、18．（16分）（2015江苏）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆+=1（a＞b

＞0）的离心率为，且右焦点F到左准线l的距离为3．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）过F的直线与椭圆交于A，B两点，线段AB的垂直平分线分别交直线l和AB于点P，C，若PC=2AB，求直线AB的方程．

10、18．（16分）（2016江苏）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知以M为圆心的圆M：x2+y2﹣12x﹣14y+60=0及其上一点A（2，4）．

（1）设圆N与x轴相切，与圆M外切，且圆心N在直线x=6上，求圆N的标准方程；（2）设平行于OA的直线l与圆M相交于B、C两点，且BC=OA，求直线l的方程；

（3）设点T（t，0）满足：存在圆M上的两点P和Q，使得+=，求实数t的取值范围．

11、25．（2016江苏）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：x﹣y﹣2=0，抛物线C：y2=2px（p＞0）．

（1）若直线l过抛物线C的焦点，求抛物线C的方程；

（2）已知抛物线C上存在关于直线l对称的相异两点P和Q．

①求证：线段PQ的中点坐标为（2﹣p，﹣p）；

②求p的取值范围．

12、17．（14分）（2017江苏）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，两准线之间的距离为8．点P在椭圆E上，且位于第一象限，过点F1作直线PF1的垂线l1，过点F2作直线PF2的垂线l2．

（1）求椭圆E的标准方程；

（2）若直线l1，l2的交点Q在椭圆E上，求点P的坐标．

13、18（14分）（2018江苏）如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆过点（）,焦点F 1 （﹣，0），F 2 （，0）,圆的直径为F 1 F 2

1.求椭圆及圆的方程;

2. 设直线与圆相切于第一象限内的点P.

①若直线与椭圆有且只有一个公共点,求点P的坐标;

②直线与椭圆C交于A，B两点.若△OAB的面积为,求直线的方程.

答案

1、解：由截距式可得直线AB：，

直线CP：，

两式相减得，

显然直线AB与CP的交点F满足此方程，

又原点O也满足此方程，

故为所求直线OF的方程．

故答案为：．

2、解：设切线PA、PB互相垂直，又半径OA垂直于PA，所以△OAP是等腰直角三角形，故，

解得，

故答案为．

3、解法一：由题意，可得直线A1B2的方程为，直线B1F的方程为

两直线联立则点T（），则M（），由于此点在椭圆上，故有

，整理得3a2﹣10ac﹣c2=0

即e2+10e﹣3=0，解得

故答案为

解法二：对椭圆进行压缩变换，，，

椭圆变为单位圆：x'2+y'2=1，F'（，0）．

延长TO交圆O于N，易知直线A 1B2斜率为1，TM=MO=ON=1，，

设T （x′，y′），则

，y′=x′+1，

由割线定理：TB 2×TA 1=TM×TN，

，

（负值舍去），

易知：B 1（0，﹣1），直线B 1T 方程：

令y′=0

，即F 横坐标

即原椭圆的离心率e=．

故答案：．

4、解：

=e=2，

d 为点M 到右准线x=1的距离，则d=2， ∴MF=4． 故答案为4

5、解：在点（a k ，a k 2）处的切线方程为：y ﹣a k 2

=2a k （x ﹣a k ）， 当y=0时，解得

，

所以

．

故答案为：21．

6、解：圆半径为2，

圆心（0，0）到直线12x ﹣5y+c=0的距离小于1，即，

c 的取值范围是（﹣13，13）． 7、答案:1

222

m +

解:当0m

时，集合A 是以(2,0)为圆心，以m 为半径的圆，

集合B 是在两条平行线之间，

∵圆心(2,0)到直线210x y m +--=的距离为

1d =

=

=， ∵圆心(2,0)到直线20x y m +-=

1d m m =

=

=>-= ， ∴A

B =?，与A B ≠?矛盾，此时无解；

当0m >时，集合A 是以(2,0)m 为半径的圆环， 集合B 是在两条平行线之间，

m m 1222

m +．

又因为

21,222

2

m m m ∴

+

8、解：∵m 2

+4＞0 ∴双曲线

的焦点必在x 轴上

因此a 2

=m ＞0，b 2

=m 2

+4 ∴c 2=m+m 2+4=m 2

+m+4 ∵双曲线

的离心率为

，

∴

，可得c 2=5a 2

，

所以m 2

+m+4=5m ，解之得m=2 故答案为：2

9、解：∵圆C 的方程为x 2+y 2﹣8x+15=0，整理得：（x ﹣4）2+y 2

=1，即圆C 是以（4，0）为圆心，1为半径的圆；

又直线y=kx ﹣2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，

∴只需圆C′：（x ﹣4）2+y 2

=1与直线y=kx ﹣2有公共点即可． 设圆心C （4，0）到直线y=kx ﹣2的距离为d ， 则d=

≤2，即3k 2

﹣4k≤0，

∴0≤k≤． ∴k 的最大值是． 故答案为：．

10、解：∵双曲线的a=4，b=3，焦点在x 轴上

而双曲线的渐近线方程为y=±x

∴双曲线的渐近线方程为

故答案为：

11、解：如图，准线l：x=，d2=，

由面积法得：d1=，

若d 2=，则，整理得a2﹣ab﹣=0，

两边同除以a2，得+（）﹣=0，解得．

∴e==．

故答案为：．

12、解：圆（x﹣2）2+（y+1）2=4的圆心为C（2，﹣1），半径r=2，

∵点C到直线直线x+2y﹣3=0的距离d==，

∴根据垂径定理，得直线x+2y﹣3=0被圆（x﹣2）2+（y+1）2=4截得的弦长为2=2 =

故答案为：．

13、解：圆心到直线的距离d==≤，

∴m=1时，圆的半径最大为，

∴所求圆的标准方程为（x﹣1）2+y2=2．

故答案为：（x﹣1）2+y2=2．

14、解：由题意，双曲线x2﹣y2=1的渐近线方程为x±y=0，

因为点P到直线x﹣y+1=0的距离大于c恒成立，

所以c的最大值为直线x﹣y+1=0与直线x﹣y=0的距离，即．

故答案为：．

15、解：双曲线﹣=1中，a=，b=，

∴c==，

∴双曲线﹣=1的焦距是2．

故答案为：2．

16、解：设右焦点F（c，0），

将y=代入椭圆方程可得x=±a=±a，

可得B（﹣a，），C（a，），

由∠BFC=90°，可得k BF?k CF=﹣1，

即有?=﹣1，

化简为b2=3a2﹣4c2，

由b2=a2﹣c2，即有3c2=2a2，

由e=，可得e2==，

可得e=，

故答案为：．

17、解：双曲线﹣y2=1的右准线：x=，双曲线渐近线方程为：y=x，所以P（，），Q（，﹣），F1（﹣2，0）．F2（2，0）．

则四边形F 1PF 2Q 的面积是：=2．

故答案为：2．

18、答案：2

解：由题意可知，渐近线b

y x a

=与坐标轴的夹角为60。

故22224b c a b a a ==+=,故2c

e a

==. 12.答案：3

解：∵AB 为直径∴AD BD ⊥ ∴BD 即B 到直线l 的距离。

BD =

=

∵CD AC BC r ===，又 CD AB ⊥

∴2AB BC ==设(),2A a a ,a ＞0

（舍去）或3.

解答题 1、解：．（1）令x=0，得抛物线与y 轴交点是（0，b ）；

令f （x ）=x 2

+2x+b=0，由题意b≠0且△＞0，解得b ＜1且b≠0．

（2）设所求圆的一般方程为x 2+y 2

+Dx+Ey+F=0

令y=0得x 2+Dx+F=0这与x 2

+2x+b=0是同一个方程，故D=2，F=b ．

令x=0得y 2

+Ey+F=0，方程有一个根为b ，代入得出E=﹣b ﹣1．

所以圆C 的方程为x 2+y 2

+2x ﹣（b+1）y+b=0． （3）圆C 必过定点，证明如下： 假设圆C 过定点（x 0，y 0）（x 0，y 0不依赖于b ），将该点的坐标代入圆C 的方程，

并变形为x 02+y 02

+2x 0﹣y 0+b （1﹣y 0）=0（*）

为使（*）式对所有满足b ＜1（b≠0）的b 都成立，必须有1﹣y 0=0，结合（*）式得x 02+y 02

+2x 0﹣y 0=0，解得

经检验知，（﹣2，1）和（0，1）均在圆C 上，因此圆C 过定点（﹣2，1）和（0，1）． 2、解：（Ⅰ）若直线l 的斜率不存在，则直线x=4与圆C 1不相交， 故直线l 的斜率存在，不妨设为k ，则直线l 的方程为y=k （x ﹣4）， 即kx ﹣y ﹣4k=0圆C 1圆心（﹣3，1）到直线的距离

，

直线l 被圆C 1截得的弦长为，则=1，

联立以上两式可得k=0或，

故所求直线l方程为y=0或．

（Ⅱ）依题意直线的方程可设为l1：y﹣b=2（x﹣a），l2：，

因为两圆半径相等，且分别被两直线截得的弦长相等，

故圆C1的圆心到直线l1的距离和圆C2的圆心到直线l2的距离相等，

即，

解得：a﹣3b+21=0或3a+b﹣7=0．

3、解：（1）设点P（x，y），则：F（2，0）、B（3，0）、A（﹣3，0）．

由PF2﹣PB2=4，得（x﹣2）2+y2﹣[（x﹣3）2+y2]=4，化简得．

故所求点P的轨迹为直线．

（2）将分别代入椭圆方程，以及y1＞0，y2＜0，

得M（2，）、N（，）

直线MTA方程为：，即，

直线NTB方程为：，即．

联立方程组，解得：，

所以点T的坐标为．

（3）点T的坐标为（9，m）

直线MTA方程为：，即，

直线NTB方程为：，即．

分别与椭圆联立方程组，同时考虑到x1≠﹣3，x2≠3，

解得：

、．

（方法一）当x 1≠x 2时，

直线MN 方程为：

令y=0，解得：x=1．此时必过点D （1，0）；

当x 1=x 2时，直线MN 方程为：x=1，与x 轴交点为D （1，0）． 所以直线MN 必过x 轴上的一定点D （1，0）． （方法二）若x 1=x 2，则由

及m ＞0，得

，

此时直线MN 的方程为x=1，过点D （1，0）．

若x 1≠x 2，则，直线MD 的斜率，

直线ND 的斜率，得k MD =k ND ，所以直线MN 过D 点．

因此，直线MN 必过x 轴上的点（1，0）．

4、解:（1）M (-2,0),N

(0,),M 、N 的中点坐标为(-

1,2-

),

所以2

k = （2）由22

224y x x y =??+=?得2424(,),(,)3333P A --，2(,0)3C ，AC 方程：2

3422333

x y -

=---

即：

23

y x =-

所以点P 到直线AB

的距离3d ==

（3）法一：由题意设0000110(,),(,),(,),(,0)P x y A x y B x y C x --则，

A 、C 、

B 三点共线，0101

10010

,2y y y y x x x x x +∴

==-+又因为点P 、B 在椭圆上，

222200111,14242x y x y ∴+=+=，两式相减得：01012()PB x x k y y +=-+

00110010011001()()

[]12()()()

PA PB y x x y y x x k k x y y x x y y +++∴=

-=-=-+++ PA PB ∴⊥

法二：设112200111(,),(,),,(,),(,),(,0)A x y B x y A B N x y P x y C x ---中点则,

A 、C 、

B 三点共线，221121211

,2AB y y y y

k x x x x x -∴

===+-又因为点A 、B 在椭圆上,

222222111,14242x y x y ∴+=+=,两式相减得：0012AB y x k =-,

01011

212ON PA AB AB

y y k k k x x k ∴=

=-?=-,,ON PB PA PB ∴⊥

5、（1）解：由题设知a 2

=b 2

+c 2

，e=，由点（1，e ）在椭圆上，得，∴b=1，

c 2

=a 2

﹣1． 由点（e ，

）在椭圆上，得

∴，∴a 2

=2

∴椭圆的方程为．

（2）解：由（1）得F 1（﹣1，0），F 2（1，0），

又∵直线AF 1与直线BF 2平行，∴设AF 1与BF 2的方程分别为x+1=my ，x ﹣1=my ．

设A（x1，y1），B（x2，y2），y1＞0，y2＞0，

∴由，可得（m2+2）﹣2my1﹣1=0．

∴，（舍），

∴|AF1|=×|0﹣y1|=①

同理|BF2|=②

（i）由①②得|AF1|﹣|BF2|=，∴，解得m2=2．

∵注意到m＞0，∴m=．

∴直线AF1的斜率为．

（ii）证明：∵直线AF1与直线BF2平行，∴，即．由点B在椭圆上知，，∴．

同理．

∴PF1+PF2==

由①②得，，，

∴PF1+PF2=．

∴PF1+PF2是定值．

6、解：（1）联立得：，

解得：，

∴圆心C（3，2）．

若k不存在，不合题意；

若k存在，设切线为：y=kx+3，可得圆心到切线的距离d=r，即=1，

解得：k=0或k=﹣，

则所求切线为y=3或y=﹣x+3；

（2）设点M（x，y），由MA=2MO，知：=2，

化简得：x2+（y+1）2=4，

∴点M的轨迹为以（0，﹣1）为圆心，2为半径的圆，可记为圆D，

又∵点M在圆C上，C（a，2a﹣4），

∴圆C与圆D的关系为相交或相切，

∴1≤|CD|≤3，其中|CD|=，

∴1≤≤3，

解得：0≤a≤．

7、解：（1）∵C的坐标为（，），

∴，即，

∵，

∴a2=（）2=2，即b2=1，

则椭圆的方程为+y2=1．

（2）设F1（﹣c，0），F2（c，0），

∵B（0，b），

∴直线BF2：y=﹣x+b，代入椭圆方程+=1（a＞b＞0）得（）x2﹣=0，解得x=0，或x=，

∵A（，），且A，C关于x轴对称，

∴C（，﹣），

则=﹣=，∵F1C⊥AB，

∴×（）=﹣1，

由b2=a2﹣c2得，

即e=．

8、解：（1）如图，

过B作BE⊥OC于E，过A作AF⊥BE于F，∵∠ABC=90°，∠BEC=90°，

∴∠ABF=∠BCE，

∴．

设AF=4x（m），则BF=3x（m）．

∵∠AOE=∠AFE=∠OEF=90°，

∴OE=AF=4x（m），EF=AO=60（m），

∴BE=（3x+60）m．

∵，

∴CE=（m）．

∴（m）．

∴，

解得：x=20．

∴BE=120m，CE=90m，