1-2基本初等函数,常用经济函数
所有基本初等函数
所有基本初等函数基本初等函数是数学中的重要概念，它包括了常见的数学函数，如线性函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等。
这些函数在数学中具有广泛的应用，在科学、工程、经济等领域中发挥着重要作用。
下面将逐个介绍这些基本初等函数。
1. 线性函数：线性函数是一种最简单的函数形式，其定义为f(x) = ax + b，其中a和b是常数。
线性函数的图像是一条直线，斜率为a，截距为b。
线性函数在代数学、经济学等领域中有广泛的应用，可以用来描述两个变量之间的简单关系。
2. 幂函数：幂函数是一种形如f(x) = x^a的函数，其中a是常数。
当a为正数时，幂函数的图像是一个递增的曲线；当a为负数时，幂函数的图像是一个递减的曲线。
幂函数在几何学、物理学等领域中有广泛的应用，可以用来描述面积、体积、速度等随着变量的变化而变化的关系。
3. 指数函数：指数函数是一种形如f(x) = a^x的函数，其中a是常数。
指数函数的图像是一个递增或递减的曲线，具有指数增长或指数衰减的特点。
指数函数在金融学、生物学等领域中有广泛的应用，可以用来描述复利增长、生物种群的增长等现象。
4. 对数函数：对数函数是指数函数的逆运算，它可以表示为f(x) = loga(x)，其中a是常数。
对数函数的图像是一条递增的曲线，具有对数增长的特点。
对数函数在计算机科学、信息论等领域中有广泛的应用，可以用来描述算法复杂度、信息压缩等问题。
5. 三角函数：三角函数是以单位圆上的点坐标为基础定义的函数，包括正弦函数、余弦函数、正切函数等。
三角函数的图像是周期性的波形，具有周期性和振荡的特点。
三角函数在物理学、信号处理等领域中有广泛的应用，可以用来描述波动、振动等现象。
6. 反三角函数：反三角函数是三角函数的逆函数，包括反正弦函数、反余弦函数、反正切函数等。
反三角函数可以用来求解三角方程或描述角度关系。
反三角函数在几何学、三角测量等领域中有广泛的应用，可以用来计算角度、求解三角形等问题。
大一高数知识点总结
大一高数知识点总结大一高数知识点总结篇一：大一高数知识点,重难点整理第一章基础知识部分1.1初等函数一、函数的概念1、函数的定义函数是从量的角度对运动变化的抽象表述，是一种刻画运动变化中变化量相依关系的数学模型。
设有两个变量x与y，如果对于变量x在实数集合D内的每一个值，变量y按照一定的法则都有唯一的值与之对应，那么就称x是自变量，y是x的函数，记作y=f（x），其中自变量x取值的集合D叫函数的定义域，函数值的集合叫做函数的值域。
2、函数的表示方法（1）解析法即用解析式（或称数学式）表示函数。
如y=2x+1, y=︱x︱，y=lg(x+1),y=sin3x等。
便于对函数进行精确地计算和深入分析。
（2）列表法即用表格形式给出两个变量之间函数关系的方法。
便于差的某一处的函数值。
（3）图像法即用图像来表示函数关系的方法非常形象直观，能从图像上看出函数的某些特性。
分段函数——即当自变量取不同值时，函数的表达式不一样，如 1??2x?1, x?0?xsin,f?xy??x ?2x?1,x?00 x?0 x?0 隐函数——相对于显函数而言的一种函数形式。
所谓显函数，即直接用含自变量的式子表示的函数，如y=x2+2x+3，这是常见的函数形式。
而隐函数是指变量x、y之间的函数关系式是由一个含x，y的方程F(x,y)=0给出的，如2x+y-3=0，e可得y=3-2x，即该隐函数可化为显函数。
参数式函数——若变量x,y之间的函数关系是通过参数式方程? x?y 而由2x+y-3=0?x?y?0等。
?xt?， ?t?T?给出的，??y??t? 这样的函数称为由参数方程确定的函数，简称参数式方程，t称为参数。
反函数——如果在已给的函数y=f(x)中，把y看作自变量，x也是y的函数，则所确定的函数x=∮(y)叫做y=f(x)的反函数，记作x=fˉ1(y)或y= fˉ1(x)(以x表示自变量).二、函数常见的性质1、单调性（单调增加、单调减少）2、奇偶性（偶:关于原点对称，f（-x）=f（x）；奇：关于y轴对称，f（-x）=-f(x).）3、周期性（T为不为零的常数，f（x+T）=f（x），T为周期）4、有界性（设存在常数M＞0，对任意x∈D，有f∣(x)∣≤M,则称f(x)在D上有界，如果不存在这样的常数M，则称f(x)在D上无界。
基本初等函数的定义
基本初等函数的定义基础初等函数是指构成大多数数学模型的基本函数。
它们也被称为标准函数，因为必须具备某些特定的属性和构成，才能被认定为基础初等函数。
它们通常被用来描述或推断各种自然现象，比如流体运动、声学波动、光学表象。
二、基础初等函数的类型1、指数函数指数函数是由一个“基数”乘以一个“指数”组成的函数，经常用于描述指数增长的现象。
指数函数可以使用形如y = a x^b的方程来表示，其中a是基数，而b是指数。
2、对数函数对数函数是指将一个函数的指数变换成自变量的函数。
许多实际情况都以对数函数的形式表示，比如音量与频率的关系、气温与加热量的关系等。
常见的对数函数有以自然对数e为底，以10为底等。
3、幂函数幂函数是一类指数函数，它将自变量的指数变换成函数的指数。
常见的幂函数有平方函数、立方函数、开平方函数等。
此外，也可以将任意的指数变换成幂函数。
4、三角函数三角函数是一类函数，在计算机科学中使用得比较多。
它们可以使用三角形的角度和边长来求出自变量的值，或者将一个值映射到复平面的三角函数曲线上，通常也被称为极坐标函数。
常见的三角函数包括正弦函数、余弦函数、正切函数等。
5、指数型函数指数型函数是一类特殊的指数函数，它们的结构比普通的指数函数更加复杂，可以呈现出更多的曲线形状。
指数型函数可以用来描述不同种类的物理运动模型，比如速度-距离关系、物体受重力运动的轨迹等。
6、微积分函数微积分函数是用来描述微分表达式的一类特殊的函数。
它们十分复杂，可以更准确的描述不同的现象，比如热力学图、普朗克振动等。
微积分函数可以用来描述连续函数，比如平滑函数、抛物函数等。
7、微分函数微分函数是对复杂函数求微分的一类特殊函数。
它们可以用来描述不断变化的现象，比如速度的变化、温度的变化等。
微分函数也可以用来求多元函数的驻点、极值等级。
三、基础初等函数的应用基础初等函数在许多学科领域都有着广泛的应用。
1、工程领域在工程领域，基础初等函数可以用来描述力学、振动学、热学等物理性质以及材料特性，以求得最佳的工程设计结果。
高职经济数学的全册教案.docx
17 级高教研室主任（签字）：授课班级职会计班系（部）检查（签字、盖章）：授课时间秀水校教务处抽查（签字、盖章）：授课地点区教学内容： 1.1 初等函数知识目标能力目标素质目标了解初等函数的内容，以及它通过对函数的学习，使同学在们的用途经济生活中，能够将有关经济模型用函数解析，便于掌握它教们的规律学目标初等函数的特点教学重点初等函数的常用用途教学难点讲授，合作探究教学形式教具、仪器设备、工具课后作业或训练项目教学过程设计（要求明确教师活动、学生活动、教学方法及手段）教师活动学生活动一．复习导入配合教师认真回忆中学阶段复习中学数学知识，学过的基本初等函数，引入新课题学习的函数名称和特点二．讲授新内容课题 1.1初等函数备注方法与手段1.基本初等函数常函数： y c （ c 为常数）．幂函数：y x （为常数）．指数函数：y a x ( a 0 ，且 a 1 ，a为常数 )．对数函数：y log a x ( a 0 ，且 a 1 ，a为常数 )．三角函数：y sin x ，y cosx ，y tan x ， y cot x ，y secx ， y cscx常用幂函数：y a 21a1O x1a 3指数函数0 a 1ya11O x对数函数常用对数函数y lg x ，以10为底自然对数函数y ln x ，以无理数 e 为底回答问题：常数函数的定义域？图形特点？幂函数的特点？变量在什么位置？指数函数在经济上的应用非常广泛，它与对数函数有什么关系？我们经常听说一些经济问题以指数规律增长或降低复习初等函数是帮助学生在高中学习与高职学习衔接的知识点，帮助学生能够平稳过度。
教学过程设计备注教师活动学生活动 方法与手段ya 1Ox10 a 12. 复合函数定义设y 是u 的函数y， 是 x 的函数u (x) ，f (u) u复合函数是不是就是基本初如果 u(x) 的值域或其部分包含于 yf (u ) 定义域中，则 y通过中间变量 u 构成 x 的函数，称为 x 的复合函数，记为等函数的简单乘积？复合关yf(x) ，其中 x 是自变量， u 是中间变量．系一般是嵌套关系，不是简例 1设 f (x)e x， ( x) arccos x ， 求 f(x)， 单的乘积关系f ( x) ， ( 1) ．x解f ( x) e ( x) e arccosxf ( x)arccosf (x)arccose x( 1)arccos1x x 例 2指出下列复合函数的复合过程．（1） y sin 21 1 （ 2） y ln(tane x 22sin x )x 2sin21u 2， u 1解 （ 1） y1 是由 ysin v ， vw2x 2和 wx 2 1 复合而成．（2） y ln(tane x 2 2sin x ) 是由 y ln u ， u tanv ， v e w ， wx 2 2sin x 复合而成，其中 x 2 2sin x 是简单函数．注意：并非任何两个函数都可以复合． 例如， y arcsin u和 ux 22 就不能复合， 因为 x 2 2 ≥ 2 ，而 yarcsin u 的定义域是1,1 ．3. 初等函数由基本初等函数经过有限次四则运算和有限次复合运算而得到的，并且能用一个式子表示的函数，称为初等函数例如， f (x)2x 215ln 4x ， y1 x 2， ycot x等323复 合 函 数 在有 的 高 中 讲过，但是大部分 的 高 职 学生 应 该 领 悟不是很好，因此 在 此 处 要多加练习。
2函数与基本初等函数
2函数与基本初等函数函数是数学中的一个概念，它描述了两个集合之间的一种关系。
在数学中，函数一般表示为y=f(x)，其中x表示自变量，y表示因变量，f(x)表示函数关系。
函数在数学中有很广泛的应用，包括描述物理现象、经济模型、计算机算法等等。
函数可以分为两类：基本初等函数和非初等函数。
基本初等函数是指由常数和有限次的代数运算（加法、减法、乘法、除法）以及有限次通常交换运算（乘法的交换性和加法的交换性）得到的函数。
基本初等函数包括：常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数。
常数函数是指输出始终是一个固定值的函数，比如f(x)=2，表示函数f(x)的输出始终是2幂函数是指自变量x的各次幂决定函数输出的函数，比如f(x)=x^2，表示函数f(x)的输出是x的平方。
指数函数是以自然常数e为底数的幂函数，比如f(x)=e^x，表示函数f(x)的输出是e的x次幂。
对数函数是指以一些正实数为底的对数运算的逆运算，比如f(x)=log(x)，表示函数f(x)的输出是x的对数。
三角函数是指以圆的四个象限上的点的坐标来定义的函数，例如正弦函数sin(x)和余弦函数cos(x)。
反三角函数是指以三角函数为自变量的函数的逆函数，例如反正弦函数arcsin(x)和反余弦函数arccos(x)。
非初等函数则是指无法用基本初等函数表示的函数，比如指数函数的逆函数-自然对数函数ln(x)、双曲函数、贝塞尔函数等等。
基本初等函数具有很多重要的性质和应用。
例如，三角函数和反三角函数在几何中的角度度量及三角关系中起着重要作用；指数函数在描述物理现象中的增长和衰减过程中应用广泛；对数函数在描述复杂度、概率等方面有重要作用；幂函数则用来描述函数的增长速度。
总的来说，函数是数学中一个非常重要的概念，基本初等函数是一类特殊的函数，它们被广泛应用于各个数学分支和实际问题中。
对于理解和应用函数，包括基本初等函数在内的各种函数的性质和特点的研究都具有重要的意义。
基本初等函数初等函数
基本初等函数初等函数初等函数是指可以用有限次加、减、乘、除、乘方、开方、指数、对数、函数互反和常数的四则运算来表示的函数。
它是高中数学中的一种函数类型，是数学研究和应用中最基本、最常见的一类函数。
最基本的初等函数包括：1.常数函数：y=C，其中C为任意常数。
常数函数在整个定义域上都保持不变。
2. 一次函数：y = mx + b，其中m和b为任意常数，m表示斜率，b 表示截距。
一次函数的图像为一条直线。
3.幂函数：y=x^r，其中r为任意的实数。
幂函数是由自变量的幂指数决定的。
4.指数函数：y=a^x，其中a为一个正常数且不等于1、指数函数的图像呈现指数增长或指数衰减的形式。
5. 对数函数：y = log_a(x)，其中a为一个正数且不等于1、对数函数是指数函数的反函数，可以解决指数方程。
6. 三角函数：包括正弦函数y = sin(x)，余弦函数y = cos(x)，正切函数y = tan(x)等。
三角函数是周期性的函数。
除了以上基本初等函数外，复合函数也属于初等函数的范畴。
例如，将两个初等函数通过运算符号连接在一起形成的函数仍然属于初等函数。
例如加、减、乘、除、复合函数、互反函数等等。
初等函数在数学的研究和应用中起着非常重要的作用。
它们广泛应用于科学、工程、经济、物理、化学、生物学等领域中的数学模型建立和问题求解。
通过使用初等函数，我们可以更好地描述和分析变量之间的关系，从而更好地理解和预测实际问题。
初等函数的性质和特点也是数学学科中的重要内容之一、初等函数的图像、定义域、值域、对称性、奇偶性、单调性、极值等特征都可以通过数学工具和方法进行研究和分析。
总之，初等函数是数学中最基本和常见的一类函数。
它们通过有限次的四则运算、函数互反和常数的运算构成，在数学的研究和应用中起着重要的作用。
初等函数的性质和特点也是数学学科中的重要内容之一、通过学习初等函数，我们可以更好地理解和应用数学知识，解决实际问题。
高数高频易错点
经济数学――微积分复习提纲第一章函数1、函数的定义域及分段函数的求值。
2、基本初等函数：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数。
初等函数：由基本初等函数和常数经过有限次的四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示的函数，称为初等函数。
3、常用的经济函数(需求函数、供给函数、总成本函数、总收益函数、总利润函数、库存函数)第二章极限与连续1、无穷小的定义与性质。
1）极限为零的变量称为无穷小量。
注：（1）无穷小量是个变量而不是个很小的数.（2）零是常数中唯一的无穷小量。
2）无穷小的性质：有限个无穷小的代数和是无穷小、有界函数与无穷小的乘积是无穷小、常数与无穷小的乘积是无穷小、有限个无穷小的乘积也是无穷小。
3）函数极限与无穷小的关系：的充要条件是，其中A为常数，。
2、无穷大的定义。
在某一变化过程中，若f(x)的绝对值无限增大,则称函数f(x)为此变化过程中的无穷大量。
注：无穷大是变量,不是一个绝对值很大的数。
3、无穷大与无穷小互为倒数。
4、极限的运算法则。
见教材P48 定理1、2、3、4及推论1、25、两个重要极限。
会用重要极限求函数极限。
6、会用等价无穷小代替求极限7、连续的定义。
见教材P66函数f(x) 在点x0处连续，必须同时满足三个条件：1) 在点x0处有定义；2）存在；3）极限值等于函数值，即。
8、函数在点连续的充分必要条件是：既左连续又右连续。
9、函数在点处连续与该点处极限的关系：函数在点处连续则在该点处必有极限，但函数在点处有极限并不一定在该点连续。
10、如何求连续函数的极限连续函数极限必存在，且极限值等于函数值，即11、对于分段函数在分段点处的连续性，若函数在分段点两侧表达式不同时，需根据函数在一点连续的充要条件进行讨论。
12、如何求连续区间？基本初等函数在其定义域内是连续的；一切初等函数在其定义区间内都是连续的。
13、间断点的定义。
14、间断点的类型。
（一）第一类间断点1、可去间断点（1）在处无定义，但存在。
1-3,4初等函数、经济学中常用函数
C (Q ) 200 Q 5 Q Q 2
200 Q C (20) 5 25 2 Q 20 Q
20
如
在应用时，供给函数也可由一些简单初等函数去近似。
线性函数 幂函数
Q aP b , a 0 , b 0 ; Q kP a , a 0 , k 0;
指数函数
Q aebP等。 0 , b 0 ,a
21
均衡价格:若市场上某种商品的供给量与需求量相等, 这时称这种商品的供、需达到了平衡,此时 该商品的价格称为均衡价格.常记为 P或者P . 此时， Q( P) S ( P)
9
正切函数
的定义域为
D( f ) { x | x R, x ( 2n 1)
2
, n为整数}
余切函数
的定义域为
D( f ) { x | x R, x n , n为整数 }
正切函数和余切函数的值域都是(－∞,+∞),且它
们都是以为周期的函数，它们都是奇函数.
10
11
C 1 (q )
固定成本: 固定不变的成本,该成本不随产量 q 为产品 的变化而变化.例如: 厂房,机器设备,管理费用等. 的产量 可变成本: 可以变化的成本,该成本会随产量 的变化而变化.例如: 购买原料的费用,工人的生 产奖金等.
24
一方面, 可以想象, 生产产量越大, 成本就越高, 因而为增 函数 , 一般地 , 成本函数的图形大致类同于下图.
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成本函数
成本是生产一定数量产品所需要的
各种生产要素投入的价格或费用总额，
y x 1.幂函数
(是常数)
y
y x2
1
(1,1)
y x
y x
o
1 y x
1
x
• 指数函数
年复利率5.5%，投资100元 1年后，100•1.055 2年后，100•(1.055) … …
n x 2
n年后， 100•(1.055)
复利提供了指数函数的一个例子y=P•a
y a x (a 0 且 a 1 )
3. 对数函数 (logarithmic function)
y loga x (a 0, a 1)
y ln x
y log a x
(1,0)
(a 1)
y log 1 x
a
• 对数函数的性质
a e
log a x
x, log a a x
x x
ln x
x, ln e x
4. 三角函数
正弦函数
y sin x
y sin x
余弦函数 y cos x
y cos x
正切函数 y tan x
y tan x
余切函数 y cot x
y cot x
• 恒等式
cos2 sin 2 1
cos( A B) cos A cos B sin A sin B sin( A B) sin A cos B cos A sin B
幂函数,指数函数,对数函数,三角函数统称 为基本初等函数. 由常数和基本初等函数经过 有限次的四则运算和有限次的函数复合步骤所 构成的并可用一个式子表示的函数，称为初等 函数.
常用经济函数
需求函数
如果价格是决定需求量的最主要因素， 可以认为 Q 是 P的函数。记作
Q f (P)
则 f 称为需求函数.
常见的需求函数：
线性需求函数： Q a bP,
a, b 0
2
二次曲线需求函数： Q a bP cP
指数需求函数： Q Ae bp
( 其中 a,b,c,A > 0 )
幂函数：Q kP A , 其中 A 0 , k 0
供给函数
如果价格是决定供给量的最主要因素，
kx
作为指数增长的一个例子，连续复利，就
用到模型y=P•ert，其中P是初始投资，r是 以小数表示的利率，t是按年计的时间. 指数衰减的一个例子是模型y=A•e
-1.2×104t
这表示放射性元素碳—14是怎样随时间衰
减的.A是碳—14一开始的含量，t是按年计
的时间.
为什么不用ax?
ax =exlna 涵盖了所有可能性
• 三角函数图形的变换
函数 y =A sin( x ) 的部分图像如图所示，则
（A） y 2sin(2 x ) 6 （B） y 2sin(2 x ) 3 （C） y 2sin(2 x+ ) 6 （D） y 2sin(2 x+ ) 3
2016文科数学全国Ⅱ卷
1 x y( ) a
y ax
(a 1)
(0,1)
指数法则
a x a y a x y a x y a y a
x x
a
x
y
a xy
x
a b ab
x
a a x b b
x
x
• 指数函数e
x
自然、物理和经济现象中用到最重要的指
数函数是自然指数函数，它的基底是数e， 精确到9位小数是2.718281828. 指数函数y=Pe ，常被用作指数增长或衰减 的模型.
已知该商品的成本函数与收入函数分别是
C 12 3x x 2 R 11x
试求该商品的盈亏平衡点, 并说明盈亏情况。
2 例 5 设某种商品的总成本为C (Q) 20 2Q 0.5Q ,
若每售出一件该商品的收入是 20 万元， 求生产 10 件的总利润．
解 由题意知 P 20 （ 万元） ,
例 4 设某商品的需求关系是 3Q+4P=100,求总收 益和平均收益．
100 3Q P , 解 价格函数为 4
100Q 3Q 2 所以总收益为 R(Q ) P Q , 4
平均收益为
100 3Q AP (Q ) P (Q ) . 4
• 经济常识告诉我们： 当L=R-C >0时，生产者盈利； 当L=R-C <0时，生产者亏损； 当L=R-C =0时，生产者盈亏平衡，使 L(x)=0的点称为盈亏平衡点.
2
2250 平均成本为 AC (100) 22.5 100
收入函数与利润函数
总收益是生产者出售一定数量产品所得到 的全部收入. 用 Q 表示出售的产品数量，R 表 示总收益,则
R R(Q) PQ
利润是生产中获得的总收益与投入的总成 本之差。即
L(Q ) R(Q ) C (Q )
总收益为 R(Q) P Q 20Q 所以L(Q) R(Q) C (Q)
20Q (20 2Q 0.5Q2 ) 20 18Q 0.5Q 2 L(10) ( 20 18 10 0.5 102 ) 110(万元).
在同一个坐标系中作出需求曲线 D和供 给曲线 S ，两条曲线的交点称为供需平衡点，
该点的横坐标称为供需平衡价格 .
供需平衡点 供需平 衡价格
Q0
E
P0
某种商品的供给函数和需求函数分别为 S=25P-10，Q=200-5P 求该商品的市场均衡价格和市场均衡数量.
(1) 设手表的价格为70元, 销售量为10000只, 若手 表每只提高3元, 需求量就减少3000只, 求需求函数 Qd
可以认为 S 是 P 的函数。记作
S f ( P)
则 f 称为供给函数.
一般地，供给函数可以用以下简单 函数近似代替： 线性函数：Q aP b , 其中 a , b 0 幂函数：
Q kP , 其中 A 0 , k 0
A
指数函数：Q aebP , 其中 A 0 , b 0
互为反函数
log a xy log a x log a y x log a log a x log a y y log a x y y log a x
积、商、幂法则
ln x log a x ln a
换底公式
• 萨拉在储蓄账户投资1000美元，年复利 率为5.25%，要多长时间账户里的存款可 达到2500美元
它由固定成本与可变成本两Biblioteka 分组成.C总 C固 C可变
支付固定生产 要素的费用 支付可变生产 要素的费用
Q2 例 3 已知某种产品的总成本函数为C (Q ) 1000 . 8
求当生产 100 个该产品时的总成本和平均成本．
解 由题意，求产量为100时的总成本
100 C (100) 1000 2250 , 8