垂径定理圆周角与圆心角的关系复习题

合集下载

垂径定理专项训练题

最重要是三个定理：1、垂径定理 2、圆周角定理及其推论 3、切线的性质和判定其它的性质和定理：同圆或等圆的半径相等；圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系一、垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。

推论：经过圆心、垂直于弦、平分弦、平分优弧、平分劣弧这五个条件中任意两个成立，其它三个也成立垂径定理的作用：证明线段相等、证明角相等、弧相等、垂直。

1、研究有关弦的问题常用辅助线：作弦心距，构建直角三角形。

2、经过圆内一点的最长弦和最短弦；圆外一点到圆上的点的最短距离和最长距离例1如图，一条公路的转弯处是一段圆弦（即图中弧CD ，点O 是弧CD 的圆心，•其中CD=600m ，E 为弧CD 上一点，且OE ⊥CD ，垂足为F ，EF=90m ，求这段弯路的半径．分析：该题是典型的研究圆中有关弦的问题，根据常用辅助线需要作弦心距OF ，连接 OC 、OD 从而构建出两个直角三角形Rt △OCF 和Rt △ODF 说明：此题需要利用方程思想，利用勾股定理做等量关系构建出关于半径的一元方程例2：半径为10cm 的⊙O 中，弦AB=16cm ，弦CD=12cm ，且AB ∥CD ，则AB 与CD 此题有两个答案，是分类思想在圆中的经典体现，出题率很高。

也是利用勾股定理。

练习：1、已知：AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点P ，CD ＝10cm ，AP:PB ＝1:5，则⊙O 的半径为_______。

2、在⊙O 中，P 为其内一点，过点P 的最长的弦为8cm ，最短的弦长为4cm ，则OP ＝____ _。

3、已知圆的半径为5cm ，一弦长为8cm ，则该弦的中点到弦所对的弧的中点的距离为__ _____。

4、已知圆心到圆的两条平行弦的距离分别是2和3，则两条平行弦之间的距离为_ ____。

5、在半径为5cm 的圆内有两条互相平行的弦，一条弦长为8cm ，另一条弦长为6cm ，则这两条弦之间的距离为_____ _。

圆的垂径定理试题(附答案)

2013中考全国100份试卷分类汇编圆的垂径定理1、（2013年潍坊市）如图，⊙O 的直径AB=12，CD 是⊙O 的弦，CD ⊥AB ，垂足为P ，且BP ：AP=1:5,则CD 的长为（）.A.24B.28C.52D.542、(2013年黄石)如右图，在Rt ABC 中，90ACB ∠= ，3AC =，4BC =，以点C 为圆心，CA 为半径的圆与AB 交于点D ，则AD 的长为（）A.95B. 245C. 185D. 523、(2013河南省)如图，CD 是O 的直径，弦AB CD ⊥于点G ，直线EF 与O 相切与点D ，则下列结论中不一定正确的是（）A. AG ＝BGB. AB ∥BFC.AD ∥BCD. ∠ABC ＝ADC4、（2013•泸州）已知⊙O 的直径CD=10cm ，AB 是⊙O 的弦，AB⊥CD，垂足为M ，且AB=8cm ，则AC 的长为（） A. cm B. cm C. cm 或cm D. cm 或cm5、（2013•广安）如图，已知半径OD 与弦AB 互相垂直，垂足为点C ，若AB=8cm ，CD=3cm ，则圆O 的半径为（）A. cmB. 5cmC. 4cmD. cm6、（2013•绍兴）绍兴市著名的桥乡，如图，石拱桥的桥顶到水面的距离CD 为8m ，桥拱半径OC 为5m ，则水面宽AB 为（）7、（2013•温州）如图，在⊙O中，OC⊥弦AB于点C，AB=4，OC=1，则OB的长是（）A. B. C. D.8、（2013•嘉兴）如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连结AO并延长交⊙O于点E，连结EC．若AB=8，CD=2，则EC的长为（）A. 2B.C.D.9、（2013•莱芜）将半径为3cm的圆形纸片沿AB折叠后，圆弧恰好能经过圆心O，用图中阴影部分的扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的高为（）A. B. C. D. 3210、（2013•徐州）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为P．若CD=8，OP=3，则⊙O的半径为（）A. 10B. 8C. 5D. 311、(2013浙江丽水)一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径OB=10，水面宽AB=16，则截面圆心O到水面的距离OC是A. 4B. 5C.6D.812、（2013•宜昌）如图，DC 是⊙O直径，弦AB⊥CD于F，连接BC，DB，则下列结论错误的是（）A. B. AF=BF C. OF=CF D. ∠DBC=90°13、（2013•毕节地区）如图在⊙O中，弦AB=8，OC⊥AB，垂足为C，且OC=3，则⊙O的半径（）A. 5B. 10C. 8D. 614、（2013•南宁）如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E，且AE=CD=8，∠BAC=∠BOD，则⊙O 的半径为（）A. 4B. 5C. 4D. 315、（2013年佛山）半径为3的圆中，一条弦长为4，则圆心到这条弦的距离是（）A.3B.4C.5D.716、（2013甘肃兰州4分、12）如图是一圆柱形输水管的横截面，阴影部分为有水部分，如果水面AB宽为8cm，水面最深地方的高度为2cm，则该输水管的半径为（）A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm17、（2013•内江）在平面直角坐标系xOy中，以原点O为圆心的圆过点A（13，0），直线y=kx﹣3k+4与⊙O交于B、C两点，则弦BC的长的最小值为．18、（13年安徽省4分、10）如图，点P是等边三角形ABC外接圆⊙O上的点，在以下判断中，不．正确．．的是（）19、（2013•宁波）如图，AE是半圆O的直径，弦AB=BC=4，弦CD=DE=4，连结OB，OD，则图中两个阴影部分的面积和为．图20 图21 图2220、（2013•宁夏）如图，将半径为2cm的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，则折痕AB的长为 cm．21、（2013•包头）如图，点A、B、C、D在⊙O上，OB⊥AC，若∠BOC=56°，则∠ADB=度．图23 图24 图25 图26 图27 图2823、（2013•黄冈）如图，M是CD的中点，EM⊥CD，若CD=4，EM=8，则所在圆的半径为．24、（2013•绥化）如图，在⊙O中，弦AB垂直平分半径OC，垂足为D，若⊙O的半径为2，则弦AB 的长为．25、（2013哈尔滨）如图，直线AB与⊙O相切于点A，AC、CD是⊙O的两条弦，且CD∥AB，若⊙O的半径为52，CD=4，则弦AC的长为．26、（2013•张家界）如图，⊙O的直径AB与弦CD垂直，且∠BAC=40°，则∠BOD=．27、（2013•遵义）如图，OC是⊙O的半径，AB是弦，且OC⊥AB，点P在⊙O上，∠APC=26°，则∠BOC=度．28、（2013陕西）如图，AB是⊙O的一条弦，点C是⊙O上一动点，且∠ACB=30°，点E、F分别是AC、BC的中点，直线EF与⊙O交于G、H两点，若⊙O的半径为7，则GE+FH的最大值为．29、（2013年广州市）如图7，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点P在第一象限，PΘ与x轴交于O,A两点，点A的坐标为（6,0），PΘ的半径为13，则点P的坐标为 ____________.30、(2013年深圳市)如图5所示，该小组发现8米高旗杆DE的影子EF落在了包含一圆弧型小桥在内的路上，于是他们开展了测算小桥所在图的半径的活动。

垂径定理和圆周角圆心角

一、垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。

推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即：①AB 是直径 ②AB CD ⊥ ③CE DE = ④ 弧BC =弧BD ⑤ 弧AC =弧AD 中任意2个条件推出其他3个结论。

推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。

即：在⊙O 中，∵AB ∥CD ∴弧AC =弧BD 二、圆心角定理圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，弦心距相等。

此定理也称1推3定理，即上述四个结论中，只要知道其中的1个相等，则可以推出其它的3个结论，即：①AOB DOE ∠=∠；②AB DE =；③OC OF =；④ 弧BA =弧BD 三、圆周角定理1、圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半。

即：∵AOB ∠和ACB ∠是弧AB 所对的圆心角和圆周角 ∴2AOB ACB ∠=∠2、圆周角定理的推论：推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧；即：在⊙O 中，∵C ∠、D ∠都是所对的圆周角 ∴C D ∠=∠推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧是半圆，所对的弦是直径。

即：在⊙O 中，∵AB 是直径或∵90C ∠=︒ ∴90C ∠=︒ ∴AB 是直径推论3：若三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。

即：在△ABC 中，∵OC OA OB ==DBABA∴△ABC 是直角三角形或90C ∠=︒注：此推论实是初二年级几何中矩形的推论：在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半的逆定理。

在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．四、圆内接四边形圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。

2020苏教版九年级数学上册垂径定理、弦、弧、圆心角、圆周角练习含答案

【文库独家】九年垂径定理、弦、弧、圆心角、圆周角练习1.已知：AB交圆O于C、D，且AC＝BD.你认为OA＝OB吗？为什么？2. 如图所示，是一个直径为650mm的圆柱形输油管的横截面，若油面宽AB=600mm，求油面的最大深度。

6003. 如图所示，AB是圆O的直径，以OA为直径的圆C与圆O的弦AD相交于点E。

你认为图中有哪些相等的线段？为什么？ADBOCE4.如图所示，OA是圆O的半径，弦CD⊥OA于点P，已知OC=5，OP=3，则弦CD=____________________。

5. 如图所示，在圆O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦，OD ⊥AB，OE⊥AC，垂足分别为D、E，若AC=2cm，则圆O的半径为____________cm。

6. 如图所示，AB是圆O的直径，弦CD⊥AB，E为垂足，若AB=9，BE=1，则CD=_________________。

CA P ODCE OA D B7. 如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，以AC为直径作圆与斜边交于点P，则BP的长为________________。

8. 如图所示，四边形ABCD内接于圆O，∠BCD=120°，则∠BOD=____________度。

9.如图所示，圆O的直径为10，弦AB的长为6，M是弦AB上的一动点，则线段的OM的长的取值范围是（）A. 3≤OM≤5B. 4≤OM≤5C. 3＜OM＜5D. 4＜OM＜510.下列说法中，正确的是（）A. 到圆心的距离大于半径的点在圆内B. 圆的半径垂直于圆的切线C. 圆周角等于圆心角的一半D. 等弧所对的圆心角相等11.若圆的一条弦把圆分成度数的比为1：3的两条弧，则劣弧所对的圆周角等于（）A. 45°B. 90°C. 135°D. 270°12. 如图所示，A、B、C三点在圆O上，∠AOC=100°，则∠ABC 等于（）A. 140°B. 110°C. 120°D. 130°13. △ABC 中，∠C=90°，AB=cm 4，BC=cm 2，以点A 为圆心，以cm 5.3长为半径画圆，则点C 在圆A___________，点B 在圆A_________； 14. 圆的半径等于cm 2，圆内一条弦长23cm ，则弦的中点与弦所对弧的中点的距离等于_____________；15. 如图所示，已知AB 为圆O 的直径，AC 为弦，OD ∥BC 交AC 于D ，OD=cm 2，求BC 的长；B16. 如图所示，破残的圆形轮片上，弦AB 的垂直平分线交弧AB 于点C ，交弦AB 于点D 。

自学初中数学资料圆之垂径定理、圆心角、圆周角定理 (资料附答案)

自学资料一、圆的相关定义【知识探索】1．定理：不在同一直线上的三点确定一个圆．【说明】（1）过平面上一点能作无数多个圆；（2）过平面上两点能做无数多个圆，这些圆的圆心在两点连线的垂直平分线上；（3）过平面上三点：①三点不在同一直线上，能作唯一一个圆；②三点在同一直线上，不能作圆．【错题精练】例1．下列命题正确的个数有（）①过两点可以作无数个圆；②经过三点一定可以作圆；③任意一个三角形有一个外接圆，而且只有一个外接圆；④任意一个圆有且只有一个内接三角形．A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个第1页共23页自学七招之日计划护体神功：每日计划安排好，自学规划效率高非学科培训【解答】解：①过两点可以作无数个圆，正确；②经过三点一定可以作圆，错误；③任意一个三角形有一个外接圆，而且只有一个外接圆，正确；④任意一个圆有且只有一个内接三角形，错误，正确的有2个，故选：B．【答案】B例2．有下列四个命题，其中正确的有（）①圆的对称轴是直径；②经过三个点一定可以作圆；③三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等；④半径相等的两个半圆是等弧．A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个【答案】C例3．如图，在平面直角坐标系中，点A坐标为（﹣4，0），⊙O与x轴的负半轴交于B（﹣2，0）．点P是⊙O上的一个动点，PA的中点为Q．当点Q也落在⊙O上时，cos∠OQB的值等于（）A.B.C.D.【解答】第2页共23页自学七招之错题本锁骨术：巧用智能错题本，错题定期反复练非学科培训【答案】C例4．如图，已知△ABC．（1）尺规作图作△ABC的外接圆（保留作图痕迹，不写作法）；（2）设△ABC是等腰三角形，底边BC=10，腰AB=6，求圆的半径r．【答案】解：（1）如图所示；（2）连接OB，连接OA交BC于点E，∵△ABC是等腰三角形，底边BC=10，腰AB=6，∴BE=CE=5，AE=√AB2−BE2=√11，在Rt△BOE中，r2=52+（r-√11）2∴r=18√11=18√1111．第3页共23页自学七招之预习轻身术：预习习惯培养好，课堂轻松没烦恼非学科培训第4页共页自学七招之错题本锁骨术：巧用智能错题本，错题定期反复练非学科培训【解答】【解答】解：如图：连接OA，作OM⊥AB与M，∵⊙O的直径为10，∴半径为5，∴OP的最大值为5，∵OM⊥AB与M，∴AM=BM，∵AB=6，∴AM=3，在Rt△AOM中，OM==4，OM的长即为OP的最小值，∴4≤OP≤5．【答案】4≤OP≤55．已知：△ABC（如图）（1）求作：△ABC的外接圆（要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法及证明）．（2）若∠A=60°，BC=8√3，求△ABC的外接圆的半径．【答案】解：（1）如图所示：⊙O即为所求△ABC的外接圆；（2）过点O作OD⊥BC于点D，∵∠A=60°，BC=8√3，∴∠COD=60°，CD=4√3，第5页共23页自学七招之预习轻身术：预习习惯培养好，课堂轻松没烦恼非学科培训∴CO=4√3sin60°=8，答：△ABC的外接圆的半径为8．二、圆心角、弧、弦、弦心距、圆周角之间的关系【知识探索】年份题量分值考点题型2015114圆内接四边形的性质；点与圆的位置关系选择、简答201613圆周角定理；填空2017219弧长面积；切线的性质；圆周角定理选择、填空、简答201824圆周角定理；填空2019216扇形面积；切线长定理；圆心角、圆周角、垂径定理填空、解答【错题精练】例1．如图所示，小华从一个圆形场地的A点出发，沿着与半径OA夹角为α的方向行走，走到场地边缘B后，再沿着与半径OB夹角为α的方向折向行走．按照这种方式，小华第五次走到场地边缘时处于弧AB上，此时∠AOE=52°，则α的度数是（）A. 51.5°B. 60°C. 72°D. 76°【解答】解：连接OD．∵∠BAO=∠CBO=α，∴∠AOB=∠BOC=∠COD=∠DOE，∵∠AOE=52°，∴∠AOB=（360°-52°）÷4=77°，第6页共23页自学七招之错题本锁骨术：巧用智能错题本，错题定期反复练非学科培训第7页共23页自学七招之预习轻身术：预习习惯培养好，课堂轻松没烦恼非学科培训∴α=（180°-77°）÷2=51.5°．故选：A ．【答案】A例2．如图，在△ABC 中，∠C=90°，以点C 为圆心，BC 为半径的圆交AB 于点D ，交AC 于点E ．（1）若∠A=25°，求BD̂的度数．（2）若BC=9，AC=12，求BD 的长．【答案】解：（1）连接CD ，如图， ∵∠ACB=90°，∴∠B=90°-∠A=90°-25°=65°，∵CB=CD ，∴∠CDB=∠B=65°， ∴∠BCD=180°-2∠B=50°， ∴BD ̂的度数为50°；（2）作CH ⊥BD ，如图，则BH=DH ，在Rt △ACB 中，AB=√92+122=15， ∵12CH•AB=12BC•AC ， ∴CH=9×1215=365，在Rt △BCH 中，BH=√92−（365）2=275，∴BD=2BH=545．̂的度数为（）例3．已知如图，在⊙O中，OA⊥OB，∠A=35°，则CDA. 20°B. 25°C. 30°D. 35°【解答】解：连接OC，∵OA⊥OB，∴∠AOB=90°，∵∠A=35°，∴∠OBC=90°-35°=55°，∴OB=OC，∴∠OBC=∠OCB=55°，∴∠COB=70°，∴∠COD=90°-70°=20°，̂的度数为20°，∴CD故选：A．【答案】A例4．已知AB是⊙O的直径，点C，D是⊙O上的点，∠A=50°，∠B=70°，连接DO，CO，DC （1）如图①，求∠OCD的大小：（2）如图②，分别过点C，D作OC，OD的垂线，相交于点P，连接OP，交CD于点M已知⊙O的半径为2，求OM及OP的长．第8页共23页自学七招之错题本锁骨术：巧用智能错题本，错题定期反复练非学科培训【答案】解：（1）∵OA=OD，OB=OC，∴∠A=∠ODA=50°，∠B=∠OCB=70°，∴∠AOD=80°，∠BOC=40°，∴∠COD=180°-∠AOD-∠BOC=60°，∵OD=OC，∴△COD是等边三角形，∴∠OCD=60°；（2）∵PD⊥OD，PC⊥OC，∴∠PDO=∠PCO=90°，∴∠PDC=∠PCD=30°，∴PD=PC，∵OD=OC，∴OP垂直平分CD，∴∠DOP=30°，∵OD=2，∴OM=√32OD=√3，OP=4√33．例5．如图，AB为⊙O的直径，△ABC的边AC，BC分别与⊙O交于D，E，若E为BD̂的中点．（1）求证：DE=EC；（2）若DC=2，BC=6，求⊙O的半径【答案】解：（1）连结AE，BD，∵E为BD̂的中点，∴ED̂=BÊ，∴∠CAE=∠BAE，∵∠AEB是直径所对的圆周角，第9页共23页自学七招之预习轻身术：预习习惯培养好，课堂轻松没烦恼非学科培训第10页共23页自学七招之错题本锁骨术：巧用智能错题本，错题定期反复练非学科培训∴∠AEB=90°，即AE ⊥BC ，∴∠AEB=∠AEC=90°，在△AEC 和△AEB 中{∠CAE =∠BAE AE =AE ∠AEC =∠AEB ，∴△AEC ≌△AEB （ASA ）， ∴CE=BE ， ∴DE=CE=BE=12BC ；（2）在Rt △CBD 中，BD 2=BC 2-CD 2=32，设半径为r ，则AB=2r ，由（1）得AC=AB=2r ， AD=AC-CD=2r-2，在Rt △ABD 中AD 2+BD 2=AB 2， ∴（2r-2）2+32=（2r ）2，解得：r=4.5，∴⊙O 的半径为4.5．例6．如图，点A ，B ，C 在⊙O 上，AB ∥OC ．（1）求证：∠ACB+∠BOC=90°；（2）若⊙O 的半径为5，AC=8，求BC 的长度．【答案】（1）证明：∵AB̂对的圆周角是∠ACB ，对的圆心角是∠AOB ， ∴∠AOB=2∠ACB ， ∵OB=OA ，∴∠ABO=∠BAO ， ∵AB ∥OC ，∴∠ABO=∠BOC ，∠BAO+∠AOC=180°， ∴∠BAO+∠AOB+∠BOC=180°，即2∠ACB+2∠BOC=180°， ∴∠ACB+∠BOC=90°；（2）延长AO 交⊙O 于D ，连接CD ，则∠ACD=90°，由勾股定理得：CD=√AD2−AC2=√（5+5）2−82=6，∵OC∥AB，∴∠BOC=∠ABO，∠COD=∠BAO，∵∠BAO=∠ABO，∴∠BOC=∠COD，在△BOC和△DOC中{OB=OD∠BOC=∠DOC OC=OC∴△BOC≌△DOC（SAS），∴BC=CD，∵CD=6，∴BC=6．例7．如图，AB是半圆O的直径，AC是弦，∠CAB=60∘，若AB=6cm．（1）求弦AC的长；（2）点P从点A开始，以1cm/s的速度沿AB向点B运动，到点B停止，过点P作PQ∥AC，交半圆O于点Q，设运动时间为t（s）．①当t=1时，求PQ的长；②若△OPQ为等腰三角形，直接写出t（t＞0）的值．【解答】（1）解：如图1中，∵OA=OC，∠CAB=60∘，∴△AOC是等边三角形，∴AC=OA=3（cm）；（2）解：①如图2中，作OH⊥PQ于H，连接OQ，由题意得：AP=1，OP=2，∵PQ∥AC，∴∠OPH=∠CAB=60∘，在Rt△OPH中，∵∠POH=90∘−∠OPH=30∘，OP=2，∴PH=1OP=1，OH=√3PH=√3，2在Rt△QOH中，HQ=√OQ2−OH2=√6，∴PQ=PH+HQ=1+√6；②如图3中，∵△OPQ是等腰三角形，观察图象可知，只有OP=PQ，作PH⊥OQ于H．∵PQ∥AC，∴∠QPB=∠CAB=60∘，∵PQ=PO，PH⊥OQ，，∠POQ=∠PQO=30∘，∴OH=HQ=32∴OP=OH÷cos30∘=√3，∴AP=3+√3，∴t=3+√3秒时，△OPQ是等腰三角形．【答案】（1）3cm；（2）①1+√6；②t=3+√3．例8．如图，以△ABC的一边AB为直径的半圆与其它两边AC，BC的交点分别为D、E，且．（1）试判断△ABC的形状，并说明理由．（2）已知半圆的半径为5，BC=12，求sin∠ABD的值．【解答】（1）解：△ABC为等腰三角形．理由如下：连结AE，如图，∵，∴∠DAE=∠BAE，即AE平分∠BAC，∵AB为直径，∴∠AEB=90∘，∴AE⊥BC，∴△ABC为等腰三角形；（2）解：∵△ABC为等腰三角形，AE⊥BC，∴BE=CE=12BC=12×12=6，在Rt△ABE中，∵AB=10，BE=6，∴AE=√102−62=8，∵AB为直径，∴∠ADB=90∘，∴12AE⋅BC=12BD⋅AC，∴BD=8×1210=485，在Rt△ABD中，∵AB=10，BD=485，∴AD=√AB2−BD2=145，∴sin∠ABD=ADAB =14510=725．【答案】（1）略；（2）725．【举一反三】1．如图，弦AC、BD相交于点E，且AB̂=BĈ=CD̂，若∠AED=80°，则∠ACD的度数为（）A. 20°B. 25°C. 30°D. 15°【解答】解：如图，设AB̂的度数为m，AD̂的度数为n，∵AB̂=BĈ=CD̂，∴BĈ、CD̂的度数都为m，∴3m+n=360°①∵∠AED=80°，∴∠C+∠D=80°，∴12m+12n=80°②，由①②组成{3m+n=360°12m+12n=80°，解得m=100°，n=60°∴∠ACD=12n=30°．故选：C．【答案】C2．已知△ABC内接于⊙O，点D平分弧BmĈ．（1）如图①，若∠BAC=2∠ABC．求证：AC=CD；（2）如图②，若BC为⊙O的直径，且BC=10，AB=6，求AC，CD的长．【答案】（1）证明：∵点D平分弧BmĈ，∴弧DC=弧DB，∵∠BAC=2∠ABC，∴弧BDC=2弧AC，∴弧CA=弧CD，∴AC=CD；（2）解：连结BD，如图②，∵BC为⊙O的直径，∴∠BAC=∠BDC=90°，在Rt △BAC 中，∵BC=10，AB=6，∴AC=√BC 2−AB 2=8；∵弧DC=弧DB ，∴DB=DC ，∴△BCD 为等腰直角三角形，∴CD=√22BC=5√2．3．如图，在⊙O 中，点C 是优弧ACB 的中点，D 、E 分别是OA 、OB 上的点，且AD=BE ，弦CM 、CN 分别过点D 、E ．（1）求证：CD=CE ．（2）求证：AM̂=BN ̂．【答案】（1）证明：连接OC ．∵AĈ=BC ̂， ∴∠COD=∠COE ，∵OA=OB ，AD=BE ，∴OD=OE ，∵OC=OC ，∴△COD ≌△COE （SAS ），∴CD=CE ．（2）分别连结OM ，ON ，∵△COD ≌△COE ，∴∠CDO=∠CEO ，∠OCD=∠OCE ，∵OC=OM=ON ，∴∠OCM=∠OMC ，∠OCN=∠ONC ，∴∠OMD=∠ONE ，∵∠ODC=∠DMO+∠MOD ，∠CEO=∠CNO+∠EON ，∴∠MOD=∠NOE ，∴AM̂=BN ̂．4．如图，已知△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O与边BC相交于点D，过点D作⊙O的切线与AC交于点E．（1）求BDBC的值．（2）判断DE与AC的位置关系，并证明你的结论．（3）已知BC:AB=2:3，DE=4√2，求⊙O的直径．【解答】（1）解：如图，连接AD，∵AB是⊙O的直径，∴AD⊥BC，∵AB=AC，∴BD=DC，∴BDBC =12；（2）解：DE⊥AC；连接OD，∵DE是⊙O的切线，∴DE⊥OD，∵AB=AC，∴∠B=∠C，∵OB=OD，∴∠B=∠ODB，∴∠ODB=∠C，∴AC∥OD，∴DE⊥AC；（3）解：∵BDBC =12且BC:AB=2:3，∴AB:CD=3，∵∠ADB =∠DEC =90∘，∠B =∠C ，∴△ABD ∽△DCE ，∴DC AB =CE BD =13，设CE =a ，则BD =CD =3a ，AB =9a ，在Rt△DEC 中，由勾股定理得：DE =2a √2=4√2，∴a =2，∴AB =18．【答案】（1）12；（2）DE ⊥AC ；（3）18．5．已知直径CD ⊥弦BF 于 E ，AB 为ʘO 的直径．（1）求证：FD̂=AC ̂；（2）若∠DAB=∠B ，求∠B 的度数．【答案】（1）证明：∵直径CD ⊥弦BF ，∴FD̂=BD ̂， ∵∠AOC=∠BOD ，∴BD̂=AC ̂， ∴FD̂=AC ̂；（2）解：由圆周角定理得，∠BOD=2∠DAB ，∵∠DAB=∠B ，∴∠BOD=2∠B ，∵CD ⊥BF ，∴∠B=30°．6．如图，⊙O 的半径为2，弦BC =2√3，点A 是优弧BC 上一动点（不包括端点），△ABC 的高BD 、CE 相交于点F ，连结ED ．下列四个结论：①∠A 始终为60°；②当∠ABC =45∘时，AE =EF ；③当△ABC 为锐角三角形时，ED =√3；④线段ED 的垂直平分线必平分弦BC ．其中正确的结论是．（把你认为正确结论的序号都填上）【答案】①②③④．7．圆O的直径为10cm，A是圆O内一点，且OA=3cm，则圆O中过点A的最短弦长=__________cm【答案】88．如图，在圆O中，AB为直径，CD为弦，已知∠ACD=40°，则∠BAD=__________°【答案】501．如图，AB圆O的直径，点C在圆O上，若∠OCA=50°，AB=4，则弧BC的长为（）πA. 103B. 109π C. 59πD. 518π【答案】B2．如图，将钢珠放在一个边长AB=8mm 的正方形的方槽内，测得钢珠顶端离零件表面的距离为8mm ，则这个钢珠的直径为______mm ．【答案】103．如图，AB 是半圆的直径，E 是弦AC 上一点，过点E 作EF ⊥EB ，交AB 于点F ，过点A 作AD ∥EF ，交半圆于点D ．若C 是BD ̂的中点，AF AE =√54，则EFAD 的值为．【解答】解：延长BE 交AD 于A'，∵AD ∥EF ，EF ⊥BE ，∴AA'⊥BA'，∴∠AA'B=90°，∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ADB=90°，∴D 与A'重合，∵AFAE =√54，∴设AF=√5a，AE=4a，过F作FG⊥AE于G，∵C是BD̂的中点，∴CD̂=BĈ，∴∠DAC=∠BAC，∵AD∥EF，∴∠BFE=∠DAB=2∠BAC=∠BAC+∠AEF，∴∠BAC=∠AEF，∴AF=EF，∴AG=EG=2a，由勾股定理得：FG=a，∵∠DAE=∠GAF，∠ADE=∠AGF=90°，∴△ADE∽△AGF，∴ADAE =AGAF，∴AD4a =2a√5a，AD=8a√5，∴EFAD =√5a8a√5=58，故答案为：58．【答案】584．在⊙O的内接△ABC中，AD⊥BC于D，（1）①图1中，若作直径AP，求证：AB.AC=AD.AP；②已知AB+AC=12，AD=3，设⊙O的半径为y，AB的长为x．求y与x的函数关系式及自变量x的取值范围；（2）图2中，点E为⊙O上一点，且弧AE=弧AB，求证：CE+CD=BD．【答案】5．在⊙O的内接△ABC中，AB+AC=12，AD⊥BC，垂足为D，且AD=3，设⊙O的半径为y，AB的长为x。

浙教版九年级上册第三章 3.3垂径定理圆心角定理圆周角定理的综合应用

【综合训练提升】1. 如图，⊙O 的两条弦AB ，CD 相交于点M ，直径PQ 过点M ，且MP 评分∠AMC ，则图中相等的线段的对数为（）A. 1B. 2C. 3D.4第1题第2题2. 如图，在⊙O 内有折线OABC ，若OA=8，AB=12，∠A=∠B=60°，则BC 的长为（） A. 19 B. 16 C. 18 D.203. 如图，在Rt △ABC 中，AB ⊥BC ，AB ＝6，BC ＝4，P 是△ABC 内部的一个动点，且满足∠P AB ＝∠PBC ，则线段CP 长的最小值为_______.第3题第4题4. 如图，已知EF 是⊙O 的直径，把∠A 为60°的直角三角尺ABC 的一条直角边BC 放在直线EF 上，斜边AB 与⊙O 交于点P ，点B 与点O 重合；将三角尺ABC 沿OE 方向平移，直至点B 与点E 重合为止．设∠POF ＝x °，则x 的取值范围是________．5. 如图所示，A 是半圆上的一个三等分点，B 是AN ︵的中点，P 是直径MN 上一动点，⊙O 的半径为1，则姓名年级：九年级学科：数学第次课课时课题垂径定理圆心角定理圆周角定理的综合应用教学目标熟练运用垂径定理、圆心角、圆周角定理解决综合题重点难点垂径定理、圆心角定理及圆周角定理的综合应用教学过程P A ＋PB 的最小值是多少？6. 如图，四边形ABCD 的四个顶点在⊙O 上，且对角线AC ⊥BD ，OE ⊥BC 于点E . 求证：OE ＝12AD .7. 如图，⊙O 的两条弦AB ，CD 交于点E ，OE 平分∠BE D. （1）求证：AB ＝C D.（2）若∠BED ＝60°，EO ＝2，求BE －AE 的值.8.（1）如图①，AB 是⊙O 的直径，C ，P 是⊙O 上两点，AB ＝13，AC ＝5.若P 是AB ︵的中点，求P A 的长；（2）如图②，若P 是BC ︵的中点，求P A 的长．9. 如图所示，在⊙O 中，半径OA ⊥OB ，C ，D 是AB ︵的三等分点，AB 分别交OC ，OD 于点E ，F . 求证：AE ＝BF ＝CD .10. 如图，C 为△ABD 外接圆上的一动点(点C 不在BAD ︵上，且不与点B ，D 重合)，∠ACB ＝∠ABD ＝45°. （1）求证：BD 是该外接圆的直径. （2）连结CD ，求证：2AC ＝BC ＋C D.（3）若△ABC 关于直线AB 的对称图形为△ABM ，连结DM ，试探究AM ，BM ，DM 三者之间满足的等量关系，并证明你的结论.11. 如图，半圆的直径AB 长为2，C ，D 是半圆上的两点，若AC ︵的度数为96°，BD ︵的度数为36°，动点P在直径AB 上，求CP ＋PD 的最小值.12. 如图所示，两等圆⊙O 1和⊙O 2，相交于A ，B 两点，且两圆互过圆心，过点B 作任一直线，分别交⊙O 1，⊙O 2于C ，D 两点，连接AC ，AD. （1）试猜想△ACD 的形状，并说明理由；（2）若已知条件中两圆不一定互相过圆心，试猜想△ACD 的形状，并说明理由.13.（1）如图，CD ，AB 所在的直线分别交⊙O 于C ，D ，A ，B 四点，CD ，AB 相交于点P ，若AC ︵的度数为x°，BD ︵的度数为y°（x°＞y°），则∠BPD=12（x°+y°），你认为这个结论正确吗？请说明理由.（2）若CD ，AB 所在的直线的交点P 在⊙O 外，则上述结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，应怎样表示∠BPD?。

专题12垂径定理、圆周角和圆心角的关系(6个知识8种题型)(原卷版)-初中数学北师大版9年级上册

专题12垂径定理、圆周角和圆心角的关系（6个知识8种题型）【目录】倍速学习四种方法【方法一】脉络梳理法知识点1.垂径定理（重点）知识点2.垂径定理的推论（难点）知识点3.圆周角（重点）知识点4.圆周角定理（重点）知识点5.圆周角定理的推论（难点）知识点6.圆内接四边形的概念与性质（重点）【方法二】实例探索法题型1.最短距离问题题型2.辅助线的添加方法题型3.方程思想题型4.垂径定理的实际应用题型5.圆中角度的计算题型6.圆内接四边形与圆周角定理的综合应用题型7.动点问题题型8.圆周角定理与其他几何知识的综合【方法三】成果评定法【学习目标】1.掌握垂径定理，并会运用垂径定理进行简单的计算。

2.掌握与垂径定理有关的推论，并能运用这一推论解决相关问题。

3.认识圆周角，掌握圆周角和圆心角的关系，直径所对的圆周角的特征。

4.能运用圆心角和圆周角的关系、直径所对的圆周角的特征解决相关问题。

【知识导图】【倍速学习五种方法】【方法一】脉络梳理法知识点1.垂径定理（重点）垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．【例1】．（2022秋•锡山区校级月考）如图，在⊙O中，OC⊥AB于点C，若⊙O的半径为10，AB＝16，则OC的长为．【变式】．（2022秋·江苏南京·九年级南京市第一中学校考阶段练习）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB 于点E，则下列结论一定正确的个数有（）①CE =DE ；②BE =OE ；③ CBBD =；④∠CAB =∠DAB ．A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个知识点2.垂径定理的推论（难点）推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．【例2】．（2022秋·九年级统考期中）如图，O 的弦8AB =，M 是AB 的中点，且3OM =，则O 的半径等于（）A ．7B ．4C ．5D ．6【变式】．（2023秋·浙江台州·九年级统考期末）如图，在正方形网格中，一条圆弧经过、、A B C 三点，那么这条圆弧所在圆的圆心是（）．A ．点PB ．点QC ．点RD ．点M知识点3.圆周角（重点）1.圆周角定义：像图中∠AEB 、∠ADB 、∠ACB 这样的角，它们的顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．2.圆心角与圆周角的区别与联系【例3】观察下图中角的顶点与两边有何特征?指出哪些角是圆周角?知识点4.圆周角定理（重点）在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．【例4】如图，100AOB ∠= ，点C 在O 上，且点C 不与A、B 重合，则ACB ∠的度数为（）A．50 B．80 或50 C．130 D．50 或130【变式】如图，AB 是⊙O 的弦，∠AOB＝80°则弦AB 所对的圆周角是.知识点5.圆周角定理的推论（难点）半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．要点诠释：(1)圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上；②角的两边都和圆相交.(2)圆周角定理成立的前提条件是在同圆或等圆中.（3）圆心与圆周角存在三种位置关系：圆心在圆周角的一边上；圆心在圆周角的内部；圆心在圆周角的外部．（如下图）【例5】（2023秋·江苏·九年级专题练习）如图，CD 是O 的直径，A 、B 是O 上的两点，若40ACD ∠=︒，则ABC ∠的度数为（）A ．50︒B ．40︒C ．20︒D ．140︒【变式】如图，⊙A 过点O(0，0)，C(3，0)，D(0，1)，点B 是x 轴下方⊙A 上的一点，连接BO 、BD ，则∠OBD 的度数是．知识点6.圆内接四边形的概念与性质（重点）（1）定义:圆内接四边形：顶点都在圆上的四边形，叫圆内接四边形．（2）性质：圆内接四边形对角互补，外角等于内对角（即它的一个外角等于它相邻内角的对角）．【例6】（2022秋•靖江市期末）如图，已知四边形ABCD内接于⊙O．求证：∠A+∠C＝180°．【变式】如图已知四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC＝70°，则∠ADC的度数是．【方法二】实例探索法题型1.最短距离问题题型2.辅助线的添加方法A．6B．题型3.方程思想3.（2022秋•江宁区校级月考）如图是一个隧道的横截图，它的形状是以点O为圆心的一部分，如果M是⊙O中弦CD的中点，EM经过圆心O交⊙O于点E，若CD＝4m，EM＝6m，则⊙O的半径为m．题型4.垂径定理的实际应用4.（2022秋•如皋市校级月考）兴隆蔬菜基地建圆弧形蔬菜大棚的剖面如图所示，已知AB＝16m，半径OA＝10m，高度CD为m．5.（2022•钟楼区校级模拟）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，如图1，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，如图2，已知圆心O在水面上方，且⊙O被水面截得弦AB长为4米，⊙O半径长为3米．若点C为运行轨道的最低点，则点C到弦AB所在直线的距离是（）A．1米B．2米C．米D．米6.（2022秋•泰州月考）如图，有一座拱桥是圆弧形，它的跨度AB＝60米，拱高PD＝18米．（1）求圆弧所在的圆的半径r的长；（2）当洪水泛滥到跨度只有30米时，要采取紧急措施，若拱顶离水面只有4米，即PE＝4米时，是否要采取紧急措施？题型5.圆中角度的计算7．（2022秋•鼓楼区期末）如图，AB为⊙O的直径，D是弦AC延长线上一点，AC＝CD，DB的延长线交⊙O 于点E，连接CE．（1）求证∠A＝∠D；（2）若的度数为108°，求∠E的度数．题型6.圆内接四边形与圆周角定理的综合应用8．（2022秋•宿城区期末）如图，四边形ABCD内接于一圆，CE是边BC的延长线．（1）求证∠DAB＝∠DCE；（2）若∠DAB＝60°，∠ACB＝70°，求∠ABD的度数．9．（2022秋•镇江期中）如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∠EAD＝∠BAC，BA、CD延长线交于点E．求证：BD＝BC．题型7.动点问题10．（2023·江苏泰州·统考中考真题）已知：A 、B 为圆上两定点，点C 在该圆上，C ∠为 AB 所对的圆周角．知识回顾(1)如图①，O 中，B 、C 位于直线AO 异侧，135AOB C ︒∠+∠=．①求C ∠的度数；②若O 的半径为5，8AC =，求BC 的长；逆向思考(2)如图②，P 为圆内一点，且120APB ∠<︒，PA PB =，2APB C ∠=∠．求证：P 为该圆的圆心；拓展应用(3)如图③，在（2）的条件下，若90APB ∠=︒，点C 在P 位于直线AP 上方部分的圆弧上运动．点D 在P 上，满足2CD CB CA =-的所有点D 中，必有一个点的位置始终不变．请证明．题型8.圆周角定理与其他几何知识的综合11．（2023•滨江区一模）如图1，AB 为⊙O 的直径，CD ⊥AB 于点E ，，BF 与CD 交于点G ．（1）求证：CD ＝BF ．（2）若BE ＝1，BF ＝4，求GE 的长．（3）连结GO ，OF ，如图2，求证：．【方法三】成果评定法一．选择题（共6小题）1．（2023秋•惠山区校级期中）如图，AB 是O 的直径，弦CD AB ⊥于点E ，10AB cm =，8CD cm =，则BE 的长为()A ．5cmB ．3cmC ．2cmD ．1.5cm2．（2023春•鼓楼区校级月考）如图，在正方形ABCD 中，4AB =，以边CD 为直径作半圆O ，E 是半圆O 上的动点，EF DA ⊥于点F ，EP AB ⊥于点P ，设EF x =，EP y =22x y +()A ．231-B ．423-C ．251-D ．252-3．（2023秋•滨湖区校级期中）“圆材埋壁”是我国古代数学名著《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问：径几何？”用现在的几何语言表达即：如图，弦AB CD ⊥，垂足为点D ，1CD =寸，1AB =尺(10寸），则圆的直径长度是()A ．12寸B ．24寸C ．13寸D ．26寸4．（2023秋•铜山区校级月考）如图，点A 、B 、C 在O 上，30ACB ∠=︒，则AOB ∠的度数是()A ．30︒B ．40︒C ．60︒D ．65︒5．（2023•苏州）如图，AB 是半圆O 的直径，点C ，D 在半圆上， CDDB =，连接OC ，CA ，OD ，过点B 作EB AB ⊥，交OD 的延长线于点E ．设OAC ∆的面积为1S ，OBE ∆的面积为2S ，若1223S S =，则tan ACO ∠的值为()A 2B ．223C ．75D ．326．（2023秋•梁溪区校级期中）如图，DCE ∠是O 内接四边形ABCD 的一个外角，若82DCE ∠=︒，那么BOD ∠的度数为()A．160︒B．164︒C．162︒D．170︒二．填空题（共6小题）7．（2023秋•滨海县期中）如图，点A，B，C，D在OABD∠=．∠=︒，则ADC上，30CAD∠=︒，508．（2023秋•镇江期中）如图，某圆弧形拱桥的跨度16=，则该拱桥的半径为m．CD m=，拱高5AB m9．（2023秋•高新区校级期中）如图是一个圆柱形的玻璃保温水杯，将其横放，截面是个半径为5cm的圆，杯内水面8=，则水的最大深度CD是cm．AB cm10．（2023秋•丰县期中）如图，点A是半圆上的一个三等分点，点B是 AD的中点，P是直径CD上一动点，O+的最小值为．的半径是2，则PA PB11．（2023秋•鼓楼区校级月考）如图，已知OPA=，的弦，点P在弦AB上．若4的半径为7，AB是OPB=，则OP的长为．612．（2023秋•建湖县期中）如图，点A 、B 、C 在O 上，//BC OA ，连接BO 并延长，交O 于点D ，连接AC 、DC ．若18A ∠=︒，则D ∠的大小为︒．三．解答题（共6小题）13．（2023秋•仪征市期中）如图，在以点O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB 交小圆于点C 、D ．（1）求证AC BD =；（2）若3AC =，大圆和小圆的半径分别为6和4，则CD 的长度是．14．（2023秋•广陵区期中）如图，四边形ABCD 内接于O ，BC 为O 的直径，//OA CD ．（1）若70ABC ∠=︒，求BAD ∠的度数；（2）求证： AB AD =．15．（2023秋•句容市期中）已知：如图，C ，D 是以AB 为直径的O 上的两点，分别连接OC 、OD 、AD 、CD 、BC ，且//OD BC ，求证：AD DC =．16．（2023秋•淮安区期中）某地有一座圆弧形拱桥，桥下水面宽度AB为24m，拱顶高出水面8m（即8)=，CD m ⊥，OC AB（1）求出该圆弧形拱桥所在圆的半径；（2）现有一艘宽10m，船舱高出水面7.5m的货船要经过这里，此货船能顺利通过这座桥吗？17．（2023秋•邳州市期中）“圆材埋壁”是我国古代著名数学著作《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”此问题的实质是解决下面的问题：如图，CD为OAB=，求CD的长．的直径，弦AB CDCE=，10⊥于点E，118．（2023秋•泗阳县期中）如图，AB是O∠的度数．∠=︒，求ABDDCB的弦，30的直径，CD是O。

九年级数学垂径定理,圆周角与圆心角的关系复习题试题

实验九年级数学? 垂径定理,圆周角与圆心角的关系?复习题例2．如图，△ABC中，∠A=m°．〔1〕如图〔1〕，当O是△ABC的内心时，求∠BOC的度数；〔2〕如图〔2〕，当O是△ABC的外心时，求∠BOC的度数；〔3〕如图〔3〕，当O是高线BD与CE的交点时，求∠BOC的度数．例3．如图，Rt△ABC中，AC=8，BC=6，∠C=90°，⊙I分别切AC，BC，AB于D，E，F，求Rt△ABC的内心I与外心O之间的间隔．1．如图1，⊙O内切于△ABC，切点为D，E，F．∠B=50°，∠C=60°，•连结OE，OF，DE，DF，那么∠EDF等于〔〕A．40° B．55° C．65° D．70°2．如图2，⊙O是△ABC的内切圆，D，E，F是切点，∠A=50°，∠C=60°，•那么∠DOE=〔〕A．70° B．110° C．120° D．130°3．如图3，△ABC中，∠A=45°，I是内心，那么∠BIC=〔〕° B．112° C．125° D．55°4．以下命题正确的选项是〔〕A．三角形的内心到三角形三个顶点的间隔相等B．三角形的内心不一定在三角形的内部C．等边三角形的内心，外心重合D．一个圆一定有唯一一个外切三角形5．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，AB=5，那么它的内切圆与外接圆半径分别为〔〕A．1.5，2.5 B．2，5 C．1，2.5 D．2，26．如图，在△ABC中，AB=AC，内切圆O与边BC，AC，AB分别切于D，E，F．〔1〕求证：BF=CE；〔2〕假设∠C=30°，CE=23，求AC的长．1．如图，在半径为R的圆内作一个内接正方形，•然后作这个正方形的内切圆，又在这个内切圆中作内接正方形，依此作到第n个内切圆，它的半径是〔〕A．〔22〕n R B．〔12〕n R C．〔12〕n－1R D．〔22〕n－1R2．如图，⊙O为△ABC的内切圆，∠C=90°，AO的延长线交BC于点D，AC=4，•DC=1，那么⊙O的半径等于〔〕A．45B．54C．34D．563．如图，△ABC的内切圆⊙O分别和边BC，AC，AB切于D，E，F，•假如AF=2，BD=7，CE=4．〔1〕求△ABC的三边长；〔2〕假如P为弧DF上一点，过P作⊙O的切线，交AB于M，交BC于N，求△BMN的周长．4．如图，⊙O与四边形ABCD的各边依次切于M，N，G，H．〔1〕猜测AB+CD与AD+BC有何数量关系，并证明你的猜测；〔2〕假设四边形ABCD增加条件AD∥BC而成为梯形，梯形的中位线长为m，其他条件不变，试用m表示梯形的周长．一. 选择题。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

【知识点总结】
1．圆是到定点的距离等于定长的所有点组成的图形．
2．圆是轴对称图形，它的直径所在的直线都是对称轴；又时中心对称图形，它的中心是圆心． 3．垂径定理：（图1）垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧．推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧推论2：平分弧的直径垂直平分弧所对的弦
4．圆心角定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等. 关于弦的问题，常常需要过圆心作弦的垂线段，这是一条非常重要的辅助线。

圆心到弦的距离、半径、弦长构成直角三角形，便将问题转化为直角三角形的问题。

5．顶点在圆周上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角．
6．圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。

也可以理解为：一条弧所对的圆心角是它所对的圆周角的二倍；圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半。

7. 推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；︒90的圆周角所对的弦是直径．
8．在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；相等的圆周角所对的弧也相等。

圆易错点
1．注意考虑点的位置
在解决点与圆的有关问题时，应注意对点的位置进行分类，如点在圆内圆外、点在优弧劣弧等．
例１．点P 到⊙O 上的最近距离为cm 3，最远距离为cm 5，则⊙O 的半径为 cm ．
例2．BC 是⊙O 的一条弦， ︒=∠120BOC ，点A 是⊙O 上的一点（不与B 、C 重合），则BAC ∠的度数为．
2．注意考虑弦的位置
在解决与弦有关的问题时，应对两条的位置进行分类，即注意位于圆心同侧和异侧的分类．
图3
图4
例3．在半径cm 5为的圆中，有两条平行的弦，一条为cm 8，另一条为cm 6，则这两条平行弦的距离是．
例4．AB 是⊙O 的直径，AC 、AD 是⊙O 的两条弦，且︒=∠30BAC ，︒=∠45BAD ，则CAD ∠的度数为．考点1：基本概念和性质
考查形式：主要考查圆的对称性、直径与弦的关系、等弧等有关命题，常以选择题的形式出现．
例5．有下列四个命题：①直径是弦；②经过三个点一定可以作圆；③三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等；④半径相等的两个半圆是等弧．其中正确的有（）．
A ．4个
B ．3个
C ． 2个
D ． 1个考点2：圆心角与圆周角的关系
例6.如图1,A 、B 、C 为⊙O 上三点，若∠OAB=46°,则∠ACB=_______度.
B
A
A
(1) (2) (3)
例7..如图2,AB 是⊙O 的直径, BC BD =,∠A=25°,则∠BOD 的度数为________.
例8..如图3,AB 是半圆O 的直径,AC=AD,OC=2,∠CAB= 30 °, 则点O 到CD 的距离OE=______.
考点3：垂径定理
考查形式：主要考查借助垂径定理的解决半径、弧、弦、弦心距之间的计算和证明，填空题、选择题或解答题中都经常出现它的身影．解决是应注意作出垂直于弦的半径或弦心距，构造直角三角形进行解决．
例9．如图，在⊙O 中，有折线OABC ，其中8=OA ，12=AB ，︒=∠=∠60B A ，则弦BC 的长为（）。

Ａ．19 Ｂ．16 Ｃ．18 Ｄ．20
1．下列命题中，正确命题的个数为（）.
①平分弦的直径垂直于弦；②圆周角的度数等于圆心角度数的一半；③︒90的圆周角所对的弦是直；④圆周角相等，则它们所对的弧相等．
A ．1个
B ．2个
C ． 3个
D ． 4个
2.下列说法中，正确的是（）
A. 到圆心的距离大于半径的点在圆内
B. 圆的半径垂直于圆的切线
C
C. 圆周角等于圆心角的一半
D. 等弧所对的圆心角相等
3.若圆的一条弦把圆分成度数的比为1：3的两条弧，则劣弧所对的圆周角等于（）
A. 45°
B. 90°
C. 135°
D. 270°
4.如图所示，A、B、C三点在圆O上，∠AOC=100°，则∠ABC等于（）
A. 140°
B. 110°
C. 120°
D. 130°
5.如图所示，圆O的直径为10，弦AB的长为6，M是弦AB上的一动点，则线段的OM的长的取值范围是（）
A. 3≤OM≤5
B. 4≤OM≤5
C. 3＜OM＜5
D. 4＜OM＜5
6.如下图，已知CD是⊙O的直径，过点D的弦DE平行于半径OA，若∠D的度数是50o，则∠C的度数是（）
A）50o B）40o C）30o D）25o
第6题图第7题图第8题图
7.如上图，两正方形彼此相邻,且大正方形内接于半圆，若小正方形的面积为16cm2，则该半圆的半径为（）．
+ cm B） 9 cm C）45cm D）62cm A）(45)
8.如上图，⊙C过原点，且与两坐标轴分别交于点A，点B，点A的坐标为（0，3），M是第
∠=120，则⊙C的半径为（）
三象限内OB上一点，BMO
A. 6
B. 5 C 3 D. 32
9.半径为5的⊙O内有一点P，且OP=4，则过点P的最短的弦长是，最长的弦长是．
10.如图，以原点O为圆心的圆交x轴于点A、B两点，交y轴的正半轴于点C，
D为第一象限内⊙O上的一点，若∠DAB= 20°，则∠OCD = _____________．
11.如图，⊙O的直径AB和弦CD相交于点E，已知AE=6cm，EB=2cm，∠CEA=30°，
求CD的长．
12.如图，已知⊙O中，AB为直径，AB=10cm，弦AC=6cm，∠ACB的平分线交⊙O
于D，求BC、AD和BD的长．
13. 如图，
AB为⊙O的弦，C、D为弦AB上两点，且OC=OD ,延长OC、OD分别
交⊙O于E、F，
证明：AE=BF.
F
E
D
O
B
A C
14.如图，F是以O为圆心，BC为直径的半圆上任意一点，A是BF的中点，AD ⊥BC于D，
求证：AD =1
2
BF.
O C
B。