平面的法向量与平面的向量表示

我们可以通过空间一点和一个
非零向量确定唯一的一个与该 向量垂直的平面。
AM •n0
称此为平面的向量表达式。
n
M1
M
A
M2
二、概念形成
概念4.用法向量证明平面与平面平行及垂直
设 n1 , n2 分别是平面 , 的法向量，则有
/ /或 与 重 合 n 1 / / n 2
n 1 n 2 n 1 • n 2 0n 1
y B
向量证法
D1
C1
A1
B1
D A
E
F
C
B
利用法向量证明两个平面垂直的基本思路是证明两个平面
的法向量互相垂直。
三、应用举例
例题 1：已知正方体 ABCD—A1B1C1D1 的棱长为 2，E、F
分别是 BB1、DD1 的中点，求证：
(1)FC1∥平面 ADE；
(2)平面 ADE∥平面 B1C1F.
又因为 FC1⊄平面 ADE，所以 FC1∥平面 ADE.
(2)∵C→1B1＝(2,0,0)，设 n2＝(x2，y2，z2)是平面 B1C1F 的一个法 向量．由 n2⊥F→C1，n2⊥C→1B1，
得nn22··CF→→1CB1＝ 1＝22yx2＋2＝z02＝0
，得xz22＝＝－0 2y2 .
令 z2＝2，得 y2＝－1，所以 n2＝(0，－1,2)， 因为 n1＝n2，所以平面 ADE∥平面 B1C1F.
DA (0, 1,0), DB1 (1, 1,1) 设 n ( x, y, z) 是平面ADB1的法 B1
向量。那么
n • DA y 0 n • DB1 x y z 0
y 0
x
z
0
B x
令z=1，得 n (1,0,1)
z
A1
D1
C1
A
D
y
C
向量证法
A1
D1
B1
C1
A B
D C
n1 n2
二、概念形成
概念4.用法向量证明平面与平面平行及垂直
例子 已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是BB1，CD的 中点。求证：平面DEA⊥平面A1FD1 。
已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是BB1，CD的中点。 求证：平面DEA⊥平面A1FD1 。
证明：如图所示，建立平面直角坐标系Dxyz。令DD1=2，则
D(0,0,0),D1(0,0,2),A(2,0,0),A1(2,0,2),F(0,1,0),E(2,2,1)
设 n1 ( x1, y1, z1), n2 ( x2 , y2 , z2 ) ，分别是平面DEA，A1FD1的
法向量，则 n1 DA, n1 DE
z D1
C1
所以
( (
x1, x1,
3.2.2 平面的法向量与平面的向量表示
一、复习引入
1.直线与平面垂直的定义、判定和性质
定义：如果一条直线垂直于一个平面内的任意一条直线， 那么称这条直线和这个平面垂直。
判定：如果一条直线垂直于一个平面内的两条相交直线， 则这条直线与这个平面垂直。
性质：
(1)垂直于同一个平面的两条直
线平行。
(2)垂直于同一条直线的两个平
三、应用举例
例2.已知正方体ABCD-A1B1C1D1，求证：
B
O
y
则 nA B (x,y,z)(a,b,0)a xb y0 A nA C (x,y,z)(a,0,c)a xc z0 x
解得 yax,zax bc
令 xb,则 cya,z, za bc
n (1, a , a) bc
有何 关系？
二、概念形成
概念2.直线与平面垂直的判定定理的向量证明
向量都是平行的。 模为1的法向量，叫做单位法向量，
n mm
记作 n 0 显然
n0
n |n
|
bac
二、概念形成
概念1.平面的法向量
例子：正方体AC1棱长为1，求平面ADB1的一个法向量。
正方体AC1棱长为1，求平面ADB1的一个法向量。
解：建立如图所示的坐标系A-xyz，则
A(0,0,0),D(0,1,0),B1(1,0,1)
面平行。
l l'
n mA
二、概念形成
概念1.平面的法向量
已知平面 ，如果向量 n 的基线与平面 垂直，则 n 叫做平面 的法向量或说向量 n 与平面 正交。
由平面的法向量的定义可知，平面 的法向量有无穷多个，
法向量一定垂直于与平面 共面的所有向量。
由于垂直于同一平面的两条直线
平行，所以，一个平面的所有法
直线与平面垂直的判定定理：
如果一条直线和平面内的两条相交直线垂直，那么这条直 线垂直于这个平面。
已知：a , b 是平面 内的两条相交的直线，且 na,nb
求证： n
n
b
a
二、概念形成
概念3.平面的向量表示
空间直线可以用向量来表示，对于空间的平面也可以用向 量来刻画。
设A是空间任意一点，n 为空间任意一个非零向量，适合条 件 AM •n0的点 M 的集合构成什么样的图形？
证明 (1)建立如图所示空间直角坐标系
Dxyz，
则有 D(0,0,0)，A(2,0,0)，C(0,2,0)，C1(0,2,2)， E(2,2,1)，F(0,0,1)，B1(2,2,2)， 所以F→C1＝(0,2,1)，D→A＝(2,0,0)， A→E＝(0,2,1)．
利用法向量证明两个平面平行的基本思路是证明两个平面
y1, y1,
z1 ) z1 )
• •
(2, 0, 0) (2, 2,1)
0 0
2x1y10z1
0
A1
B1
令 y1 1 n1 (0,1,2)
E
D
F
C
同理可求 n2 (0, 2,1)
A
n1 • n2 (0, 1, 2) • (0, 2,1) 0
x
n1 n2 平面DEA⊥平面A1FD1 。
一个平面的法向量不只一个，但它们都是平行(或共线)的， 我们借助于待定系数法可求出平面的一个法向量。
例题
例1：已知点 A(a,0,0) ，B(0,b,0) ，C(0,0,c)，其中abc0
求平面 ABC的一个法向量。
解：由已知得
z
ABOBOA(a,b,0)
C
ACOCOA(a,0,c)
n
设平A面B的 C 一个法向 n量 (x,为 y,z)
的法向量平行(或共线)。
设 n1＝(x1，y1，z1)是平面 ADE 的法向量，
则 n1⊥D→A，n1⊥A→E，
即nn11··DA→→EA＝＝22yx11＋＝z01＝0
，得xz11＝＝－0 2y1 ，
令 z1＝2，则 y1＝－1，所以 n1＝(0，－1,2)． 因为F→C1·n1＝－2＋2＝0，所以F→C1⊥n1.