函数的极值与导数ppt课件.ppt
合集下载
高中数学选修1课件1-3.3.2函数的极值与导数
4 e2
单调递减
因此，x＝0 是函数 f(x)的极小值点，极小值为 f(0)＝0；x＝2
是函数 f(x)的极大值点，极大值为 f(2)＝e42.
状元随笔
(1)求函数极值时要遵循定义域优先的原则，如第(1)小题，若 忽略了定义域，则列表时易将区间(0，e)错写成区间(－∞，e)．(2) 求函数的极值时，先确定导数值为零的点，然后根据极值的定义求 解．
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x) 单调递增 16 单调递减 －16 单调递增
从表中可以看出，当 x＝－2 时，函数有极大值 f(－2)＝16.
当 x＝2 时，函数有极小值 f(2)＝－16.
(2)函数 f(x)的定义域为 R，
f′(x)＝2x2x＋2＋11－24x2＝－2x－x21＋1x＋2 1.
令 f′(x)＝0，得 x＝－1 或 x＝1.
因为 y＝ln x 在(0，＋∞)内单调递增，y＝1x在(0，＋∞)内单调 递减，所以 f′(x)单调递增．
又 f′(1)＝－1<0，f′(2)＝ln 2－12＝ln 42－1>0， 故存在唯一 x0∈(1,2)，使得 f′(x0)＝0. 又当 x<x0 时，f′(x)<0，f(x)单调递减； 当 x>x0 时，f′(x)>0，f(x)单调递增． 因此，f(x)存在唯一的极值点．
A．1，－3 B．1,3 C．－1,3 D．－1，－3
解析：∵f′(x)＝3ax2＋b，∴f′(1)＝3a＋b＝0.① 又当 x＝1 时有极值－2，∴a＋b＝－2.② 联立①②解得ab＝ ＝1－，3. 答案：A
4．函数 y＝3x3－9x＋5 的极大值为________.
《函数的极值和导数》课件
Part
05
导数的计算方法
导数的四则运算规则
01
加法法则
$(uv)' = u'v + uv'$
02
减法法则
$(u-v)' = u'-v'$
03
乘法法则
$(uv)' = u'v + uv'$
04
除法法则
$left(frac{u}{v}right)' = frac{u'v-uv'}{v^2}$
复合函数的导数计算
最小成本问题
总结词
利用极值理论寻找最小成本
详细描述
在生产和经营活动中，也常常需要寻求最小成本。通过建立数学模型，利用函数的极值和 导数，可以找到使得成本最小的生产量、原材料采购量等决策变量。
实例
某公司需要采购原材料，每次采购的成本包括固定成本5万元和变动成本与采购量的比例 系数0.1万元/单位。求该公司的最小总成本。通过建立函数并求导，可以找到使得总成本 最小的采购量。
Part
03
极值在实际问题中的应用
最大利润问题
01
总结词
利用极值理论寻找最大利润
02 03
详细描述
在生产和经营活动中，常常需要寻求最大利润。通过建立数学模型，利 用函数的极值和导数，可以找到使得利润最大的生产量、价格等决策变 量。
实例
某公司生产一种产品，其固定成本为100万元，每生产一个单位的产品 ，成本为2万元，售价为5万元。求该公司的最大利润。通过建立函数并 求导，可以找到使得利润最大的产量。
Part
04
导数的几何意义
导数在平面上的表示
切线斜率
5.3.2函数的极值与导数课件(人教版)
(3) f (x) 6 12x x3;
(4) f (x) 3x x3.
解:
(3) 令f ( x) 12 3x 2 0,解得 x1 2, x2 2.
所以, 当 x = –2 时, f (x)有极小值 – 10 ;
当 x = 2 时, f (x)有极大值 22 .
(4) 令f ( x) 3 3x2 0, 解得 x1 1, x2 1.
Ox
而x =0不是该函数的极值点.
f(x0) =0 x0 是可导函数f(x)的极值点
注意：f /(x0)=0是可导函数取得极值的必要不充分条件
请思考求可导函数的极值的步骤:
①求导数 f (x) ② 求方程 f (x) =0的根,这些根也称为可能极值点； ③ 检查 f (x) 在方程 f (x＝) 0的根的左右两侧的
f (x) 单调递增
–3 (–3, 3)
0
–
54 单调递减
3 ( 3, +∞)
0
+
54 单调递增
所以, 当 x = –3 时, f (x)有极大值 54 ; 当 x = 3 时, f (x)有极小值 – 54 .
求下列函数的极值:
(1) f ( x) 6 x 2 x 2;
(2) f (x) x3 27x;
o
Q(x2,f(x2))
a x1 x2
x3 x4 b x
视察图像并类比函数的单调性与导数关系的研究 方法,看极值与导数之间有什么关系?
y
x x0左侧
x0 x(x) >0 f(x) =0 f(x) <0
f(x) 增
极大值 减
x x0左侧
x0 x0右侧
f(x) f(x) <0 f(x) =0 f(x) >0
高中数学选修2-2函数的极值与导数课件
B. y=cos2x
C. y=tanx-x
课堂练习
2.曲线y=x4-2x3+3x在点P(-1，0)处的切线的斜率为( B )
A. –5
B. –6
C. –7
D. –8
课堂练习 3. 下列说法正确的是 （ C ）
A. 函数在闭区间上的极大值一定比极小值大 B. 函数在闭区间上的最大值一定是极大值 C. 对于f(x)=x3+px2+2x+1，若|p|<√6，则f(x)无极值 D. 函数f(x)在区间(a,b)上一定存在最值
一般地，求函数y=f(x)的极值的方法是:解方程 f ' x 0 .当 f ' x0 0 时：
x （1）如果在 0 附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么
2如果在x0附近的左侧f ' x 0,右侧 f ' x 0, 那么f x0 是极小值.
f x0
是极大值；
口诀：左负右正为极小，左正右负为极大.
例题讲解
求函数y＝(x2－1)3＋1的极值． 解：定义域为R，y ’＝6x(x2－1)2.由y ’＝0可得x1＝－1，x2＝0，x3＝1 当x变化时，y ’ ，y的变化情况如下表：
当x＝0时，y有极小值，并且y极小值＝0．
课堂练习
1 . 下列函数中，x=0是极值点的函数是（ B )
A. y=-x3 D. y=1/x
人教版高中数学选修2-2
第1章 导数及其应用
函数的极值与导数
课前导入
一般地，函数的单调性与导数的关系： 在某个区间a, b内, 如果f ' x > 0, 那么 函数y = f x在这个区间内单调递增; 如果 f ' x < 0,那么函数 y = f x在这个区间内
人教选修1-1A 函数的极值与导数 ppt21
3.思考： 观察下图，当t=t0时高度h最大,
那么函数 h（t）在此点的导数是多少呢？ 此点附近的图象有什么特点？相应地，导数 的符号有什么变化规律？
关注用导数本质及其几何意义解决问题
二、新课讲解——函数的极值:
1. 观察右下图为函数y=2x3-6x2+7的图象,
从图象我们可以看出下面的结论: 函数在X=0的函数值比它附 近所有各点的函数值都大，我 们说f(0)是函数的一个极大值； 函数在X=2的函数值比它附近 所有各点的函数值都小，我们 说f(2)是函数的一个极小值。
又f(1)=10,故1+a+b+a2=10.②
a4 a 3 . 由①、②解得 或 b 11 b 3 2 当a=-3,b=3时, f ( x) 3( x 1) 0 ,此时f(x)在x=1处无
极值,不合题意. f ( x) 3 x 2 8 x 11 (3 x 11)( x 1). 当a=4,b=-11时, -3/11<x<1时, f ( x ) 0 ;x>1时, f ( x ) 0 ,此时x=1是极 值点. 从而所求的解为a=4,b=-11.
b 11 b 3 2 当a=-3,b=3时, f ( x) 3( x 1) 0 ,此时f(x)在x=1处无
-3/11<x<1时, f ( x ) 0 ;x>1时, f ( x ) 0 ,此时x=1是极 值点. 从而所求的解为a=4,b=-11.
例3:已知函数f(x)=-x3+ax2+b.
因此导数为零的点仅是该点为极值点的必 要条件,其充分条件是在这点两侧的导数异号.
一般地,求函数y=f(x)的极值的方法是: 解方程f/(x)=0.当f/(x)=0时:
《函数极值》课件
详细描述
举例
考虑函数$f(x) = x^3$，其一阶导数 为$f'(x) = 3x^2$，在$x=0$处，一 阶导数由正变负，故函数在$x=0$处 取得极小值。
当一阶导数在某点的左右两侧由正变 负或由负变正时，函数在该点取得极 值。
二阶导数判定法
总结词
通过判断二阶导数的正负来判断 函数在某点的极值。
01
02
03
04
梯度下降法
通过计算目标函数的梯度，沿 着梯度负方向寻找最小值。
牛顿法
通过构造目标函数的Hessian 矩阵，求解方程组得到最优解
。
遗传算法
模拟生物进化过程的自然选择 和遗传机制，通过迭代搜索最
优解。
模拟退火算法
模拟固体退火过程的随机搜索 算法，能够在全局范围内找不同的分类标准，可以将极值分为两类。第一类极值 是相对较小的极值，而第二类极值则是相对较大的极值。
单侧极值和双侧极值
根据定义，单侧极值是指函数在某一点的左侧或右侧存在 单调性改变的极值点；而双侧极值则是指函数在某一点的 两侧都存在单调性改变的极值点。
02
极值的判定
一阶导数判定法
总结词
通过判断一阶导数的正负来判断函数 在某点的极值。
在物理领域的应用
运动轨迹分析
在物理学中，极值原理可以用于分析物体的运动轨迹。例如，在分析行星的运动 轨迹时，可以利用极值原理确定行星在各个时刻的位置和速度。
能量最小化
在力学和电磁学等领域，极值原理可以用于寻找系统能量的最小值。例如，在分 析弹簧振荡器的运动时，可以利用极值原理确定振荡器的平衡位置和能量最小值 。
详细描述
当二阶导数在某点的左右两侧符号 相反时，函数在该点取得极值。
《函数的极值与导数》课件
极大值和极小值是极值的 两种分类，取决于导数的 变化情况。
应用示例
求函数的极值
通过求导和分析导数的变化，可以确定函数的极值 点和对应的极值。
求解实际问题
将实际问题转化为数学模型，并通过求导求解极值 来得到最优解。
端点的极值
函数定义域的端点如果存在极值，则称为端点描述函数在某一点处 的变化率，即函数曲线在 该点的切线斜率。
2 导数的意义
导数可以帮助我们分析函 数的变化趋势和特征，以 及确定函数的极值。
3 导数的符号表示
通常用f'(x)、dy/dx或y'来 表示函数f(x)的导数。
2
得到一些常见函数的导数表达式。
利用导数的性质，可以对复杂函数进行
四则运算的求导。
3
导数的链式法则
对复合函数求导时，可以使用链式法则 进行求导。
极值的判定
1 极值的必要条件
函数在极值点处的导数为 零或不存在。
2 极值的充分条件
当函数在极值点的导数发 生变号时，即可判断该点 为极值的充分条件。
3 极值的分类
导数与函数的关系
导数刻画函数的变化 趋势
导数的正负性可以描述函数的 单调性和变化趋势。
导数判断函数的单调 性
函数在导数大于零的区间上单 调递增，在导数小于零的区间 上单调递减。
极值与导数的关系
极值出现的地方，导数为零或 不存在。
导数的计算
1
基本导数公式
根据函数的基本性质和求导法则，可以
导数的四则运算
《函数的极值与导数》 PPT课件
欢迎来到《函数的极值与导数》PPT课件！本课程将带你深入了解函数的极值 和导数的概念，以及它们之间的关系。准备好迎接这趟知识之旅了吗？让我 们开始吧！
应用示例
求函数的极值
通过求导和分析导数的变化，可以确定函数的极值 点和对应的极值。
求解实际问题
将实际问题转化为数学模型，并通过求导求解极值 来得到最优解。
端点的极值
函数定义域的端点如果存在极值，则称为端点描述函数在某一点处 的变化率，即函数曲线在 该点的切线斜率。
2 导数的意义
导数可以帮助我们分析函 数的变化趋势和特征，以 及确定函数的极值。
3 导数的符号表示
通常用f'(x)、dy/dx或y'来 表示函数f(x)的导数。
2
得到一些常见函数的导数表达式。
利用导数的性质，可以对复杂函数进行
四则运算的求导。
3
导数的链式法则
对复合函数求导时，可以使用链式法则 进行求导。
极值的判定
1 极值的必要条件
函数在极值点处的导数为 零或不存在。
2 极值的充分条件
当函数在极值点的导数发 生变号时，即可判断该点 为极值的充分条件。
3 极值的分类
导数与函数的关系
导数刻画函数的变化 趋势
导数的正负性可以描述函数的 单调性和变化趋势。
导数判断函数的单调 性
函数在导数大于零的区间上单 调递增，在导数小于零的区间 上单调递减。
极值与导数的关系
极值出现的地方，导数为零或 不存在。
导数的计算
1
基本导数公式
根据函数的基本性质和求导法则，可以
导数的四则运算
《函数的极值与导数》 PPT课件
欢迎来到《函数的极值与导数》PPT课件！本课程将带你深入了解函数的极值 和导数的概念，以及它们之间的关系。准备好迎接这趟知识之旅了吗？让我 们开始吧！
秋人教A版高二数学选修1-1课件：第三章 3.3.2函数的极值与导数 (共88张PPT)
择决定命运，环境造就人生！
明朝未及，我只有过好每一个今天，唯一的今天。
昨日的明天是今天。明天的昨日是今天。为什么要计较于过去呢（先别急着纠正我的错误，你确实可以在评判过去中学到许多）。但是我发现有的人过分地瞻前顾后了。为 何不想想“现在”呢？为何不及时行乐呢？如果你的回答是“不”，那么是时候该重新考虑一下了。成功的最大障碍是惧怕失败。这些句子都教育我们：不要惧怕失败。如 果你失败了他不会坐下来说：“靠，我真失败，我放弃。”并且不是一个婴儿会如此做，他们都会反反复复，一次一次地尝试。如果一条路走不通，那就走走其他途径，不 断尝试。惧怕失败仅仅是社会导致的一种品质，没有人生来害怕失败，记住这一点。宁愿做事而犯错，也不要为了不犯错而什么都不做。不一定要等到时机完全成熟才动手。 开头也许艰难，但是随着时间的流逝，你会渐渐熟悉你的事业。世上往往没有完美的时机，所以当你觉得做某事还不是时候，先做起来再说吧。喜欢追梦的人，切记不要被 梦想主宰；善于谋划的人，切记空想达不到目标；拥有实干精神的人，切记选对方向比努力做事重要。太阳不会因为你的失意，明天不再升起；月亮不会因为你的抱怨，今 晚不再降落。蒙住自己的眼睛，不等于世界就漆黑一团；蒙住别人的眼睛，不等于光明就属于自己！鱼搅不浑大海，雾压不倒高山，雷声叫不倒山岗，扇子驱不散大雾。鹿 的脖子再长，总高不过它的脑袋。人的脚指头再长，也长不过他的脚板。人的行动再快也快不过思想！以前认为水不可能倒流，那是还没有找到发明抽水机的方法；现在认 为太阳不可能从西边出来，这是还没住到太阳从西边出来的星球上。这个世界只有想不到的，没有做不到的！不是井里没有水，而是挖的不够深；不是成功来的慢，而是放 弃速度快。得到一件东西需要智慧，放弃一样东西则需要勇气！终而复始，日月是也。死而复生，四时是也。奇正相生，循环无端，涨跌相生，循环无端，涨跌相生，循环 无穷。机遇孕育着挑战，挑战中孕育着机遇，这是千古验证了的定律！种子放在水泥地板上会被晒死，种子放在水里会被淹死，种子放到肥沃的土壤里就生根发芽结果。选
明朝未及，我只有过好每一个今天，唯一的今天。
昨日的明天是今天。明天的昨日是今天。为什么要计较于过去呢（先别急着纠正我的错误，你确实可以在评判过去中学到许多）。但是我发现有的人过分地瞻前顾后了。为 何不想想“现在”呢？为何不及时行乐呢？如果你的回答是“不”，那么是时候该重新考虑一下了。成功的最大障碍是惧怕失败。这些句子都教育我们：不要惧怕失败。如 果你失败了他不会坐下来说：“靠，我真失败，我放弃。”并且不是一个婴儿会如此做，他们都会反反复复，一次一次地尝试。如果一条路走不通，那就走走其他途径，不 断尝试。惧怕失败仅仅是社会导致的一种品质，没有人生来害怕失败，记住这一点。宁愿做事而犯错，也不要为了不犯错而什么都不做。不一定要等到时机完全成熟才动手。 开头也许艰难，但是随着时间的流逝，你会渐渐熟悉你的事业。世上往往没有完美的时机，所以当你觉得做某事还不是时候，先做起来再说吧。喜欢追梦的人，切记不要被 梦想主宰；善于谋划的人，切记空想达不到目标；拥有实干精神的人，切记选对方向比努力做事重要。太阳不会因为你的失意，明天不再升起；月亮不会因为你的抱怨，今 晚不再降落。蒙住自己的眼睛，不等于世界就漆黑一团；蒙住别人的眼睛，不等于光明就属于自己！鱼搅不浑大海，雾压不倒高山，雷声叫不倒山岗，扇子驱不散大雾。鹿 的脖子再长，总高不过它的脑袋。人的脚指头再长，也长不过他的脚板。人的行动再快也快不过思想！以前认为水不可能倒流，那是还没有找到发明抽水机的方法；现在认 为太阳不可能从西边出来，这是还没住到太阳从西边出来的星球上。这个世界只有想不到的，没有做不到的！不是井里没有水，而是挖的不够深；不是成功来的慢，而是放 弃速度快。得到一件东西需要智慧，放弃一样东西则需要勇气！终而复始，日月是也。死而复生，四时是也。奇正相生，循环无端，涨跌相生，循环无端，涨跌相生，循环 无穷。机遇孕育着挑战，挑战中孕育着机遇，这是千古验证了的定律！种子放在水泥地板上会被晒死，种子放在水里会被淹死，种子放到肥沃的土壤里就生根发芽结果。选
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
3
求 y 1 x3 4 的极值 3
y
思考：导数值为0 的点一定是函数的 极值点吗?
4
f (0 )=0
o
x
f (a)=0
a是极值点，f (a)是极值
求函数y=f (x)的极值的方法是：
解方程 f (x)=0. 当 f (x0) = 0 时 (1)如果在x0附近的左侧 f (x)>0, 右侧 f (x)<0,
x<b f (x)>0
x=b f (b)=0 x>b f (x)<0
点b叫做函数y= f (x)的极大值点 f (b)叫做函数y=f (x)的极大值.
极小值点、极大值点统称为极值点, 极大值和极小值统称为极值.
注: 极值反映了函数在某一点附近的大小情况, 刻画的是函数的局部性质,与最值不同.
1、函数的极值 2、求函数的极值的方法
课本第32页习题1.3A组4,5题
跟踪训练：求y =(x2－1)3+1的极值.
解：y′=6x(x2－1)2=6x(x+1)2(x－1)2
新疆 王新敞
奎屯
令y′=0解得x1=－1，x2=0，x3=1
新疆 王新敞奎屯新 Nhomakorabea 王新敞
奎屯
当x变化时，y′，y的变化情况如下表
若上图是导函数y=f (x)的图象,试找出函数y=f(x) 的极大值点和极小值点.
例：求函数f x 1 x3 4x 4的极值.
3
解： f ' x x2 4 x 2x 2
令 f x 0， 得 x = 2, 或 x = -2;
当 f (x) > 0, 得 x > 2 , 或 x < -2; 当 f (x) < 0, 得 -2 < x <2;
那么f (x0)是极大值; (2)如果在x0附近的左侧 f (x)<0, 右侧 f (x)>0,
那么f (x0)是极小值.
求下列函数的极值
1 f x 6x2 x 2;
2 f x x3 27 x;
3 f x 6 12 x x3;
4 f x 3x x3.
f
极大值：f(d) f(f) f(h) 极大值点：d , f , h 极小值：f(c) f(e) f(g) 极小值点：c , e , g 注: 极大值可能小于极小值,极小值可能大于极大值.
下图是函数y=f (x)的图象,试找出它的极值点,并 指出哪些是极大值点,哪些是极小值点.
极小值点 极大值点
探究
如图,函数y=f (x)在a, b, c, d, e, f, g, h等点的函数值 与这些点附近的函数值有什么关系?
y=f (x)在这些点的导数值是多少? 在这些点附近,y=f (x)的导数的符号有什么规律?
f
x<a f (x)<0
f (x)>0 x>a
x=a f (a)=0
点a叫做函数y= f (x)的极小值点 f (a)叫做函数y=f (x)的极小值;
函数的极值与导数
授课教师：彭静
复习
1、函数单调性与其导数正负的关系 2、用导数求函数单调区间的步骤
跳水运动中高度随时间变化的函数图像
t=a时 h最大
h(a)=0
t<a 单调递增
t>a 单调递减
h(t)>0
h(t)<0
问题1：a点附近的图象有什么特点? 图象先增后减
问题2：导数的符号有什么变化规律? h(t)先正后负且h(t)是连续变化
x , 1 -1 (-1,0) 0 (0,1) 1 1,
y - 0 - 0 + 0 +
y ↘ 无极值 ↘ 极小值0 ↗ 无极值 ↗
y
fx = x2-13+1
-1
O
1
x
∴当x=0时，y有极小值且y极小值=0
x (-∞,-2) -2 (-2,2)
2 (2,+∞)
f (x) +
0
f (x) 单调递增↗ 极大值 28
3
-
0
单调递减↘ 极小值 4 3
+
单调递增↗
当x=-2时, f (x)有极大值,并且极大值为
f 2 28；
3
当x=2时, f (x)有极小值,并且极小值为
f 2 4 .
求 y 1 x3 4 的极值 3
y
思考：导数值为0 的点一定是函数的 极值点吗?
4
f (0 )=0
o
x
f (a)=0
a是极值点，f (a)是极值
求函数y=f (x)的极值的方法是：
解方程 f (x)=0. 当 f (x0) = 0 时 (1)如果在x0附近的左侧 f (x)>0, 右侧 f (x)<0,
x<b f (x)>0
x=b f (b)=0 x>b f (x)<0
点b叫做函数y= f (x)的极大值点 f (b)叫做函数y=f (x)的极大值.
极小值点、极大值点统称为极值点, 极大值和极小值统称为极值.
注: 极值反映了函数在某一点附近的大小情况, 刻画的是函数的局部性质,与最值不同.
1、函数的极值 2、求函数的极值的方法
课本第32页习题1.3A组4,5题
跟踪训练：求y =(x2－1)3+1的极值.
解：y′=6x(x2－1)2=6x(x+1)2(x－1)2
新疆 王新敞
奎屯
令y′=0解得x1=－1，x2=0，x3=1
新疆 王新敞奎屯新 Nhomakorabea 王新敞
奎屯
当x变化时，y′，y的变化情况如下表
若上图是导函数y=f (x)的图象,试找出函数y=f(x) 的极大值点和极小值点.
例：求函数f x 1 x3 4x 4的极值.
3
解： f ' x x2 4 x 2x 2
令 f x 0， 得 x = 2, 或 x = -2;
当 f (x) > 0, 得 x > 2 , 或 x < -2; 当 f (x) < 0, 得 -2 < x <2;
那么f (x0)是极大值; (2)如果在x0附近的左侧 f (x)<0, 右侧 f (x)>0,
那么f (x0)是极小值.
求下列函数的极值
1 f x 6x2 x 2;
2 f x x3 27 x;
3 f x 6 12 x x3;
4 f x 3x x3.
f
极大值：f(d) f(f) f(h) 极大值点：d , f , h 极小值：f(c) f(e) f(g) 极小值点：c , e , g 注: 极大值可能小于极小值,极小值可能大于极大值.
下图是函数y=f (x)的图象,试找出它的极值点,并 指出哪些是极大值点,哪些是极小值点.
极小值点 极大值点
探究
如图,函数y=f (x)在a, b, c, d, e, f, g, h等点的函数值 与这些点附近的函数值有什么关系?
y=f (x)在这些点的导数值是多少? 在这些点附近,y=f (x)的导数的符号有什么规律?
f
x<a f (x)<0
f (x)>0 x>a
x=a f (a)=0
点a叫做函数y= f (x)的极小值点 f (a)叫做函数y=f (x)的极小值;
函数的极值与导数
授课教师：彭静
复习
1、函数单调性与其导数正负的关系 2、用导数求函数单调区间的步骤
跳水运动中高度随时间变化的函数图像
t=a时 h最大
h(a)=0
t<a 单调递增
t>a 单调递减
h(t)>0
h(t)<0
问题1：a点附近的图象有什么特点? 图象先增后减
问题2：导数的符号有什么变化规律? h(t)先正后负且h(t)是连续变化
x , 1 -1 (-1,0) 0 (0,1) 1 1,
y - 0 - 0 + 0 +
y ↘ 无极值 ↘ 极小值0 ↗ 无极值 ↗
y
fx = x2-13+1
-1
O
1
x
∴当x=0时，y有极小值且y极小值=0
x (-∞,-2) -2 (-2,2)
2 (2,+∞)
f (x) +
0
f (x) 单调递增↗ 极大值 28
3
-
0
单调递减↘ 极小值 4 3
+
单调递增↗
当x=-2时, f (x)有极大值,并且极大值为
f 2 28；
3
当x=2时, f (x)有极小值,并且极小值为
f 2 4 .