线性代数2011C
2011年7月自考真题线性代数
2011年7月自考真题线性代数（时间：120分钟，满分150分）一、选择题（3分，共36分） 1、4的平方根是（）A 、±16B 、16C 、±2D 、22、下列计算正确的是（）A 、()5210aa = B 、257a a a +=C2=- D、=3、已知样本数据1，0，6，1，2，下列说法不正确的是（）A 、中位数是6B 、平均数是2C 、众数是1D 、极差是64、从《中华人民共和国2010年国民经济和社会发展统计报告》中获悉，去年我国国内生产总值达397983亿元，请你用亿元为单位用科学记数法表示2010年我国的国内生产总值为（结果保留两个有效数字）（）A 、3.9³1013B 、4.0³1013C 、3.9³105D 、4.0³105 5、反比例函数ky x=在第二象限的图像如图所示，则k 的值可能是（） A 、-1 B 、-2C 、-3D 、-46、下列各式中，正确的是（）A 、()()2232349a a a ---=-B、(22x x x=-C 、()2226a a b -=-D 、()2231361x x x -=-+7、把直线122y x =-+向下平移2个单位得到的直线的解析式为（）A 、322y x =-- B 、22y x =-- C 、322y x =-D 、522y x =-+8、如图，将一个长为10cm ，宽为8cm 的矩形 纸片对折两次后，沿所得矩形两邻边中点的连 线（图1中虚线）剪开，再打开，得到的菱形 的面积为（）A 、10cm 2B 、20 cm 2C 、40 cm 2D 、80 cm 2 9、已知⊙O 的面积为9πcm 2，若点O 到直线l 的距离为πcm ，则直线l 与⊙O 的位置关系为（）A 、相交B 、相切C 、相离D 、无法判断10、如图，若AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的弦，∠ABD=58°，则∠BCD 的度数为（） A 、116° B 、32° C 、58° D 、64°11、二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，则反比例函数ay x=与正比例函数y bx=在同一坐标系中的大致图象是（）图2图1B A12、如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，CD ⊥AB 于点D ，下列说法中正确的个数是（）①AC ²BC=AB ²CD ②AC 2=AD ²DB ③BC 2=BD ²BA④CD 2=AD ²BD⑤22AC ADBC BD= A 、2个 B 、3个 C 、4个 D 、5个二、填空题（每小题4分，共24分）13、因式分解：321_____________4x x x -+= 14、函数y =x 的取值，范围是_________________。
线性代数(数一)答案
⎛ ⎜0 ⎜ ⎜1 ⎜a ⎜ 1 ⎜ ⎜0 ⎜ ⎜ # ⎜ ⎜0 ⎜ ⎜ ⎜0 ⎝
0 0 1 a2 # 0 0
0 " 0 " 0 " # 0 " 0 "
0 0 0 # 0 1 an −1
1⎞ an ⎟ ⎟ ⎟ 0⎟ ⎟ ⎟ 0⎟ ⎟ # ⎟ ⎟ 0⎟ ⎟ 0⎟ ⎟ ⎠
(1,1,1)
T
（7）已知 P 是可逆矩阵， B 是对角元全为 1 或-1 的对角阵， E 是单位矩阵，且 PA = BP , 则A
4
2011 届钻石卡学员
2 −1 −1 2 −1 −1 2 证明 Dn = # # # 0 0 0 0 0 0
【解析】将各列加到第一列
" " "
0 0 0 0 0 0 = n +1 # # " 2 −1 " −1 2
0 0 0 # 2 0 0 0 # = 1 −1 0 # 0 1 " " −1 " # 0 0 2 −1 # 0 0 0 0 0 # 2 # 0 0 0 0 0 # " " −1 " " 0 0 0 # 2 0 0 0 #
T
X = ( −1,1) ，求由 α1 , α 2 到 β1 , β 2 的过渡矩阵 C 及向量 ξ 在 β1 , β 2 下的坐标 Y .
【解析】 由于 β1 = 2α1 − α 2 , β 2 = α1 + 2α 2 ， 所以由 α1 , α 2 到 β1 , β 2 的过渡矩阵是 C = ⎜ 3分
3 6 ⎞ 14 2 ⎛ = 5 ⎜ x1 − x2 + x3 ⎟ + ( 2 x2 + x3 ) 5 5 ⎠ 5 ⎝
1_1行列式定义性5质与计算
D = (-1)τ(n n-1 21) b1b2b3 bn
《线性代数》 返回
n ( n -1 )
= ( - 1)
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2
b1 b 2 b n
结束
结论：
a11 a21 下三角形行列式的值： a31 … an1 a11 0 0 … 0 a11 0 0 … 0
2010-2011第一学期
线性代数
任课教师：田祥
部 门：信息学院 办公室：文理大楼 721 室 E-mail：txiang8@
《线性代数》
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下页
结束
一 《线性代数》的发展过程
《线性代数》
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结束
二、线性代数的主要研究对象
a11x1+a12x2+ +a1nxn =b1 a21x1+a22x2+ +a2nxn =b2 am1x1+am2x2+ +amnxn=bm
= D D
j
j
，
j = 1，2，3
其中D1, D2, D3分别为将D的第1、2、3列换为常数项后得到的行列式.
《线性代数》 返回 下页 结束
1.2
排列
n 个自然数1,2,…,n 按一定的次序排成的一个无重复数字的有序 数组称为一个 n 级排列，记为i1i2…in. 其中，排列12…n称为自然 排列. 显然，n 级排列共有个n! . 如， 3421 是4级排例； 25431 是一个5级排列. 例1．写出所有的3级全排列. 解：所有的3级排列为： 123， 132， 213， 231， 312， 321 .
《线性代数》
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线性代数—Linear Algebra
λ1 =1
λ2 =1/2
其中λ1, λ2 是矩陣A的特徵值，我們令det(A-λI)=0求出λ1, 與λ2，而特徵向量x1屬於A-I的nullspace ，而特徵向量x2屬
所有對應同樣特徵值的特徵向量形成一個子空間。
2011/6/18 13
6.1 Introduction to Eigenvalues : Good News, Bad News
Elimination does not preserve theλ’s .
1 A= 1 1 1 λ= 0 and λ= 2 1 U = 0 1 0
When a matrix is shifted by I, each λ is shifted by 1. 但是特徵向量不變， x1=(1, 1) 與 x2 =(1, -1)
2011/6/18
9
6.1 Introduction to Eigenvalues
範例：排序矩陣的特徵值λ滿足|λ|=1
上頁映射矩陣R也是排序矩陣(列對調)，其特徵值λ為1,-1 0 1 R= 1 0 但是P4的特徵值λ為±1, ± i有複數，其對應之特徵向量 (1, ±1, 1, ±1)與 (1,ction to Eigenvalues
範例：映射矩陣R的特徵值λ為1,-1
0 R= 1 1 0
(R2的特徵值是λ2=1 ,特徵向量不變)
R=2P- I , R2 = I
if Px= λx then 2Px=2λx , (2P- I) x=(2λ-1)x=Rx
0 1 P4 = 0 0
2011/6/18
0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0
线性代数1-8试题2011.10.11
《线性代数》试题1一、单项选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分，每题只有一个正确答案，错选、多选或未选均不给分。
）1. 若1112132122233132332a a a a a a a a a =，则111211132122212331323133232323a a a a a a a a a a a a ++=+【 】 A ．2 B. 4 C. 8 D.16 2．设A 是n 阶方阵，且3A =，则13A =【 】 A ．113n -B ．13n -C ． 3nD ．13．设a b A c d ⎛⎫= ⎪⎝⎭且，则A 的伴随矩阵A *=【 】 A ．d b ca ⎛⎫⎪⎝⎭ B ．a b c d -⎛⎫ ⎪-⎝⎭ C ．d b c a -⎛⎫ ⎪-⎝⎭ D. a b c d -⎛⎫ ⎪-⎝⎭4．设给向量组 321,,:αααA ； :B 4321,,,αααα ， 则下列命题中正确的是【 】A.若A 线性无关，则B 线性无关；B. 若B 线性无关，则A 线性无关；C.若A 线性无关，则B 线性相关；D. 若B 线性相关，则A 线性相关。
5．设21,ηη是非齐次线性方程组β=Ax 的解，则下列向量中齐次线性方程组0=Ax 的解的是【 】.A ． 121233ηη+ B ．12ηη+ C ．12ηη-D ． 122ηη-6．设λ是可逆阵A 的一个特征值，则23A -必有一个特征值是【 】A ．23λB ．32λC ．13λD ．23λ二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，共18分)1.四阶行列式|a |D ij =中,含有因子1221a a 且带负号的项为 2．若方阵A 满足2230A A E +-=，则=-1A .3．设三阶方阵A 等价于122111231-⎛⎫⎪ ⎪⎪-⎝⎭，则()R A =____ _4．设101n A ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则nA = 5．若2112A ⎛⎫= ⎪⎝⎭与00xB y ⎛⎫= ⎪⎝⎭相似，则x = ，y = 。
2011年线性代数复习题(模拟题)
2011年线性代数复习题（模拟题）一、单项选择题1. n 阶行列式 0111101111011111=D的值为 B（A ）.1 （B ）.1)1(--n （C ）.0 （D ）.-12. 已知线性方程组⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡211111111321x x x a a a 有无穷多个解，则=a 【 B 】 (A) 2； (B) 2-； (C) 1； (D) 1-.3. n 阶（n>1）行列式 1111111111111111=D 的值为【 A 】 (A) 0 （B ） 1 （C ） 1)1(--n （D ） -14. 设A ，B 都是n 阶方阵，且|A|＝－2，|B|＝1，则|A T B －1|＝ .(A)．－2(B)．－21(C)．21(D)．25. 设()121212212,314,.340205ij A B C c AB ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=-=-== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则c 23=______ A.22 B.10 C.3 D.1-6. 设 t () 表 示 排 列 的 逆 序 数, 则=)596287431(t ___D__ A. 1 B.2 C.3 D.107. 设A ，B ，C 是三个n 阶方阵，若AB ＝AC ，则必有 。
A ．A ＝0B ．B ＝CC ．|B|＝|C|D ．|AB|＝|AC| 8. 设 t () 表示排列的逆序数, 则 t t ()()()31472896516427531+- = 。
A.10B.12.C.0.D.11.9. 向量组1234(1,2,3,4),(2,3,4,5),(3,4,5,6),(4,5,6,7),αααα====则向量组1234,,,αααα的秩为_____(A) 1； (B) 2； (C) 3 ； (D) 4 。
10. 00322111=_____ (A) 0； (B) 6 ；(C) -6； (D) 10。
2010-2011第一学期线性代数期末试卷A(1)及答案
西南财经大学200 － 200 学年第 学期专业 科 级（ 年级 学期）学 号 评定成绩 （分） 学生姓名 担任教师《线性代数》期末闭卷考试题（下述 一 — 四 题全作计100分， 两小时完卷）考试日期：试 题 全 文：一、 填空题（共5小题，每题2分）1、211121112---= 2、设A 是m n ⨯矩阵，B 是p m ⨯矩阵，则T T A B 是______矩阵。
3、设αβ、线性无关，则k αββ+、线性无关的充要条件是_______。
4、设αβ、为n 维非零列向量，则T R ()αβ=_________。
5、设3阶矩阵-1A 的特征值为-1、2、1，则A =_____。
二、选择题（共10小题，每题2分）1、设A 、B 为n 阶矩阵，则下列说法正确的是（ ）（A ）、=B+AA B + （B ）AB =BA（C ）、T(AB )=TTA B （D ）若AB A =，则B E =2、若某个线性方程组相应的齐次线性方程组仅有零解，则该线性方程组（ ） （A)、有无穷解 （B)、有唯一解 （C)、无解 （D ）、以上都不对3、一个向量组的极大线性无关组（ ）（A)、个数唯一 （B)、个数不唯一（C)、所含向量个数唯一 (D)、所含向量个数不唯一 4、若3阶方阵A 与B 相似，且A 的特征值为2、3、5，则B-E =（ ）。
(A)、 30 （B)、 8 （C)、11 (D)、75、若m n ⨯矩阵A 的秩为m,则方程组A X B =（ ）。
（A)、有唯一解 （B ）、有无穷解 (C)、有解 （D)、 可能无解6、设A 为3阶方阵，且1A 2=，则1*2A A -+=( )。
（A)、 8 （B)、16 （C)、10 (D)、127、已知行列式D 的第一行元素都是4，且D=-12，则D 中第一行元素代数余子式之和为（ ）。
（A)、0 （B)、-3 （C)、-12 （D)、4 8、设A 、B 都是正定矩阵，则（ ） （A)、AB,A+B 一定都是正定矩阵（B)、AB 是正定矩阵，A+B 不是正定矩阵（C)、AB 不一定是正定矩阵，A+B 是正定矩阵 （D)、AB 、A+B 都不是正定矩阵9、设A 是n 阶方阵，且k A O =(k 是正整数)，则（ ）（A ）、A O = （B ）、A 有一个不为零的特征值 (C)、 A 的特征值全为零 （D ）、A 有n 个线性无关的特征向量 10、已知2阶实对称矩阵A 满足232A A E O -+=，则A （ ） （A)、正定 （B)、半正定 （C ）、负定 （D)、不定三、计算题（共8小题，每题8分）1、计算四阶行列式01001100100k k k k2、设100110111A⎛⎫⎪=⎪⎪⎝⎭，且*22A BA BA E=-，求B3、设111111kA kk⎛⎫⎪=⎪⎪⎝⎭，求R(A)4、考虑向量组⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=1412,2615,1012,31407,023154321ααααα (1) 求向量组的秩;(2) 求此向量组的一个极大线性无关组,并把其余向量分别用该极大线性无关组表示.5、设T α)0,2,1(1=, Tααα)3,2,1(2-+=, T b αb α)2,2,1(3+---=, Tβ)3,3,1(-=, 试讨论当b a ,为何值时,(Ⅰ) β不能由321,,ααα线性表示;(Ⅱ) β可由321,,ααα唯一地线性表示, 并求出表示式;(Ⅲ) β可由321,,ααα线性表示, 但表示式不唯一, 并求出表示式.6、设12314315A a-⎛⎫⎪=-- ⎪ ⎪⎝⎭有一个2重特征值，求a 的值并讨论A 是否可对角化。
化工工程师-公共基础-高等数学-线性代数
化工工程师-公共基础-高等数学-线性代数[单选题]1.设A是m阶矩阵，B是n阶矩阵，行列式等于()。
[2010年真题]A.－｜A｜｜B｜B.｜A｜｜B｜C.（－1）m＋n｜A｜｜B｜D.（－1）mn｜A｜｜B｜正确答案：D参考解析：行列式经过m×n次列变换得到行列式即：[单选题]2.设A、B均为三阶方阵，且行列式|A|＝1，|B|＝－2，AT为A的转置矩阵，则行列式|－2ATB－1|＝()。
[2018年真题]A.－1B.1C.－4D.4正确答案：D参考解析：因为A、B均为三阶方阵，计算得|－2ATB－1|＝（－2）3×|AT|×|B－1|＝（－2）3×1×（－1/2）＝4。
[单选题]3.若n阶方阵A满足|A|＝b（b≠0，n≥2），而A*是A的伴随矩阵，则行列式|A*|等于()。
[2019年真题]A.bnB.bn－1C.bn－2D.bn－3正确答案：B参考解析：伴随矩阵A*＝|A|A－1，则|A*|＝|A|n·|A－1|＝|A|n·|A|－1＝|A|n－1。
又|A|＝b，则|A*|＝|A|n－1＝bn－1。
[单选题]4.矩阵的逆矩阵A－1是()。
[2017年真题]A.B.C.D.正确答案：C参考解析：用矩阵的基本变换求矩阵的逆矩阵，计算如下则有矩阵A的逆矩阵为[单选题]5.设则A－1＝()。
[2011年真题]A.B.C.D.正确答案：B参考解析：由A·A*＝|A|·E，得A－1＝A*/|A|，其中|A|＝－1；故可得：[单选题]6.设3阶矩阵已知A的伴随矩阵的秩为1，则a＝()。
[2011年真题]A.－2B.－1C.1D.2正确答案：A参考解析：由矩阵与伴随矩阵秩的关系式：可知，r（A）＝2。
故|A|＝0，得：a＝－2或a＝1。
当a＝1时，r（A）＝1。
故a＝－2。
[单选题]7.若使向量组α1＝（6，t，7）T，α2＝（4，2，2）T，α3＝（4，1，0）T线性相关，则t等于()。
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诚实考试吾心不虚 ，公平竞争方显实力， 考试失败尚有机会 ，考试舞弊前功尽弃。
上海财经大学成人高等教育考试卷（C ）闭卷 课程名称： 线性代数
2010—2011学年第二学期
姓名 学号 专业 班级
1. 设,A B 均为方阵，且0AB =, 则以下结论中正确的是 ( ) .
(1) 0AB = (2) 0,0A B == (3) 0A =或0B = (4) 0A =或0B =
2. 以下矩阵中是对称矩阵的是 ( ).
(1) 1202
1202
5⎛⎫ ⎪
-- ⎪ ⎪-⎝
⎭
(2) 1
2320434
1⎛⎫ ⎪
- ⎪ ⎪-⎝
⎭
(3) 1
2321130
1⎛⎫ ⎪
⎪ ⎪⎝
⎭
(4) 1
1101100
1⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭
3. 以下矩阵中是初等矩阵的是 ( ).
(1) 1000
1000
0⎛⎫ ⎪
- ⎪ ⎪⎝
⎭
(2) 1
0001000
0⎛⎫ ⎪
⎪ ⎪⎝
⎭
(3) 1
0101000
1⎛⎫ ⎪
⎪ ⎪-⎝
⎭
(4) 1
0100000
1⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭
4. 下列不是n 阶矩阵A 可逆的充分必要条件的为 ( ) .
(1) 0A ≠ (2) 0A ≠ (3) ()R A n = (4) A 与单位阵E 等价 5. 下列矩阵中是分块矩阵00A B ⎛⎫
⎪⎝⎭
的逆矩阵为 ( ). (1) 1
100
A B --⎛⎫
⎪⎝⎭ (2) 1
100
B A --⎛⎫
⎪⎝⎭
(3)
1100A B
--⎛⎫
⎪⎝⎭
(4) 1
10
0B
A
--⎛⎫
⎪⎝⎭
二、 填选题(每小题3分，共计30分)
6. 行列式
1
11356____
_.9
25
36
= ……………………………………………………………装
订
线…………………………………………………
7. 设4阶行列式的第三行元素为1，2，3，4，其对应的余子式为4，3，2，1，则该行列式的值等于______.
8. 设A 是3阶方阵，T A 是A 的转置矩阵且 2,A =则 3____.T
A -=
9. 设
2
111232
23,322
14
111
3A B ⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝
⎭⎝
⎭
, 则 _____________A B =，
10．设矩阵 1
203
40002A ⎛⎫
⎪
= ⎪ ⎪⎝⎭
，则*A =__________. 11. 设矩阵 2
000
3000
4A ⎛⎫
⎪
= ⎪ ⎪⎝
⎭
，则1A -=__________.（*A 是A 的伴随矩阵）. 12. 设矩阵 1
231
2411
3A ⎛⎫
⎪
= ⎪ ⎪⎝
⎭
，则*1()A -=__________.
13. 设矩阵 1
21
211
21
211
21
21,a a a a a A b b B b b b c c c c c -⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪
==- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭
，且AP B =,则初等阵P _____________. 14. 设 123(1,1,1),(2,3,4),(3,4,5)ααα===，则 123,,ααα的秩等于_______.
15. 设 123(1,1,1),(1,3,4),(2,2,2)ααα===，则 123,,ααα的极大无关组的个数为 _______.
三、 计算题（共计47分)
16. 求解方程:
2452450
2
4
5x x x
++=+ (本题满分10分)
17.(1) 用初等行变换法求矩阵
132
113
141
A
⎛⎫
⎪
=
⎪
⎪
⎝⎭
的逆矩阵1
A-
(2) 设
20000
03000
00132
00113
00141
B
⎛⎫
⎪
⎪
⎪
=
⎪
⎪
⎪
⎝⎭
, 求1
B-（本题满分12分）
18. 设
12341112
1112,2123
21215334
A B
--
⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪
==
⎪ ⎪
⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
，问矩阵A与B是否等价? 请说明理由。
（本题满分10分）
19. 设方程组 123412341
234313344598x x x x x x x x x x x x λ
+--=⎧⎪
--+=⎨⎪+--=⎩
. (1) λ取何值时，方程组无解；
(2) λ取何值时，方程组有解，且求方程组的全部解.。
（本题满分15分）
四、 证明题（共计8分)
20．如果 321,,ααα 是线性无关 ,且 1123212
,,βαααβααα=+-=-- 312323βααα=+- 。
问321,,βββ 是否也线性无关？试证明你的结果。
……………………………………………………………装
订
线……………………………………………………….。