2020高中数学人教A版必修4课时达标检测(二十一)平面向量共线的坐标表示 Word版含解析
2020高中数学 课时分层作业20 平面向量共线的坐标表示 新人教A版必修4
课时分层作业(二十) 平面向量共线的坐标表示(建议用时：40分钟)[学业达标练]一、选择题1．在下列向量组中，可以把向量a ＝(3,2)表示出来的是( ) A ．e 1＝(0,0)，e 2＝(1,2) B ．e 1＝(－1,2)，e 2＝(5，－2) C ．e 1＝(3,5)，e 2＝(6,10) D ．e 1＝(2，－3)，e 2＝(－2,3)B [只有选项B 中两个向量不共线可以表示向量a .]2．若向量a ＝(－1，x )与b ＝(－x,2)共线且方向相同，则x 的值为( )【导学号：84352236】A. 2 B ．－ 2 C ．2D ．－2A [由a ∥b 得－x 2＋2＝0， 得x ＝± 2.当x ＝－2时，a 与b 方向相反．]3．已知向量a ＝(x,3)，b ＝(－3，x )，则( ) A ．存在实数x ，使a∥b B ．存在实数x ，使(a ＋b )∥a C ．存在实数x ，m ，使(m a ＋b )∥a D ．存在实数x ，m ，使(m a ＋b )∥bD [由a∥b ⇔x 2＝－9无实数解，故A 不对；又a ＋b ＝(x －3,3＋x )，由(a ＋b )∥a 得3(x －3)－x (3＋x )＝0，即x 2＝－9无实数解，故B 不对； 因为m a ＋b ＝(mx －3,3m ＋x )，由(m a ＋b )∥a 得(3m ＋x )x －3(mx －3)＝0， 即x 2＝－9无实数解，故C 不对；由(m a ＋b )∥b 得－3(3m ＋x )－x (mx －3)＝0， 即m (x 2＋9)＝0，所以m ＝0，x ∈R ，故D 正确．] 4．若三点A (2,3)，B (3，a )，C (4，b )共线，则有( ) A ．a ＝3，b ＝－5 B ．a －b ＋1＝0 C ．2a －b ＝3D ．a －2b ＝0C [AB →＝(1，a －3)，AC →＝(2，b －3)， 因为A ，B ，C 共线，所以AB →∥AC →，所以1×(b －3)－2(a －3)＝0， 整理得2a －b ＝3.]5．已知向量a ＝(1－sin θ，1)，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1＋sin θ，且a ∥b ，则锐角θ等于 ( ) 【导学号：84352237】A ．30°B ．45°C ．60°D ．75°B [由a ∥b ，可得(1－sin θ)(1＋sin θ)－12＝0，即cos θ＝±22，而θ是锐角，故θ＝45°.]二、填空题6．已知点A (1，－2)，若线段AB 的中点坐标为(3,1)，且AB →与向量a ＝(1，λ)共线，则λ＝________. 32[由题意得，点B 的坐标为(3×2－1,1×2＋2)＝(5,4)，则AB →＝(4,6)． 又AB →与a ＝(1，λ)共线， 则4λ－6＝0，解得λ＝32.]7．若三点A (1，－3)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫8，12，C (x,1)共线，则x ＝________. 9 [∵AB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫7，72，AC →＝(x －1,4)，AB →∥AC →，∴7×4－72×(x －1)＝0，∴x ＝9.]8．已知向量a ＝(－2,3)，b∥a ，向量b 的起点为A (1,2)，终点B 在坐标轴上，则点B 的坐标为________.【导学号：84352238】⎝ ⎛⎭⎪⎫0，72或⎝ ⎛⎭⎪⎫73，0 [由b∥a ，可设b ＝λa ＝(－2λ，3λ)．设B (x ，y )，则AB→＝(x －1，y －2)＝b . 由⎩⎪⎨⎪⎧－2λ＝x －1，3λ＝y －2⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－2λ，y ＝3λ＋2，又B 点在坐标轴上，则1－2λ＝0或3λ＋2＝0，所以B ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，72或⎝ ⎛⎭⎪⎫73，0.]三、解答题9．已知a ＝(1,0)，b ＝(2,1)． (1)求a ＋3b 的坐标．(2)当k 为何实数时，k a －b 与a ＋3b 平行，平行时它们是同向还是反向？【导学号：84352239】[解] (1)因为a ＝(1,0)，b ＝(2,1)． 所以a ＋3b ＝(1,0)＋(6,3)＝(7,3)． (2)k a －b ＝(k －2，－1)，a ＋3b ＝(7,3)，因为k a －b 与a ＋3b 平行， 所以3(k －2)＋7＝0，解得k ＝－13，所以k a －b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－73，－1，a ＋3b ＝(7,3)， 即k ＝－13时，k a －b 与a ＋3b 平行，方向相反．10．已知A (－1,0)，B (3，－1)，C (1,2)，并且AE →＝13AC →，BF →＝13BC →，求证：EF →∥AB →.[证明] 设E (x 1，y 1)，F (x 2，y 2)， 依题意有AC →＝(2,2)，BC →＝(－2,3)， AB →＝(4，－1)．因为AE →＝13AC →，所以AE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23，23，所以(x 1＋1，y 1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23，23， 故E ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，23. 因为BF →＝13BC →，所以BF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，1，所以(x 2－3，y 2＋1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，1， 故F ⎝ ⎛⎭⎪⎫73，0. 所以EF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫83，－23.又因为4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－23－83×(－1)＝0，所以EF →∥AB →.[冲A 挑战练]1．已知向量a ＝(2,3)，b ＝(－1,2)，若m a ＋n b 与a －2b 共线，则n m＝( )【导学号：84352240】A ．2B ．3C ．±2D ．－2D [由向量a ＝(2,3)，b ＝(－1,2)，得m a ＋n b ＝(2m －n,3m ＋2n )，a －2b ＝(4，－1)．由m a ＋n b 与a －2b共线，得2m －n 4＝3m ＋2n －1，所以nm＝－2.]2．已知△ABC 的三个内角A 、B 、C 所对的边长分别为a 、b 、c ，设向量p ＝(a ＋c ，b )，q ＝(b ，c －a )，若p ∥q ，则角C 为( )A.π6B.2π3C.π2D.π3C [因为p ＝(a ＋c ，b )，q ＝(b ，c －a )，且p ∥q ，所以(a ＋c )(c －a )－b ·b ＝0，即c 2＝a 2＋b 2，所以角C 为π2.故选C.] 3．已知向量OA →＝(3，－4)，OB →＝(6，－3)，OC →＝(5－m ，－3－m )，若点A ，B ，C 能构成三角形，则实数m 应满足的条件为________．m ≠12[AB →＝OB →－OA →＝(6，－3)－(3，－4)＝(3,1)，AC →＝OC →－OA →＝(5－m ，－3－m )－(3，－4)＝(2－m,1－m )，由于点A ，B ，C 能构成三角形，则AC →与AB →不共线，则3(1－m )－(2－m )≠0，解得m ≠12.]4．已知两点P 1(3,2)，P 2(－8,3)，点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，y ，且P 1P →＝λPP 2→，则λ＝________，y ＝________.517 4922 [∵P 1P →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－3，y －2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－52，y －2，PP 2→＝⎝⎛⎭⎪⎫－8－12，3－y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－172，3－y ，且P 1P →＝λPP 2→，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫－52，y －2＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫－172，3－y ，∴⎩⎪⎨⎪⎧－52＝－172λ，y －2＝λ－y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝517，y ＝4922.]5．如图2320所示，已知△AOB 中，A (0,5)，O (0,0)，B (4,3)，OC →＝14OA →，OD →＝12OB →，AD 与BC 相交于点M ，求点M 的坐标.【导学号：84352241】图2320[解] ∵OC →＝14OA →＝14(0,5)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，54，∴C ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，54.∵OD →＝12OB →＝12(4,3)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2，32， ∴D ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，32. 设M (x ，y )，则AM →＝(x ，y －5)， CM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ，y －54，CB →＝⎝⎛⎭⎪⎫4，74，AD →＝⎝⎛⎭⎪⎫2，－72.∵AM →∥AD →，∴－72x －2(y －5)＝0，即7x ＋4y ＝20.①∵CM →∥CB →， ∴74x －4⎝ ⎛⎭⎪⎫y －54＝0， 即7x －16y ＝－20.②联立①②，解得x ＝127，y ＝2，故点M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫127，2.。
数学人教A版必修4课时分层作业 平面向量共线的坐标表示
课时分层作业(二十)(建议用时：60分钟)一、选择题1．在下列向量组中，可以把向量a ＝(3,2)表示出来的是( ) A ．e 1＝(0,0)，e 2＝(1,2) B ．e 1＝(－1,2)，e 2＝(5，－2) C ．e 1＝(3,5)，e 2＝(6,10) D ．e 1＝(2，－3)，e 2＝(－2,3)B [只有选项B 中两个向量不共线可以表示向量a .]2．若向量a ＝(－1，x )与b ＝(－x,2)共线且方向相同，则x 的值为( ) A.2 B ．－ 2 C ．2D ．－2A [由a ∥b 得－x 2＋2＝0， 得x ＝±2.当x ＝－2时，a 与b 方向相反．]3．已知a ＝(sin α，1)，b ＝(cos α，2)，若b ∥a ，则tan α＝( ) A.12 B ．2 C ．－12D ．－2 A [∵b ∥a ，∴2sin α－cos α＝0，即tan α＝12.]4．已知向量a ＝(2,1)，b ＝(3,4)，c ＝(k,2)．若(3a －b )∥c ，则实数k 的值为( ) A ．－8 B ．－6 C ．－1D ．6B [由题意得3a －b ＝(3，－1)，因为(3a －b )∥c ，所以6＋k ＝0，k ＝－6.故选B.]5．已知向量a ＝(1－sin θ，1)，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1＋sin θ，且a ∥b ，则锐角θ等于( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．75°B [由a ∥b ，可得(1－sin θ)(1＋sin θ)－12＝0，即cos θ＝±22，而θ是锐角，故θ＝45°.]二、填空题6．已知点A (1，－2)，若线段AB 的中点坐标为(3,1)，且AB →与向量a ＝(1，λ)共线，则λ＝________.32[由题意得，点B 的坐标为(3×2－1,1×2＋2)＝(5,4)，则AB →＝(4,6)． 又AB→与a ＝(1，λ)共线， 则4λ－6＝0，解得λ＝32.]7．已知A (－1,4)，B (x ，－2)，若C (3,3)在直线AB 上，则x ＝________. 23 [AB→＝(x ＋1，－6)，AC →＝(4，－1)， ∵AB→∥AC →，∴－(x ＋1)＋24＝0，∴x ＝23.] 8．已知向量a ＝(－2,3)，b ∥a ，向量b 的起点为A (1,2)，终点B 在坐标轴上，则点B 的坐标为________．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，72或⎝ ⎛⎭⎪⎫73，0 [由b ∥a ，可设b ＝λa ＝(－2λ，3λ)．设B (x ，y )，则AB →＝(x －1，y －2)＝b .由⎩⎨⎧ －2λ＝x －1，3λ＝y －2⇒⎩⎨⎧x ＝1－2λ，y ＝3λ＋2，又B 点在坐标轴上，则1－2λ＝0或3λ＋2＝0， 所以B ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，72或⎝ ⎛⎭⎪⎫73，0.]三、解答题9．已知a ＝(1,0)，b ＝(2,1)． (1)求a ＋3b 的坐标．(2)当k 为何实数时，k a －b 与a ＋3b 平行，平行时它们是同向还是反向？ [解] (1)因为a ＝(1,0)，b ＝(2,1)，所以a ＋3b ＝(1,0)＋(6,3)＝(7,3)． (2)k a －b ＝(k －2，－1)，a ＋3b ＝(7,3)， 因为k a －b 与a ＋3b 平行， 所以3(k －2)＋7＝0，解得k ＝－13， 所以k a －b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－73，－1，a ＋3b ＝(7,3)，即k ＝－13时，k a －b 与a ＋3b 平行，方向相反．10．已知A (－1,0)，B (3，－1)，C (1,2)，并且AE →＝13AC →，BF →＝13BC →，求证：EF →∥AB→. [证明] 设E (x 1，y 1)，F (x 2，y 2)， 依题意有AC→＝(2,2)，BC →＝(－2,3)，AB→＝(4，－1)．因为AE →＝13AC →， 所以AE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23，23， 所以(x 1＋1，y 1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23，23，故E ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，23.因为BF →＝13BC →， 所以BF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，1， 所以(x 2－3，y 2＋1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，1，故F ⎝ ⎛⎭⎪⎫73，0.所以EF→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫83，－23. 又因为4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－23－83×(－1)＝0，所以EF→∥AB →.1．已知向量a ＝(1,2)，a －b ＝(4,5)，c ＝(x,3)，若()2a ＋b ∥c ，则x ＝( ) A ．－1 B ．－2 C ．－3D ．－4C [向量a ＝(1,2)，a －b ＝(4,5)，c ＝(x,3)， 则b ＝a －(a －b )＝(1,2)－(4,5)＝(－3，－3)， ∴(2a ＋b )＝2(1,2)＋(－3，－3)＝(－1,1)， ∵(2a ＋b )∥c ，∴－3－x ＝0，∴x ＝－3， 故选C.]2．已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，设向量p ＝(a ＋c ，b )，q ＝(b ，c －a )，若p ∥q ，则角C 为( )A.π6B.2π3C.π2D.π3C [因为p ＝(a ＋c ，b )，q ＝(b ，c －a )，且p ∥q ，所以(a ＋c )(c －a )－b ·b ＝0，即c 2＝a 2＋b 2，所以角C 为π2.故选C.]3．已知平行四边形三个顶点的坐标分别为(－1,0)，(3,0)，(1，－5)，则第四个顶点的坐标是( )A ．(1,5)或(5,5)B ．(1,5)或(－3，－5)C ．(5，－5)或(－3，－5)D ．(1,5)或(5，－5)或(－3，－5)D [设A (－1,0)，B (3,0)，C (1，－5)，第四个顶点为D ， ①若这个平行四边形为▱ABCD ， 则AB→＝DC →，∴D (－3，－5)； ②若这个平行四边形为▱ACDB ， 则AC→＝BD →，∴D (5，－5)； ③若这个平行四边形为▱ACBD ，则AC →＝DB →，∴D (1,5)．综上所述，D 点坐标为(1,5)或(5，－5)或(－3，－5)．]4．已知向量OA→＝(3，－4)，OB →＝(6，－3)，OC →＝(5－m ，－3－m )，若点A ，B ，C 能构成三角形，则实数m 应满足的条件为________．m ≠12 [AB →＝OB →－OA →＝(6，－3)－(3，－4)＝(3,1)，AC →＝OC →－OA →＝(5－m ，－3－m )－(3，－4)＝(2－m,1－m )，由于点A ，B ，C 能构成三角形，则AC →与AB →不共线，则3(1－m )－(2－m )≠0，解得m ≠12.]5．如图所示，已知直角梯形ABCD ，AD ⊥AB ，AB ＝2AD ＝2CD ，过点C 作CE ⊥AB 于E ，用向量的方法证明：DE ∥BC .[证明] 如图，以E 为原点，AB 所在直线为x 轴，EC 所在直线为y 轴建立直角坐标系，设|AD→ |＝1，则|DC →|＝1，|AB →|＝2. ∵CE ⊥AB ，而AD ＝DC ， ∴四边形AECD 为正方形，∴可求得各点坐标分别为E (0,0)，B (1,0)，C (0,1)，D (－1,1)． ∵ED→＝(－1,1)－(0,0)＝(－1,1)， BC→＝(0,1)－(1,0)＝(－1,1)， ∴ED →＝BC →，∴ED →∥BC →， 即DE ∥BC .由Ruize收集整理。
高中数学必修4平面向量常考题型平面向量共线的坐标表示案
平面向量共线的坐标表示【知识梳理】平面向量共线的坐标表示题型一、向量共线的判定【例】()已知向量＝()，＝(λ，)，若(＋)∥(－)，则λ的值等于( )．．()已知()，()，()，(，－)．判断与是否共线？如果共线，它们的方向相同还是相反？()[解析]法一：＋＝()＋(λ，)＝(＋λ，)，－＝()－(λ，)＝(－λ，)，由(＋)∥(－)可得(＋λ)－(－λ)＝，解得λ＝.法二：假设，不共线，则由(＋)∥(－)可得＋＝μ(－)，从而(\\(＝μ，＝－μ，))方程组显然无解，即＋与－不共线，这与(＋)∥(－)矛盾，从而假设不成立，故应有，共线，所以＝，即λ＝.[答案]()[解]＝()－()＝(－)，＝(，－)－()＝(，－)，∵(－)×(－)－×＝，∴，共线．又＝－，∴，方向相反．综上，与共线且方向相反．【类题通法】向量共线的判定方法()利用向量共线定理，由＝λ(≠)推出∥.()利用向量共线的坐标表达式－＝直接求解．【对点训练】已知＝()，＝(－)，当实数为何值时，(＋)∥(－)？这两个向量的方向是相同还是相反？解：∵＝()，＝(－)，∴＋＝(－＋)，－＝(，－)．由题意得(－)×(－)－(＋)＝，解得＝－.此时＋＝－＋＝－(－)，∴当＝－时，(＋)∥(－)，并且它们的方向相反.题型二、三点共线问题【例】()若点(，－)，，()共线，则＝.()设向量＝()，＝()，＝(，)，求当为何值时，、、三点共线．()[解析]＝，＝(－)．∵，，共线，∴与共线∴×－(－)＝，解得＝.[答案]()[解]法一：若，，三点共线，则，共线，则存在实数λ，使得＝λ，∵＝－＝(－，－)，＝－＝(－，－)．∴(－，－)＝λ(－，－)，即(\\(－＝λ(－(，,－＝λ(－(，))解得＝－或＝.∴当＝－或时，、、三点共线．法二：由题意知，共线，∵＝－＝(－，－)，＝－＝(－，－)，∴(－)(－)＋(－)＝，∴－－＝，解得＝－或＝.∴当＝－或时，、、三点共线．【类题通法】三点共线的实质与证明步骤()实质：三点共线问题的实质是向量共线问题．两个向量共线只需满足方向相同或相反，两个向量共线与两个向量平行是一致的．()证明步骤：利用向量平行证明三点共线需分两步完成：①证明向量平行；②证明两个向量有公共点．【对点训练】已知点()，()，(，)，()．()求实数的值，使向量与共线；()当向量与共线时，点，，，是否在一条直线上？解：()＝()，＝(，)．∵∥，∴＝，＝±.。
高中数学人教A版必修4第二章平面向量2.3.4平面向量共线的坐标表示 答案和解析
高中数学人教A 版必修4第二章平面向量2.3.4平面向量共线的坐标表示学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知e 为x 轴上的单位向量,若AB =-2e,且B 点的坐标为3,则A 点的坐标和AB 中点的坐标分别为( ) A ．2,1 B ．5,4 C ．4,5D ．1,-22．已知向量,a b 不共线，c ka b =+，d a b =-,如果c d ，那么 ( ) A ．k ＝1且c 与d 同向 B ．k ＝1且c 与d 反向 C ．k ＝－1且c 与d 同向D ．k ＝－1且c 与d 反向3．若向量a ，b 不共线，2AB a b =+，4BC a b =--，53CD a b =--，则下列关系式中正确的是（ ） A ．AD BC =B ．2AD BC =C ．AD BC =-D ．2AD BC =-4．已知0,a R λ≠∈下列叙述中,正确的个数是( ) ①a λ//a ;②a λ与a 的方向相同; ③||aa 是单位向量; ④若a λ>a ,则1λ>. A ．1B ．2C ．3D ．45．已知在△ABC 中,D 是BC 的中点,E 是DC 的中点,F 是EC 的中点,若AB =a,AC =b,则AF 等于( )A ．14a+34bB ．14a-34b C ．18a+78bD ．18a-78b6．已知向量,,a b c 中任意两个都不共线,且a b +与c 共线,b c +与a 共线,则向量a b c ++等于( )A ．aB ．bC ．cD ．7．O 是平面上一定点，,,A B C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足AB AC OP OA AB AC μ→→→→→→⎛⎫ ⎪ ⎪=++ ⎪ ⎪⎝⎭，[)0,μ∈+∞，则P 点的轨迹一定经过ABC ∆的（ ）A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心二、双空题8．已知数轴上两点A ,B 的坐标分别是-8,-3,则AB 的坐标为_____,长度为_____.三、填空题9．已知长度相等的三个非零向量,,OA OB OC 满足OA OB OC ++=0,则由A ,B ,C 三点构成的△ABC 的形状是_____三角形.四、解答题10．如图所示，OBC 中，点A 为BC 中点，点D 是线段OB 上靠近点B 的一个三等分点，CD ，OA 相交于点E ，设OA a =，OB b =．（1）用a ，b 表示OC ，DC ； （2）若OE OA λ=，求λ．11．如图,在△ABC 中,E 为边AC 的中点,试问在边AC 上是否存在一点D ,使得1233BD BC BE =+?若存在,说明点D 的位置;若不存在,请说明理由.参考答案1．B 【解析】因为AB =-2e,22325B A A B x x x x ∴-=-∴=+=+= AB 中点的坐标为5342+= ，选B. 2．D 【解析】分析：利用向量共线的充要条件列出方程组，求出即可 详解：//,,c d c d λ∴=，(),,a b ka b a b λ∴+=-不共线，1,1k λλ=⎧∴⎨=-⎩ 解得1,1k λ=-⎧∴⎨=-⎩(),d a b a b c =--=-+=-故选D.点睛：本题考查向量共线的向量形式的充要条件，属于基础题． 3．B 【解析】分析：根据条件计算向量，可得 2AD BC =，从而可得出正确选项． 详解：由条件可得 AD =AB +BC +CD =﹣8a ﹣2b =2BC ， 则关系式中正确的是2AD BC =， 故选B ．点睛：本题考查向量的共线问题，考查向量的运算法则及向量的线性运算，属于基础题． 4．B 【详解】a λ//a ;当0λ>时，a λ与a 的方向相同;||aa 是单位向量; 若a λ>a 则1λ>或1λ<- 所以（1）（3）正确，选B 5．C 【解析】由题意可得CB AB AC =-=a-b .∵D 是BC 的中点,∴1122CD CB ==(a-b), 同理1124CE CD ==(a-b),1128CF CE ==(a-b),∴AF AC CF =+=b +18(a-b)=18a +78b . 选C 6．D 【详解】因为a b +与c 共线,所以有()a b mc m R +=∈. 又b c +与a 共线, 所以有()b c na n R +=∈, 即b mc a =-且b c na =-+. 因为,,a b c 中任意两个都不共线,则有-1,-1,m n =⎧⎨=⎩所以b mc a c a =-=--, 即0a b c ++=,故选D . 7．B 【分析】 先根据||AB AB →→、||AC AC →→分别表示向量AB →、AC →方向上的单位向量，确定||||A AB A AC C B →→→→+的方向与BAC ∠的角平分线一致，再由AB AC OP OA AB AC μ→→→→→→⎛⎫ ⎪ ⎪=++ ⎪ ⎪⎝⎭可得到AB AC OP OA AP AB AC μ→→→→→→→⎛⎫ ⎪ ⎪-==+ ⎪ ⎪⎝⎭，可得答案．【详解】 解：||AB AB →→、||AC AC →→分别表示向量AB →、AC →方向上的单位向量，∴||||A AB A AC C B →→→→+的方向与BAC ∠的角平分线一致，又AB AC OP OA AB AC μ→→→→→→⎛⎫ ⎪ ⎪=++ ⎪ ⎪⎝⎭，∴AB AC OP OA AP AB AC μ→→→→→→→⎛⎫ ⎪ ⎪-==+ ⎪ ⎪⎝⎭，∴向量AP →的方向与BAC ∠的角平分线一致∴P 点的轨迹一定经过ABC 的内心.故选：B ． 【点睛】本题考查平面向量的线性运算和向量的数乘，以及对三角形内心的理解，考查化简运算能力． 8．5 5 【解析】AB 3(8)5,5AB =---==9．等边 【解析】 【详解】如图,以OA ,OB 为邻边作菱形OAFB ,则OA OB OF +=,∴OF OC +=0,∴OF =-OC . ∴O ,F ,C 三点共线. ∵四边形OAFB 是菱形, ∴CE 垂直平分AB.∴CA=CB.同理,AB=AC.∴△ABC 为等边三角形.10．（1）2OC a b =-，523DC a b =-．（2）45λ= 【分析】（1）利用向量的加减运算、数乘运算化简、转化即可求解．（2）由E 在CD 上，则存在实数μ，使CE DC μ=，将,CE DC 均用用a ，b 表示，再根据平面向量基本定理，使对应基向量的系数相等求出λ. 【详解】解：（1）∵2OC OB OA +=， ∴22OC OA OB a b =-=-，252233DC OC OD a b b a b =-=--=-．（2）∵(2)(2)CE OE OC a a b a b λλ=-=--=-+，又由E 在CD 上，CE 与DC 共线，∴存在实数μ，使CE DC μ=．即5(2)23a b a b λμ⎛⎫-+=- ⎪⎝⎭，则22513λμμ-=⎧⎪⎨=-⎪⎩． 解方程组，得45λ=． 【分析】本题主要考查了平面向量的加减法、数乘运算，向量共线的应用，平面向量的基本定理，属于容易题．11．D点为AC上靠近C的一个三等分点【详解】试题分析：将向量条件1233BD BC BE=+转化为两向量相等关系：13CD CA=,根据向量共线可得点D的位置试题解析：假设存在点D,使得1233BD BC BE=+.由1233BD BC BE=+,得12(33)BD BC BC CE=++=23BC CE+,所以23BD BC CE-=,即23CD CE=.又12CE CA=,所以13CD CA=,即在AC上存在一点D,使1233BD BC BE=+,且D点为AC上靠近C的一个三等分点.。
高中数学人教A版必修4课时达标检测(二十一)平面向量共线的坐标表示 Word版含解析
课时达标检测（二十一）平面向量共线的坐标表示一、选择题．若＝()，＝()，＝()，则下列命题成立的是( )．＋与共线．－与共线．与－共线．＋与共线答案：．已知向量＝()，＝()，＝＋(∈)，＝－，如果∥，那么( )．＝且与同向．＝且与反向．＝－且与同向．＝－且与反向答案：．已知向量＝()，＝(－)，若＋与－共线，则等于( )．－．．－答案：．已知＝(，－)，＝(－，－)，＝(，)，且＋－＝，则等于( )答案：．已知＝(－－θ)，＝θ，－()))，且∥，则锐角θ等于( )．°．°．°或°．°答案：二、填空题．已知＝()，＝(，)，＝(－，－)，若∥，则＋的值为．答案：．已知向量＝(，－)，＝(－，)，＝(－)，若(＋)∥，则＝.答案：－．在△中，点在上，且＝，点是的中点，若＝()，＝()，则＝.答案：(－)三、解答题．平面内给定三个向量＝()，＝(－)，＝()，回答下列问题：()求＋－；()求满足＝＋的实数，；()若(＋)∥(－)，求实数.解：()＋－＝()＋(－)－()＝()＋(－)－()＝(－－＋－)＝()．()∵＝＋，∴()＝(－)＋()＝(－＋＋)．∴－＋＝且＋＝，解得＝，＝.()∵(＋)∥(－)，又＋＝(＋＋)，－＝(－)，∴×(＋)－(－)×(＋)＝.∴＝－.．已知()，()，()，(，－)．判断与是否共线？如果共线，它们的方向相同还是相反？解：＝()－()＝(－)，＝(，－)－()＝(，－)．∵(－)×(－)－×＝，∴与共线且方向相反．．如图所示，已知△中，()，()，()，＝，＝，与相交于点，求点的坐标．解：∵＝＝()＝，∴.∵＝＝()＝，∴.设(，)，则＝(，－)，＝，＝，＝.。
人教A版必修4：课时跟踪检测(二十一)平面向量共线的坐标表示含解析
课时追踪检测（二十一）平面向量共线的坐标表示层级一 学业水平达标1．以下向量组中，能作为表示它们所在平面内全部向量的基底的是 ( )A ． e 1＝ (0,0)， e 2＝ (1，－ 2)B ． e 1＝ (－ 1,2)， e 2＝ (5,7)C ． e 1＝ (3,5)， e 2＝ (6,10)1 3 D ． e 1＝ (2，－ 3)， e 2＝ 2，－4分析：选B1e 2，∴e 1∥e 2； D 中 e 1＝ 4e 2，∴A 中向量 e 1 为零向量，∴ e 1 ∥e 2； C 中 e 1＝2e 1∥e 2，应选 B.uuur2．已知点 A (1,1)， B(4,2) 和向量 a ＝ (2， λ)，若 a ∥ AB ，则实数 λ的值为 ()2B.3A ．－ 3223C. 3D ．－ 2uuur分析：选C依据 A ， B 两点的坐标，可得 AB ＝ (3,1)，uuur 2，应选 C.∵a ∥ AB ，∴2× 1－ 3λ＝0，解得 λ＝3uuur 3．已知 A(2，－ 1)， B(3,1)，则与 AB A ． (2,1)C ． (－ 1,2)平行且方向相反的向量a 是 ( )B ． (－ 6，－ 3)D ． (－ 4，－ 8)uuur 分析：选 DAB＝ (1,2)，向量 (2,1)、 ( － 6，－ 3) 、 (－ 1,2)与 (1,2) 不平行； (－ 4，－ 8)与(1,2) 平行且方向相反．4．已知向量 a ＝ (x,2)， b ＝ (3，－ 1)，若 (a ＋ b)∥ (a － 2b)，则实数 x 的值为 ()A ．－ 3B ． 2C ． 4D ．－ 6分析：选D 因为 (a ＋ b)∥(a － 2b)， a ＋ b ＝ (x ＋ 3,1)，a － 2b ＝ (x －6,4)，因此 4(x ＋ 3)－(x － 6)＝0，解得 x ＝－ 6.5．设 a ＝3， tan α， b ＝ cos α， 1 ，且 a ∥ b ，则锐角 α为 ()2 3A ． 30°B ． 60°C ． 45°D ． 75°分析：选A ∵a ∥b ，3 1 ∴ × － tan αcos α＝ 0，1即 sin α＝2，α＝ 30° .6．已知向量a＝ (3x－ 1,4)与 b＝ (1,2)共线，则实数x 的值为 ________．分析：∵向量 a＝ (3x－ 1,4)与 b＝ (1,2)共线，∴2(3x－ 1)－ 4×1＝ 0，解得 x＝ 1.答案： 17．已知 A(－ 1,4)， B(x，－ 2)，若 C(3,3) 在直线 AB 上，则 x＝ ________.uuur uuur分析： AB ＝(x＋1，－6)， AC ＝(4，－1)，uuur uuur∵AB ∥ AC ，∴－(x＋1)＋24＝0，∴x＝23.答案： 238．已知向量a＝ (1,2)，b＝ (－ 2,3)，若λa＋μb与 a＋ b 共线，则λ与μ的关系是 ________．分析：∵a＝ (1,2) ，b＝ (－ 2,3)，∴a＋ b＝ (1,2)＋( － 2,3)＝ (－ 1,5)，λa＋μb＝λ(1,2)＋μ(－ 2,3)＝ (λ－ 2μ， 2λ＋ 3μ)，又∵(λa＋μb)∥(a＋ b)，∴－1× (2λ＋ 3μ)－ 5(λ－ 2μ)＝ 0，∴λ＝μ.答案：λ＝μuuur1 uuur uuur1 9．已知 A， B，C 三点的坐标为 (－ 1,0)，(3，－ 1)，(1,2)，而且AE＝3AC ，BF＝3 uuur uuur uuurBC ，求证： EF ∥ AB .证明：设 E ， F 的坐标分别为 (x1， y1)、 (x2， y2 )，uuur uuur uuur依题意有 AC＝ (2,2)，BC＝ (－ 2,3)，AB＝ (4，－ 1)．uuur1 uuur，∴(x ＋ 1，y)＝1∵AE＝3 AC3(2,2) ．111 2∴点 E 的坐标为－3，3 .7uuur82同理点 F 的坐标为3，0，EF＝3，－3 .8× (－ 1)－4× －2uuur uuur又＝0，∴EF∥AB .3310．已知向量a＝ (2,1)， b＝ (1,1)， c＝ (5,2)， m＝λb＋ c(λ为常数 )．(1)求 a＋ b；(2)若 a 与 m 平行，务实数λ的值．解： (1)因为 a＝ (2,1) ，b＝ (1,1)，因此 a＋ b＝ (2,1)＋ (1,1)＝ (3,2) ．(2)因为 b＝ (1,1)， c＝(5,2)，因此 m＝λb＋c＝λ(1,1)＋ (5,2)＝ (λ＋ 5，λ＋ 2)．又因为 a＝ (2,1)，且 a 与 m 平行，因此 2(λ＋2) ＝λ＋ 5，解得λ＝ 1.层级二应试能力达标1．已知平面向量 a＝ (x,1)， b＝ (－ x， x2)，则向量 a＋ b()A ．平行于 x 轴B．平行于第一、三象限的角均分线C．平行于 y 轴D．平行于第二、四象限的角均分线分析：选C因为 a＋ b＝(0,1＋ x2)，因此 a＋ b 平行于 y 轴．2．若 A(3，－ 6)， B(－ 5,2)， C(6， y)三点共线，则 y＝ ()A． 13B．－ 13C． 9D．－ 9分析：选D A， B， C 三点共线，uuur uuur uuur uuur∴AB ∥ AC ，而 AB＝(－8,8)，AC＝ (3， y＋6) ，∴－8(y＋ 6)－ 8× 3＝ 0，即 y＝－ 9.3．已知向量a＝ (1,0)， b＝ (0,1)， c＝ ka＋ b(k∈ R)， d＝ a－ b，假如 c∥ d，那么 ()A ． k＝ 1 且 c 与 d 同向B． k＝ 1 且 c 与 d 反向C． k＝－ 1 且 c 与 d 同向D． k＝－ 1 且 c 与 d 反向分析：选 D∵a＝(1,0)，b＝(0,1)，若k＝1，则c＝a＋b＝(1,1)，d＝a－b＝(1，－1)，明显， c 与 d 不平行，清除 A 、 B.若 k＝－ 1，则 c＝－ a＋ b＝ (－ 1,1)， d＝ a－ b＝－ (－ 1,1)，即 c∥d 且 c 与 d 反向．4．已知平行四边形三个极点的坐标分别为( － 1,0)， (3,0)， (1，－ 5)，则第四个极点的坐标是()A ． (1,5)或 (5,5)B． (1,5)或 (－ 3，－ 5)C． (5，－ 5)或 (－ 3，－ 5)D． (1,5)或 (5，－ 5)或 (－ 3，－ 5)分析：选 D设 A (－1,0)，B(3,0)，C(1，－5)，第四个极点为D，①若这个平行四边形为?ABCD ，uuur uuur则 AB ＝ DC ，∴D(－3，－5)；②若这个平行四边形为?ACDB ，uuur uuur则 AC ＝ BD ，∴D(5，－5)；③若这个平行四边形为?ACBD ，uuur uuur则 AC ＝ DB ，∴D(1,5)．综上所述， D 点坐标为 (1,5)或 (5，－ 5)或 (－ 3，－ 5)．uuur uuur uuur uuur uuur 5．已知AB＝ (6,1)，BC＝ (x， y)，CD＝ (－2，－ 3)，BC∥DA，则 x＋ 2y 的值为________．uuur uuur uuur uuur分析：∵AD ＝ AB ＋ BC ＋ CD ＝(6,1)＋(x，y)＋(－2，－3)＝ (x＋ 4， y－ 2)，uuur uuur∴DA ＝－ AD ＝－(x＋4，y－2)＝(－x－4，－y＋2)．uuur uuur∵BC ∥DA ，∴x(－ y＋ 2)－ (－ x－ 4)y＝ 0，即 x＋ 2y＝ 0.答案： 0uuur uuur uuur6．已知向量OA＝ (3，－ 4)，OB＝ (6，－ 3)，OC＝ (5－ m，－ 3－ m)．若点 A ， B，C 能组成三角形，则实数m 应知足的条件为 ________．uuur uuur 分析：若点 A， B， C 能组成三角形，则这三点不共线，即AB 与 AC 不共线．uuur uuur uuur uuur uuur uuur∵AB ＝ OB － OA ＝(3,1)， AC ＝ OC － OA ＝(2－m,1－m)，1∴3(1－ m)≠ 2－ m，即 m≠2.1答案： m≠27．已知 A(1,1)， B (3，－ 1)， C(a， b)．(1)若 A ， B， C 三点共线，求 a 与 b 之间的数目关系；uuur uuur(2)若 AC ＝2 AB ，求点C的坐标．uuur uuur解： (1)若 A， B，C 三点共线，则AB 与 AC 共线．uuur uuurAB ＝(3，－1)－(1,1)＝(2，－2)， AC ＝(a－1，b－1)，∴2(b － 1)－ (－ 2)(a － 1)＝ 0，∴a ＋ b ＝ 2.uuur uuur(2)若 AC ＝ 2 AB ，则 (a － 1， b － 1)＝ (4，－ 4)，a － 1＝4， a ＝5，∴∴b － 1＝－ 4，b ＝－ 3，∴点 C 的坐标为 (5，－ 3)．8.如下图， 在四边形ABCD 中，已知 A (2,6)，B(6,4)，C(5,0)，D(1,0)，求直线 AC 与 BD 交点 P 的坐标．uuur解： 设 P(x ， y)，则 DP ＝ (x － 1， y)， uuur uuuruuur DB ＝(5,4) ， CA ＝ (－ 3,6)， DC ＝ (4,0)．uuur uuuur 由 B ， P ，D 三点共线可得 DP ＝ λDB ＝ (5λ， 4λ)．uuur uuur uuur又∵CP ＝ DP － DC ＝ (5λ－ 4,4λ)，uuur uuur因为 CP 与 CA 共线得， (5λ－ 4)× 6＋ 12λ＝ 0.4解得 λ＝7，uuur uuur20 16∴DP ＝74DB ＝ 7，7 ，27 16∴P 的坐标为7，7 .。
人教A版高中数学必修4同步练习-平面向量共线的坐标表示
A 级 基础巩固一、选择题1．已知向量a ＝(1，m )，b ＝(m ，2)，若a ∥b ，则实数m 等于( ) A ．－ 2B.2 C ．－2或 2D ．0解析：由题意知，1×2－m 2＝0，所以m ＝±2. 答案：C2．在下列向量组中，可以把向量a ＝(3，2)表示出来的是( ) A ．e 1＝(0，0)，e 2＝(1，2) B ．e 1＝(－1，2)，e 2＝(5，－2) C ．e 1＝(3，5)，e 2＝(6，10) D ．e 1＝(2，－3)，e 2＝(－2，3) 解析：若e 1＝(0，0)，e 2＝(1，2)，即e 1∥e 2，而a 不能由e 1，e 2表示，排除A ；同理排除C ，D ；若e 1＝(－1，2)，e 2＝(5，－2)，因为－15≠2－2，所以e 1，e 2不共线，根据平面向量基本定理知，e 1＝(－1，2)，e 2＝(5，－2)可以把向量a ＝(3，2)表示出来．答案：B3．已知向量a ＝(m ，1)，b ＝(m 2，2)．若存在λ∈R ，使得a ＋λb ＝0，则m ＝( )A ．0B ．2C ．0或2D ．0或－2解析：法一 因为a ＝(m ，1)，b ＝(m 2，2)，a ＋λb ＝0， 所以(m ＋λm 2，1＋2λ)＝(0，0)，即⎩⎪⎨⎪⎧m ＋λm 2＝0，1＋2λ＝0，所以⎩⎨⎧λ＝－12，m ＝0或2.法二 由a ＋λb ＝0，知a ＝－λb ，故a ∥b ，所以2m ＝m 2，解得m ＝0或m ＝2.答案：C4．已知向量OA →＝(3，－4)，OB →＝(6，－3)，OC →＝(2m ，m ＋1)，若AB →∥OC →，则实数m 的值为( )A.35B ．－35C ．3D ．－3解析：向量OA →＝(3，－4)，OB →＝(6，－3)， 所以AB →＝(3，1)，因为OC →＝(2m ，m ＋1)，AB →∥OC →， 所以3m ＋3＝2m ，解得m ＝－3. 答案：D5．已知向量a ＝(x ，2)，b ＝(3，－1)，若(a ＋b )∥(a －2b )，则实数x 的值为( )A ．－3B ．2C ．4D ．－6解析：因为(a ＋b )∥(a －2b )，a ＋b ＝(x ＋3，1)，a －2b ＝(x －6，4)，所以4(x ＋3)－(x －6)＝0，解得x ＝－6.答案：D 二、填空题6．已知向量a ＝(2，6)，b ＝(－1，λ)．若a ∥b ，则λ＝________． 解析：因为a ＝(2，6)，b ＝(－1，λ)，a ∥b ， 所以2λ－6×(－1)＝0，所以λ＝－3. 答案：－37．已知点A (1，－2)，若线段AB 的中点坐标为(3，1)，且AB →与向量a ＝(1，λ)共线，则λ＝________．解析：由题意得，点B 的坐标为(3×2－1，1×2＋2)＝(5，4)， 则AB →＝(4，6)． 又AB →与a ＝(1，λ)共线， 则4λ－6＝0，则λ＝32.答案：328．(2018·全国卷Ⅲ)已知向量a ＝(1，2)，b ＝(2，－2)，c ＝(1，λ)．若c ∥(2a ＋b )，则λ＝________．答案：12三、解答题9．如图所示，在平行四边形ABCD 中，A (0，0)，B (3，1)，C (4，3)，D (1，2)，M ，N 分别为DC ，AB 的中点，求AM →，CN →的坐标，并判断AM →，CN →是否共线．解：由已知可得M (2.5，2.5)，N (1.5，0.5)， 所以AM →＝(2.5，2.5)，CN →＝(－2.5，－2.5)， 所以AM →＝－CN →， 所以AM →，CN →共线．10．已知a ＝(1，0)，b ＝(2，1)．(1)当k 为何值时，k a －b 与a ＋2b 共线？(2)若AB →＝2a ＋3b ，BC →＝a ＋m b 且A ，B ，C 三点共线，求m 的值．解：(1)k a －b ＝k (1，0)－(2，1)＝(k －2，－1)，a ＋2b ＝(1，0)＋2(2，1)＝(5，2)．因为k a －b 与a ＋2b 共线，所以2(k －2)－(－1)×5＝0，解得k ＝－12.(2)因为A ，B ，C 三点共线，所以AB →＝λBC →，λ∈R ，即2a ＋3b ＝λ(a ＋m b )，所以⎩⎪⎨⎪⎧2＝λ，3＝m λ，解得m ＝32.B 级 能力提升1．若a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，sin α，b ＝⎝⎛⎭⎪⎫cos α，13，且a ∥b ，则锐角α为( ) A ．30° B ．45° C ．60° D ．75°解析：因为a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，sin α， b ＝⎝⎛⎭⎪⎫cos α，13，a ∥b ， 所以32×13－sin α·cos α＝0，即sin α·cos α＝12.把α＝30°，45°，60°，75°代入验证可知45°能使上式成立． 答案：B2．已知向量a ＝(2，3)，b ＝(－1，2)，若ma ＋nb 与a －3b 共线，则mn＝________． 解析：由向量的坐标运算知，ma ＋nb ＝(2m －n ，3m ＋2n )，a －3b ＝(5，－3)．由两向量共线可得5×(3m ＋2n )＝－3×(2m －n )，化简得mn ＝－13.答案：－133．已知四点A (x ，0)，B (2x ，1)，C (2，x )，D (6，2x )． (1)求实数x ，使两向量AB →，CD →共线．(2)当两向量AB →∥CD →时，A ，B ，C ，D 四点是否在同一条直线上？ 解：(1)AB →＝(x ，1)，CD →＝(4，x )． 因为AB →，CD →共线，所以x 2－4＝0， 则当x ＝±2时，两向量AB →，CD →共线．(2)当x ＝－2时，BC →＝(6，－3)，AB →＝(－2，1)， 则AB →∥BC →，此时A ，B ，C 三点共线，又AB →∥CD →，从而，当x ＝－2时，A ，B ，C ，D 四点在同一条直线上．当x ＝2时，A ，B ，C ，D 四点不共线．。
人教版高中数学必修四练习平面向量共线的坐标表示
基础达标1．已知A ，B ，C 三点共线，且A (3，－6)，B (－5,2)．若点C 横坐标为6，则C 的纵坐标为( )． A ．－13 B.9 C ．－9D.13解析 设C (6，y )．由题意知，AB →＝(－8,8)， AC →＝(3，y ＋6)．∴－8(y ＋6)－8×3＝0，∴y ＝－9. 答案 C2．若a ＝(2cos α，1)，b ＝(sin α，1)，且a ∥b ，则tan α等于( )． A ．2 B.12 C ．－2D.－12解析 ∵a ∥b ，∴2cos α×1＝sin α.∴tan α＝2.故选A. 答案 A3．已知向量a 、b 不共线，c ＝k a ＋b (k ∈R )，d ＝a －b .如果c ∥d ，那么( )． A ．k ＝1且c 与d 同向 B.k ＝1且c 与d 反向 C ．k ＝－1且c 与d 同向D.k ＝－1且c 与d 反向解析 由c ∥d ，则存在λ使c ＝λd ，即k a ＋b ＝λa －λb ， ∴(k －λ)a ＋(λ＋1)b ＝0.又a 与b 不共线， ∴k －λ＝0，且λ＋1＝0.∴k ＝－1.此时c ＝－a ＋b ＝－(a －b )＝－d . 故c 与d 反向，选D. 答案 D4．已知向量a ＝(－2,3)，b ∥a ，向量b 的起点为A (1,2)，终点B 在坐标轴上，则点B 的坐标为________．解析 由b ∥a ，可设b ＝λa ＝(－2λ，3λ)．设B (x ，y )，则AB →＝(x －1，y －2)＝b .由⎩⎪⎨⎪⎧ －2λ＝x －1，3λ＝y －2⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－2λ，y ＝3λ＋2.又B 点在坐标轴上，则1－2λ＝0或3λ＋2＝0， ∴B ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，72或⎝ ⎛⎭⎪⎫73，0. 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，72或⎝ ⎛⎭⎪⎫73，05．(2012·荆州高一检测)已知点A (1，－2)，若线段AB 的中点坐标为(3,1)且AB →与向量a ＝(1，λ)共线，则λ＝________.解析 由题意得，点B 的坐标为(3×2－1,1×2＋2)＝(5,4)， 则AB →＝(4,6)．又AB →与a ＝(1，λ)共线， 则4λ－6＝0，得λ＝32. 答案 326．(2012·邢台高一检测)已知向量OA →＝(1，－3)，OB →＝(2，－1)，OC →＝(m ＋1，m －2)，若点A ，B ，C 能构成三角形，则实数m 应满足的条件是________． 解析 ∵点A 、B 、C 能构成三角形， ∴AB →与BC →不共线，AB →＝(1,2)，BC →＝(m －1，m －1)， ∴有m －1－2(m －1)≠0，∴m ≠1.答案 m ≠17．已知a ＝(1,0)，b ＝(2,1)．(1)当k 为何值时，k a －b 与a ＋2b 共线？(2)若AB →＝2a ＋3b ，BC →＝a ＋m b 且A ，B ，C 三点共线，求m 的值． 解 (1)k a －b ＝k (1,0)－(2,1)＝(k －2，－1)， a ＋2b ＝(1,0)＋2(2,1)＝(5,2)．∵k a －b 与a ＋2b 共线，∴2(k －2)－(－1)×5＝0， 即2k －4＋5＝0，得k ＝－12. (2)∵A ，B ，C 三点共线， ∴AB →＝λBC →，λ∈R ， 即2a ＋3b ＝λ(a ＋m b )， ∴⎩⎨⎧2＝λ，3＝mλ，解得m ＝32. 能力提升8．(安徽省皖南八校联考)已知向量a ＝(2,3)，b ＝(－1,2)，若m a ＋n b 与a －2b 共线，则mn 等于( )． A ．－12 B.12 C ．－2D.2解析 由向量a ＝(2,3)，b ＝(－1,2)，得m a ＋n b ＝(2m －n,3m ＋2n )，a －2b ＝(4，－1)．由m a ＋n b 与a －2b 共线，得2m －n 4＝3m ＋2n －1，所以m n ＝－12，选A. 答案 A9．(2012·三明高一检测)已知两向量a ＝(2，sin θ)，b ＝(1，cos θ)，若a ∥b ，则sin θ＋2cos θ2sin θ－3cos θ＝________.解析 ∵a ∥b ，∴2cos θ－sin θ＝0，sin θ＝2cos θ， ∴sin θ＋2cos θ2sin θ－3cos θ＝2cos θ＋2cos θ2×2cos θ－3cos θ＝4cos θcos θ＝4. 答案 410．如图所示，已知△AOB 中，A (0,5)，O (0,0)，B (4,3)，OC →＝14OA →，OD →＝12OB →，AD 与BC 相交于点M ，求点M 的坐标．解 ∵OC →＝14OA →＝14(0,5)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，54，∴C ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，54.∵OD →＝12OB →＝12(4,3)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2，32，∴D ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，32.设M (x ，y )，则AM →＝(x ，y －5)， CM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ，y －54，CB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4，74，AD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2，32－(0,5)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－72.∵AM →∥AD →，∴－72x －2(y －5)＝0， 即7x ＋4y ＝20① ∵CM →∥CB →， ∴74x －4⎝ ⎛⎭⎪⎫y －54＝0，即7x －16y ＝－20.②联立①②，解得x ＝127，y ＝2， 故点M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫127，2.。
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课时达标检测（二十一）
平面向量共线的坐标表示
一、选择题
1．若a ＝(6,6)，b ＝(5,7)，c ＝(2,4)，则下列命题成立的是( )
A ．a －c 与b 共线
B ．b ＋c 与a 共线
C ．a 与b －c 共线
D ．a ＋b 与c 共线 答案：C
2．已知向量a ＝(1,0)，b ＝(0,1)，c ＝ka ＋b (k ∈R)，d ＝a －b ，如果c ∥d ，那么( )
A ．k ＝1且c 与d 同向
B ．k ＝1且c 与d 反向
C ．k ＝－1且c 与d 同向
D ．k ＝－1且c 与d 反向
答案：D
3．已知向量a ＝(2,3)，b ＝(－1,2)，若ma ＋nb 与a －2b 共线，则m n
等于( )
A ．－12 B.12
C ．－2
D ．2 答案：A
4．已知a ＝(5，－2)，b ＝(－4，－3)，c ＝(x ，y )，且2a ＋b －3c ＝0，则c 等于( )
A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，73
B.⎝ ⎛⎭
⎪⎫2，73
C.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－73
D.⎝
⎛⎭⎪⎫－2，－73 答案：C
5．已知a ＝(－2,1－cos θ)，b ＝⎝
⎛⎭⎪⎫1＋cos θ，－14，且a ∥b ，则锐角θ等于( ) A ．45°
B ．30°
C ．60°
D ．30°或60° 答案：A
二、填空题
6．已知AB ＝(6,1)，BC ＝(x ，y )，CD ＝(－2，－3)，若BC ∥DA ，则x ＋2y 的值为________．
答案：0
7．已知向量a ＝(2，－1)，b ＝(－1，m )，c ＝(－1,2)，若(a ＋b )∥c ，则m ＝________. 答案：－1
8．在△ABC 中，点P 在BC 上，且BP ＝2PC ，点Q 是AC 的中点，若PA ＝(4,3)，PQ ＝(1,5)，则BC ＝________.
答案：(－6,21)
三、解答题
9．平面内给定三个向量a ＝(3,2)，b ＝(－1,2)，c ＝(4,1)，回答下列问题：
(1)求3a ＋b －2c ；
(2)求满足a ＝mb ＋nc 的实数m ，n ；
(3)若(a ＋kc )∥(2b －a )，求实数k .
解：(1)3a ＋b －2c ＝3(3,2)＋(－1,2)－2(4,1)
＝(9,6)＋(－1,2)－(8,2)
＝(9－1－8,6＋2－2)＝(0,6)．
(2)∵a ＝mb ＋nc ，
∴(3,2)＝m (－1,2)＋n (4,1)＝(－m ＋4n,2m ＋n )．
∴－m ＋4n ＝3且2m ＋n ＝2，解得m ＝59，n ＝89
. (3)∵(a ＋kc )∥(2b －a )，
又a ＋kc ＝(3＋4k,2＋k )，2b －a ＝(－5,2)，
∴2×(3＋4k )－(－5)×(2＋k )＝0.
∴k ＝－1613
. 10．已知A (2,1)，B (0,4)，C (1,3)，D (5，－3)．判断AB 与CD 是否共线？如果共线，它们的方向相同还是相反？
解：AB ＝(0,4)－(2,1)＝(－2,3)， CD ＝(5，－3)－(1,3)＝(4，－6)．
∵(－2)×(－6)－3×4＝0，
∴AB与CD共线且方向相反．。