案例：圆周角定理

案例58：圆周角定理
教师：同学们，请大家回想一下，什么
叫圆心角？
学生：顶点在圆心的角叫做圆心角。

教师：出示以下图1、图2、图3，可利
用几何画板演示，老师问图中的角与圆心角
的区别；它有什么特点？它与圆心角有什么
关系？
学生：它是圆周角，它的顶点在圆上，两边与圆相交。

教师：请同学们思考一个问题，画圆周角是否它的一条边一定要经过圆心呢？
请同学们观察一下，各种不同位置的圆周角与圆心角有什么关系，还有没有其他的情况？
学生：没有。

教师：请同学给出各种不同的位置关系，并一一列出来。

教师：我们观察这三个图形，图中圆周角∠BAC所对的是那条弦？
学生：弧BC。

教师：弧BC所对哪些角，这些角有什么关系？
学生：∠BOC，∠BAC。

教师：请同学们思考同一条弧所对的圆周角与圆心角之间在大小上有什么关系？当学生有困难时，引导学生先看图1，这是一种特殊的情况。

学生：∠BAC等于∠BOC的一半。

教师：你怎么证明呢？
学生：∠BOC = ∠BAC＋∠C ，又∵ OA = OC，∴∠BAC = ∠C ，∴∠BOC =2∠BAC即
∠BAC = 1
2
∠BOC 。

教师：这说明∠BAC =1
2
∠BOC是正确的。

以后，我们遇到圆周角有一边过圆心时，可
以直接利用这个结论。

那么圆心O不在∠BAC的一边上时，圆心O在∠BAC内部或外部的情
形，结论∠BAC =1
2
∠BOC是不是仍然成立呢？
（学生们思考，议论，有的动手在图上添线）
学生：作直径AE，∵∠BAE = ∠ABO，∠BOE = ∠BAE ＋∠ABO，故∠BAE =1
2
∠BOE
教师：对的，但是既然添了直径AE，能不能直接利用第一种情况的结论呢？
学生：∠BAE =1
2
∠BOE，∠BAC =
1
2
∠BOC，∠BAE＋∠CAE =
1
2
（∠BOE＋∠COE），即
∠BAC = 1
2
∠BOC。

教师：很好。

这里直接利用图1中得出的结论，当圆心O在∠BAC的内部时，是通过画直径把弧BC上的圆心角和圆周角分开，利用角与角的和来证明了结论。

那么图3是否可以得出同样的结论呢？
学生：图3的情况和图2的差不多，也可作直径AE，把∠BAC和∠BOC都看成两部分的
差。

具体说：∠EAC = 1
2
∠EOC，∠EAB =
1
2
∠EOB，∠EAC－∠EAB =
1
2
（∠EOC－∠EOB），
即∠BAC = 1
2
∠BOC。

教师：非常好！对于这三种情况我们经过证明，得出了相同的结论，弧BC所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。

这就是我们今天要学习的内容，圆周角定理。

评析：这是从网络中下载的一个圆周角定理的教学实录片段。

显然，教师认识到本内容学习的两个难点：结论的猜测和分类证明。

为了突破这一难点，教师直接给出了三种情形的图片，提问“图中的角与圆心角的区别，它有什么特点？它与圆心角有什么关系？”，“圆周角是否它的一条边一定要经过圆心”，“猜测圆周角与圆心角的关系”，这样，由于三种图形具现，分类讨论十分自然，图1直接指向答案，探究结论也不成问题，因此，顺利地突破了难点。

这样的设计对于学生学力水平较低的班级也未尝不可，但总感觉，在结论的猜测与分类讨论阶段，给学生的空间太小，难以发展学生的探究能力。

数学追求简单、统一，分类讨论本是一种无奈之举（能不分类何必多此一举呢！所谓分类讨论是重要的数学思想方法一说颇为荒唐），因此，务必呈现多样的图形（当然，这些图形最好是学习过程中自然生成的），展现分类的必要性。

基于这些思考，可以采用下面的设计方案：
1、回忆圆心角的概念，直接引出圆周角的概念，并对概念进行简单的辨析,得出同弧所对的圆心角只有一个，但圆周角有无数个；
2、探究：每人一张圆心纸片，其中弧AB所对的圆心角是90度，试画
出该弧所对的若干圆心角，探究圆周角和圆心角之间的关系。

（由于教师
预置了90度这一特殊角，所对圆周角应为45度，学生通过测量不难发现
两者之间的关系：圆周角是圆心角的一半。

）
改变圆心角的大小，这一关系还成立吗？
3、证明：以你所画的图中一个圆周角为例进行证明。

4、交流：展现某个学生的证明过程，思考：这个证明全面吗？如何完善？（先前探究活动中，学生画出了许多同弧所对的圆周角，必然包含了上面三种图形，因此，必有学生会提出不同疑问，因此，分类讨论就成为必然，其他图形的证明也顺理成章了）。