中考数学复习专题五 一次函数、反比例函数与实际应用

专题五一次函数、反比例函数与实际应用,河北中考命题规律)年份题型考点题号分值难易度2019解答题一次函数图象的判断、应用、反比例函数的表达式的确定24（2） 3 中等题2018解答题一次函数的图象及性质、应用、实际问题中反比例函数表达式的确定24，26（1）10＋1＝11容易题、中等题2017选择题、解答题一次函数综合题、应用、反比例函数的图象15，24 2＋10＝12 中等题考情及预测纵观近三年河北中考，此专题为必考内容，有一定难度，通常以解答题形式出现，多与方程（组）、不等式（组）、三角形相结合；还可考查平移、旋转、翻折三种位置变换，2017年第24（3）题题目新颖，适合爱动脑筋的考生，体现了教学的批判思想.预测2020年在解答题中仍会出现,中考重难点突破)备考建议►此专题内容多出在中等题中，主要有以下三种题型：（1）利用待定系数法求表达式；（2）应用题找等量关系建立函数模型；（3）两种函数的综合考查.一次函数及反比例函数综合题【例1】（2019·石家庄裕华区模拟）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（5，3），点B（－3，3），过点A的直线y＝12x＋m（m为常数）与直线x＝1交于点P，与x轴交于点C，直线BP与x轴交于点D.（1）求点P的坐标；（2）求直线BP的解析式，并求出△PCD与△PAB的面积比；（3）若反比例函数y＝kx（k为常数且k≠0）的图象与线段BD有公共点时，请求出k的最大值和最小值.【解析】（1）将点A坐标代入直线解析式求得直线AP的解析式，进而求得点P的坐标；（2）利用待定系数法由点B，P坐标求得直线BP的解析式，根据坐标关系计算三角形的面积进而求得比值；（3）根据k>0和k<0进【解答】解：（1）∵直线y＝12x＋m过点A（5，3），∴3＝52＋m，解得m＝12.∴y＝12x＋12.当x＝1时，y＝1，∴P（1，1）；（2）设直线BP的解析式为y＝ax＋b.∵B（－3，3），P（1，1），∴⎩⎪⎨⎪⎧3＝－3a＋b，1＝a＋b.解得⎩⎨⎧a＝－12，b＝32.∴直线BP的解析式为y＝－12x＋32.当y＝0时，x＝3，∴D（3，0）.∵点C在直线y＝12x＋12上，∴当y＝0时，x＝－1，则C（－1，0）.∴S△PCDS△PAB＝12×4×112×8×2＝14；（3）当k<0时，若反比例函数经过点B，则k的最小值为－9.当k>0时，联立⎩⎨⎧y＝－12x＋32，y＝kx，整理，得x2－3x＋2k＝0.令Δ＝b2－4ac＝9－8k＝0，解得k＝98.∴k的最大值为98.1.（2019·邯郸一模）如图，直线l1经过点A（6，0），且垂直于x轴，直线l2：y＝kx＋b（b>0）经过点B （－2，0），与l1交于点C，S△ABC＝16.点M是线段AC上一点，直线MN∥x轴，交l2于点N，点D是MN的中点，双曲线y＝mx（x>0）经过点D，与l1交于点E.（1）求l2的解析式；（2）当点M是AC的中点时，求点E的坐标；（3）当MD＝1时，求m的值.解：（1）由题意，得AB＝8.∵S△ABC＝16，即12×8×AC＝16，∴AC＝4.∴C（6，4）.把B（－2，0），C（6，4）分别代入y＝kx＋b，得⎩⎪⎨⎪⎧－2k＋b＝0，6k＋b＝4.解得⎩⎪⎨⎪⎧k＝12，b＝1.∴l2的解析式为y＝12x＋1；（2）∵点M是AC的中点，∴M（6，2）.∵MN∥x轴，∴点N的纵坐标为2.把y ＝2代入y ＝12x ＋1，得x ＝2.∴N （2，2）.∵点D 是MN 的中点，∴D （4，2）.把D （4，2）代入y ＝mx ，得m ＝8.∴双曲线的解析式为y ＝8x（x>0）.当x ＝6时，y ＝43，∴E ⎝⎛⎭⎫6，43； （3）设点M （6，n ），当MD ＝1时，D （5，n ），N （4，n ）.把N （4，n ）代入y ＝12x ＋1，得n ＝3.∴D （5，3）. ∴m ＝15.一次函数的实际应用【例2】（2019·唐山路南区二模）某公司在甲、乙仓库共存放某种原料450 t .如果运出甲仓库所存原料的60%、乙仓库所存原料的40%，那么乙仓库剩余的原料比甲仓库剩余的原料多30 t .（1）求甲、乙两仓库分别存放原料多少吨；（2）现公司需将300 t 原料运往工厂，从甲、乙两仓库到工厂的运价分别为120元/t 和100元/t .经协商，从甲仓库到工厂的运价可优惠a 元/t （10≤a ≤30），从乙仓库到工厂的运价不变.设从甲仓库运m t 原料到工厂，请求出总运费W 关于m 的函数解析式（不要求写出m 的取值范围）；（3）在（2）的条件下，请根据函数的性质说明：随着m 的增大，W 的变化情况.【解析】（1）根据甲、乙两仓库原料运出前后的关系，可得二元一次方程组，求解即可； （2）根据甲、乙的运费与运价的关系，可得函数解析式；（3）根据一次函数的性质，首先确定a 的取值，即要分类讨论，进而得出W 的变化情况. 【解答】解：（1）设甲仓库存放原料x t ，乙仓库存放原料y t .根据题意，得 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝450，（1－40%）y －（1－60%）x ＝30.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝240，y ＝210. 答：甲仓库存放原料240 t ，乙仓库存放原料210 t ；（2）由于从甲仓库运m t 原料到工厂，则从乙仓库运（300－m ） t 原料到工厂，根据题意，得 W ＝（120－a ）m ＋100（300－m ）＝（20－a ）m ＋30 000； （3）①当10≤a<20时，20－a>0， 此时W 随着m 的增大而增大；②当a ＝20时，20－a ＝0，W 是定值30 000， 此时W 不随m 的变化而变化； ③当20<a ≤30时，20－a<0， 此时W 随着m 的增大而减小.2.（2019·新疆中考）某水果店以每千克8元的价格购进苹果若干千克，销售了部分苹果后，余下的苹果每千克降价4元销售，全部售完.销售金额y （元）与销售量x （kg ）之间的关系如图所示.请根据图象提供的信息完成下列问题：（1）降价前苹果的销售单价是 元/kg ；（2）求降价后销售金额y （元）与销售量x （kg ）之间的函数解析式，并写出自变量的取值范围； （3）该水果店这次销售苹果盈利了多少元？解：（1）16； （2）由题意，得降价后y ＝640＋（16－4）（x －40）＝12x ＋160. 当y ＝760时，x ＝50，∴自变量的取值范围是40＜x ≤50； （3）760－50×8＝360（元）.∴该水果店这次销售苹果盈利了360元.反比例函数与其他函数综合应用【例3】某药品研究所开发一种抗菌新药，经多年动物实验，首次用于临床人体试验，测得成人服药后血液中药物浓度y （μg /mL ）与服药时间x （h ）之间的函数关系如图所示（当4＜x ≤10时，y 与x 成反比例）.（1）根据图象分别求出血液中药物浓度上升和下降阶段y 与x 之间的函数关系式； （2）问血液中药物浓度不低于4 μg /mL 的持续时间为多少小时？【解析】（1）分别利用正比例函数以及反比例函数表达式求法得出即可；（2）由y ＝4分别求出相应的x 的值，进而得出答案. 【解答】解：（1）由图象可知，当0≤x ≤4时，y 与x 成正比例关系，设y ＝kx. 当x ＝4时，y ＝8，∴4k ＝8，解得k ＝2. ∴y ＝2x （0≤x ≤4）.当4＜x ≤10时，y 与x 成反比例关系，设y ＝mx.当x ＝4时，y ＝8，∴m ＝4×8＝32.∴y ＝32x（4＜x ≤10）.∴y ＝⎩⎪⎨⎪⎧2x （0≤x ≤4），32x（4＜x ≤10）；（2）血液中药物浓度不低于4 μg /mL ，即y ≥4.∴2x ≥4且32x≥4，解得2≤x ≤8.∵8－2＝6（h ），∴血液中药物浓度不低于4 μg /mL 的持续时间为6 h .,3.石家庄某公司将农副产品运往北京市场进行销售，记汽车行驶时间为t h ，平均速度为v km /h （汽车行驶速度不超过100 km /h ）.根据经验，v ，t 的一组对应值如下表：v/（km /h ）75 80 85 90 95 t/h 4.00 3.75 3.53 3.33 3.16（1（2）汽车上午7：30从石家庄出发，能否在上午10：00之前到达北京市场？请说明理由； （3）若汽车到达北京市场的行驶时间t 满足3.5≤t ≤4，求平均速度v 的取值范围.解：（1）根据表格中的数据，可知v ＝kt.∵v ＝75时，t ＝4，∴k ＝75×4＝300.∴v 关于t 的函数表达式为v ＝300t（t ≥3）；（2）不能.理由：从上午7：30到上午10：00经过的时间为2.5 h .当t ＝2.5时，v ＝3002.5＝120.∵120>100，∴汽车上午7：30从石家庄出发，不能在上午10：00之前到达北京市场； （3）∵3.5≤t ≤4，∴平均速度v 的取值范围是75≤v ≤6007.运动型问题【例4】（2019·石家庄桥西区模拟）如图1，在直角坐标系中，一次函数的图象l 1与y 轴交于点A （0，2），与一次函数y ＝x －3的图象l 2交于点E （m ，－5）.（1）求m 的值及l 1的表达式；（2）直线l 1与x 轴交于点B ，直线l 2与y 轴交于点C ，求四边形OBEC 的面积； （3）如图2，已知矩形MNPQ ，PQ ＝2，NP ＝1，M （a ，1），矩形MNPQ 的边PQ 在x 轴上平移，若矩形MNPQ 与直线l 1或l 2有交点，直接写出a 的取值范围.【解析】（1）把点E 的坐标代入l 2，即可求出m 的值，根据点E 和点A 的坐标可求出直线l 1的表达式； （2）连接OE ，根据点B ，C 的坐标可得OB ，OC 的长，点E 纵、横坐标的绝对值分别为△OBE 和△OCE 的高，先求出这两个三角形的面积，它们的和即为四边形OBEC 的面积；（3）当矩形与l 1有交点时，临界情况是相交于顶点，分别为点Q 和点N ，根据已知条件和l 1的表达式可求出点Q 和点N 的横坐标，结合点M 的坐标，可求出a 的取值范围；同理，当矩形与l 2有交点时，也可求出a 的取值范围.【解答】解：（1）∵点E （m ，－5）在一次函数y ＝x －3的图象上，∴m －3＝－5，解得m ＝－2.∴E （－2，－5）.设直线l 1的表达式为y ＝kx ＋b. ∵直线l 1过点A （0，2），E （－2，－5），∴⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2，－2k ＋b ＝－5.解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2，k ＝72.∴直线l 1的表达式为y ＝72x ＋2；（2）连接OE.∵l 1：y ＝72x ＋2，∴y ＝0时，x ＝－47.∴B ⎝⎛⎭⎫－47，0. ∵l 2：y ＝x －3，∴x ＝0时，y ＝－3.∴C （0，－3）.∴S 四边形OBEC ＝S △OBE ＋S △OCE ＝12×47×5＋12×2×3＝317； （3）－47≤a ≤127或3≤a ≤6.4.如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC 的顶点O 是坐标原点，点A 在第一象限，点C 在第四象限，,点B 在x 轴的正半轴上，∠OAB ＝90°且OA ＝AB ，OB ＝6，OC ＝5.（1）求点A 和点B 的坐标； （2）点P 是线段OB 上的一个动点（点P 不与点O ，B 重合），以每秒1个单位长度的速度由点O 向点B 运动，过点P 的直线a 与y 轴平行，直线a 交边OA 或边AB 于点Q ，交边OC 或边BC 于点R ，设点P 运动时间为t s ，线段QR 的长度为m ，已知t ＝4时，直线a 恰好过点C.①当0＜t ＜3时，求m 关于t 的函数关系式；②点P 出发时，点E 也从点B 出发，以每秒1个单位长度的速度向点O 运动，点P 停止时点E 也停止.设△QRE 的面积为S ，求S 与t 的函数关系式；③直接写出②中S 的最大值是 .解：（1）由题意知△OAB 是等腰直角三角形. ∵OB ＝6，∴A （3，3），B （6，0）； （2）∵A （3，3），B （6，0）， ∴直线OA 的解析式为y ＝x ， 直线AB 的解析式为y ＝－x ＋6.∵当t ＝4时，直线a 恰好过点C ，OC ＝5，∴C （4，－3）.∴直线OC 的解析式为y ＝－34x ，直线BC 的解析式为y ＝32x －9.①当0＜t ＜3时，Q （t ，t ），R ⎝⎛⎭⎫t ，－34t ， ∴m ＝t ＋34t ＝74t ；②当0＜t ＜3时，S ＝12PE·QR ＝12（6－2t ）·74t ＝－74t 2＋214t ；当3＜t ＜4时，S ＝12PE·QR ＝12（2t －6）·⎝⎛⎭⎫－t ＋6＋34t ＝－14t 2＋274t －18； 当4≤t ＜6时，S ＝12PE·QR ＝12（2t －6）·⎝⎛⎭⎫－t ＋6－32t ＋9＝－52t 2＋452t －45； ③458.[当0＜t ＜3时，t ＝32时，S 的最大值为6316； 当3＜t ≤4时，∵S ＝－14t 2＋274t －18＝－14⎝⎛⎭⎫t －2722＋14×2724－18，∴t ＝4时，S 的值最大，最大值为5；当4≤t ＜6时，S ＝－52t 2＋452t －45＝－52⎝⎛⎭⎫t －922＋458，∴t ＝92时，S 的最大值为458.综上所述，S 的最大值为458.]请完成限时训练A 本P A 72～A 73，选做B 本P B 41。